berteori perhitungan dalam fisika nuklir sering dilakukan dalam hal kuantitas dirujuk ke sistem koordinat di mana pusat massa partikel yang bertabrakan diam. Pada di sisi lain, pengamatan eksperimental pada hamburan partikel dilakukan dalam hal koordinat laboratorium. Oleh karena itu, kami mempertimbangkan secara singkat masalah kon- Versi: kapan dari satu koordinat sistem ke itu lainnya.
Vektor kecepatan dalam sistem laboratorium dan di pusat sistem massa adalah bergambar secara diagram pada Gambar 7.6.1. Dalam gambar Q adalah sudut defleksi dari partikel datang setelah menabrak partikel target, dan Q adalah sudut yang garis gerakan partikel sasaran membuat dengan garis gerak dari insiden partikel. Keduanya Q dan gt diukur dalam sistem laboratorium. Di pusat sistem massa, karena pusat massa harus terletak pada garis yang menghubungkan dua partikel setiap saat, keduanya cles mendekati pusat massa, bertabrakan, dan surut dari pusat massa di seberang arah. Sudut 8 menunjukkan defleksi sudut dari kejadian tersebut partikel di tengah dari massa sistem sebagai ditunjukkan.
Angka 7.6. 4 Perbandingan dari laboratorium dan tengah dari massa koordinat.
308 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
Dari definisi pusat massa, momentum linier di pusat massa sistem adalah nol keduanya sebelumnya dan setelah tabrakan. Karenanya, kami bisa menulis
p, + p, = 0 (7.6.7a)
p{ + p{ = 0 (7.6.7b)
Itu bar adalah digunakan ke menunjukkan itu itu kuantitas di pertanyaan adalah dirujuk ke itu pusat massa sistem. Itu keseimbangan energi persamaan membaca
+p
(7.6.8)Kita dapat menghilangkan p dan p{ dari Persamaan 7.6.8 dengan menggunakan hubungan momentum dalam Persamaan 7.6.7a dan b. Hasilnya, yang dengan mudah dinyatakan dalam dikurangi massa, adalah
+Q
(7.6.9)Itu momentum hubungan, persamaan 7.6.7a dan b menyatakan di ketentuan dari kecepatan,
Baca
ml + m¿l¿ = 0 'tii*i + mdl = 0
Itu kecepatan dari itu tengah dari massa adalah (melihat persamaan 7.1.3 dan 7.1.4)
(7.6.10a) (7.6.10b)
(7.6.11) Karenanya,
kami memiliki
'2 l
(7.6.12) Itu hubungan di antara itu kecepatan vektor v , v{, dan *{ adalah ditampilkan di Angka 7.6.2.
Dari itu angka, kami melihat itu
(7.6.13)
Angka 7.6.2 Kecepatan vektor di itu laboratorium sistem dan itu tengah dari massa sistem.
7.6 Oblique Collisions and Scattering 309
Oleh karena itu, dengan membagi kita temukan persamaan menghubungkan sudut hamburan untuk dinyatakan- bisa di itu membentuk
Bau = dosa8
/+BIAYA
di yang kamu adalah sebuah numerik parameter yang nilai adalah diberikan oleh
(7.6.14)
(7.6.15)
Itu terakhir melangkah mengikuti dari Persamaan 7.6.11.
Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung nilai Uj dalam hal energi awal partikel datang dari persamaan energi (Persamaan 7.6.9). Ini memberi kita kebutuhan- mencari informasi untuk menemukan y dan, dengan demikian, menentukan hubungan antara hamburan- sudut. untuk contoh dalam kasus tumbukan elastis Q = 0, kita temukan dari energi persamaan itu p = p{, atau 0 = {. Hasil ini, bersama dengan Persamaan 7.6.12, menghasilkan nilai
(7.6.16) untuk sebuah elastis tabrakan.
Dua spesial kasus dari seperti elastis tabrakan adalah edukatif ke mempertimbangkan.
pertama, jika itu massa tulisan partikel target jauh lebih besar daripada massa duduk partikel kejadian, kemudian sangat kecil. Oleh karena itu, tan Q = tan 8, atau Q = 8.
Yaitu, sudut hamburan seperti yang terlihat di itu laboratorium dan di tengah dari massa sistem adalah hampir setara.
Itu kedua spesial kasus adalah itu dari setara massa dari itu kejadian dan sasaran partikel Sri = tulisan. Di ini kasus kamu = 1, dan itu penyebaran hubungan mengurangi ke
1 + eOS L
(7.6.17)
Itu adalah, itu sudut dari defleksi di itu laboratorium sistem adalah hanya setengah itu di itu tengah dari sistem massa. Lebih-lebih lagi, karena sudut defleksi partikel target adalah x— 8 di itu tengah dari massa sistem, sebagai ditampilkan di Angka 7.6.1, kemudian itu sama sudut di itu kerja- sistem ratory adalah (x- 8)/2. Karena itu, kedua partikel meninggalkan titik tumbukan di sebelah kanan sudut ke setiap lainnya sebagai terlihat di itu laboratorium sistem, di persetujuan dengan Persamaan 7.6.6.
Dalam kasus umum tumbukan nonelastik, masalah yang tersisa adalah menunjukkan bahwa y adalah yg dpt dinyatakan sebagai
(7.6.18) 1— 1+
310 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
4 @
di mana T adalah energi kinetik dari partikel datang yang diukur di laboratorium sistem.
Dalam percobaan hamburan nuklir, seberkas partikel alfa 4-MeV (inti helium) menyerang target yang terdiri dari gas helium, sehingga insiden dan partikel target memiliki setara massa. Jika sebuah yakin kejadian alfa partikel adalah berserakan melalui sebuah sudut dari 30° di sistem laboratorium, tentukan energi kinetiknya dan energi kinetik mundurnya partikel target, sebagai fraksi dari energi kinetik awal T dari partikel alfa yang datang. (Menganggap itu itu target partikel adalah pada istirahat dan itu itu tabrakan adalah elastis.)
Larutan:
Untuk elastis tabrakan dengan partikel dari setara massa, kami tahu dari Persamaan 7.6.6 itu gt + gt = 90° (lihat Gambar 7.6.1). Oleh karena itu, jika kita mengambil komponen sejajar dan tegak lurus dikular dengan momentum partikel datang, persamaan keseimbangan momentum (Persamaan 7.6.1a) menjadi
Pi ' pi karena aku + pe dosa aku 0 = p{ dosa Q - p{ karena
di yang 8 detik - 30 °. Pemecahan itu mendahului pasangan dari persamaan untuk itu prima komponen, kami Temukan
r saya rd karena - rd karena 30° = ri - rd menyanyi = p dosa 30° = saya Karena itu, itu kinetis energi setelah dampak adalah
T' ——
T$' ——
@1*
*•z
3 @ 1
•z "
_ 3
4
T -- 3 saya T —— Saya sayaApa adalah itu penyebaran sudut di itu tengah dari massa sistem untuk Contoh 7.6.1?
Larutan:
Di Sini Persamaan 7.6.17 memberi itu menjawab secara langsung, yaitu, 8 —— *B 60°
"
_7.6 Oblique Collisions and Scattering 311
(a) Tunjukkan bahwa, untuk kasus umum hamburan elastis seberkas partikel bermassa ttit dari target stasioner partikel yang massanya ttit, sudut bukaan pin laboratorium adalah diberikan oleh itu ekspresi
(b) Misalkan berkas partikel terdiri dari proton dan target terdiri dari helium inti.
Menghitung pembukaan sudut hamburan proton secara elastis pada sudut laboratorium gt = 30 °.
Larutan:
(a) Karena partikel 2 diam di laboratorium, pusat kecepatan massanya kamu sama besar- tude (dan di depan di arah) ke Hai . Untuk elastis tabrakan di itu tengah dari massa, momentum dan energi konservasi bisa menjadi tertulis sebagai
Memecahkan besaran momentum pusat massa partikel 1 dalam hal partikel 2, kami memperoleh
Ini ekspresi bisa menjadi dimasukkan ke dalam itu energi konservasi persamaan ke memperoleh
• • 2 2
Jadi, dalam tumbukan lenting, pusat kecepatan massa partikel 2 adalah sama sebelum dan setelah itu tabrakan, dan keduanya adalah setara ke itu tengah dari massa kecepatan. Lebih-lebih lagi, nilai kecepatan pusat massa partikel 1 juga sama sebelum dan setelah tumbukan, dan, dari kekekalan momentum di pusat massa, mereka adalah
Ditunjukkan di bawah pada Gambar 7.6.3 adalah diagram vektor yang menghubungkan parameter elastisitas hamburan tic di laboratorium dan pusat kerangka acuan massa. Dari geometri dari Angka 7.6.3, kami melihat itu
312 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
Angka 7.6.3 Kecepatan vektor di laboratorium dan pusat massa bingkai untuk elastis penyebaran.
Sekarang, melamar itu hukum dari sinus ke itu atas segi tiga dari itu angka, kami memperoleh
Akhirnya, menggantikan ini terakhir ekspresi untuk 8 ke dalam itu satu mendahului itu untuk Q dan memecahkan- untuk itu pembukaan sudut §r, kami memperoleh
(b) Untuk elastis penyebaran dari proton mati helium inti di Q = 30 °, permadani /
permadani = 4, dan 9 - 101°. (Catatan: Di itu kasus di mana tidak ada = tidak, 9 = 90
° sebagai berasal dari di itu teks.)
/j/j Gerakan dari sebuah Tubuh dengan Variabel Massa: Roket Gerakan
Sejauh ini, kita hanya membahas situasi di mana massa benda di bawah sideration tetap konstan selama gerakan. Dalam banyak situasi ini tidak benar. Tetesan hujan jatuh meskipun itu suasana mengumpulkan ke atas tetesan yang lebih kecil sebagai mereka jatuh, yang meningkat milik mereka massa. Roket mendorong diri mereka sendiri dengan membakar bahan bakar secara eksplosif dan mengeluarkan hasilnya gas pada kecepatan buang yang tinggi. Dengan demikian, mereka kehilangan massa saat mereka berakselerasi.
Dalam setiap kasus, massa terus ditambahkan atau dikeluarkan dari tubuh yang bersangkutan, dan perubahan ini massa mempengaruhi -nya gerakan. Di Sini kami memperoleh itu umum diferensial persamaan itu menggambarkan itu gerakan dari seperti objek.
Agar tidak terlalu bingung dengan tanda, kami menurunkan persamaan dengan mempertimbangkan kasus di mana massa ditambahkan ke tubuh saat bergerak. Persamaan gerak juga berlaku roket, tetapi dalam kasus itu laju perubahan massa adalah kuantitas negatif. Meneliti Gambar 7.7.1. Massa besar bergerak melalui beberapa media yang dipenuhi dengan kecil partikel yang menempel pada massa saat menabraknya. Dengan demikian, tubuh yang lebih besar terus-menerus dikumpulkan. ering ke atas massa sebagai dia bergerak melalui itu sedang. Pada beberapa waktu t, -nya massa adalah rn(t) dan -nya
7.7 Motion of a Body with Variable Mass: Rocket Motion 313
Angka 7.7.1 A massa dalam berkumpul ke atas sebuah kecil massa Saya sebagai dia bergerak melalui sebuah sedang.
kecepatannya adalah v(t). Partikel kecil pada umumnya tidak diam tetapi bergerak melalui medium juga dengan kecepatan yang kita asumsikan sebagai u(t). Pada waktu t + Pada, besar bergerak obyek memiliki bertabrakan dengan beberapa dari ini lebih kecil partikel dan terakumulasi sebuah tambahan jumlah kecil dari massa atm. Jadi, itu massa adalah sekarang or(t + At) = or(t) + Atn dan kecepatannya memiliki berubah ke v(t + Pada).
Di itu kecil waktu selang Pada, itu mengubah (jika setiap) di itu total linier momentum dari itu sistem adalah
“ ' ( tot s ) t + 2 Y t ( total ) _ saya ('.'. )
Ini mengubah bisa menjadi menyatakan di ketentuan dari itu massa dan kecepatan sebelum dan setelah itu
tabrakan
dP = (atau + atm)(v + Av) —(miv + kamu Atm) (7.7.2) Karena itu kecepatan dari ATM relatif ke atau adalah V = kamu — v, Persamaan 7.7.2 bisa menjadi menyatakan sebagai dP = atau Av + Atm Av — V ATM (7.7.3) dan pada pemisah oleh Af kami memperoleh
(7.7.4) Di itu membatasi sebagai Pada —+ 0, kami memiliki
F = 1• = minyak — Vm (7.7.5)
gaya F mewakili kekuatan eksternal apa pun, seperti gravitasi, hambatan udara, dan sebagainya yang bekerja pada sistem selain gaya impulsif yang dihasilkan dari interaksi antara massa tn dan Atn. Jika F = 0, maka momentum total P sistem adalah a konstan dari itu gerakan dan -nya bersih mengubah adalah nol. Ini adalah itu kasus untuk sebuah roket di dalam ruang angkasa, di luar itu gravitasi pengaruh dari setiap planet atau bintang, di mana F adalah dasarnya nol.
Kami sekarang menerapkan persamaan gerak ini untuk dua kasus khusus di mana massa ditambahkan ke atau hilang dari itu bergerak tubuh. Pertama, memperkirakan itu, sebagai kami memiliki dijelaskan, itu tubuh adalah jatuh melalui kabut atau kabut sehingga mengumpulkan massa saat berjalan, tetapi asumsikan bahwa tetesan kecil materi tersuspensi di atmosfer sedemikian rupa sehingga kecepatan awal mereka sebelum bertambah tion adalah nol. Di umum, ini akan menjadi sebuah pendekatan yang baik.
Oleh karena itu, V = —v, dan kami memperoleh
dt (7.7.6)
314 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
untuk persamaan gerak. Ini hanya berlaku jika kecepatan awal materi yang sedang menyapu kita adalah nol. Jika tidak, itu lagi umum Persamaan 7.7.5, harus menjadi digunakan.
Untuk kasus kedua, pertimbangkan gerakan roket. Tanda m negatif karena itu roket adalah kekalahan massa di itu membentuk dilontarkan bahan bakar. Itu ketentuan Vm di Persamaan 7.7.5 adalah ditelepon itu dorongan dari itu roket, dan -nya arah adalah berlawanan arah dari V, itu rel- kecepatan ative produk buang. Di sini, kita memecahkan persamaan gerak untuk sim- sebagian besar kasus gerakan roket di mana gaya eksternal padanya adalah nol; yaitu, roket adalah tidak tunduk pada gaya gravitasi, hambatan udara, dan sebagainya. Jadi, dalam Persamaan 7.7.5, F„t = 0, dan kami memiliki
atau* = Vm
Kita bisa sekarang memisahkan itu variabel dan mengintegrasikan ke Temukan v sebagai berikut:
(7.7.7)
(7.7.8)
Jika kami menganggap itu V adalah konstan, kemudian kami bisa mengintegrasikan di antara batas ke Temukan itu syeed
sebagai fungsi dari atau:
v 0 + V ln atau
(7.7.9)
Di Sini adalah massa awal roket ditambah bahan bakar yang tidak terbakar, atau massa setiap saat, dan V adalah kecepatan bahan bakar yang dikeluarkan relatif terhadap roket. Karena sifat fungsi logaritmik, roket harus memiliki rasio bahan bakar terhadap muatan yang besar untuk mencapai kecepatan diperlukan untuk meluncurkan satelit ke dalam ruang angkasa.
Meluncurkan sebuah Bumi Satelit dari Tanjung Canaveral
Kami tahu dari Contoh 6.5.3 bahwa kecepatan satelit dalam orbit melingkar dekat Bumi adalah sekitar 8 km/s. Satelit diluncurkan ke arah timur untuk memanfaatkan Bumi rotasi. Untuk suatu titik di Bumi dekat khatulistiwa, kecepatan rotasinya kira- kira mately REaq# q#, yaitu sekitar 0,5 km/s. Untuk sebagian besar bahan bakar roket, ejeksi efektif kecepatannya berkisar antara 2 sampai 4 km/s. Misalnya, jika kita ambil V -- 3 km/s, maka kita Temukan itu itu massa perbandingan dihitung dari Persamaan 7.7.9 adalah
Hai = e xp 0
= exp 8.0 —0.5
V3 _
ke meraih orbit kecepatan dari itu tanah. Dengan demikian, hanya tentang 8% dari itu total awal massa adalah muatan.
C‘9PJIfiRz 'WW■
id
7.7 Motion of a Body with Variable Mass: Rocket Motion 315
Multi-Tahap roket
Contoh 7.7.1 menunjukkan bahwa sejumlah besar bahan bakar diperlukan untuk memuat ke dalam rendah bumi orbit (LEO) bahkan jika itu efek dari gravitasi dan udara perlawanan adalah absen. Mengabaikan hambatan udara bukanlah perkiraan yang buruk karena pembentukan roket yang hati-hati dapat sangat meminimalkan efeknya. Namun, seperti yang pasti Anda duga, kami tidak bisa abaikan efek gravitasi karena sangat memperbesar masalah meletakkan sesuatu ke dalam orbit.
Itu persamaan dari gerakan dari itu roket dengan gravitasi bertindak adalah diberikan oleh Persamaan 7.7.5
dv V dm dt dt
Memilih itu ke atas arah sebagai positif dan menata ulang ketentuan, kami Dapatkan
(7.7.10)
Untuk itu roket ke meraih lepas landas, itu pertama ketentuan pada itu Baik dari Persamaan 7.7.11 harus melebihi yang kedua (ingat, dm negatif); dengan kata lain, roket harus mengeluarkan banyak materi, dm, pada kecepatan buang tinggi V.
Kebalikan dari konstanta g/V dalam sekon istilah adalah "parameter kebaikan" untuk jenis roket tertentu dan telah diberikan khusus nama, itu khusus Impuls c, dari itu roket mesin.
Ini memiliki dimensi waktu, dan nilainya tergantung pada kecepatan buang roket. Ini, pada gilirannya, terutama tergantung pada termodinamika dari apa yang terjadi di dalam pembakaran roket ruang dan bentuk nosel roket. Dirancang dengan baik kimia- roket ical yang bekerja dengan oksidasi cepat bahan bakar biasanya memiliki kecepatan buang sekitar 3000 m/s dimana berat molekul rata-rata bahan mudah terbakar adalah sekitar 30. Jadi, c, = V/g -- 300 s.
Kita sekarang mengintegrasikan Persamaan 7.7.11 selama itu bahan bakar membakar ke atas ke itu saya kehabisan tenaga cz
ke Temukan itu terakhir kecepatan tercapai oleh itu roket.
1 ”dv —— —
V J0
Menyelesaikan itu integrasi, kami Dapatkan
dm 1 Hai'
d' (7.7.13a)
= dalam f '
F —
V 'fi + 'p 's
(7.7.13b)
Massa pada persamaan di atas adalah tnfi = massa roket, trip = massa muatan, dan F - massa dari itu bahan bakar (plus pengoksidasi).
Pemecahan Persamaan 7.7.13b untuk itu massa perbandingan, kami Dapatkan
(7.7.14)
316 CHAPTER 7 Dynamics of Systems of Particles
Pertanyaan yang menarik di sini adalah berapa banyak bahan bakar yang dibutuhkan untuk mendongkrak roket dan muatannya ke LEO? Kecepatan akhir roket harus sekitar 8 km/s. Memecahkan massa bahan bakar relatif ke itu massa dari itu roket dan itu muatan, kami Dapatkan
(7.7.15) Waktu pembakaran roket yang mengangkat muatan ke LEO adalah sekitar 600 detik.
Menempatkan re- depan angka ke dalam Persamaan 7.7.15 hasil hasil
'F _ p (2.67+2.00 ' — saya - ios
Di lainnya kata-kata, dibutuhkan sekitar 105 kg dari bahan bakar ke tempat 1 kg dari pejantan ke dalam orbit! Ini perbandingan lebih besar dari yang biasanya dibutuhkan.
Misalnya, berat lepas landas dari Saturnus V sekitar 3,2 juta kg dan bisa menempatkan 100.000 kg ke orbit. Ini adalah rasio sekitar 32 kg bahan bakar untuk setiap kilogram barang orbit. Mengapa hasil kami merupakan faktor 3 lebih besar?
Saturn V menggunakan roket dua tahap yang lebih efisien untuk meluncurkan muatan ke LEO. Itu tangki yang menampung bahan bakar untuk tahap pertama dibuang setelah pembakaran tahap pertama selesai. penuh; dengan demikian, ini sekarang tidak berguna massa adalah bukan dikuatkan ke dalam orbit, yang sangat mengurangi itu kebutuhan bahan bakar secara keseluruhan. Mari kita lihat Persamaan 7.7.14 untuk melihat cara kerjanya. Kita menunjukkan massa perbandingan oleh itu simbol, p
(7.7.16)
Kami berasumsi bahwa rasio massa tahap pertama p sama dengan yang kedua dan bahwa waktu burnout fqt dan fpt untuk setiap tahap adalah identik. Kemudian kita dapat menghitung terakhir kecepatan tercapai oleh setiap panggung dari Persamaan 7.7.13b
' = lnp — (7.7.17)
dan
(7.7.18)
Pemecahan untuk vJt memberi
°"
= 21np — 2 (TTl9)Pemecahan untuk itu bahan bakar ke roket dan muatan massa perbandingan sebagai sebelum memberi
'F (7.7.20)
7.7 Motion of a Body with Variable Mass: Rocket Motion 317
Menempatkan di itu angka, kami Dapatkan
(7.7.21) Jadi, hanya dibutuhkan sekitar 27 kg bahan bakar untuk memasukkan 1 kg barang ke orbit menggunakan dua tahap roket. Jelas, ada keuntungan besar untuk pementasan seperti yang ditunjukkan di Saturnus V