Luas Poligon Luar A(S)

BAB III BAB III Integral Tentu

B. Luas Poligon Luar A(S)

Untuk meyakinkan luas daerah di atas A(R)= ₃⁸, kita dapat memberikan cara lain yaitu dengan pendekatan poligon luar.

Pandang daerah R yang dibatasi oleh parabol y = f(x) = x², sumbu x, dan garis tegak x = 2 (gambar C). Kemudian R sebagai daerah di bawah kurva y = x² diantara x = 0 dan x = 2, sehingga pada akhirnya kita menghitung luas A(S). selanjutnya partisi selang [0, 2] menjadi n selang bagian (gambar D), masing-masing dengan panjang

∆ x =

_n² .

Jadi,

( )

2 . ..

).

1 ( ...

. ...

. 3 . 3

. 2 ..

2 . 1

2 ) 1 ( 1 2

2 3 2

2 2 1 2

=

=

∆

=

=

∆

−

=

=

∆

=

=

∆

=

=

∆

=

=

∆

=

− −

n n

n n n

n i

n n n

n x n x

x n

x

i x i x

x x

x x

x x

Karena

f ( x ) = x

², maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

²

( )

^{2 2}

2 2 2

2 2 2 3 3

2 2 2 2 2

2 2 1 2 1

) ( ....

) ( ...

. 3 )

(

. 2 )

( ) (

n n

n

ni i

i

n n n

n x

x f

x x f

x x f

x x f

x x f

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Kemudian pandang segi empat khas dengan alas

[ x

_i−1

, x

_i

]

dan tinggi f(x )=

( )

x ² =

( )

^{2i 2}maka luasnya adalah

f ( x ) ∆ x

.

Sehingga Luas A(Sn) dapat dihitung,

x x f x

x f x x f x x f S

A (

_n

) = (

₁

) ∆ + (

₂

) ∆ + (

₃

) ∆ + ... + (

_n

) ∆

( )

_{n n}

( )

_{n n}

( )

_{n n}

( )

ⁿ_n

( )

_nⁿ _n

Sn

A( )= ^{2 2 2} + 2^{2 2 2}+ 3^{2 2 2} +...+ ^{2( −1) 2} + ^{2 2 2}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

nn

]

n

nn n

n n

Sn

A( )= ^{2 2} + 2^{2 2} + 3^{2 2} +...+ ^{2( −1) 2} + ^{2 2 2}

( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

_{n n}

n n n

S

A( )= 1² + 2 ² + 3 ² +...+ −1² + ^{2 2 2}. ²

( ) ( ) ( ) ( )

[

1² 2 ² 3 ² ... 1^{2 2}

] ( )

^{2 3}

)

(S_n n n _n

A = + + + + − +

( )( )

3

8 6

1 2 ) 1

( n

n n

S n

A _n 

 + +

=

6 8 3

) 2

( ³ ₃ ² 



 



 + +

= n

n n S n

A _{n 2}

3 4 4 3 8

n n+ +

= Kita simpulkan bahwa:

3 8 3

4 4 3 lim 8 ) ( lim )

( ₂ =



 



 + +

=

= →∞A S →∞ n n S

A n n n

Menentukan luas daerah pada polygon berhingga Contoh 1.

Tentukan luas poligon dalam dari gambar berikut:

2 1 5 2 ) 3 (

2 1 1 )

( 2

1 3 2 ) 1 (

1 1 0 ) (

3 2 1 0

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

x f

x f

x f

x f Penyelesaian:

2 2 . 1 4 0 . 4

2 3 2 . 1 3 0 . 3

2 1 . 1 2 0 . 2

2 1 2 . 1 1 0 . 1 0

1 )

( 2

1 4

0 2 4

0 4

0 3

0 2

0 1 0

0 4

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

= +

=

− =

− =

=

∆

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x f x x f x x f x x f R

A (

₄

) = (

₀

) ∆ + (

₁

) ∆ + (

₂

) ∆ + (

₃

) ∆ x x f x f x f x f R

A (

₄

) = [ (

₀

) + (

₁

) + (

₂

) + (

₃

)] ∆

𝐴𝐴(𝑅𝑅₄) = [2 2 +

3 2 +

4 2 +

5 2]

1 2 =

14 4 =

7 2

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → left = Poligon dalam (4) → Display (5), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

>

>

>

5 1

2 3 4

>

Tampilan Maple

Contoh 2. Tentukan luas poligon dalam dari gambar berikut:

Penyelesaian:

∆𝑥𝑥=𝑥𝑥8− 𝑥𝑥0

8 =2−0 8 =

1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥+ 1 4

𝑥𝑥0= 0

𝑥𝑥₁=𝑥𝑥₀+ 1.∆𝑥𝑥= 0 + 1�1 4�=1

4 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀) = 0 + 1 = 1 𝑥𝑥₂=𝑥𝑥₀+ 2.∆𝑥𝑥= 0 + 2�1

4�=1

2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁) =1

4+ 1 =5 4 𝑥𝑥3=𝑥𝑥0+ 3.∆𝑥𝑥= 0 + 3�1

4�=3

4 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) =2 4 + 1 =

6 4 𝑥𝑥4=𝑥𝑥0+ 4.∆𝑥𝑥= 0 + 4�1

4�= 1 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) =3

4+ 1 =7 4 𝑥𝑥₅=𝑥𝑥₀+ 5.∆𝑥𝑥= 0 + 5�1

4�=5

4 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₄) = 1 + 1 = 2 𝑥𝑥₆=𝑥𝑥₀+ 6.∆𝑥𝑥= 0 + 6�1

4�=6

4 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₅) =5 4 + 1 =

9

1 7 6 45

𝑥𝑥₈=𝑥𝑥₀+ 8.∆𝑥𝑥= 0 + 8�1

4�= 2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₇) =7

4 + 1 = 11

𝐴𝐴(𝑅𝑅₈) =𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥₁)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥₂)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥₃)∆𝑥𝑥+⋯+𝑓𝑓(𝑥𝑥7)∆𝑥𝑥 𝐴𝐴(𝑅𝑅₈) =�4

4 + 5 4 +

6 4 +

7 4 +

8 4 +

9 4 +

10 4 +

11 4�1

4 = 60 16 =

15 4

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → left = Poligon dalam (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

>

>

>

>

Tampilan Maple

Contoh 3.

Tentukan luas poligon luar dari gambar berikut:

Penyelesaian:

∆𝑥𝑥=𝑥𝑥₄− 𝑥𝑥₀

4 =2−0 4 =

1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥+ 1 2

𝑥𝑥₀= 0

𝑥𝑥1=𝑥𝑥0+ 1.∆𝑥𝑥= 0 + 1�1 2�=1

2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) =1

2 + 1 =3 2 𝑥𝑥 =𝑥𝑥 + 2.∆𝑥𝑥= 0 + 2�1

�= 1 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 1 + 1 = 2

𝑥𝑥3=𝑥𝑥0+ 3.∆𝑥𝑥= 0 + 3�1 2�=3

2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) =3 2 + 1 =

5 2 𝑥𝑥₄=𝑥𝑥₀+ 4.∆𝑥𝑥= 0 + 4�1

2�= 2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₄) = 2 + 1 = 3 𝐴𝐴(𝑆𝑆₄) =𝑓𝑓(𝑥𝑥1)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥2)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥3)∆𝑥𝑥+𝑓𝑓(𝑥𝑥4)∆𝑥𝑥 𝐴𝐴(𝑆𝑆₄) = [𝑓𝑓(𝑥𝑥1)+𝑓𝑓(𝑥𝑥2)+𝑓𝑓(𝑥𝑥3)+𝑓𝑓(𝑥𝑥4)]∆𝑥𝑥 𝐴𝐴(𝑆𝑆4) =�3

2 + 4 2+5

2+6 2�1

2=18 4 =9

2

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan TOOLS TUTOR cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums, Perhatikan gambar berikut:

Kemudian akan muncul kotak dialog selanjutnya ketik soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → right = Poligon luar (4) → Display (5), Perhatikan gambar berikut:

Atau Anda menuliskan syntax dari fungsi di atas, dapat dituliskan syntax sebagai berikut.

>

>

>

>

5 1

2 3 4

Tampilan Maple

Contoh 4.

Cari daerah di bawah kurva y = f(x) = x +2, sumbu x, pada selang [0, 1], kemudian dibagi menjadi n bagian selang yang sama. Hitung luas polygon luarnya.

Penyelesaian:

...

. 3 . 3

. 2 ..

2 . 1

3 1 2 1 1 1

1 0 1

n n n

n n na b

x x

x x

x x

x

=

∆

=

=

∆

=

=

∆

=

=

=

=

∆ ^{− −}

( )

2 . ..

).

1 ( ...

. ...

1 ) 1 1 (

1

=

=

∆

=

=

∆

−

=

=

∆

=

−

− n n

nn n

i n

n x n x

x n

x

i x i x

Karena f(x)= x+2, maka

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

( )

2 )

( ....

2 2

) ( ...

2 . 3 2 )

(

2 . 2 2 )

(

2 2

) (

1 3 1

3 2 1 2

1 1 1

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

n n n

ni i

i

n n n

n x

x f

x x f

x x f

x x f

x x f

Kemudian pandang segi empat khas dengan alas

[ x

_i−₁

, x

_i

]

dan tinggi

f ( x

₁

) = ( ) x

_i

+ 2 = ( )

_nⁱ

+ 2

maka luasnya adalah

f ( x

_i

) ∆ x

. Sehingga Luas Poligon luar atau A(Sn) dapat dihitung,

x x f x x f x x f x x f S

A( _n)= ( ₁)∆ + ( ₂)∆ + ( ₃)∆ +...+ ( _n)∆

( )

_{n n}

( )

_{n n}

( )

_{n n}

n n

S

A( )=[ ¹ +2]¹ +[ 2¹ +2]¹ +...+[ ¹ +2]¹

( ) ( ) ( )

(

_nⁿ _nⁿ _nⁿ

)

_n

n n

S

A( )= [1¹⁺² ]+[ 2¹⁺² ]+...+[ ¹⁺² ] ¹

( ) ( ) ( ) ( )

[

1 2 3 ... 1

]

[ ]

)

( 1 22

n n

n n n

S

A = + + + + − + ⁺

( )

[

1 2 3 ... 1

] ( )

1 22

)

(S_n n n _n ⁿ

A = + + + + − + ⁺

( )



 +



 



 +

=

 

 +

 

 +

= ₂ ² 1 ₂2

2 2

1 2 1 )

( n

n n

n n

n n

S n A _n



 



 +

 =



 



 + +

= ² ₂ ^{2 2} ₂

2 5 2

) 4

( n

n n n

n n S n

A _n

n 2

1 2 5+

=

Kita simpulkan bahwa:

2 0 5 2 5 2

1 2 lim 5 ) ( lim )

( = + =



 

 +

=

= →∞A S →∞ n S

A n n n

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function

(1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → right = Poligon luar (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

>

Tampilan Maple

Contoh 5.

Cari daerah di bawah kurva y = f(x) f(x)=x+2 sumbu x, pada selang [0, 1], kemudian dibagi menjadi n bagian selang yang sama. Hitung luas polygon dalamnya.

Penyelesaian:

nn n

i n

n n n

n n na b

x n

x

i x i x

x x

x x

x x

x x

) 1 1 (

1 3 1

2 1 1 1 0

1 0 1

).

1 ( ...

. ...

. 3 . 3

. 2 ..

2 . 1

0

−

−

−

−

=

∆

−

=

=

∆

=

=

∆

=

=

∆

=

=

∆

=

=

=

=

=

∆

Karena f(x)=x+2, maka

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

(

[ 1]

)

2 )

( ....

2 2

) ( ...

2 . 3 2 )

(

2 . 2 2 )

(

2 2

) (

2 0 2 )

(

1 1 1

3 1 3

2 1 2

1 1 1

1 0

+

−

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

−

− n n

n

ni i

i

n n n

n x

x f

x x f

x x f

x x f

x x f

x x f

Kemudian pandang segi empat khas dengan alas

[ x

_i−₁

, x

_i

]

dan tinggi

f ( x

1

) = ( ) x

_i

+ 2 = ( )

_nⁱ

+ 2

maka luasnya adalah

f ( x

_i

) ∆ x

. Sehingga Luas Poligon dalam atau A(Rn) dapat dihitung,

x x f x

x f x x f x x f x x f R

A( n)= ( ₀)∆ + ( ₁)∆ + ( ₂)∆ + ( ₃)∆ +...+ ( n₋₁)∆

(

_n

)

_n

( )

_{n n}

(

_n

)

_n

n n

R

A( )=[ 0⋅¹ +2]¹ +[1⋅¹ +2]¹ +...+[[ −1]¹ +2]¹



 +

= ₂

2 2 ) 5

( n

R n A _n

Kita simpulkan bahwa:

2 5 2

2 lim 5 ) ( lim )

( = =  + ₂ ≈

n R n

A R

A _n

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → left = Poligon dalam (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

>

Tampilan Maple

8 1 17 ) ( ) (

1 ) 1 ( ) (

8 1 9 ) ( ) (

1 1 ) 0 ( ) (

2 2 2 3 3 1

23 2 2

2 1

2 21 12 1

2 2 0 1

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

x f

x f

x f

x f

Contoh 6. Tentukan luas poligon dalam dari gambar berikut:

Penyelesaian:

2 2 . 1 4 0 . 4

2 3 2 . 1 3 0 . 3

2 1 . 1 2 0 . 2

2 1 2 . 1 1 0 . 1 0

1 )

( 2

1 4

0 2 4

0 4

0 3

0 2

0 1 0

2 2 1

0 4

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

= +

=

− =

− =

=

∆

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x f x x f x x f x x f R

A (

₄

) = (

₀

) ∆ + (

₁

) ∆ + (

₂

) ∆ + (

₃

) ∆ x x f x f x f x f R

A (

4

) = [ (

0

) + (

1

) + (

2

) + (

3

)] ∆

238 21 178 128 89 88

4

) [ ]

( R = + + + =

A

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → left = Poligon dalam (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

> ApproximateInt(1/2*x^2+1, 0..2, 'partition' = 4, 'method' = left, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'plot');

> ApproximateInt(1/2*x^2+1, 0..2, 'partition' = 4, 'method' = left, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'value');

Tampilan Maple

3 1 ) 2 ( ) (

8 1 17 ) ( ) (

2 1 3 ) 1 ( ) (

8 1 9 ) ( ) (

2 2 4 1

2 2 2 3 3 1

2 2 2 1

2 2 2 1 1 1

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

x f

x f

x f

x f Contoh 7

Tentukan luas poligon luar dari gambar berikut:

Penyelesaian:

2 2 . 1 4 0 . 4

2 3 2 . 1 3 0 . 3

2 1 . 1 2 0 . 2

2 1 2 . 1 1 0 . 1 0

1 )

( 2

1 4

0 2 4

0 4

0 3

0 2

0 1 0

2 21

0 4

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

= +

=

− =

− =

=

∆

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x f x x f x x f x x f S

A (

4

) = (

1

) ∆ + (

2

) ∆ + (

3

) ∆ + (

4

) ∆

318 21 248 178 128 89

4

) [ ]

( S = + + + =

A

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → right = Poligon luar (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

> ApproximateInt(1/2*x^2+1, 0..2, 'partition' = 4, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'plot');

> ApproximateInt(1/2*x^2+1, 0..2, 'partition' = 4, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'value');

Tampilan Maple

Contoh 8. Tentukan luas poligon luar dari gambar berikut:

3 1 2 )

( 4

1 11 4 ) 7 (

2 1 5 2 ) 6 (

4 1 9 4 ) 5 (

2 1 1 )

( 4

1 7 4 ) 3 (

4 1 6 4 ) 2 (

4 1 5 4 ) 1 (

7 7 6 5 4 3 2 1

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f Penyelesaian:

4 2 . 1 8 0 . 8

4 7 4 . 1 7 0 . 7

2 6 4 . 1 6 0 . 6

4 5 4 . 1 5 0 . 5

4 1 . 1 4 0 . 4

4 3 4 . 1 3 0 . 3

2 1 4 . 1 2 0 . 2

4 1 4 . 1 1 0 . 1 0

1 )

( 4

1 8

0 2 8

0 8

0 7

0 6

0 5

0 4

0 3

0 2

0 1 0

0 8

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

= +

=

− =

− =

=

∆

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

/

A ( S

8

) = f ( x

1

) ∆ x + f (

x

2

) ∆ x + f ( x

3

) ∆ x + ... + f ( x

8

) ∆ x

174 1668 41 124 114 104 49 48 74 64 45

8

) [ ]

( S = + + + + + + + = =

A

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → rigt = Poligon luar (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

> ApproximateInt(x+1, 0..2, 'partition' = 8, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'plot');

> RiemannSum(x+1, 0..2, 'partition' = 8, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'value');

Tampilan Maple

3 1 2 ) (

2 1 1 ) (

1 1 0 ) (

0 1 1 ) (

3 2 1 0

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

=

⇒

= +

−

=

⇒

x f

x f

x f

x f Contoh 9.

Grafik fungsi f(x)=x+1 yang diberikan pada selang [-1,2]

kemudian dibagi menjadi 3 bagian selang yang sama. Hitung luas polygon dalamnya.

Penyelesaian:

( ) ( ) ( )

1 2 .3 1 .3

1 1 .2 1 .2

0 1 .1 1 .1 1

1 ) (

3 1 )1 ( 2 3

0 3

0 2

0 1 0

0 3

= +

−

=

∆ +

=

= +

−

=

∆ +

=

= +

−

=

∆ +

=

−

= +

=

− =

= −

= −

∆

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x f x x f

x x f R

A (

₄

) = (

₀

) ∆ + (

₁

) ∆ + (

₂

) ∆ x x f x f x f R

A (

₄

) = [ (

₀

) + (

₁

) + (

₂

)] ∆

𝐴𝐴(𝑅𝑅4) = [0 + 1 + 2](1) = 3

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → left = Poligon dalam (4) → Display (5), Perhatikan ilustrasi gambar yang ada sebelumnya.

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

> ApproximateInt(x+1, -1..2, 'partition' = 3, 'method' = left, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'plot');

> RiemannSum(x+1, -1..2, 'partition' = 3, 'method' = left, 'partitiontype' = normal, 'output'= 'value');

Tampilan Maple

8 1 ) 3 ( 3 )

( 2

1 12 ) ( 3 ) (

5 1 ) 2 ( 3 )

( 2

1 7 ) ( 3 ) (

4 52 3 2

23 1

=

−

=

⇒

=

−

=

⇒

=

−

=

⇒

=

−

=

⇒

x f

x f

x f

x f

Contoh 10.

Grafik fungsi f(x)=3x−1 yang diberikan pada selang [1,3]

kemudian dibagi menjadi 4 bagian selang yang sama. Hitung luas polygon luarnya.

Penyelesaian:

2 3 . 1 4 1 . 4

2 5 2 . 1 3 1 . 3

2 2 . 1 2 1 . 2

2 3 2 . 1 1 1 . 1 1

1 3 )

( 21

40 2 4

0 4

0 3

0 2

0 1 0

0 4

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=



 

 + 

=

∆ +

=

=

−

=

− =

− =

=

∆

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x f

x x x

x x f x x f x x f x x f S

A (

₄

) = (

₁

) ∆ + (

₂

) ∆ + (

₃

) ∆ + (

₄

) ∆

𝐴𝐴(𝑆𝑆₄) = [⁷₂+¹⁰₂ +¹²₂ +¹⁶₂]¹₂ 𝐴𝐴(𝑆𝑆₄) = [⁴⁶₂]¹₂

𝐴𝐴(𝑆𝑆4) =46 4 𝐴𝐴(𝑆𝑆₄) =²³₂

 Penggunaan pada Maple untuk kunci jawaban dari soal yang diberikan dengan langkah-langkah berikut:

Soal tersebut dapat Anda selesaikan menggunakan Maple dengan memunculkan Tampilan Utama dari Maple selanjutnya pilih TOOLS TUTOR dengan cara klik Tools → Tutors → Single Variable → Riemann Sums; Kemudian pada kotak dialog input soal yang diberikan pada kolom Function (1) → a = Batas Bawah dan b= Batas Atas (2) → n = Banyak Poligon (3) → right = Poligon luar (4) → Display (5),

Atau Anda dapat menuliskan syntax sebagai berikut.

> ApproximateInt(3*x-1, 1..3, 'partition' = 4, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output' = 'plot');

> RiemannSum(3*x-1, 1..3, 'partition' = 4, 'method' = right, 'partitiontype' = normal, 'output'= 'value');

Tampilan Maple