BAB III. TITIK, GARIS DAN BIDANG
3. H. Eksplorasi Titik, Garis, dan Bidang pada GeoGebra
mengeksplorasi titik, garis dan bidang. Pada gambar-gambar sebelumnya, titik dan garis dibuat pada aplikasi geogebra. Pada aplikasi ini, kita tidak hanya dapat menggambarkan, namun kita dapat mengeeksplorasi unsur-unsur matematis yang melekat pada titik, garis dan bidang.
Eksplorasi Titik pada geogebra
Dalam hal ini, pada titik kita dapat mengetahui kedudukan pada sistem koordinat 2D, dan 3D, selain itu kita dapat pula mengeksplorasi kedudukan antar titik, baik melalui penggunaan toolsnya secara langsung maupun dengan menggunakan perhitungan jarak.
Gambar berikut menunjukkan tools-tools pada geogebra untuk menggambarkan titik, diantaranya :
1. Point : dengan tools ini, kita dapat menempatkan titik di atas sistem koordinat di posisi manapun.
2. Point of object 3. Attach
4. Intersect : melalui tools ini kita dapat menentukan titik potong antar garis, antara garis dan bidang maupun antara bidang dengan bidang
5. Midpoint center : dikgunakan untuk memplot suatu titik yang membagi dua kedudukan titik
6. Complex number 7. Roots
8. Extremum
Secara otomatis penamaan titik pada aplikasi geogebra berupa huruf Kapital dengan menyesuaikan penggunaan huruf-huruf yang sudah ada.
Gambar 3. 19. Tipe-tipe titik (point) pada aplikasi geogebra
65 Eksplorasi mengenai titik dalam buku ini akan ditnjau pada penentuan kedudukan titik terhadap garis dan bidang-bidang oleh irisan-irisan kerucut. Seperti kedudukan titik terhadap lingkaran, terhadap parabola, terhadap elips dan terhadap hiperbola. Kita tidak hanya akan meninjau pada visualisasi geometrisnya, namun kita akan melihat bagaimna tinjauan aljabarnya, atau bagaimna persamaan-persamaan umumnya dibentuk, sehingga dapat menjadi rumusan di dalam menentukan kedudukan titik tanpa menggambarkannya.
Eksplorasi Garis pada geogebra
Aplikasi geogebra juga memberikan secara lengkap tools yang memungkinkan pengguna untuk mengeksplorasi jenis-jenis garis. Sebagaimana garis yang telah dipelajari pada sub bab sebelumnya bahwa garis lurus mempunyai jenis-jenis yang memiliki karaktersitik sendiri. Pada aplikasi geogebra, garis lurus dibedakan atas Line, Segmen, Ray, Polyline, dan vektor, hal ini dapat dilihat dengan mengklik tombol line pada menu utama.
Gambar 3. 20. Tipe-tipe garis dalam geogebra
Dalam meninjau jenis-jenis garis tersebut maka hal yang perlu kita lihat bagai karakter grafiknya, dan bagaimana karakter aljabarnya.
a. Eksplorasi Line
Line sendiri dapat diartikan sebagai garis, namun dalam mata kuliah ini, sangat penting bagi kita untuk membedakan line dengan jenis garis lainnya. Dari tinjauan grafik, line ini dapat digambarkan dengan memilih dua titik sembarang. Dua titik yang dipilih ini kemudian akan dilalui oleh garis yang kedua ujungnya tidak dapat ditentukan. Dengan kata lain, penggambaran garis tipe line ini pada geogebra diambil pada pasangan himpunan semua bilangan real yang memenuhi persamaan garis dan melalui kedua titik yang dipilih sebelumnya. Dari garis tersebut, mempunyai kemiringan yang tetap. Berikut digambarkan beberapa pasangan titik yang membentuk line yang berbeda-beda.
66
Hal yang perlu diketahui pula adalah representasi aljabarnya, yakni dapat dilihat pada kolom aljabarnya. Dapat dilihat bahwa geogebra begitu prsesisi dan praktis bagi kita untuk memahami interpretasi aljabar dari suatu gambar line. Ataupun sebaliknya, interpretasi geometri atas persamaan aljabarnya. Setiap line yang dibuat dapat pula dimodifikasi sesuai dengan kebutuhan seperti warna, nama fungsi, atau format penulisan persamaanya. Berikut diberikan 5 pasang titik yang dilalui oleh line yang berbeda-beda.
Gambar 3. 21. Representasi aljabar dan geometris beberapa ruas line Hal yang lain yang perlu dipahami pada penggambaran line yaitu, garis tipe line dapat digambar tanpa melalui dua titik. Namun dengan mengetikkan persamaan garis di kotak input sesuai dengan aturan penulisan. Secara standar, kotak input menerima perintah penulisan fungsi secara umum yaitu 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐. Berikut gambar line yang dimasukkan melui input persamaan.
Gambar 3. 22. Penggambaran line melalui kotak input (bar input)
67 b. Segment
Jika kita melihat bentuk grafik dari line, maka terlihat bahwa line tidak mempunyai titik ujung. Berbeda dengan segmen, segmen dapat dipahami sebagai satu ruas garis lurus yang mempunyai dua titik ujung. Dalam menggambarkan segmen pada geogebra juga dibutuhkan dua kedudukan titik untuk dihubungkan. Seperti pada gambar berikut, digambarkan 6 pasang titik yang masing masing pasangan titik terhubung oleh satu segmen garis.
Gambar 3. 23. Segmen garis
Selain itu, hal yang berbeda antara segmen dan garis, yaitu pada representasi aljabarnya. Pada kolom aljabar, terlihat bahwa segmen tidak direpresentasikan dalam bentuk persamaan, namun satu segmen garis ditunjukkan oleh dua titik ujung, dan panjang dari segmen tersebut. Pada aplikasi geogebra cara untuk menggambarkan segmen dapat menggunankan segmen with given length, yaitu dilakukan dengan menentukan satu titik dan memasukkan panjang segmen, dengan sendirinya akan menghasilkan satu titik ujung dan membentuk segmen garis secara horizontal dengan panjang yang disesuaikan dengan inputan panjang yang dimasukkan.
c. Ray
Tipe garis yang ketiga yaitu ray atau sinar juga dapat dieksplorasi pada geogebra. Penggambaran ray juga dilakukan dengan menentukan dua titik awal.
Titik awal yang pertama adalah titik ujung, selanjutnya titik yang kedua yang dipilih adalah titik yang dilalui oleh garis ray, dengan tingkat kemiringan yang diperoleh dari hubungan kedua titik tersebut. Terlihat bahwa, ray berupa satu garis lurus yang mempunyai satu titik ujung dan melalui satu titik tertentu dan diteruskan menuju arah yang tak berhingga.
68
Gambar 3. 24. Penggambaran ray pada geogebra
Secara aljabar, dapat dilihat bahwa setiap ray yang digambarkan pada geogebra direpresentasikan oleh dua titik dan satu persamaan garis lurus.
d. Polyline
Selanjutnya untuk tipe garis polyline, dapat dijelaskan sebagai kumpulan segmen garis yang terhubung yang melalui titik titik yang diplot pada koordinat tertentu dan tidak dapat kembali pada titik awal. Sedangkan pada kotak aljabarnya, hanya menampilkan kumpulan titik yang diplot dan panjang total segmen yang terbentuk. Berikut contoh penggambaran polyline pada geogebra dan ekspresi aljabarnya.
Gambar 3. 25. Penggambaran polyline pada geogebra
69 e. Vector
Penggambaran vektor pada geogebra dapat dilakukan dengan menentukan dua titik, yaitu titik pangkal dan titik ujung serta dilengkapi oleh arah panah yang menunjukkan vektor mempunyai arah. Sedangkan pada kolom aljabar, setiap vektor yang digambarkan akan menghasilkan dua titik dan satu vektor dalam format matriks.
Gambar 3. 26. Penggambaran vektor pada aplikasi geogebbra
Aplikasi geogebra begitu sangat bermanfaat, membantu pengguna dalam menvisualisasikan teori-teori yang berkaitan dengan titik, garis dan bidang
dalam tinjauan geometri analitik secara praktis dan presisi
70
3. I. LATIHAN SOAL