Namun buku ini menjelaskan secara detail pembentukan setiap persamaan atau rumus baik dari segi langkah maupun penjelasannya. Kehadiran buku ini merupakan produk perkuliahan Geometri Analitik di lapangan yang disusun melalui kerjasama mahasiswa dan dosen.
PENDAHULUAN
A. Refleksi Bergeometri
Jika kita mengingat kembali kegiatan pembelajaran geometri pada tingkat SMP, akan terasa lebih menantang dari sebelumnya. Tumpukan pakaian di lemari akan menyulitkan penggunanya dalam memilih pakaian mana yang untuk beribadah, mana yang untuk bermain.
B. Kedudukan Geometri Analitik Dengan Mata Kuliah Dasar
Khususnya pada Bidang Geometri Analitik (GAB), penting untuk memetakan secara jelas hubungan antara materi pendukung seperti Kalkulus, Aljabar dan Komputasi Geometri. Salah satu mata kuliah yang memberikan landasan awal dalam konstruksi materi geometri analitik lapangan adalah Kalkulus.
C. Sejarah Geometri
Al Biruni dikenal sebagai salah satu cendekiawan muslim yang sangat produktif dalam menghasilkan karya tulis. Begitu pula dengan Ulghbek (astronom besar di Uzbekistan) yang memanfaatkan karya Al Biruni untuk mengembangkan ilmu Falaq.
D. Peta Konsep Geometri Analitik Bidang
Teori Ibn al-Haytham pada bidang persegi merupakan teori pertama dalam geometri elips dan geometri hiperbolik. Setelah menelaah susunan topik geometri analitik lapangan pada beberapa referensi yang telah ada sebelumnya, maka dapat dikatakan bahwa terdapat tingkatan aktivitas pengajaran yang perlu diketahui.
E. Latihan Soal
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
- A. Hierarki Pernyataan Matematika
- B. Sistem Koordinat Kartesius
- C. Sistem Koordinat Dalam Tinjauan Geogebra
- D. Latihan Soal
Penyajian bilangan real melalui garis bilangan inilah yang kemudian mengarahkan Rene Descartes untuk menciptakan sistem koordinat Cartesian. Begitu pula saat membuat garis lurus, variabel x dan y yang dimasukkan diintegrasikan dengan sistem koordinat.
TITIK, GARIS DAN BIDANG
A. Titik
Posisi titik (a) tanpa sumbu koordinat dan grid, (b) tanpa sumbu koordinat, (c) dengan sumbu koordinat dan grid. Seperti cara menentukan kedudukan suatu titik terhadap titik itu sendiri, kedudukan suatu titik pada suatu garis, kedudukan suatu titik pada lingkaran, kedudukan suatu titik pada parabola, kedudukan suatu titik pada sebuah lingkaran. elips dan kedudukan suatu titik pada hiperbola.
B. Garis
43 ujung-ujungnya berupa titik-titik dan ujung lainnya tidak mempunyai ujung, sehingga garis tersebut disebut sinar. Diberikan dua titik yang letaknya berbeda pada sistem koordinat kartesius, misalnya titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan titik 𝐵(𝑥2, 𝑦2), maka jika kedua titik tersebut menjadi dua titik ujung suatu garis, maka garis tersebut disebut sebagai sebuah segmen.
C. Hubungan Titik, Gradien dan Garis
Selanjutnya, Anda perlu menyesuaikan garis dengan mengetahui satu titik, katakanlah (𝑥1, 𝑦1) dan nilai gradien 𝑚. Mengingat pada rentang titik mana pun yang dilalui garis lurus tersebut, maka kemiringannya akan sama. Seperti yang kita ketahui persamaan umum garis lurus adalah 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄, maka dari kedua titik diatas kita tinggal mencari nilai gradien 𝒎 dan konstanta 𝒄.
D. Kedudukan titik terhadap garis
Perlu dibuat persamaan garis yang melalui titik yang ditinjau dan tegak lurus terhadap garis tersebut (jadi ada dua persamaan garis yang saling tegak lurus). Dari soal diatas dapat diketahui nilai 𝑀, 𝑁, 𝐶, 𝑥1, 𝑦1, secara prosedural jarak titik ke garis tertentu dapat ditentukan dari persamaan (III.30).
E. Sudut antara dua garis lurus
Dengan menggunakan konsep membandingkan sisi depan dan sisi dekat, besar sudut setiap titik sudut dapat ditentukan dengan konsep gradien. 1 + 𝑚1𝑚2 ( III.33) Selanjutnya melihat hubungan antara sudut dengan masing-masing nilai kemiringan, dapat dituliskan sebagai.
F. Hubungan Antara Dua Garis
Hubungan antara dua garis yang saling tegak lurus biasanya dapat dilihat seperti perpotongan antara 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 − 𝑥 dan 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 − 𝑦. Diketahui dua garis saling tegak lurus, jika dalam hal ini membentuk sudut siku-siku 𝜃 =𝜋.
G. bidang
EKSPLORASI TITIK, GARIS DAN BIDANG PADA GEOGEBRA Aplikasi Geogebra dilengkapi dengan tools yang memudahkan kita.
H. Eksplorasi Titik, Garis, dan Bidang pada GeoGebra
Kedua titik terpilih ini kemudian akan berpotongan dengan sebuah garis yang kedua titiknya tidak dapat ditentukan. Dengan kata lain, penggambaran garis dalam geogebra jenis ini diambil dari himpunan pasangan semua bilangan real yang memenuhi persamaan garis dan melalui dua titik yang dipilih sebelumnya.
I. Latihan Soal
LINGKARAN
A. Definisi dan unsur-unsur Lingkaran
Unsur-unsur utama yang harus dikenali dalam sebuah lingkaran, beberapa di antaranya terdefinisi secara implisit, adalah titik-titik yang menempati lingkaran, jari-jari, dan titik pusat lingkaran. Jarum jam yang berputar pada jalur yang sama merupakan contoh cara kerja konsep lingkaran.
B. Lingkaran Sebagai Irisan Kerucut
Lingkaran didefinisikan sebagai kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang dihubungkan terus menerus yang setiap titiknya mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu, dalam hal ini jarak tersebut disebut dengan jari-jari atau.
C. Persamaan Lingkaran
Jika terlihat lingkaran berada pada sistem koordinat kartesius, maka posisi default pusat lingkaran adalah di titik (0,0) dan sebagai perkembangannya pusat lingkaran berada di luar titik (0). 0), sebut saja ( 𝛼, 𝛽). Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari-jari 𝑟 = 2 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 , menggunakan persamaan (1.1) dapat ditulis dengan mudah.
D. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Secara aljabar diukur dengan menguji sudut pandang dalam persamaan, apakah lebih besar, lebih kecil, atau sama dengan kuadrat jari-jari. JARAK MAKSIMUM DAN MINIMUM DARI TITIK KE LINGKARAN Selanjutnya dapat ditentukan berdasarkan 3 posisi titik ke lingkaran.
E. Jarak Maksimum dan Minimum Titik terhadap lingkaran
Jarak maksimum: Jarak titik mana pun D ke titik A yang dilintasi lingkaran L dinyatakan sebagai jumlah jari-jari dan jarak dari pusat C ke titik mana pun D. 𝐷𝐵| = |𝐶𝐷| − |𝐶𝐵| = |𝐶𝐷| − 𝑟 (IV.8) Jarak maksimum: Jarak titik mana pun D ke titik A yang dilintasi lingkaran L dinyatakan sebagai jumlah jari-jari dan jarak dari pusat C ke titik mana pun D.
F. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Jika soal memberikan persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung, maka model soal tersebut untuk mempelajari kedudukan garis singgung tersebut.
G. Garis Singgung Lingkaran
Jika diketahui letak kemiringan garis singgungnya, maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan cara: Jika diketahui kedudukan kemiringan garis singgung tersebut, maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan cara: ditentukan dengan pendekatan satu titik, misalnya (𝑥1, 𝑦1) adalah.
H. Kuasa Suatu Titik Teradap Lingkaran
Hal ini memungkinkan kita melihat hubungan antara jarak dari titik gaya ke pusat dan panjang jari-jari lingkaran. Gaya suatu titik pada lingkaran juga dapat dikonstruksikan melalui hubungan antara posisi titik gaya dan persamaan lingkaran.
I. Latihan Soal
PARABOLA
- A. Parabola Sebagai Irisan Kerucut
- B. Definisi parabola dan Unsur-unsur Parabola
- C. Persamaan Parabola Standar
- D. Persamaan Parabola Tak Standar
- E. Kedudukan titik terhadap parabola
- F. Kedudukan garis terhadap parabola
- G. garis singung parabola
- H. Eksplorasi Parabola dalam tinjauan Geogebra
- I. Latihan Soal
Direktriks dari parabola mempunyai persamaan 𝑦 = 6. Diketahui persamaan parabola 𝑦2= −2𝑥 tentukan titik pusat dan persamaan direktriksnya. Tentukan titik sudut, titik tengah, dan persamaan arah parabola tak baku yang mempunyai persamaan 𝑦2+ 0,25𝑥 + 8𝑦 = −15,5.
ELIPS
A. Elips sebagai irisan kerucut
119 Gambar 6.1 di atas menggambarkan elips yang diperoleh dari perpotongan bidang datar dengan bentuk kerucut. Pembuatan gambar di atas dapat dieksplorasi menggunakan aplikasi GeoGebra dengan mengintegrasikan bidang datar dengan persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 dengan parameter tertentu 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑.
B. Definisi Elips
Jika sumbu mayor berimpit dengan sumbu 𝑥, maka fokus elips berada pada sumbu 𝑥, yaitu 𝐹1(𝑐, 0) dan 𝐹2(−𝑐, 0), dan sumbu lainnya adalah sumbu minor yang melewatinya. sumbu 𝑦. Sebaliknya, jika sumbu mayor berimpit dengan sumbu 𝑦, maka fokus elips berada pada sumbu 𝑦, yaitu 𝐹1(0, 𝑐) dan 𝐹2(0, −𝑐), dan sumbu lainnya adalah sumbu minor yang lewat. melalui sumbu 𝑥.
C. Persamaan dasar elips
Pada bagian ini, kita tambahkan dua ruas garis antara titik sudut 𝐀 ke titik fokus 𝐅𝟏 dan 𝐀′ ke 𝐅𝟏. Jarak dari titik sudut ke garis arah juga akan kita gambarkan sebagai selisih antara titik tengah 𝐎 dan titik sudut 𝐀.
D. Klasifikasi jenis-jenis elips
Gambar di samping akan digunakan sebagai dasar untuk mengembangkan persamaan elips nonstandar miring. Dari persamaan umum yang diperoleh, selanjutnya kita dapat menentukan elemen-elemen dan posisinya pada elips non-standar miring.
E. Kedudukan Titik terhadap Elips
Letak titik pada elips (a) berada di dalam elips, (b) berada di elips, (c) berada di luar elips. Hasil perhitungan yang diperoleh tepat 1. Artinya tanpa diuraikan terlebih dahulu dapat disimpulkan bahwa titik (4,2) terletak pada elips tidak baku dengan persamaan (𝑥−4)2.
F. Kedudukan Garis Terhadap Elips
Dengan menggunakan bentuk sederhana dari nilai diskriminan di atas, posisi garis pada elips dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai diskriminan pada 3 kondisi berikut. 147 Dari gambar yang diperoleh garis tidak menyentuh elips, hal ini berbeda dengan hasil penentuan nilai diskriminan.
G. Persamaan garis singgung elips
Untuk memahami rumusan persamaan garis singgung yang diperoleh, kita dapat mendalaminya lebih lanjut pada contoh soal berikut. 151 Cara menggunakan rumus menentukan persamaan garis singgung relatif mudah, Anda hanya perlu mengetahui rumus dan menerapkannya.
H. Tinjauan Elips Pada geogebra
Penggambaran elips pada bagian ini menggunakan alat animasi dengan membuat dua titik fokus dan menggerakkan sebuah garis yang menghubungkan suatu titik pada elips ke dua titik fokus tersebut. Dengan menggunakan fungsi animasi pada Geogebra, pergerakan titik-titik tersebut akan membentuk jalur elips dengan dua titik fokus tetap.
I. Latihan Soal
Tentukan persamaan elips dengan pusat (0,0) dan salah satu titik sudutnya (0,13) serta salah satu fokusnya (0,12). Tentukan persamaan elips jika diketahui mempunyai titik pusat (2,4) dengan panjang sumbu mayor 4 dan panjang sumbu minor 3.
HIPERBOLA
A. Hiperbola Sebagai Irisan Kerucut
Bentuk-bentuk tersebut antara lain lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola yang biasa kita kenal dengan bagian kerucut. Pada bab ini kita akan mengulas konsep hiperbola yang meliputi definisi, unsur-unsur, persamaan baku dan tidak baku, posisi titik dan garis pada hiperbola, serta hiperbola dalam tinjauan Geogebra.
B. Definisi Hiperbola dan Unsur-unsur Hiperbola
Selanjutnya kita lihat jarak antara A dan A' adalah 2a (|AA'|=2a) dengan mengambil sebuah titik simetris dari ruas garis yang menghubungkan kedua titik sudut tersebut, maka titik tersebut dikatakan sebagai titik asal atau titik tengah hiperbola. Dengan asumsi 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sembarang titik pada hiperbola dan 𝑂𝐴 terletak pada sumbu 𝑥, maka garis tersebut tegak lurus terhadap 𝑂𝐴 di titik O, yang merupakan sumbu 𝑦.
C. Persamaan Hiperbola Standar
𝐶2𝑃|= 𝑒|𝑃𝑀′| = 𝑒 (ℎ −𝑎 .𝑒) = 𝑒ℎ − 𝑎 ( VII.22) Kurva yang terbentuk merupakan himpunan titik-titik yang kedudukannya relatif terhadap selisih masing-masing dua titik fokus adalah konstan. Hiperbola didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik yang selisih jarak antara suatu titik tetap (titik fokus) dan garis lurus selalu sama (konstan).
D. Persamaan Hiperbola Tak Standar Tipe 1
Begitu juga untuk hiperbola yang berpusat pada titik (ℎ, 𝑘) dengan fokus pada paksi utama selari dengan paksi 𝑦, 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) dan 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐) akan kita lakukan dengan cara yang sama. dapatkan. Hiperbola berpusat pada titik (ℎ, 𝑘) dengan titik fokus pada paksi utama selari dengan paksi-y.
E. Persamaan Hiperbola Tak Standar 2
F. Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola
Yang kedua pembahasan mengenai letak titik-titik pada hiperbola Untuk titik-titik pada hiperbola Suatu titik dikatakan terletak pada hiperbola jika titik koordinatnya berada pada garis lengkung hiperbola. Kriteria titik-titik pada hiperbola dapat ditentukan melalui persamaan berikut. Pembahasan selanjutnya adalah mencari letak titik pada hiperbola untuk titik-titik di luar hiperbola. Suatu titik dikatakan terletak di luar hiperbola jika koordinatnya berada di luar daerah lengkung hiperbola.
G. Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola
Selesaikan hasilnya jika garis tidak memotong hiperbola, garis memotong hiperbola di satu titik, atau garis memotong hiperbola di dua titik. Pembahasan selanjutnya adalah kedudukan garis pada hiperbola untuk kasus garis yang melintasi hiperbola di suatu titik, atau biasa disebut garis singgung hiperbola.
H. Hiperbola Dalam Tinjauan Geogebra
Untuk menggambar hiperbola yang berpusat di titik (0,0) pada geogebra, masukkan persamaan hiperbola pada kolom input.
I. Latihan Soal
PERSAMAAN PARAMETRIK
- A. Pendahuluan Persamaan Parameter
- B. Persamaan Parametrik Pada Fungsi Linear
- C. Persamaan Parametrik pada irisan kerucut
- D. Persamaan Parameter Panjang kurva bidang
- E. Latihan Soal
Namun persamaan standar dan nonstandar yang terdapat pada penampang kerucut dapat diubah menjadi persamaan parametrik tertentu yang memenuhi karakteristik fungsi. Berikut penjelasan bentuk-bentuk persamaan parametrik untuk masing-masing persamaan standar perpotongan kerucut: lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
IRISAN KERUCUT DALAM TINJAUAN BUDAYA LOKAL . 197
B. Lingkaran Dalam Budaya Lokal
C. Parabola Dalam Budaya Lokal
D. Elips Dalam Budaya Lokal
E. Hiperbola Dalam Budaya Lokal
F. Penugasan Research Project
