7.7 Motion of a Body with Variable Mass: Rocket Motion 317
Menempatkan di itu angka, kami Dapatkan
(7.7.21) Jadi, hanya dibutuhkan sekitar 27 kg bahan bakar untuk memasukkan 1 kg barang ke orbit menggunakan dua tahap roket. Jelas, ada keuntungan besar untuk pementasan seperti yang ditunjukkan di Saturnus V
318 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
di mana m adalah itu massa dari sebuah Xe+ ion. Pemecahan untuk itu melarikan diri kecepatan, kami Dapatkan
(7.7.23)
Menempatkan di angka:' 0
m - 131 AMU = 131 x 1.66 X 10 °' 7 kg = 2.17 X 10*"
kg s = 1.6 X 10*" C V = 4.3 x 10 4 mls
Dengan demikian, itu maksimum mungkin spesifik impuls dari ion roket adalah
= 4.4 x10 3 s g 9.8 ml*
(7.7.24)
(7.7.25)
Faktanya, impuls spesifik Deep Space I berkisar antara 1900 s dan 3200 s tergantung- ing pada kekuatan throttle. Maksimum yang dihitung di sini mengasumsikan bahwa semua daya yang tersedia mempercepat ion dengan efisiensi 1009c dan mengeluarkannya tepat dalam arah mundur. keluarkan bagian belakang roket, yang hampir tidak mungkin dilakukan.
yang spesifik impuls dari Dalam Ruang angkasa Saya adalah tentang 10 waktu lebih besar dibandingkan itu dari Saturnus V
Kami sekarang menghitung daya dorong Deep Space I, sekali lagi dengan asumsi bahwa semua daya yang tersedia diubah menjadi berkas ion yang dikeluarkan dengan efisiensi 1009c. Maksimal daya yang tersedia pada Deep Space I adalah P = 2.5 kW Jadi, laju, , di mana ion Xe“ dikeluarkan dapat dihitung dari itu ekspresi
P —— E —— diarsipkan ( 7.7.26 ) Karena sk, adalah energi potensial yang hilang dalam mempercepat satu ion, daya yang dikonsumsi sama dengan energi potensial yang hilang per satuan waktu untuk semua ion yang dipercepat. Tarif di yang massa adalah dikeluarkan, m, adalah setara ke itu massa dari setiap ion waktu n/ . Dengan demikian,
MP (2,17 x 10 °“ kg)(2500 s)
s&, (1.6 X 10*" C)(1280 V) = 2.6 x 10" kg/s 7.7.27) di mana kami memiliki digunakan itu fakta itu 1 C X 1 V = 1 J. Itu maksimum dorongan dari itu ion roket adalah dengan demikian,
Dorongan = Vm = (4.3 x 10 4 m/s)(2.6 x 10" kg/s) = 0.114 N Bahkan, maksimal dorong tercapai oleh Deep Space I adalah 0,092 N. Kita bisa membandingkan ini dengan itu dorongan dikembangkan oleh Saturnus V Saturnus V dikeluarkan tentang 11.700 kg/s. Dengan demikian,
Dorong (Saturnus V) _ Vm (Saturnus V) _ (3000 m/s)(11, 700 kg/s)
= 3.8 x 10 Dorong (Dalam) Ruang angkasa I) Vm (Dalam ) Ruang angkasa saya) 0,092 N
'° Sebuah AMU adalah satuan massa atom. Ini sama dengan 1,66 x l0*' 7 kg. Satuan muatan listrik adalah Coulomb (C). Itu mengenakan biaya dari itu elektron adalah -1.6 x 10*" C; dengan demikian, mengenakan biaya dari sebuah sendiri bermuatan positif ion adalah +l.6 x 10*" C.
Masalah 319
Kami menyimpulkan bahwa roket ion tidak berguna untuk meluncurkan muatan dari Bumi tetapi cocok untuk misi luar angkasa yang dimulai dari orbit Bumi yang efisien namun lembut tenaga penggerak sistem bisa menjadi digunakan.
Masalah
7.1 SEBUAH sistem terdiri dari tiga partikel, setiap dari satuan massa, dengan posisi dan kecepatan sebagai berikut:
V3 _ *+ J+
Temukan posisi dan kecepatan pusat massa. Temukan juga momentum linier dari itu sistem.
Y.2 (sebuah) Menemukan itu kinetis energi dari itu sistem di Masalah 7.1.
(b) Menemukan itu nilai dari na /2.
(c) Menemukan itu bersudut momentum tentang itu asal.
Y.3 Peluru bermassa Sri ditembakkan dari meriam bermassa M. Jika senapan dapat mundur dengan bebas dan moncongnya kecepatan peluru (kecepatan relatif terhadap t}yaitu pistol saat meninggalkan laras) adalah v#, tunjukkan bahwa kecepatan sebenarnya peluru relatif ke tanah adalah vt/(1 + y) dan kecepatan mundur untuk itu senjata adalah —yvt/(1 + y) , di mana y= Sri/M.
74 Sebuah balok kayu terletak di atas meja horizontal yang licin. Sebuah pistol ditembakkan secara horizontal ke balok dan itu peluru melewati melalui itu memblokir, muncul dengan setengah -nya awal kecepatan hanya sebelum dia masuk itu memblokir.
Menunjukkan bahwa itu pecahan dari awal kinetis energi dari itu peluru itu adalah hilang sebagai gesekan
panas adalah dari itu memblokir (kamu < 1).
di mana kamu adalah rasio dari massa dari itu peluru ke itu massa
Y.5 Sebuah peluru artileri ditembakkan dengan sudut elevasi 60° dengan kecepatan awal vt. Di atas- sebagian besar lintasannya, cangkang meledak menjadi dua fragmen yang sama, salah satunya bergerak langsung ke atas, relatif ke itu tanah, dengan awal kecepatan vt/2. Apa adalah itu arah dan kecepatan dari itu lainnya pecahan langsung setelah itu meletus?
T.6 Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian h ke atas trotoar mendatar. Jika koefisien restitu- tion adalah e, tunjukkan bahwa total jarak vertikal yang ditempuh bola sebelum rebound berhenti adalah h(1 + e')/(1 — e'). Menemukan juga jumlah seluruhnya panjangnya dari waktu itu itu bola memantul.
SEBUAH kecil mobil dari sebuah massa atau dan awal kecepatan vt bertabrakan maju terus pada sebuah dingin jalan dengan sebuah truk dari
massa 4tn pergi ke arah itu mobil dengan awal kecepatan l Jika itu koefisien dari restitusi di itu tabrakan adalah aku Temukan itu kecepatan dan arah dari setiap kendaraan hanya setelah bertabrakan.
7.8 Tunjukkan bahwa energi kinetik sistem dua partikel adalah v adalah itu relatif kecepatan, dan p adalah itu dikurangi massa.
Y.9 Jika dua tubuh menjalani langsung tabrakan, menunjukkan itu itu kehilangan di kinetis energi sama ke
pv'(1— °')
di mana p adalah pengurangan massa, v adalah kecepatan relatif sebelum tumbukan, dan e adalah koefisien dari restitusi.
Y.10 Partikel bermassa bergerak bertabrakan secara elastis dengan partikel target massa duduk, yaitu mulanya pada istirahat. Jika itu tabrakan adalah maju terus, menunjukkan itu itu kejadian partikel kalah sebuah pecahan 4p/Sri dari -nya asli kinetis energi, di mana p adalah itu dikurangi massa dan atau = +
1 2 l
320 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
7.11 Menunjukkan itu itu bersudut momentum dari sebuah dua partikel sistem adalah
di mana In = Int + tn„ p adalah massa tereduksi, R adalah vektor posisi relatif, dan v adalah relasi kecepatan aktif dari keduanya partikel.
7.12 Periode yang diamati dari sistem biner Cygnus X-1, dianggap sebagai bintang terang dan a lubang hitam, adalah 5,6 hari. jika massa komponen yang terlihat adalah 20 Mp dan itu hitam lubang memiliki massa 16 My, tunjukkan bahwa sumbu semimayor orbit lubang hitam relatif terhadap terlihat bintang adalah dengan kasar satu per lima itu jarak dari Bumi ke itu Matahari.
7.13 (sebuah) Menggunakan konvensi koordinat yang diberikan adalah Bagian 7.4 untuk masalah tiga benda terbatas lem, Temukan itu koordinat (z', y') dari itu dua Lagrangian poin, +4 dan L .
(b) Menunjukkan bahwa gradien dari yang efektif potensi fungsi V(x', y') menghilang pada +4 7.14 Sebuah proton massa dengan kecepatan awal v e bertabrakan dengan atom helium, massa ,
yaitu ini- secara diam-diam. Jika proton meninggalkan titik tumbukan membentuk sudut 45°
dengan garis asalnya gerakan, Temukan itu kecepatan akhir dari setiap partikel. Menganggap itu itu tabrakan adalah sempurna elastis.
7.15 Kerja Masalah 7.14 untuk kasus tumbukan tidak lenting dan bahwa Q sama dengan seperempat dari itu awal energi dari itu proton.
7.16 Mengacu pada Soal 7.14, cari sudut hamburan proton di pusat massa sistem.
7.17 Menemukan itu penyebaran sudut dari itu proton di itu Pusat massa sistem untuk Masalah 7.15.
7.18 Sebuah partikel bermassa In dengan momentum awal pt bertabrakan dengan partikel bermassa sama yang diam. Jika besar momen akhir kedua partikel berturut-turut adalah p\
dan pt, tunjukkan itu itu energi hilangnya itu tabrakan adalah diberikan oleh
= ' COS i}Jika
di mana adalah itu sudut di antara itu jalan dari itu dua partikel setelah bertabrakan.
7.19 Partikel bermassa Int dengan energi kinetik awal T melakukan tumbukan lenting dengan sebuah par- titel massa awalnya dalam keadaan istirahat. Int dibelokkan dari arah aslinya dengan energi kinetik T' melalui sudut Qt seperti pada Gambar 7.6.1. Misalkan tf= Int/Int dan y= cos Qt, tunjukkan bahwa pecahan kinetis energi hilang oleh Int, DIA /T —— (T — T')/T , adalah diberikan oleh
7 + 7.20 Memperoleh Persamaan 7.6.18
7.21 Partikel bermassa Int terhambur secara elastis dari partikel bermassa Int yang mula- mula diam sebagai dijelaskan di Masalah 7.19. Menemukan itu melengkung r( Qt) seperti itu itu waktu dia mengambil itu berserakan partikel ke perjalanan dari itu tabrakan titik ke titik apapun bersama itu melengkung adalah sebuah konstan.
7.22 Sebuah rantai seragam terletak di tumpukan di atas meja. Jika salah satu ujung diangkat secara vertikal dengan kecepatan seragam ity v, tunjukkan bahwa kekuatan ke atas itu harus menjadi eEerted di ujung rantai adalah sama dengan itu bobot dari sebuah panjangnya z + (v'/g) dari itu rantai, di mana z adalah itu panjangnya itu memiliki pernah tidak digulung pada setiap instan.
7.23 Temukan persamaan diferensial gerak tetesan hujan yang jatuh melalui kabut yang mengumpulkan massa seperti jatuh. Asumsikan bahwa penurunan tetap bulat dan laju pertambahan proporsional dengan luas penampang jatuh dikalikan dengan kecepatan jatuh.
Tunjukkan bahwa jika jatuh dimulai dari istirahat Kapan dia adalah tak terhingga kecil, kemudian itu percepatan adalah konstan dan setara ke g/7.
Komputer Masalah 321
7.54 SEBUAH seragam berat rantai dari panjangnya dan hang mulanya dengan bagian dari panjangnya 6 gantung lebih itu tepi sebuah meja. Bagian yang tersisa, dengan panjang e — 6, digulung di tepi meja. Jika rantai dilepaskan, tunjukkan bahwa kecepatan rantai saat mata rantai terakhir meninggalkan ujung meja adalah [2g(e 3 — 6 3 )/3e']"'.
7.25 Balon bermassa M berisi sekantong pasir bermassa diisi dengan udara panas sampai menjadi ringan cukup ke bangkit pernah jadi sedikit di atas tanah, di mana dia kemudian melayang- layang di keseimbangan. Pasir adalah kemudian dilepaskan pada sebuah konstan kecepatan seperti itu semua dari dia adalah dibuang keluar di sebuah waktu Menemukan
(a) tinggi balon dan (b) kecepatannya ketika semua pasir telah dilepaskan. Asumsikan bahwa gaya apung ke atas tetap konstan dan mengabaikan hambatan udara. (c) Asumsikan bahwa e = ' M sangat kecil, dan temukan perluasan deret daya dari solusi Anda untuk bagian (a) dan (b) dalam hal rasio ini. (d) Misalkan M = 500 kg, fftp - )g, dRd *o' 100 detik, dan penyimpanan hanya itu pesanan pertama ketentuan di itu ekspansi diperoleh di bagian (c), Temukan sebuah angka-
ikal nilai untuk itu tinggi dan kecepatan tercapai Kapan semua itu pasir memiliki pernah dilepaskan.
7.26 Sebuah roket, yang massa totalnya adalah , mengandung sejumlah bahan bakar, yang massanya misalnya (0 < e < 1). Misalkan, pada penyalaan, bahan bakar dibakar pada laju massa konstan I, mengeluarkan gas dengan a konstan kecepatan V relatif ke roket.
Menganggap itu itu roket adalah di sebuah bebas paksa lingkungan.
(a) Menemukan itu jarak itu itu roket memiliki bepergian pada itu momen dia memiliki dibakar semua itu bahan bakar.
(b) Apa adalah itu maksimum mungkin jarak itu itu roket bisa bepergian selama itu pembakaran fase? Menganggap itu dia dimulai dari istirahat.
7.27 Sebuah roket yang bergerak melalui atmosfer mengalami hambatan udara linier lv.
Temukan persamaan diferensial gerak ketika semua gaya eksternal lainnya diabaikan.
Integrasikan persamaan dan menunjukkan itu jika itu roket mulai dari istirahat, itu terakhir kecepatan adalah diberikan oleh
Hai = Va[aku — (Di/ )"']
di mana V adalah kecepatan relatif bahan bakar buang, ct = I Saya = konstan, adalah massa awal dari itu roket plus bahan bakar, dan Di adalah itu terakhir massa dari itu roket.
7.28 Menemukan itu persamaan dari gerakan untuk sebuah roket dipecat vertikal ke atas, asumsi g adalah konstan. Menemukan itu perbandingan dari bahan bakar ke muatan untuk mencapai sebuah terakhir kecepatan setara ke melarikan diri kecepatan Hai, dari
itu Bumi jika itu kecepatan dari itu knalpot gas adalah aku di mana Saya adalah sebuah
diberikan konstan, dan bahan
bakar
pembakaran kecepatan adalah Saya | . Menghitung itu numerik nilai dari itu bahan bakar—muatan perbandingan untuk A = 4• dan
Saya setara ke Indo> dari itu massa dari itu bahan bakar per kedua.
7.29 Alpha Centauri adalah yang terdekat sistem bintang , sekitar 4 tahun cahaya dari Bumi.
Menganggap itu dan roket ion telah dibangun untuk melakukan perjalanan ke Alpha Centauri. Misalkan kecepatan buang dari ion adalah sepersepuluh kecepatan cahaya.
Biarkan massa awal bahan bakar menjadi dua kali lipat dari pembayaran memuat (abaikan massa dari itu roket, diri). Juga, menganggap itu dia mengambil tentang 100 jam ke menghabiskan semua bahan bakar roket. Berapa lama waktu yang dibutuhkan roket untuk mencapai Alpha Centauri? (Itu kecepatan adalah kecil cukup itu Anda bisa menelantarkan itu efek dari spesial relativitas.)
7.30 Pertimbangkan roket ion yang dijelaskan dalam Soal 7.29. Mari kita bandingkan dengan roket kimia yang kecepatan gas buang adalah 3 km/s. Dalam kasus roket ion, 1 kg bahan bakar mempercepat 1 kg beban ke kecepatan akhir o/ Berapa massa bahan bakar yang diperlukan untuk mempercepat muatan yang sama ke sama terakhir kecepatan dengan itu bahan kimia roket? (Di setiap kasus, mengabaikan itu massa dari itu roket.)
322 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
Komputer Masalah
C 7.1 Membiarkan dua partikel (Int = Int = 1kg) mengusir setiap lainnya dengan setara dan di depan kekuatan diberikan oleh