Integral Tak Tentu

Dalam kegiatan belajar ini diuraikan tentang lanjutan dari notasi anti anti turunan suatu fungsi. Kita sebelumnnya telah banyak mempelajari operasi-operasi yang balikan (‘invers’).

Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan:

penambahan inversnya pengurangan, perkalian inversnya pembagian, pemangkatan inversnya penarikan akar, serta penarikan logaritma inversnya pencarian anti-logaritma.

Pada materi turunan fungsi, kita telah mempelajari tentang pemakaian turunan, syarat fungsi mempunyai turunan dan cara-cara menurunkan suatu fungsi. Bila proses menurunkan suatu fungsi dianggap sebagai suatu operasi pada fungsi itu, maka berarti akan menghasilkan suatu fungsi baru yang disebut fungsi turunannya. Selain dengan notasi anti turunan pada kegiatan belajar 1 di atas, berikut juga terdapat notasi lain untuk anti turunan yaitu

A

( f (x ) )

_atau

∫

^.^f⁽^x⁾ ^dx

Karena kita telah menggunakan lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar menggunakan Ax

untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi A_x

( )

x² =₃¹x³+c. Ini adalah notasi yang digunakan oleh beberapa penulis, dan memang dalam notasi lebneiz yang popular untuk notasi antiturunan adalah s yang diperpanjang, yaitu:

∫

^...^dx^{; hal}

ini menunjukkan antiturunan terhadap x, sama seperti Dx

menunjukkan turunan terhadap x.

Perhatikan bahwa ^D^x

∫

^f⁽^x⁾^dx⁼^f⁽^x⁾

TEOREMA ATURAN PANGKAT

Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka:

r c dx x

x^r ^r +

= +

∫

⁺¹₁

Bukti:

Untuk membuktikan suatu hasil berbentuk: c r

x^r + +

1 kita cukup menurunkan terhadap x, yaitu:

 =



 



 + +

c

r D

x

1

1 1

𝑟𝑟+1(𝑟𝑟+ 1)⋅ 𝑥𝑥^{(𝑟𝑟+1)−1}+ 0 = x^r Contoh 1

Tentukan anti turunan umum dari f(x)= x⁴³ Penyelesaian:

c x x c

x c dx

x + = + = +

= +

∫

⁺ ³ ³⁷

3 7 4 43

73 37

34 1

• Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR. Silahkan klik Tools → Tutors → Single Variable → Integration Methods, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1 2

Contoh 2

Tentukan anti turunan umum dari f(x)=7x⁻³⁴ Penyelesaian:

c x x c

x = + = +

∫

⁷ ⁻ ³⁴ ⁷ ¹⁴ ²⁸ ⁴¹

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1

Contoh 3

Tentukan anti turunan umum dari

f ( x ) = 4 x

⁵

− x

Penyelesaian:

c x x

dx x x dx

f = − = − +

∫

⁽ ⁾

∫

⁽⁴ ⁵ ³⁾ ₃² ⁶ ₄¹ ⁴

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1

Contoh 4

Tentukan anti turunan umum dari f(x)=27x⁷+3x⁵−45x³+ 2 x Penyelesaian:

∫

^f ⁽^x⁾^dx ⁼

∫

⁽²⁷^x⁷ ⁺³^x⁵ ⁻⁴⁵^x³ ⁺ ² ^x⁾^dx

c x x

x − + + +

= ⁸ ⁶ ⁴ ²

22 4

45 2

1 8

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1 2

TEOREMA INTEGRAL TAK-TENTU FUNGSI SINUS DAN COSINUS

c x dx

x =− +

∫

^sin ^cos

c x dx

x = +

∫

^cos ^sin

Bukti:

Cukup perhatikan bahwa Dx(– cos x + c)= Dx (– cos x) + Dx (c) = sin x + 0 = sin x dan

untuk Dx (sin x + c) = Dx (sin x) + Dx (c) = cos x + 0 = cos x Contoh 5.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

²^sin^x^dx

Penyelesaian:

c x

c x dx x dx x

−

⋅

∫

cos 2

) cos ( 2

sin 2

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1 2

Contoh 6

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

^(sin t⁻^cost⁾dt Penyelesaian

c t t

c t c

dt t dt

dt t t

+ +

−

− +

−

∫

) sin (cos

sin cos

) (cos )

(sin

) cos (sin

2 1

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

Contoh 7.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

^(cos ³x⁻³^sin x⁾dx

3 1

Penyelesaian

C x x

c x c

dx x dx

dx x x

+ +

−

− +

−

∫ ∫

∫

cos 3

3sin 1

) cos ( 3 3

3sin 1

sin 3 3

cos

) sin 3 3 (cos

2 1

• Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR. Silahkan klik Tools → Tutors

→Single Variable → Integration Methods, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1 2

Contoh 8.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

⁽t²⁻²^cost⁾dt Penyelesaian

c t t

c t c

dt t dt

dt t t

−

− +

−

∫ ∫

∫

sin 3 2

) (sin 3 2

cos 2

) cos 2 (

2 2 1

2 2

• Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR. Silahkan klik Tools → Tutors

→Single Variable → Integration Methods, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

3 1

Contoh 9.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

³^sin ⁽²x⁻

^π

⁾dx Penyelesaian

c x

dx x

−

∫

) 2

( 2cos 3

)]

2 ( cos 2[

) 2

( sin 3

) 2

( sin 3

π π π π

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

Untuk selanjutnya istilah anti turunan F, kita ganti menggunkan integral tak-tentu

( _∫

^...^dx

)

^{. Notasi}

_∫

^f⁽^x⁾ ^dx^,

3 1

dimana tanda

∫

^dinamakan^simbolintegral; f(x) dinamakan integran.

TEOREMA KELINEARAN INTEGRAL TAK-TENTU

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak-tentu) dan Andaikan k suatu konstanta. Maka:

∫

^.^k ^f⁽^x⁾^dx⁼^k

∫

^f⁽^x⁾^dx^;

∫ [

f⁽x⁾⁺g⁽x⁾

]

dx⁼

∫

f⁽x⁾dx⁺

∫

g⁽x⁾dx^; c.

∫ [

f⁽x⁾⁻g⁽x⁾

]

dx⁼

∫

f⁽x⁾dx⁻

∫

g⁽x⁾dx^. Bukti:

Untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendeferensialkan ruas kanan dan amati kita memperoleh integran ruas kiri.

a. ^Dx

[

_∫

^f⁽^x⁾^dx

]

⁼^k^Dx

_∫

^f⁽^x⁾^dx⁼^k ^f⁽^x⁾

b. D_x

[ _∫

f(x) dx⁺

_∫

g(x)dx

]

⁼D_x

_∫

f(x)dx⁺D_x

_∫

g(x)dx⁼f(x)⁺g(x) c. D_x

[ _∫

f(x) dx⁻

_∫

g(x)dx

]

⁼D_x

_∫

f(x)dx⁻D_x

_∫

g(x)dx⁼f(x)⁻g(x) Contoh 10.

Tentukan Penyelesaian dari:

_∫ (

3^x²⁺4^x

)

^dx

Penyelesaian:

(

3 ² 4

)

∫

^x ⁺ ^x ^dx

∫

³^x²^dx⁺

∫

⁴^x^dx

= ³

∫

^x²^dx⁺⁴

∫

^x^dx

( )

∫

⁺

= 3x² 4x dx

= 

 



 ³ + ₁ 3 x3 c ₊



 



 ² + ₂ 4 x2 c

x

+ 2 x

+ ( 3 c

+ 4 c

)

= x³+2x² +C

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

3 1

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

Tampilan Maple

Contoh 11.

Tentukan Penyelesaian dari: t dt

∫

^_^t¹² ⁺ ^_^ Penyelesaian

t dt

∫

^_^t¹² ⁺ ^_^ =

_∫ (

^t⁻² ⁺^t¹²

)

^dt

∫

t⁻²dt⁺

∫

^t²¹^dt

23 1 23

1 t t +

−

+ C

= t C

t+ +

− ²³ 3 2 1

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 12.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

⁽²^cos x⁻^πx⁾dx Penyelesaian

c x x

x c c

dx x dx

dx x x

−

− +

−

∫ ∫

∫

2 2

sin 2 2

2 ) ( sin

2 cos 2

) cos

2 (

π π

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 13

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

⁽²^sin² x⁺²^cos² x⁾dx Penyelesaian

c x

dx x x

∫

2 ) 1 ( 2

) cos (sin

) cos 2 sin

2 (

2 2

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 14.

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

^(sinx⁺^cosx⁾²dx Penyelesaian

c x x

dx x dx

dx x

dx x x

x x

dx x x

−

= +

+ +

∫ ∫

∫

2 2cos 1

2 sin )

2 sin 1 (

) cos sin

2 cos (sin

) cos cos

sin 2 (sin

) cos (sin

2 2

• Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR. Silahkan klik Tools → Tutors

→Single Variable → Integration Methods, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

TEOREMA INTEGRAL TAK-TENTU FUNGSI PANGKAT YANG DIPER-UMUM

Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka:

[ ] [ ]

r x dx g x g x

g ^r ^r +

= +

∫

⁽ ⁾ ^(' ⁾ ⁽ ⁾₁⁺¹

Bukti:

Untuk membuktikan dengan menggunakan definisi di atas, yaitu dengan menurunkan ruas kanan, dan ruas kiri menghasilkan fungsi integran-nya.

[ ] [ ]

⁽ ⁾

( )

. (' )

( )

1 ) ( .) 1 ( 1

)

( ¹ ¹ ¹ +







= +







 +

− + +

x r g

x g c r

r x

D_x g ^r ^r

[

g(x)

]

^rg ('x)

Contoh 15

Tentukan Penyelesaian dari:

∫ (

^x⁴+3^x

) (

³⁰ 4^x³ +3

)

^dx

Penyelesaian:

Diketahui

∫ (

^x⁴ +3^x

) (

³⁰ 4^x³+3

)

^dx

Misalkan g(x) = x⁴ + 3x maka g‘(x) = 4x³+ 3,

sehingga menurut teorema di atas dapat digunakan seperti berikut:

(

x⁴+3x

) (

³⁰ 4x³ +3

)

∫

[

( )

] ( )

³⁰g' x dx

∫

[ ] g ( ) x + _c

= 31

(

x + x

)

+_C

= 31

3 ³¹

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 16

Tentukan Penyelesaian dari:

∫

sin¹⁰ x.cosxdx Penyelesain:

Diketahui

∫

sin¹⁰x.cosxdx

Andaikan h(x) = sin x, maka h’(x) = cos x

sehingga menurut teorema di atas dapat digunakan seperti berikut:

dx x x.cos sin¹⁰

∫

[

( )

]

¹⁰g'

( )

x dx

∫

= x +C

11 sin¹¹

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 17

Tentukan Penyelesaian dari:

∫ (

^x³ +6^x

) (

⁵ 6^x² +12

)

^dx

Penyelesain:

Diketahui

∫ (

^x³ +6^x

) (

⁵ 6^x² +12

)

^dx

Andaikan u = x³ + 6x, maka du = 3x² +6 dx atau 2 du = (6x² + 12) dx sehingga menurut teorema di atas dapat digunakan seperti berikut:

∫ (

^x³+6^x

) (

⁵ 6^x²+12

)

^dx

∫

^u⁵²^du

∫

=2 u⁵du



 



 +

= u c

2 6⁶ =u +c

(

x + x

)

+_C 3

6 ⁶

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → Start (2) → All Steps (3), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax untuk menentukan anti-turunan dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

3 1

Tampilan Maple

Contoh 18.

Tentukan Penyelesaian dari: x x2dx

2 2

2 3

∫

^_^ ⁺ ^_^

Penyelesain:

Diketahui x² 3 ²x₂dx

∫

^_^ 2 ⁺ ^_^

Dalam dokumen Kalkulus integral berbantuan maple (Halaman 30-66)

A

( f (x ) )

∫

( )

∫

∫

∫

 =



 



 + +

c

r D

x

1

∫

∫

f ( x ) = 4 x

− x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

π

∫

∫

π π π π

( ∫

)

∫

∫

∫

∫

∫ [

]

∫

∫

∫ [

]

∫

∫

[

∫

]

∫

[ ∫

∫

]

∫

∫

[ ∫

∫

]

∫

∫

∫ (

)

(

)

∫

∫

∫

^π

( _∫

_∫

_∫

_∫

[ _∫

_∫

_∫

_∫

[ _∫

_∫

_∫

_∫

_∫ (

_∫ (

[ ] g ( ) x + _c