Dynamics of Systems of Particles pdf

(1)

“Dua benda yang sama yang memiliki dampak langsung satu sama lain dan memiliki kedudukan yang sama dan kecepatan yang berlawanan sebelum tumbukan, memantul dengan kecepatan yaitu, terpisah dari tandanya, sama saja.” "Jumlah produk dari besaran masing-masing" keras tubuh, dikalikan oleh itu kotak dari itu kecepatan, adalah selalu itu sama, sebelum dan setelah itu tabrakan."

— kristen Huygens, memoar, Oe Motu Korporum mantan bersama impuls Hipotesa, tersusun di Paris, 5-Jan-1669, ke Oldenburg, Sekretaris dari kerajaan Masyarakat

/¿}j Pendahuluan: Tengah dari Massa dan Linier momentum dari sebuah Sistem

Kami sekarang memperluas studi kami tentang mekanika sistem banyak partikel (dua atau lebih). Ini partikel mungkin atau mungkin tidak bergerak secara independen satu sama lain.

Sistem khusus, yang disebut kaku benda, di mana posisi relatif dari semua partikel tetap diambil di berikutnya dua bab. Untuk saat ini, kami mengembangkan beberapa teorema umum yang berlaku untuk semua sistem tem. Kemudian kami berlaku mereka untuk beberapa sederhana sistem dari Gratis partikel.

Sistem umum kami terdiri dari n partikel massa Sri , writ, ... , Sri posisi siapa vektor berturut-turut adalah • . • , r . Kami mendefinisikan pusat rnass sistem sebagai titik yang posisi vektor r (Angka 7.1.1) adalah diberikan oleh

dimana Sri = Z Sri; adalah massa total sistem. Definisi dalam Persamaan 7.1.1 adalah ekivalen cocok untuk itu tiga persamaan

275

(2)

276 BAB 7 Dinamika dari Sistem dari Partikel

Angka 7.1.1 Tengah dari massa dari sebuah sistem dari partikel.

Kami mendefinisikan itu linier momentum p dari sistem sebagai vektor jumlah dari garis lurus momen dari individu partikel, yaitu,

(7.1.3) Pada menghitung r = v dari Persamaan 7.1.1 dan membandingkan dengan Persamaan 7.1.3, dia mengikuti itu

p = n* (7.1.4)

yaitu, momentum linier sistem partikel sama dengan kecepatan pusat ofriuiss dikalikan oleh jumlah seluruhnya riuiss dari itu sistem.

Misalkan sekarang ada gaya luar Ft, Ft, ... , Fi, ... , F bertindak atas partikel masing-masing. Selain itu, mungkin ada kekuatan internal interaksi antara dua partikel sistem. Kami menyatakan gaya internal ini dengan Fq, yang berarti gaya diberikan pada partikel i oleh partikel j, dengan pengertian bahwa F, = 0. Persamaan gerakan dari partikel saya adalah kemudian

,

F+ 2 Fy= m,r=p,

»

(7.1.5) dimana F; berarti gaya luar total yang bekerja pada partikel i. Suku kedua dalam Persamaan 7.1.5 mewakili itu vektor jumlah dari semua itu intern kekuatan dikerahkan pada partikel saya oleh semua lainnya partikel dari sistem. Menambahkan Persamaan 7.1.5 untuk itu n partikel, kami memiliki

(7.1.6) Di itu dobel penjumlahan di Persamaan 7.1.6, untuk setiap memaksa Ft di sana adalah juga sebuah memaksa Fy;, dan ini dua kekuatan adalah setara dan di depan

Fy=-Fy (TL/

dari hukum aksi dan reaksi, hukum ketiga Newton. Akibatnya, kekuatan internal membatalkan berpasangan, dan jumlah ganda menghilang. Oleh karena itu, kita dapat menulis Persamaan 7.1.7 di pengikut cara:

2 F, =p=ma

kan

^(7.1.8)

(3)

7.1 Pengantar: Tengah dari Massa dan Linier momentum dari sebuah Sistem 277

Dengan kata-kata: Percepatan dari pusat massa dari sistem partikel adalah sama seperti itu partikel tunggal yang mengikat massa yang sama dengan massa total sistem dan bertindak pada oleh itu jumlah dari itu luar pasukan.

Mempertimbangkan, untuk contoh, sebuah kawanan dari partikel bergerak di sebuah seragam gravitasi bidang.

Kemudian, karena F; = rn;g untuk setiap partikel,

2F-2^ - g (TL9) ,

Itu terakhir melangkah mengikuti dari itu fakta itu g adalah konstan. Karenanya,

(7.1.10) Ini sama dengan persamaan untuk satu partikel atau proyektil. Dengan demikian, pusat massa pecahan peluru dari peluru artileri yang meledak di udara mengikuti par- jalur abolik yang akan diambil cangkang jika tidak meledak (sampai salah satu bagiannya pemogokan sesuatu).

Dalam kasus khusus di mana tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem (atau jika ZF; = 0), kemudian = 0 dan v = konstan; dengan demikian, itu linier momentum dari itu sistem tetap konstan:

p, = p = tnv, p = konstan (7.1.11)

Ini adalah prinsip kekekalan momentum linier. Dalam mekanika Newton, keteguhan momentum linier dari sistem yang terisolasi secara langsung berhubungan dengan, dan dalam fakta konsekuensi dari, hukum ketiga. Tetapi bahkan dalam kasus di mana kekuatan antara partikel tidak secara langsung mematuhi hukum aksi dan reaksi, seperti gaya magnet antara muatan yang bergerak, prinsip kekekalan momentum linier masih berlaku ketika memperhitungkan momentum linier totd dari partikel dan elektromagnetik bidang.'

Pada titik tertentu dalam lintasannya, sebuah rudal balistik bermassa In pecah menjadi tiga bagian massa masing-masing rn/3. Salah satu fragmen melanjutkan dengan kecepatan awal setengah kecepatan • f rudal sebelum putus. Dua potong lainnya meledak di kanan sudut ke setiap lainnya dengan persamaan kecepatan. Menemukan itu initid kecepatan dari itu yang terakhir dua pecahan

di ketentuan dari untuk 0 . Larutan:

Pada itu titik dari putus, konservasi dari linier momentum adalah menyatakan sebagai

'Melihat, untuk contoh, P. M. Fishbane, S. Gasiorowicz, S. T. Thornton, Fisika /atau Ilmuwan dan Insinyur.

Prentice-H *!. Englewood Tebing, NJ, 1993.

(4)

278 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles

Itu diberikan kondisi adalah: • - •›' • 3' 0, dan • - •3 Dari itu pertama kami Dapatkan, pada pembatalan dari itu rn, 3vQ = (vt/ *) + • + •3. atau

Memukau itu dot produk dari setiap samping dengan diri, kami memiliki

Karena itu,

t 0 ' ( 2 + 3 ) ' ( 2 + 3 ) ' 2 + ' 2 ' 3 + 3 ' ' 2

5

2 ' 3 ' 0

sudut momentum dan Kinetis Energi dari sebuah Sistem

Kita sebelumnya menyatakan itu itu bersudut momentum dari sebuah lajang partikel adalah ditentukan sebagai itu menyeberang produk r X ku. sudut momentum L dari sebuah sistem partikel didefinisikan sesuai, sebagai itu vektor jumlah dari itu individu bersudut momen, yaitu,

sebuah

L = Z (r, rri,v,)

saya=l

()

Mari kita hitung turunan waktu dari sudut momentum. Menggunakan aturan untuk perbedaan- menarik itu menyeberang produk, kami Temukan

dL.

dt

Sekarang itu pertama ketentuan pada itu Baik menghilang, karena, v; X v; = 0 dan, karena rn; y adalah setara ke itu total memaksa akting pada partikel SAYA, kami bisa menulis

dL.

dt _i=l _j=l

(7.2.3)

dimana, seperti dalam Bagian 7.1, F; menunjukkan gaya eksternal total pada partikel i, dan F;j menunjukkan itu (internal) kekuatan dikerahkan pada partikel saya oleh setiap lainnya partikelj. Sekarang itu dobel penjumlahan pada itu Baik terdiri dari berpasangan dari ketentuan dari itu membentuk

(r,xF)+(r,xF,) (T24)

Menunjukkan perpindahan vektor partikelj relatif terhadap partikel i dengan r;j, kita lihat dari segi tiga ditampilkan di Angka 7.2.1 itu

(7.2.5)

(5)

7.2 Angular Momentum and Kinetic Energy of a System 279

Angka 7.2.1 Definisi dari itu vektor rg.

Karena itu, karena F ,= —Fy, ekspresi 7.2.4 mengurangi ke

yang jelas hilang jika kekuatan internal adalah pusat, yaitu, jika mereka bertindak sepanjang garis menghubungkan pasangan partikel. Oleh karena itu, jumlah ganda dalam Persamaan 7.2.3 menghilang. Sekarang produk silang r; XF, adalah momen gaya luar F,.

Jumlah Z ri XF; disana- kedepan, momen total dari semua gaya luar yang bekerja pada sistem. Jika kita menyatakan total luar torsi, atau momen dari memaksa, oleh N, Persamaan 7.2.3 mengambil itu membentuk

= T (7.2.7)

Itu adalah, itu waktu Peringkat dari mengubah dari itu bersudut momentum dari sistem adalah setara ke totalnya _

momen dari semua itu luar kekuatan akting pada itu sistem.

Jika sebuah sistem adalah terpencil, kemudian N = 0, dan itu bersudut momentum tetap konstan di keduanya besarnya dan arah:

L = r, X m,v, = konstan vektor (7.2.8) Ini adalah pernyataan dari prinsip kekekalan itiomentum sudut . Ini adalah generasi- alisasi untuk partikel slngle di bidang pusat. Seperti keteguhan momentum linier dibahas di itu mendahului bagian, itu bersudut momentum dari sebuah terpencil sistem adalah juga konstan di itu kasus dari sebuah sistem dari bergerak biaya Kapan itu bersudut momentum dari itu elektromagnetik bidang adalah dipertimbangkan.'

Terkadang lebih mudah untuk menyatakan momentum sudut dalam bentuk gerakan dari pusat massa. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.2.2, kita dapat mengekspresikan setiap vektor posisi r, dalam itu membentuk

*aku' + saya (7.2.9)

di mana F, adalah itu posisi dari partikel saya relatif ke itu tengah dari massa. Memukau itu turunan dengan menghormati ke t, kami memiliki

(7.2.10)

Melihat catatan kaki 1.

(6)

Angka 7.2.2 Definisi dari vektor _ F,.

Di Sini v adalah itu kecepatan dari itu tengah dari massa dan n, adalah itu kecepatan dari partikel saya relatif ke itu tengah dari massa. Ekspresi untuk L bisa, karena itu, menjadi tertulis

(7.2.11)

Sekarang, dari Persamaan 7.2.9, kami memiliki

Demikian pula, kami memperoleh

(7.2.12)

(7.2.13) dengan diferensiasi terhadap t. (Kedua persamaan ini hanya menyatakan bahwa posisi dan kecepatan pusat massa, relatif terhadap pusat massa, keduanya nol.) Akibatnya, penjumlahan kedua dan ketiga dalam perluasan L menghilang, dan kita bisa menulis

(7.2.14) menyatakan momentum sudut suatu sistem dalam istilah bagian "orbital" (gerakan pusat massa) dan sebuah "putaran" bagian (gerakan tentang itu tengah dari massa).

IIII

(7)

7.2 Angular Momentum and Kinetic Energy of a System 281

SEBUAH panjang, tipis tongkat dari panjangnya Saya dan massa rn hang dari sebuah poros titik tentang yang dia adalah Gratis berayun dalam bidang vertikal seperti bandul sederhana. Hitung momen sudut total- tum batang sebagai fungsi dari kecepatan sudut sesaatnya. Tunjukkan bahwa teorema yang diwakili oleh Persamaan 7.2.14 benar dengan membandingkan momentum sudut diperoleh menggunakan itu dalil ke itu diperoleh oleh langsung perhitungan.

Larutan:

Batang ditunjukkan pada Gambar 7.2.3a. Pertama kita hitung momentum sudut L dari pusat massa batang terhadap titik pivot. Karena kecepatan v dari pusat massa selalu tegak lurus terhadap vektor radius r menunjukkan lokasinya tergantung pada titik pivot, sinus sudut antara kedua vektor adalah satu. Dengan demikian, ma- nitude dari L adalah diberikan oleh

Gambar 7.2.3b menggambarkan gerakan batang dilihat dari sudut pandang pusatnya massa. Momentum sudut dLq dari dua elemen bermassa kecil, masing-masing berukuran dm secara simetris cenderung tentang itu tengah massa dari itu tongkat, adalah diberikan oleh

di mana 2 adalah itu massa per satuan panjangnya dari batang. Itu total relatif bersudut momentum adalah diperoleh oleh mengintegrasikan ini ekspresi dari r = 0 ke r = 1/2.

0 r'd r — - ₁— ₂'

Kita bisa melihat di itu mendahului persamaan bahwa bersudut momentum dari tongkat tentang -nya pusat massa berbanding lurus dengan kecepatan sudut batang.

Konstan proporsionalitas ml'/12 disebut rrioment oJinertia Aku p dari tongkat tentang pusatnya massa. Momen inersia memainkan peran dalam gerak rotasi mirip dengan massa inersia dalam terjemahan gerakan sebagai kami sebaiknya melihat di bab berikutnya.

r

r saya

dm

Angka 7.2.3 tongkat dari massa m dan panjangnya Saya bebas berayun secara vertikal pesawat terbang tentang sebuah tetap poros.

(a) (b) (•)

(8)

Akhirnya, itu total bersudut momentum dari itu tongkat adalah 3

Sekali lagi, momentum sudut total batang berbanding lurus dengan sudut kecepatan batang. Di sini, meskipun, konstanta proporsionalitas adalah momen inersia batang terhadap titik pivot di ujung batang. Momen inersia ini adalah lebih besar dari pada pusat massa. Itu alasannya adalah bahwa lebih banyak massa tongkat didistribusikan lebih jauh jauh dari akhir dari dari pusatnya, dengan demikian, membuatnya lebih ber- sulit untuk memutar sebuah tongkat tentang sebuah akhir.

Momentum sudut total juga dapat diperoleh dengan mengintegrasikan batang, start- ing dari titik pivot, untuk mendapatkan kontribusi dari setiap elemen massa dm, os ditampilkan di Angka 7.2.3c

dL p —— r dp —- r(o dm) —— r(rm)7 dr L, -- 7‹n r'dr —— ml'in

Dan, memang, itu dua metode menghasilkan itu sama hasil.

Kinetis Energi dari sebuah Sistem

Itu total kinetis energi T dari sebuah sistem dari partikel adalah diberikan oleh itu jumlah dari itu individu energi, yaitu,

Sebagai sebelum, kami bisa cepat itu kecepatan relatif ke itu massa tengah memberi

(7.2.15)

(7.2.16)

Karena itu kedua penjumlahan Zen, fi menghilang, kami bisa cepat itu kinetis energi sebagai berikut:

(7.2.17) Suku pertama adalah energi kinetik translasi seluruh sistem, dan suku kedua adalah itu kinetis energi dari gerakan relatif ke massa tengah.

Pemisahan momentum sudut dan energi kinetik menjadi bagian pusat massa dan bagian relatif-ke-pusat-massa menemukan aplikasi penting dalam atom dan molekul- fisika ular dan dalam astrofisika. Kami menemukan dua teorema sebelumnya berguna dalam penelitian ini dari kaku tubuh di pengikut bab.

IIII

(9)

7.3 Motion of Two Interacting Bodies: The Reduced Mass 283

Hitung energi kinetik total batang pada Contoh 7.2.1. Gunakan teorema yang mewakili dikirim oleh Persamaan 7.2.17. Seperti pada Contoh 7.2.1, tunjukkan bahwa energi total yang diperoleh untuk itu tongkat menurut ke ini dalil adalah setara ke itu diperoleh oleh langsung perhitungan.

Larutan:

Itu terjemahan kinetis energi dari itu tengah dari massa dari itu tongkat adalah

Energi kinetik dua elemen bermassa sama dm yang ditempatkan secara simetris di sekitar tengah dari massa adalah

dqT _aku——

(2dm)-v

v —— L dr(rm)' —— Lm'r'dr

di mana lagi, adalah itu massa per satuan panjangnya dari itu tongkat. Itu total energi relatif ke itu tengah dari massa bisa menjadi diperoleh oleh mengintegrasikan itu mendahului ekspresi dari r = 0 ke r = 1/2.

,u',3=,( w/')u'='z_u'

(Catatan: Seperti pada Contoh 7.2.1, momen inersia suku f muncul sebagai kon- konstanta proporsionalitas dengan m' dalam ekspresi sebelumnya untuk kinetika rotasi energi batang terhadap pusat massanya. Sekali lagi, momen istilah inersia yang terjadi dalam ekspresi untuk energi kinetik rotasi dapat dilihat sebagai com- sepenuhnya analog dengan istilah massa inersia dalam ekspresi untuk translasi kinetis energi dari sebuah partikel.)

Itu total kinetis energi dari itu tongkat adalah kemudian

di mana kami memiliki menyatakan itu terakhir hasil di ketentuan dari itu total momen dari kelembaman dari itu tongkat tentang -nya titik akhir, tepat sebagai di Contoh 7.2.1.

Kami meninggalkannya sebagai latihan bagi pembaca untuk menghitung energi kinetik secara langsung dan menunjukkan bahwa itu sama dengan nilai yang diperoleh sebelumnya. Perhitungan berlangsung secara bertahap- ion benar-benar analog ke itu di Contoh 7.2.1.

/gj Gerakan dari Dua Berinteraksi Tubuh:

Itu dikurangi Massa

Mari kita perhatikan gerakan sistem yang terdiri dari dua benda, diperlakukan di sini sebagai partikel, yang berinteraksi satu sama lain oleh kekuatan pusat. Kami menganggap sistem terisolasi, dan, karenanya, pusat massa bergerak dengan kecepatan konstan. Untuk kesederhanaan, kami mengambil pusat dari massa sebagai itu asal. Kita memiliki kemudian

(7.3.1)

(10)

284 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles

Angka 7.3.1 Itu relatif posisi vektor R untuk itu dua tubuh masalah.

dimana, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.3.1, vektor é _ldan é mewakili posisi partikel a nd rnt, masing-masing, relatif terhadap pusat massa. Sekarang, jika adalah vektor posisi dari partikel 1 relatif terhadap partikel 2, maka

n = é — é = é 1+ (7.3.2) Itu terakhir melangkah mengikuti dari Persamaan 7.3.1.

Diferensial persamaan dari gerakan dari partikel 1 relatif ke itu tengah dari massa adalah (7.3.3)

di mana I/(•)l adalah besarnya gaya timbal balik antara dua partikel. Dengan menggunakan Persamaan 7.3.2, kami bisa menulis

d'e

t' (7.3.4)

di mana

(7.3.5) Besaran y disebut massa tereduksi. Persamaan gerak baru (Persamaan 7.3.4) memberikan gerakan partikel 1 relatif terhadap partikel 2, dan persamaan yang persis sama memberikan gerakan partikel 2 relatif terhadap partikel 1. Persamaan ini persis sama dengan biasa persamaan dari gerakan dari sebuah lajang partikel dari massa kamu bergerak di sebuah pusat bidang dari memaksa diberikan selamat tinggal. Jadi, fakta bahwa keduanya partikel bergerak relatif terhadap pusat massa adalah secara otomatis diperhitungkan untuk oleh menggantikan oleh itu dikurangi massa y. Jika itu tubuh adalah

CM

d' =i

dt'

(11)

dari setara massa di, maka y= ke/2. Pada itu lainnya tangan, jika tt adalah sangat banyak lebih besar dibandingkan t _l, S o itu untuk adalah sangat kecil, kemudian kamu adalah hampir setara Saya

Untuk dua tubuh menarik setiap lainnya oleh gravitasi

(7.3.6)

Di ini kasus itu persamaan dari gerakan adalah

R=- (7.3.7)

atau, setara,

mR=— e (7.3.8)

di mana e = R/6 adalah sebuah satuan vektor di itu arah dari R.

Di Bagian 6.6 kami berasal dari sebuah persamaan memberi itu berkala waktu dari orbit gerakan dari sebuah planet dari massa pada bergerak di itu matahari gravitasi bidang, yaitu, t= 2x (WAKTU GREENWICH)*"' di mana M2 adalah massa Matahari dan a adalah sumbu semi-mayor dari orbit elips planet tentang Matahari. Dalam derivasi itu kita asumsikan bahwa Matahari tidak bergerak, dengan asalnya dari kita koordinat sistem pada itu tengah dari itu Matahari. Ke Akun untuk itu matahari gerakan tentang pusat massa bersama, persamaan yang benar adalah Persamaan 7.3.8 di mana di - sebuah nd M2 = tt. Konstanta I, yang diambil sebagai GMT t pada perlakuan sebelumnya, seharusnya menjadi diganti oleh G(M2 + t)m jadi itu itu benar persamaan untuk itu Titik adalah

1 = 2x [G(M + t)]' ^1/2 ^3/2 (7.3.9a) atau, untuk setiap dua tubuh sistem dipegang bersama oleh gravitasi, itu orbit Titik adalah

kan = 2s[c(pi + ,)]'"a"

(7.3.9b)

Jika sebuah nd dinyatakan dalam satuan massa Matahari dan a dalam satuan astronomi ( berarti jarak dari Bumi ke itu Matahari), kemudian itu orbit Titik di bertahun-tahun adalah diberikan oleh

t =('ni + t )'"'a" (7.3.9c) Untuk paling planet di kita tenaga surya sistem, itu ditambahkan massa ketentuan dalam mendahului ekspresi untuk periode tersebut membuat perbedaan yang sangat kecil—massa Bumi hanya 1/330.000 massa Matahari massa. Planet yang paling masif, Jupiter, memiliki massa sekitar 1/1000 massa Matahari, jadi itu memengaruhi dari itu massa tereduksi rumus adalah ke mengubah itu lebih awal perhitungan di itu perbandingan

(1.00l )' ^l= 0,9995 untuk itu Titik dari Yupiter revolusi tentang itu Matahari.

Biner Bintang: Putih kurcaci dan Hitam lubang

Tentang setengah dari semua itu bintang di itu galaksi di itu sekitarnya dari itu Matahari adalah biner, atau dobel; yaitu, mereka terjadi berpasangan yang disatukan oleh tarikan gravitasi timbal balik mereka, dengan masing-masing anggota dari itu pasangan berputar tentang milik mereka umum tengah dari massa. Dari itu mendahului

(12)

analisis kita bisa menyimpulkan itu juga anggota biner sistem berputar tentang yang lain di sebuah elips orbit yang mengorbit periode diberikan oleh Persamaan 7.3.9b dan c, dimana a adalah sumbu semimayor dari elips dan m dan adalah massa kedua bintang. Nilai dari sistem biner yang diketahui berkisar dari yang paling kecil (biner kontak di mana bintang saling menyentuh) hingga nilai yang sangat besar sehingga periodenya diukur dalam jutaan tahun. Contoh tipikal adalah bintang paling terang di langit malam, Sirius, yang terdiri dari bintang yang sangat terang. akal bintang dengan massa 2,1 My dan sangat kecil redup bintang, disebut putih _ kerdil, yang hanya dapat dilihat di teleskop besar. Massa sekecil ini corri{ianion adalah 1,05 Saya, tapi ukurannya kira-kira sebesar planet besar, jadi kepadatannya sangat besar (30.000 kali kerapatan air). Nilai a untuk sistem Sirius kira-kira 20 SA (sekitar jarak dari Matahari ke planet Uranus), dan periode, yang dihitung dari Persamaan 7.3.9c, Sebaiknya menjadi tentang

T = (2,1 + 1,05)*“'(20)“' tahun = 50 tahun yang apa dia adalah diamati ke menjadi.

SEBUAH biner sistem itu adalah percaya ke pelabuhan sebuah hitam lubang sebagai satu dari -nya komponen adalah

sumber sinar-x yang dikenal sebagai Cygnus X-1. ³ Komponen yang terlihat adalah HDE bintang normal 226868. Pengamatan spektroskopi cahaya optik dari bintang ini menunjukkan bahwa periode dan semimajor sumbu orbit masing-masing adalah 5,6 hari dan sekitar 30 x 10 ⁶km. Pendamping yang tidak terlihat secara optik adalah sumber fluks sinar-x yang menunjukkan fluktuasi yang bervariasi secepat milidetik, menunjukkan bahwa ia tidak boleh lebih dari 300 km. Pengamatan ini, serta sejumlah pengamatan lainnya, menunjukkan bahwa massa HDE 226868 setidaknya sama besar sebagai 20 My, sementara itu pendampingnya mungkin sebesar sebagai 16 My tapi pasti melebihi 7 My. Sulit untuk menyimpulkan bahwa ini kompak, masif obyek bisa menjadi apa pun lainnya dibandingkan sebuah hitam lubang. Hitam lubang adalah benda itu berisi begitu banyak massa dalam radius tertentu ⁴sehingga tidak ada, bahkan cahaya, yang dapat lolos dari gravitasinya. bidang itasi. Namun, jika lubang hitam terletak di sistem biner, massa dapat "bocor" dari bintang pendamping besar dan membentuk piringan akresi di sekitar lubang hitam. sebagai materi dalam piringan ini mengorbit lubang hitam, ia dapat kehilangan energi dengan pemanasan gesekan dan menabrak turun ke dalamnya, akhirnya Pemanasan ke suhu dengan baik Berlebihan dari puluhan juta derajat. Sinar-X dipancarkan oleh materi panas ini sebelum jatuh sepenuhnya ke dalam lubang (Gambar 7.3.2). Lubang hitam diprediksi secara matematis oleh teori umum relativitas, dan bukti tegas tentang keberadaan mereka akan menjadi tonggak sejarah dalam astrofisika.

°A P. Cowley, Ann. Putaran. astronot. Astrofia. 30, 287 (1992).

Menurut teori relatif umum, benda bermassa In yang tidak berputar dan simetris berbentuk bola menjadi a Schwarzschild hitam lubang jika dia adalah terkompresi ke radius r„ Schwarzschild radius, di mana

di mana c adalah kecepatan cahaya. Bumi akan menjadi lubang hitam jika dikompresi seukuran kelereng kecil;

Matahari akan menjadi satu jika dikompresi hingga radius sekitar 3 km, jauh lebih kecil daripada bintang kerdil putih. panion dari Sirius.

(13)

Angka 7.3.2 Itu Cygnus X-1 S tiga barang.

Sebuah sistem bintang biner tertentu diamati baik gerhana dan spektroskopi. Ini berarti bahwa sistem dilihat dari Bumi dengan bidang orbitnya menghadap ke atas dan bahwa orbit kecepatan • vt dari itu dua bintang yang membentuk itu sistem bisa menjadi bertekad

dari Doppler menggeser pengukuran dari diamati spektral garis. Anda jangan membutuhkan ke dibawah-

tahan rincian pernyataan terakhir ini. Yang penting kita tahu orbitalnya kecepatan.

Mereka, dalam unit yang sesuai, • - 1.257 AU/tahun dan vt = 5.027 AU/tahun. Itu Titik dari revolusi dari setiap bintang tentang -nya tengah dari massa adalah z = 5 tahun.

(Itu bisa menjadi dipastikan dari itu diamati frekuensi dari gerhana.) Menghitung itu massa (di tenaga surya

massa unit mg) dari setiap bintang. Menganggap bundar orbit.

Larutan:

Itu radius dari itu orbit dari setiap bintang tentang milik mereka umum tengah dari massa bisa menjadi perhitungan-

terlambat dari -nya kecepatan dan Titik

= 1 AU 1

= 4 AU Dengan demikian, itu semi mayor sumbu Hai dari itu orbit adalah

Hai = r + r -- 5 AU

Itu jumlah dari itu massa bisa menjadi diperoleh dari Persamaan 7.3.9c

= 5 Mg

(14)

Itu perbandingan dari itu dua massa bisa menjadi bertekad oleh membedakan Persamaan 7.3.1

Menggabungkan ini terakhir dua ekspresi menghasilkan nilai-nilai untuk setiap massa, - 4 M2 dan

= 1 Mg.

7{„¿„„j4 Itu Terbatas Tiga Tubuh Masalah'

Dalam Bab 6, kami mempertimbangkan gerakan partikel tunggal yang tunduk pada gaya pusat. Itu gerak sebuah planet di medan gravitasi Matahari dijelaskan dengan baik oleh teori semacam itu karena massa Matahari sangat besar dibandingkan dengan massa planet yang bergerak sendiri dapat diabaikan. Di bagian sebelumnya, kami melonggarkan kondisi ini dan menemukan bahwa kami dapat masih menerapkan teknik analisis Newtonian untuk kasus yang lebih umum ini dan menemukan analisis solusi litik untuk gerakan mereka.

Namun, jika kita menambahkan satu lagi, tubuh ketiga, masalahnya menjadi benar-benar keras kepala. Masalah umum tiga benda, yaitu perhitungan dari gerak tiga benda dengan massa yang berbeda, posisi awal, dan kecepatan, subjek ke gabungan medan gravitasi yang lain, mengacaukan beberapa pikiran terbesar di era pasca-Newtonian. Tidak mungkin menyelesaikan masalah ini secara analitis karena matematika yang tidak dapat diatasi kesulitan. Memang, masalahnya dijelaskan oleh sistem dari sembilan persamaan diferensial orde kedua: tiga benda bergerak dalam tiga dimensi. Bahkan setelah pengurangan matematis dicapai dengan pilihan koordinat yang bijaksana sistem dan dengan menerapkan hukum kekekalan untuk menemukan invarian gerak, masalahnya berlanjut ke menentang serangan oleh modern analitik teknik.

Untungnya, adalah mungkin untuk memecahkan kasus yang disederhanakan dari masalah umum yang tidak ada namun menggambarkan berbagai fenomena. Kasus khusus ini disebut terbatas tiga tubuh masalah. Penyederhanaan yang terlibat bersifat fisik dan matematis: Kami menganggap itu dua dari itu tubuh (ditelepon itu prittinries ⁶) banyak lagi besar sekali dibandingkan itu ketiga tubuh (ditelepon itu tersier) dan itu mereka bergerak di sebuah pesawat—dalam bundar mengorbit tentang mereka Pusat massa.

Tersier memiliki massa yang dapat diabaikan dibandingkan dengan salah satu primer, bergerak di orbitnya pesawat terbang, dan mengerahkan Tidak gravitasi pengaruh pada salah satu dari mereka.

Tidak ada sistem fisik yang memenuhi persyaratan ini dengan tepat. Yang tersier selalu mengganggu orbit primer. Orbit melingkar sempurna tidak pernah terjadi, meskipun sebagian besar orbit benda-benda di tata surya sangat dekat—kecuali komet.

Itu Orbit tersier hampir tidak pernah sejajar dengan orbit primer, meskipun menyimpang asi dari coplanarity seringkali cukup kecil. Sistem cravitasional dengan dominan massa pusat menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk coplanarity. Sekali lagi, mengabaikan komet, sisanya pameran anggota tata surya tingkat keseragaman yang tinggi, sebagai melakukan individu sistem dari itu besar luhur planet dan milik mereka himpunan dari bulan.

Analisis kami tentang masalah tiga benda terbatas didasarkan pada P. Hellings, Astrofisika utara a PM, An Pengantar Komputasi strop6ysikr, Willman-Bell, Inc., Richmond, VA (1994). Juga, untuk lebih banyak lagi secara mendalam analisis lihat V Szebehely, 7'6eory dari Orhlts, Akademik Tekan, Baru York (1967).

Biasanya paling masif dari pasangan disebut primer dan terkecil besar sekali disebut sekunder. Di Sini, kami menyatukan mereka sebagai dua pendahuluan karena gerakan mereka hanya terkait dengan minat utama kami — gerakan dari itu ketiga tubuh.

(15)

7.4 The Restricted Three-Body Problem 289

Masalah tiga tubuh yang dibatasi berfungsi sebagai yang sangat baik model untuk menghitung gerakan orbit tersier kecil di medan gravitasi dari dua lainnya. Ini cukup mudah untuk melihat dua kemungkinan solusi yang menggambarkan dua situasi ekstrem.

Salah satunya terjadi ketika tersier kurang lebih mengorbit pusat massa dua lainnya pada jarak yang begitu jauh bahwa dua primer tampak kabur bersama sebagai sumber gravitasi tunggal. Sebentar terjadi ketika tersier terikat begitu dekat dengan salah satu primer sehingga mengorbitnya di Busana keplerian, seolah tak menyadari kehadiran primer kedua. Keduanya kemungkinan terwujud di alam. Namun, di bagian ini, kami mencoba menemukan yang ketiga, tidak begitu jelas, "Perlengkapan tulis" larutan; itu adalah, salah satu di mana tersier adalah "diadakan" tetap" oleh dua lainnya dan mengambil bagian dari gerakan rotasi keseluruhan mereka. Dengan kata lain, itu tetap kurang lebih diam relatif terhadap dua pendahuluan; orientasi dalam ruang keseluruhan sistem berputar dengan kecepatan sudut konstan, tetapi konfigurasi relatifnya tetap pada waktunya. Ahli matematika besar abad ke-18 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) terselesaikan ini masalah dan menunjukkan itu seperti mengorbit adalah mungkin.

persamaan dari Gerakan untuk yang Dibatasi Masalah Tiga Tubuh

yang dibatasi masalahnya adalah masalah dua dimensi: Semua orbit berbaring di dalam Tunggal, pesawat tetap di ruang hampa. Orbit masing-masing dari dua primer adalah lingkaran dengan umum bersudut kecepatan m tentang pusat massa mereka. Kami berasumsi bahwa pusat massa dari dua primer tetap di ruang angkasa dan rasa rotasi dari gerakan orbitnya dilihat dari di atas adalah berlawanan arah jarum jam sebagai ditampilkan di Angka 7.4.1

Kami menetapkan M, massa primer paling masif, Mt massa terkecil satu, dan rri massa kecil tersier yang orbitnya ingin kita hitung. Kami memilih sistem koordinat z'-y' yang berotasi dengan dua primer dan yang asalnya adalah Pusat massa. Kami membiarkan sumbu -Iz terletak di sepanjang arah menuju pri- mari M,. Jari-jari orbit lingkaran M, dan M, ditunjuk a dan b, hormat- secara aktif. Ini jarak tetap tetap bersama itu sumbu z' di itu berputar koordinat sistem.

Gambar 7.4.1 Koordinat sistem untuk terbatas tiga tubuh masalah.

(16)

Membiarkan itu koordinat dari itu tersier menjadi (z', y'), itu jarak di antara dia dan setiap dari itu dua pendahuluan adalah

r ' _{_} = ( a) + rj —— ( + b) + kamu Itu bersih gravitasi memaksa dikerahkan pada atau (melihat Persamaan 6.1.1) adalah dengan demikian

F=-m

GM saya •

(7.4.1a) (7.4.1b)

(7.4.2)

di mana r{ dan r{ adalah itu vektor posisi ofni dengan menghormati dari gunung dan gunung Ini memaksa adalah itu hanya yang nyata yang bertindak pada atau, tetapi karena kami telah secara efektif meniadakan gerakan dari dua pendahuluan dengan memilih untuk menghitung gerakan dalam kerangka acuan yang berputar dengan mereka, kita harus memasukkan efek gaya noninersia yang diperkenalkan sebagai hasil dari ini pilihan.

Persamaan umum gerak untuk partikel dalam kerangka acuan yang berputar diberikan dengan Persamaan 5.3.2. Karena asal mula sistem koordinat rotasi tetap di ruang angkasa, s _ - , dan karena itu kecepatan dari rotasi adalah sebuah konstan, lii = 0 dan Persamaan 5.3.2 mengambil itu membentuk

F' = melalui' = F — 2nim x v' — tujuan x (m Hai r ) (7.4.3) Karena atau adalah umum ke semua ketentuan di Persamaan 7.4.3, kami bisa menulis kembali dia di syarat dari accel- erasi sebagai

sebuah ' = —

F

—2zu (7.4.4 )

Kita adalah sekarang di sebuah posisi ke menghitung itu kemudian dua noninersia percepatan di Persamaan 7.4.4—itu Coriolis dan sentrifugal percepatan

dan

(7.4.5)

(7.4.6)

Kita sekarang memasukkan persamaan 7.4.1a dan b, 7.4.2, 7.4.5, dan 7.4.6 ke dalam 7.4.4 ke dapatkan sama- tion dari gerakan dari massa atau di itu z' dan kamu koordinat

x' + b

[(z' + b)' + ] (7.4.7a)

kamu = —GM — waktu Greenwich

[(z' + b)' + fi ] (7.4.7b)

(17)

Itu Efektif Potensi: Itu Lima Lagrangian Poin

Sebelum menyelesaikan Persamaan 7.4.7a dan b, kami ingin berspekulasi tentang kemungkinan solusi yang mungkin kita peroleh. Menjelang akhir ini, kami mencatat bahwa tiga istilah pertama di masing-masing dari itu persamaan bisa menjadi menyatakan sebagai itu gradien dari sebuah efektif potensi fungsi, Var') di kutub koordinat

V[r') —— — GM, _ GM

r' — a| | r' — b| (7.4.8a)

atau V[x', y') di Kartesius koordinat

V[x', y') —— — G M saya . G . . M ... saya ....

... .

[x' — sebuah)' + y" [x' + b)' + y"

— >'( " + kamu ) (7.4.8b)

Istilah terakhir dalam persamaan 7.4.7a dan b bergantung pada kecepatan dan tidak dapat diekspresikan sebagai gradien potensial efektif. Jadi, kita harus memasukkan suku Coriolis sebagai istilah tambahan dalam persamaan apa pun yang menurunkan gaya dari potensial efektif. Untuk contoh, Persamaan 7.4.3 menjadi

F' = — IV(x', y') — 2m «i x v (7.4.9) Penyederhanaan yang cukup besar dalam semua perhitungan lebih lanjut dapat dicapai dengan mengungkapkan massa, panjang, dan waktu dalam satuan yang mengubah V[x', y') menjadi bentuk invarian yang membuatnya berlaku untuk semua situasi tiga-tubuh terbatas terlepas dari nilai-nilai massa mereka. Pertama, kami menskalakan semua jarak ke pemisahan total dari dua pendahuluan; itu adalah, kita membiarkan a + b sama dengan satu satuan panjang. Ini analog dengan konvensi di mana astronomis satuan, atau AU, jarak rata-rata antara Bumi dan Matahari, digunakan untuk menyatakan jarak ke planet lain di tata surya. Selanjutnya, kita atur faktornya G(Mt + Mt), sama dengan satu satuan massa gravitasi . GM massa "gravitasi"; dari setiap benda kemudian dapat dinyatakan sebagai kelipatan pecahan tr; dari unit ini.

Akhirnya, kami mengatur periode orbit primata f sama dengan 2x satuan waktu. Ini menyiratkan bahwa sudut- kecepatan lar dari dua primer tentang pusat mereka massa dan, dengan asosiasi, itu kecepatan rotasi kerangka acuan z'-y', adalah m = 1 unit waktu terbalik. Penggunaan skala ini unit memungkinkan kita untuk mengkarakterisasi persamaan gerak dengan parameter tunggal lx, dimana 0 < lx < 0,5. Selain itu, ia memiliki manfaat tambahan dari menunggangi ekspresi kami yang menjengkelkan. ious faktor G.

Di ketentuan dari tr, itu jarak dari setiap utama dari tengah dari massa adalah kemudian

sebu ah sebu

ah +b

b sebu ah +b

(7.4.10)

Koordinat dari yang pertama primer adalah, dengan demikian, (tr, 0) dan yang dari primer kedua adalah (1 — sebuah; 0). Selanjutnya, karena asal sistem koordinat adalah pusat massa, dari Persamaan 7.3.1, kami memiliki

saya _ _ —— Mb ( 7.4.11 )

(18)

dan itu “gravitasi” massa dari setiap utama bisa kemudian menjadi menyatakan juga di ketentuan dari itu

faktor tr

"-

G(M, + M ) a+ b (7.4.12a)

(7.4.12b)

gunung adalah itu massa dari itu lebih besar utama, dan gunung adalah itu massa dari itu lebih kecil satu, karenanya, 0 < lx

< 0,5 dan 0,5 < 1 — lx < 1.

Menggunakan unit yang dibahas sebelumnya, jelaskan sifat umum untuk bintang biner sistem pada Contoh 7.3.1. Massa Matahari adalah My = 1,99 X 10 kg. astronomi- kal satuan adalah 1 AU = 1.496 X 10" m.

Larutan:

Itu massa dari dua primer: M, Itu parameter lx:

Itu berskala massa dari itu dua pendahuluan lx,: Koordinat (z„ y{} dari itu dua

pendahuluan: Satuan massa "gravitasi" G(Mt + Mt): Periode orbit: f= 5 tahun = 2s satuan waktu Satuan dari waktu: f/2s

sudut kecepatan: untuk = 2s/T (=1 terbalik waktu satuan) Satuan dari panjangnya: sebuah + b -- 5 AU

4 M dan 1 M, masing-masing 1/(1 + 4) = 0,2.

1 — terima kasih = 0.8; tx= 0.2.

(0.2, 0), (—0.8, 0) 6.6 X 10" m ³/s' 1.58 X 10 s

2.51 x 10 ⁷ s (0,796 tahun) 3.98 X 10" s"!

7.48 X10" m

Di ketentuan dari ini baru unit, itu efektif potensi fungsi dari Persamaan 7.4.8b menjadi

v(•'

' ' --- J(• — ° •

°

kan -

J (• — ° • _ - ' "

““'

Plot potensial efektif V(x', y') ditunjukkan pada Gambar 7.4.2 untuk Bumi-Bulan sistem primer, dimana parameter lx = 0,0121. Plot potensial efektif dari sistem biner lainnya, seperti bintang biner di mana parameter lx jarang kurang dari 209c atau, pada ekstrem yang lain, sistem Matahari-Jupiter di mana lx = 0,000953875, berkualitas secara aktif identik.

Perlu meluangkan waktu untuk memeriksa plot ini erat karena menunjukkan nomor dari fitur itu berikan kami beberapa wawasan ke dalam itu mungkin mengorbit dari itu tersier.

• V(x', y') —+ —- di lokasi dua primer. Poin-poin ini adalah singularitas. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa setiap primer telah diperlakukan seolah-olah dulu sebuah titik massa. Kita mungkin membayangkan itu, jika sebuah tersier adalah tertanam di suatu tempat

(19)

Gambar 7.4.2 Efektif potensial Vax', y') untuk Bumi—Bulan sistem.

dalam salah satu "lubang" potensial itu, ia mungkin mengorbit primer itu seolah- olah yang lain primer bahkan tidak ada. Sebagai contoh, perhatikan sistem Matahari—Jupiter: Masing-masing primer adalah sumber dari perlengkapan

“satelit”; Jupiter memiliki bulan-bulannya dan Matahari memiliki empat planet terestrial dalam. Tidak ada primer yang mengganggu lampiran yang lain (setidaknya tidak terlalu banyak). Namun, perhatikan bahwa sudut kecepatan semua "satelit"

ini tentang primernya masing-masing jauh lebih besar dibandingkan sudut kecepatan dua pendahuluan tentang pusat massa mereka. Sebagai tambahan- tion, perguruan tinggi di seperti mengorbit adalah menyeret bersama oleh itu utama di - nya memiliki orbit.

• V(x', y') —+ sebagai z' atau y' -. Ini adalah konsekuensi dari rotasi sistem koordinat z'y'. Intinya, setiap tersier awalnya diam sehubungan dengan ini berputar sistem, tetapi jauh dari itu tengah dari massa dari itu dua pendahuluan, pengalaman gaya sentrifugal besar yang cenderung menggerakkan benda lebih jauh dari titik asalnya. Pada akhirnya, tubuh seperti itu mungkin menemukan dirinya dalam kandang mengorbit di beberapa remote jarak [r' > (a + b)] di sekitar pusat massa dua primer tetapi tidak diam di berputarJrazrie referensi. Itu bersudut kecepatan dari seperti sebuah tersier akan menjadi jadi banyak lebih kecil dari kecepatan sudut dua primer yang stabil, berlawanan arah jarum jam, naik kelas orbit di sebuah tetap bingkai dari referensi akan muncul ke menjadi sebuah stabil, searah jarum jam, orbit retrograde dalam sistem berputar, dengan kecepatan sudut yang negatif tif dari pendahuluan. Contohnya adalah tetangga bintang terdekat kita, tiga tubuh, lx-Centauri sistem bintang, dibuat dari dua pendahuluan, lx-Centauri A dan B dan tersier, Proksima Centauri (Angka 7.4.3).

• Ada lima lokasi di mana PV(x', y') = 0, atau di mana gaya pada partikel di istirahat dalam kerangka acuan z'y' lenyap. Titik-titik ini disebut Lagrangian poin, setelah Joseph-Louis Lagrange. Mereka ditunjuk sebagai Lt—L dalam kehormatannya. Tiga dari ini poin adalah kolinear, bohong bersama itu z'- sumbu. Letnan berbohong di antara itu dua pri-

marie. Lt terletak di sisi yang berlawanan sangat sedikit primer masif, dan +3 terletak pada sisi berlawanan primer paling masif. Ketiga titik ini adalah titik pelana V(x', y'). Bersama z' arah mereka adalah lokal maksimal, tetapi bersama itu kamu arah

mereka adalah lokal minimal.

• Dua pendahuluan membentuk umum alas dua sama sisi segitiga pada yang puncaknya berbohong itu poin +4 sebuah nd L , yang adalah mutlak maksimal dari itu fungsi V(x', y'). Sebagai

(20)

Angka 7.4.3 Sistem a-Centauri. Massa dari pendahuluan adalah 1.1 dan 0,88Mq.

Itu massa dari Proxima Centauri adalah 0.IMS. A dan B dipisahkan oleh 25 AU, dan Proksima Centauri mengorbit itu pasangan pada sebuah jarak dari 50.000 AU.

Gambar 7.4.4 Plot kontur dari potensi efektif Vax', y') untuk itu Bumi—Bulan sistem.

ii-Centauri Saya

Proksima Centauri

itu pendahuluan memutar tentang mereka tengah dari massa, +4 tetap 60 ° di depan dari itu paling sedikit primer masif (dalam arah +y'), dan Lt tetap 60° di belakangnya (dalam —y' arah). Lokasi kelima titik ini dapat lebih mudah divisualisasikan dengan pemeriksaan ining sebuah kontur merencanakan dari itu efektif potensi fungsi ditampilkan di Angka 7.4.4.

• Setiap garis dalam plot kontur adalah ekipotensial, yaitu garis yang memenuhi disi V(x';, y;') = V„ di mana V, adalah konstanta. Biasanya, garis ekuipotensial dalam plot wisata mewakili "ketinggian" V; yang berbeda satu sama lain dengan jumlah yang sama. Ini maksudnya daerah plot di mana gradien, WV(x', y'), adalah "curam"

(atau gayanya besar) akan menunjukkan garis kontur yang rapat. Daerah dimana gradien adalah "datar" (atau itu memaksa pendekatan nol) akan pameran jarang penuh sesak

(21)

7.4 The Restricted Three-Body Problem 295 garis kontur. Kami belum mengikuti konvensi ini pada Gambar 7.4.4. Kita punya mengurangi "ukuran langkah" antara ketinggian kontur yang melewati dekat lima Lagrangian poin ke menerangi itu posisi lagi jelas.

Anda mungkin menebak bahwa ada kemungkinan bagi seorang tersier untuk tetap berada di salah satu dari ini lima poin, serentak terkunci ke itu dua pendahuluan sebagai mereka memutar tentang milik mereka tengah massa. Ternyata ini tidak pernah terjadi di alam untuk perguruan tinggi mana pun yang berlokasi di +3 Ini adalah poin dari tidak stabil keseimbangan. Jika sebuah tubuh terletak pada satu dari ini poin adalah per-

kacau pernah jadi agak, dia bergerak ke arah satu utama dan jauh dari itu lainnya, atau jauh dari keduanya pendahuluan.

Pemeriksaan dekat Gambar 7.4.3 dan 7.4.4 mengungkapkan bahwa potensi efektif adalah agak datar dan lebar sekitar +4 a nd Lt, menunjukkan bahwa cukup luas, hampir gaya- gratis, wilayah ada di mana sebuah tersier mungkin nyaman duduk, lagi atau lebih sedikit seimbang oleh itu berlawanan dengan gaya gravitasi dan gaya sentrifugal. Karena +4 dan Lt adalah lokasi- Namun, Anda mungkin juga menebak bahwa tidak ada orbit yang stabil dan sinkron adalah mungkin pada ini poin salah satu. Ingat, meskipun, itu semua itu kekuatan akting pada itu ter-

tiary tidak diturunkan dari gradien V(z', y'). Gaya Coriolis yang bergantung pada kecepatan harus menjadi dipertimbangkan dan dia memiliki sebuah tidak dapat diabaikan memengaruhi, khususnya di setiap wilayah di mana dia

mendominasi, yang dalam kondisi tertentu dapat terjadi di wilayah sekitar +4 dan saya . Gaya Coriolis selalu bekerja tegak lurus terhadap kecepatan partikel. Jadi, itu tidak mengubah energi kinetiknya karena F • v = 0. Jika tersier hampir stasioner dalam x'y' bingkai dari referensi, bergerak perlahan-lahan di itu sesuai arah di dekat salah satu +4 atau Letnan, itu Gaya Coriolis mungkin mendominasi gaya gravitasi dan sentrifugal yang hampir seimbang dan hanya mengarahkan kecepatannya, menyebabkan tersier bersirkulasi sekitar +4 atau Lt. Sebenarnya, ini dapat dan memang terjadi di alam. Gaya Coriolis menciptakan garis quasi-elips yang efektif rier di sekitar +4 a nd Lt poin, dengan demikian, mengubah maxima dari potensi efektif menjadi "sumur" stabilitas kecil.

Mengingat kondisi yang tepat, kita mungkin mengharapkan tersier untuk ikuti dengan cermat salah satu kontur ekuipotensial di sekitar +4 a nd L„ baik kinetik maupun potensi energi tersisa cukup konstan selama gerakannya.

Itu situasi hanya dijelaskan adalah sejalan ke itu sirkulasi dari udara itu terjadi sekitar tekanan tinggi sistem, atau “benjolan,” di itu bumi suasana. Gravitasi mencoba ke menarik itu udara menuju Bumi; gaya sentrifugal mencoba membuangnya; saat udara tumpah dari tinggi, gaya Coriolis menyebabkannya bersirkulasi di sekitar tonjolan bertekanan tinggi, searah jarum jam dalam belahan bumi utara. Sistem sirkulasi seperti itu di atmosfer Bumi hanya stabil untuk sementara. Mereka membentuk dan kemudian menghilang. Itu Besar Merah Titik pada Jupiter, bagaimana- pernah, adalah tekanan tinggi badai itu permanen fitur atmosfernya—permanen dalam arti bahwa itu telah ada sejak Galileo melihatnya dengan teleskopnya tentang 400 tahun yang lalu! Perhatikan bahwa pola peredaran darah ini "stasioner" sehubungan dengan berputar sistem. Itu sama memegang BENAR untuk itu orbit dari sebuah tersier sekitar +4 sebuah nd Letnan

Itu Trojan asteroid

Asteroid Trojan adalah kelompok asteroid tertentu dalam resonansi orbit 1:1 dengan Jupiter dan yang pusat massa berbohong bersama itu orbit dari Jupiter, 60 ° di depan dari dia dan 60 ° di belakang

(melihat Angka 7.4.5). Ini adalah itu +4 sebuah nd Letnan poin di itu Matahari—

Jupiter utama sistem. Perhatikan bahwa Trojan tersebar agak menyebar di sekitar +4 a nd Lt poin. Setiap anggota dari itu kelompok berputar dengan Jupiter tentang itu Matahari di sebuah tetap bingkai dari referensi

(22)

296 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles Jupiter

T ^{' 4}rojan (Timur ° grup

)

Yupiter

orbit '''HAI

"**

Matahari

's Trojan (barat

* kelompok)

Angka 7.4.5 (sebuah) Itu Trojan asteroid. (b) Trojan asteroid dan itu asteroid sabuk ditampilkan dengan orbit dari Jupiter, Mars dan Bumi.

tapi perlahan beredar searah jarum jam tentang +4 dan L „ seperti yang dilihat dari di atas dalam bingkai z'y' dari referensi. Di ini bagian, kami menghitung beberapa contoh dari itu orbit dari ini asteroid.

Pertama kita menulis kembali persamaan dari gerak (Persamaan 7.4.7a dan b) menggunakan skala koordinat kami hanya diperkenalkan. Membiarkan

rJ = ( ) + ry -- ( + ) + persamaan 7.4.7a dan b menjadi

•3

•3 — 0 _•3 1

(7.4.14)

(7.4.15a) (7.4.15b) Dalam Contoh 4.3.2, kami menggunakan pemecah persamaan diferensial numerik Mat£emntica, Selesaikan, menyelesaikan satu set dari digabungkan, pesanan kedua diferensial persamaan seperti yang di persamaan 7.4.15a dan b. Kita mempekerjakan itu sama teknik di sini dengan satu minor

1 r3

(23)

r3

perbedaan: kami memperkenalkan dua tambahan variabel ti' dan Hai', seperti itu

jp ( 7.4.16a )

kamu = o' (7.4.16b)

untuk mengubah pasangan orde dua persamaan dalam Persamaan 7.4.15a dan b menjadi dua pertama- memesan yang

rj 3

r2

—0 ₃ r{

(7.4.16c)

(7.4.16d) Ini adalah trik yang sama yang kami gunakan di Bagian 3.8, di mana kami memecahkan gerakan osilator yang membatasi diri. Triknya adalah cara standar yang digunakan untuk mengonversi n selisih orde dua persamaan diferensial menjadi 2n yang orde pertama, sehingga memungkinkan untuk menggunakan teknologi Runge-Kutta untuk memecahkan persamaan yang dihasilkan. Sebagian besar pemecah persamaan diferensial numerik menggunakan teknik ini. Matficod mengharuskan pengguna memasukkan persamaan 2n dalam bentuk orde pertama. Ini bukan persyaratan di Matfiemofica, meskipun masih merupakan pilihan. Kami menggunakan teknologi- nique karena sangat berlaku secara universal. Pada bagian berikut, kami menguraikan spesi- panggilan cific yang kami buat untuk NDSoe. Ini analog dengan yang dibahas dalam Contoh 4.3.2. Kita menjatuhkan itu bilangan prima berlebihan digunakan ke label itu koordinat berputar karena matematika menggunakan bilangan prima di tempat titik untuk menunjukkan proses diferensiasi, yaitu z' artinya *. Kami mendorong Anda untuk mengingat bahwa variabel z, y, ti, dan t› yang digunakan dalam Mntfiemnfica panggilan mengacu pada sistem koordinat berputar, dan jumlah bilangan prima di samping variabel merujuk ke itu memesan dari itu turunan.

NDMemecahkan [(persamaan, awal kondisi), (kamu, Hai, z, y), (t, tp;q, tg)]

• \persamaan, awal syarat

Memasukkan itu empat numerik diferensial persamaan dan awal kondisi menggunakan itu mengikuti

rendah format

Memasukkan itu empat bergantung variabel yang solusi adalah diinginkan

Memasukkan itu mandiri variabel dan -nya jangkauan lebih yang itu larutan adalah ke menjadi evaluasi-

uated|t, 0, t )

(24)

MEJA 7.4.1

Ptimeter Orbit 1 Orbit 2 Orbit 3 Orbit 4 Orbit 5

<o 0,509 —0.524 —0.524 —0.509 —0.532

9o 0.883 0,909 0,920 0.883 0,920

*Hai 0,0259 0,0647 0,0780 —0.0259 0,0780

*Hai 0,0149 0,0367 0,0430 —0,049 0,0430

T (satuan) 80.3 118 210.5 80 3'

T (bertahun-

tahun) 152 223 397 152'

Gambar 7.4.6 Orbit 1, 2,3 dari Trojan asteroid menanggapi ke itu kondisi diberikan di Tabel 7.4.1.

Perhatikan, dua fungsi rt[z, y] dan rt[z, y] (lihat Persamaan 7.5.14) harus didefinisikan dalam Mat6etnntics sebelum itu panggilan ke NDSoe. Ini adalah juga benar untuk itu awal kondisi • . v .

• . sebuah nd • sebuah nd itu nilai dari tr. Itu nilai dari tr untuk itu Matahari—Jupiter sistem adalah 0,000953875.

Kita dihitung mengorbit untuk lima rangkaian dari awal kondisi, di setiap kasus mulai itu terti-

ary di dekat +4 Itu mulai kondisi dan Titik dari itu menghasilkan orbit (jika itu hasil adalah sebuah stabil orbit) adalah ditampilkan dalam Meja 7.4.1.

Seperti sebelumnya (Contoh 4.3.2) kami menggunakan Mat6et ParametricPlot atica untuk menghasilkan plot dari masing-masing orbit yang kondisi awalnya diberikan pada Tabel 7.4.1. Plot dari tiga yang pertama mengorbit adalah ditampilkan di Angka 7.4.6.

Itu satuan sering adalah itu berarti jarak antara Jupiter dan itu Matahari, sebuah + b = 5.203 AU,

atau tentang 7.80 X 10 m. Itu satuan dari waktu dulu ditentukan seperti itu satu rotasi Titik dari utama sistem, itu orbit Titik dari Jupiter (Tj -- 11.86 bertahun-tahun), sama dengan 2x waktu unit. Jadi, satu satuan waktu sama dengan Tj/2u -- 1,888 tahun. Tersier yang mengikuti orbit 1 dan 2 menghitung perlahan, searah jarum jam, sekitar +4 Periode yang dihitung adalah 80,3 dan 118 unit waktu, masing-masing. Menggunakan faktor konversi memberi kita periode orbitnya dalam tahun-tahun yang terdaftar di itu terakhir baris dari Meja 7.4.1. Orbit 3 adalah khususnya menarik. Itu tersier dimulai lebih dekat

ke Jupiter daripada dua lainnya dan bergerak perlahan selama +4 detik kembali mengelilingi Matahari, lebih atau lebih sedikit bersama Yupiter orbit jalur. Dia kemudian perlahan-lahan bermigrasi ke arah Jupiter, lewat dibawah

Orbit 1 —

Orbit 2 0.5 —

Orbit 3

—1 —0.5

(25)

Angka 7.4.7 Asteroid Trojan—

orbit 4 (melihat Meja 7.4.1).

dan mendekat sedekat mungkin dengan Jupiter seperti ketika mulai dekat < 4 Kemudian ia berputar-putar P menilai kembali sekitar itu Matahari, dan bergerak kembali ke arah Jupiter, lewat hanya dibawah <4 ke

itu titik di mana dia dimulai. Itu Titik dari ini orbit adalah 397 bertahun-tahun.

Perhatikan bahwa orbit mengikuti kontur ekuipotensial yang ditunjukkan pada Gambar 7.4.4. Ini tidak terlalu mengejutkan karena seperti yang kami katakan sebelumnya, gaya Coriolis tidak mengubah energi kinetik tersier. Jadi, karena gravitasi dan sentrifugal kekuatan adalah lagi atau lebih sedikit di keseimbangan, itu mengorbit seharusnya mengikuti itu kontur ekuipotensial

agak dekat. Kontur beredar di sekitar <4 a nd secara individual, seperti halnya orbit 1 dan 2, dan beberapa kontur beredar di sekitar <4 a nd bersama-sama, seperti halnya orbit 3.

Civen bentuk dari ini orbit, dia adalah mudah ke memahami mengapa itu Trojan asteroid muncul ke menjadi itu lebih tepatnya longgar berperasaan halus keluar gugus itu kamu melihat di Angka 7.4.5.

Di semua kasus, itu mengorbit mengedarkan di searah jarum jam mode Suka itu udara sekitar tinggi tekanan di belahan bumi utara. Gaya Coriolis diarahkan "ke dalam" untuk jam- rotasi bijaksana dan "keluar" untuk rotasi berlawanan arah jarum jam karena tanda m X v. Orbit 4, ditampilkan di Angka 7.4.7, mencerminkan itu konsekuensi dari sebuah tanda kemunduran di m X v jika kami

coba atur sirkulasi berlawanan arah jarum jam sekitar <4 Orbit dihasilkan dengan parameter yang sama dengan orbit stabil 1, kecuali tanda kecepatan awal adalah terbalik.

Tersier, setelah menjalankan beberapa loopty-loop, segera dibuang sepenuhnya dari itu wilayah di antara Jupiter dan itu Matahari. SEBUAH kecepatan kemunduran Suka ini akan memiliki Tidak memengaruhi pada itu membentuk dari sebuah Keplerian orbit tentang sebuah lajang, pusat gravitasi memaksa. Itu hasil-

ing orbit stabil hanya akan menjadi terbalik arah, orbit retrograde. Meskipun kebanyakan mengorbit di itu tenaga surya sistem adalah naik kelas (berlawanan arah jarum jam sebagai terlihat dari di atas itu pesawat terbang dari itu ekliptika), orbit retrograde (searah jarum jam) memang terjadi, seperti, misalnya, Triton, orbit utama Neptunus bulan. Terbalik mengorbit adalah bukan mungkin sekitar <4 sebuah nd

Itu kondisi untuk itu stabilitas dari ini searah jarum jam mengorbit sekitar <4 dan memiliki _ pernah dipelajari di banyak lagi detail dibandingkan bisa menjadi disajikan di sini. Itu tertarik pembaca adalah dirujuk 2 —

-2

-2 —

(26)

Angka 7.4.C Trojan asteroid—

orbit 5 (melihat Meja 7.4.1).

ke buku oleh V. Szebehely direferensikan dalam catatan kaki 4. Orbit yang stabil hanya mungkin untuk nilai parameter massa o, = 0,03852. Jupiter—Matahari sistem dengan mudah memenuhi itu kondisi, tetapi orbit beberapa Trojan hanya sedikit stabil. Ini adalah par- terutama berlaku untuk orbit seperti orbit 3. Gangguan, jika cukup besar, dapat memiliki dampak yang dramatis konsekuensi untuk tersier di orbit tersebut. Periksa kondisi awal untuk orbit 5, yang hampir identik dengan orbit 3 kecuali untuk koordinat z' awal, yang diubah sekitar 2' o. Resultannya "orbit" ditampilkan pada Gambar 7.4.8.

lintasan dari itu tersier dulu diikuti untuk 300 waktu unit, atau tentang 566 bertahun- tahun. Pada akhirnya, sebagai dulu itu

kasus untuk orbit 4, asteroid terlempar keluar dari <4—* wilayah, akhirnya ditetapkan- mendarat di orbit sekitar kedua primer pada jarak sekitar 3 unit, atau 15 AU, yang tempat dia di suatu tempat di antara Saturnus dan Neptunus. Di fakta, Jupiter adalah percaya ke memiliki telah

hanya ini memengaruhi pada banyak dari itu asteroid itu ada di dekat dia selama itu formatif tahapan dari itu tenaga surya sistem.

Ada contoh lainnya objek yang mengorbit pendahuluan di *4 a nd poin? Contoh utama adalah sejumlah besar pasokan bulan Saturnus. Telesto dan Kalipso, dua bulan telah menemukan oleh itu Pelayaran misi, Bagikan sebuah orbit dengan Tethys.

Saturnus

dan Tethys adalah yang utama, dan Telesto di <4 dan Calypso di Helene dan Dione berbagi orbit lain yang 1,28 kali lebih jauh dari Saturnus daripada yang ditempati oleh Tethys, Telesto, dan Calypso. Helene terletak di <4 titik orbit ini, dan Dione adalah itu utama. Tidak ada bulan adalah ditemukan untuk ini orbit pada

Sejumlah penggemar koloni luar angkasa berpendapat bahwa s . besar koloni ace bisa menjadi dikerahkan dalam orbit yang stabil di f sistem utama Bumi—Bulan. ⁷ parameter massa- ter Untuk Bumi—Bulan sistem adalah o = 0,0121409, yang adalah tentu lebih sedikit dibandingkan itu kritis

7 C K O'NeiiJ, "Itu Kolonisasi dari Ruang angkasa," fisik. Hari ini, hal. 32-40 (September, 1974).

(27)

7.4 The Restricted Three-Body Problem 301 nilai @, jadi satu mungkin tebak itu mengorbit tentang L akan menjadi stabil. Itu Matahari akan menggunakan gangguan pada koloni yang mengorbit seperti itu, dan tidak jelas bahwa orbitnya akan tetap stabil untuk waktu yang lama. Masalah empat tubuh terbatas ini hanya diselesaikan baru-baru ini, pada tahun 1968. Orbit kuasi-elips di sekitar L„ dengan kunjungan terbatas pada beberapa sepersepuluh jarak Bumi-Bulan, ditemukan stabil. Jika seseorang menambahkan efek dari Jupiter masalah, bagaimanapun, stabilitas jangka panjang menjadi bermasalah. industri- tiga murid mungkin ingin ke mengatasi ini masalah secara numerik.

Hitung koordinat —<3 titik Lagrange collinear untuk Bumi—Bulan sistem dan itu nilai-nilai dari efektif potensi fungsi pada itu poin.

Larutan:

Ketiga titik Lagrange collinear ini semuanya terletak di sepanjang sumbu z', di mana y'=

0. Titik-titik ini mewakili ekstrem dari fungsi potensial efektif, V(x', y'). Biasanya, kita akan menemukan titik-titik ini oleh mencari untuk solusi dari persamaan

, v(x', y') = 0

'” y'=0

Mot6emotico, bagaimanapun, memiliki alat, fungsi FindMinitntitn, yang memungkinkan kita untuk menemukan minima fungsi secara langsung, tanpa terlebih dahulu menghitung turunannya. Mot6emotiko menyimpan kita sebuah banyak dari kerja oleh secara efektif memukau ini turunan untuk kita. Itu Lagrange poin,

—<3. terletak di tnozirrio dari V(x', y' -- 0), namun, untuk menggunakan Mothemotico TemukanMinirnutn, kami membutuhkan ke lulus ke dia fungsi (z') = -V(x', kamu -- 0) milik siapa kecil adalah

itu lokasi <l 3

Kami telah menulis penyebut dalam persamaan sebelumnya sebagai nilai absolut untuk tekankan itu adalah besaran pasti positif terlepas dari nilai off' relatif ke nilai kritis n dan n — 1. Ketika kita meneruskan jf(z') ke FindMinirnutn Mathematica fungsi, kita perlu memastikan bahwa: (1) FindMinitntitn dapat menghitung turunan dari jf(z') karena itu adalah salah satu hal yang dilakukannya dalam mencoba menemukan minima dan bahwa (2) nilai-nilai dalam penyebut tetap pasti positif terlepas dari tindakan apa pun yang CariMinirnutn mengambil onjf(z'). Jadi, kita perlu menghapus nilai absolut dalam denom- inator jf(z') untuk menghilangkan kemungkinan patologi dalam proses pengambilan turunan, tetapi maka kita harus mengganti efeknya, misalnya dengan mengalikan dua suku pertama dalam ekspresi dengan fungsi "langkah" yang didefinisikan untuk mengambil nilai +l tergantung pada nilai z' relatif terhadap n dan n — 1. Kami menyebut fungsi “langkah” ini sgn(z) dan mendefinisikannya menjadi setara —1 Kapan -nya argumen z < 0 dan + aku Kapan z > 0.

R. Kolenkiewicz, L Tukang kayu, "Stabil Berkala Orbit Tentang Matahari-Terganggu Bumi-Bulan segitiga Poin,” AfAA J. 6, 7, 1301 (1968).

(28)

Angka 7.4.9 Wilayah dari penerapan untuk itu tanda fungsi.

Lagrange Pan

ggil an

Titik misal

nya sgn(e —

<c) sgn(e — (n — 1)) e„,; Je,; )

1 Letnan —1.2 —1 —1 —1.06883 1.51874

2 1, —0.8 —1 +1 —0.932366 1.51938

3 L3 1.0 +1 +1 1,0004 1.50048

Memasukkan dia ke dalam itu ekspresi di atas memberi

Kita sekarang dapat melewati fungsi sebelumnya ke FindMinirnorn. Fungsi tanda mengambil pada nilai yang memastikan bahwa istilah dalam persamaan selalu tetap positif tanpa memedulikan dari daerah sepanjang sumbu z' yang sedang dicari untuk salah satu dari minimum jf(z'). Kita juga harus melewati nilai awal FindMinin'ton't z' untuk memulai pencarian. Kami p1otjf(z') di Angka 7.4.9 ke Temukan perkiraan lokasi dari itu tiga minimal kami adalah menggunakan sebagai ini Mulailah- poin. Lg adalah minimum yang terletak di luar singularitas di z' = -1 yang menyatakan mengirimkan lokasi Jupiter. Jadi, Lt = —(1 + e). L terletak di sisi interior ini keganjilan. Dengan demikian, L = —(1 — e) dan <3 adalah terletak hanya di luar itu cermin gambar dari

Yupiter keganjilan pada z' = +l di depan itu Matahari. Dengan demikian, <3 - +(* + e). e secara sederhana menunjukkan

beberapa tidak dikenal kecil nilai. Kita sekarang membuat tiga panggilan ke CariMinirnorn ke menemukan setiap

dari itu tiga kolinear Lagrange poin.

Setiap jam kal l ambil s ini _ membentuk: sirip d minimal m fi u •• + ' • . 1•. • 1]

dimana e ini _ argumentJnc- tion berartijf(z) seperti yang didefinisikan sebelumnya.

Sekali lagi, kami menjatuhkan notasi prima. z adalah in- variabel independen dari fungsi, dan • adalah nilai yang digunakan untuk memulai pencarian. Tabel 7.4.2 daftar input parameter untuk setiap panggilan. Output dari panggilan adalah lokasi zq„

dari itu Lagrange poin dan itu sesuai nilai-nilai ofjf(zq„). Itu nilai-nilai dari • adalah

terpilih ke memastikan bahwa itu Cari dimulai di itu wilayah di mana yang diinginkan Lagrange titik

adalah terletak dan cukup di dekat ke dia.

(29)

7.5 Collisions 303

Tabrakan

Kapanpun dua tubuh menjalani tumbukan, gaya yang bekerja pada yang lain selama kontak adalah kekuatan internal, jika tubuh dianggap bersama sebagai satu sistem. Itu total linier momentum adalah tidak berubah. Kita dapat, karena itu, menulis

(7.5.1a) atau, setara,

Subskrip 1 dan 2 mengacu pada dua benda, dan bilangan prima menunjukkan masing-masing momentum dan kecepatan setelah tumbukan. Persamaan 7.5.1a dan b cukup umum. Mereka berlaku ke setiap dua tubuh tanpa memedulikan dari milik mereka bentuk, kekakuan, dan segera.

Dengan pandangan ke itu keseimbangan energi, kami bisa menulis

+Q

(7.5.2a)

atau

(7.5.2b)

Di sini kuantitas Q diperkenalkan untuk menunjukkan kerugian atau keuntungan bersih dalam energi kinetik yang terjadi sebagai sebuah hasil dari itu tabrakan.

Dalam kasus tumbukan lenting, tidak ada perubahan energi kinetik total, jadi bahwa Q = 0. Jika terjadi kehilangan energi, maka Q positif. Ini disebut eksoergik tabrakan. Itu mungkin terjadi bahwa perolehan energi terjadi. Ini akan terjadi, Misalnya, jika sebuah bahan peledak hadir di salah satu tubuh di titik kontak. Dalam hal ini Q diabaikan aktif, dan itu tabrakan adalah ditelepon endoergik.

Studi tentang collisioris sangat penting dalam atom, nuklir, dan energi tinggi fisika. Di sini benda-benda yang terlibat mungkin atom, inti, atau berbagai partikel elementer, seperti sebagai elektron dan quark.

Langsung Tabrakan

Mari kita perhatikan kasus khusus dari tumbukan langsung dari dua benda, atau partikel, di mana itu gerakan mengambil tempat sepenuhnya pada sebuah lajang lurus garis, itu sumbu z, sebagai ditampilkan di Angka 7.5.1. Di ini kasus itu momentum keseimbangan persamaan (Persamaan 7.5.1b) bisa menjadi tertulis

(7.5.3) Itu arah bersama itu garis dari gerakan adalah diberikan oleh itu tanda-tanda dari itu adalah-

Untuk menghitung nilai kecepatan setelah tumbukan, diberikan nilai sebelum tumbukan, kita dapat menggunakan persamaan momentum sebelumnya bersama- sama dengan energi persamaan keseimbangan (Persamaan 7.5.2b), jika kita mengetahui nilai Q. Seringkali lebih mudah dalam ini jenis dari masalah ke memperkenalkan lain parameter e ditelepon itu koefisien dari restiWtiori.

(30)

Angka 7.5.1 Langsung tabrakan dari dua partikel.

Ini kuantitas adalah ditentukan sebagai itu perbandingan dari itu kecepatan dari pemisahan v' ke itu kecepatan dari mendekati

v. Di kita notasi e mungkin menjadi ditulis sebagai

(7.5.4)

Nilai numerik dari tergantung terutama pada komposisi dan susunan fisik dari kedua tubuh itu. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa dalam tumbukan elastis nilai e = 1.

Untuk melakukan ini, kami mengatur Q= 0 di Persamaan 7.5.2b dan menyelesaikan dia bersama dengan Persamaan 7.5.3 untuk itu kecepatan akhir- itas. Itu Langkah adalah kiri sebagai sebuah latihan.

Dalam kasus tumbukan tidak lenting sama sekali , kedua benda saling menempel setelah bertabrakan. ing, sehingga e=0. Untuk sebagian besar benda merah e memiliki nilai di suatu tempat di antara dua ekstrem dari 0 dan 1. Untuk bdl bilyar gading sekitar 0,95. Nilai koefisien restitu- tion mungkin juga tergantung pada kecepatan pendekatan.

Hal ini terutama terlihat dalam kasus senyawa silikon dikenal sebagai Putty Konyol.

Sebuah bd1 dari materi ini memantul ketika menyerang sebuah keras permukaan pada tinggi kecepatan, tetapi pada rendah kecepatan itu bertindak seperti biasa dempul.

Kita dapat menghitung nilai kecepatan akhir dari Persamaan 7.5.3 bersama-sama dengan itu definisi dari itu koefisien dari restitusi (Persamaan 7.5.4). Hasil adalah

'ni + Int

(7.5.5)

Mengambil kasus inelastis total dengan menetapkan e = 0, kita menemukan, sebagaimana mestinya, bahwa I{ = I{; itu adalah, tidak ada rebound. Di sisi lain, dalam kasus khusus bahwa tubuh adalah sama massa Di = Int dan adalah sempurna elastis e = 1, kami memperoleh

(7.5.6) Itu dua tubuh, karena itu, hanya menukarkan milik mereka kecepatan sebagai sebuah hasil dari tabrakan.

Dalam kasus umum tumbukan nonelastik langsung, mudah diverifikasi bahwa energi kehilangan Q adalah terkait ke itu koefisien dari restitusi oleh itu persamaan