PENURUNAN PARAMETER KESERPAAN (KELOMPOK TAK BERDIMENSI) DARI PERSAMAAN DASAR

0 pV2'd'pVd

5.7. PENURUNAN PARAMETER KESERPAAN (KELOMPOK TAK BERDIMENSI) DARI PERSAMAAN DASAR

Supaya f:ederhana,kita akan perhatikan fIuida yang inkompresibel. Persamaan kontinUltasnyaada1ah:

au a~. Ow -+-+-=0

ax ay Oz

clankita perhatikan salah satl! komponen persamaan Navierstokes, yang menyatakan suku grafitasi :

... ... .. ..5.9

Di samping persamaan deferensial, syarat batas barns pula ditetapkan untuk melengkapi persyaratan pen;oalan :

Duajanis syarat batas yang penting adalah :

(a) Kecepatan fluida pada semua permukaan ditetapkan ( diketahui )

(b) Kecepatan fIuida pada sebagian permukaan ditetapkan sedangkan permukaan yang lain adalah pennukaan bebas, dimana tekanannya ditetapkan, walaupun kedudukan eksak dari pennukaan tidak di tetapkan.

Aliran melalui suatu tabung venturi atoo disekitar suatu silinder merupakan contob dari syarat batas yang pertama sedangkan aliran air di dalam saluran yang terbuka dengan pennukaan bebas adalah contoh dari syarat batas yang kedua.

Secara simbolis, jenis syarat batas yang pertama dapat dinyatakan sebagai :

padaf( Xb,Yb,Zb) = 0 . . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. ..5.11

di manaf( Xb.Yb,Zb) = 0 adalah persamaan yang mendefinisikan kedudukan permukaan batas.

Untuk syarat batas jenis kedua. spesifikasi dari pennukaan batas dengan benda padat dapat dinyatakan seperti di atas. Untuk bagian permukaan batas, dengan mengabaikan tegangan permukaan, dapat dituliskan:

P = Pbpada F ( Xf.Yr,Zf) = 0 Di mana fungsi F mula tidak diketahui:

43 DaJam mengubaJl persamaan 5.9 dan 5.10 menjOOituk berdimensi. perlu dipiJih besaran karakteristik atan patokan untuk tiap veriable. Untuk itu kita gunakan Uo sebagai kecepatan patokan. 10sebagai panjang patokan. dan Po sebagai tekanan patokan. Untuk waldu kita gunakan IJuo sebagai waldu patokan. Besaran patokan ini dapat dipilih sesuka kita, tetapi harns merupakan besaran teTtentu dalam 80al yang bersangkutan. Misalnya, untuk aJirdIl didaJam tabung Venturi, diameter penampang yang tersempit dapat digunakan sebagai patokan dan seterusnya. SelanjutnySlkitaukur tiap variable dalam besaran patokan yang sesuai dan dengan demikian didefinisikan variable tampa dimensi berikut dengan tanda *:

u

=

uo u*

v

=

110v*

x

=

^loX*

t

= IJuo.t*

P

=

PoP*,dan sebagainya.

Persamaan kontinuitas dari Navier-stokes menjadi :

au.

⁺

a".

+

aw.

_ 0 5.12

ax. oy" Oz.-

dan

au" au" au" au.

-+u-+v-+w-=

at" Ox. 0''' Oz. 5.13.

demikian pula syarat-syarat batas menjOOi:

yang terakhir ini berlaku bila pOOapennukaan bebas, dan bila tegangan dapat diabaikan.

u* = lib*

v* = _Vb* padaf( Xb*.Yb*,Zb*)= 0 . . .. .... ... ... ... .. . ..5.14

w* -- Wb*

clan p*

=

_Pb* pOOaF (Xf*, Yr*, Zf*) = 0

dapat kita lihat bahwa dengan anaJisa semacam ini ditemukan tiga keJomok tak berdimensi atau parameter keserupaan :

~.8. KRSERUPAAN (SIMILITUDE)

keserupaan daJam pengerti8ll yang umum berarti indikasi adanya keadaan tertentu yang diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini merupakan hubungan aJiran sesuangguhnya dengan aJirao yang menyangkut model yang batas- batasnya sempaseeara geometris tetapi lebih keeil ukurannya.walaupun demikian [perlu dijeJaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlakupula hukum keserupaan untuk aliran dengan batas yang tidak serupa. MisaJnya, ada hubungan kesempaan antara aJimn subsunik kompressibel ( M < 1) sekitas suatu benda dengan aliran inkompresibel sekitar benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan benda peertama yang diseformasikan menurut eara tertentu, dan ini dikebnaJ sebagai atW11Dkesempaan Gotherl Demikian pula daJam hidrologi diperlukan suatu modeJ dari sungai-sungai yang pandangan atasnya sempa, tetapi dalamnya tidak serupa. Selanjutnya akan dibahas aliran seC8rageometris.

Dua alimn yang mempunyai garis arus yang sempa disebut aliran yang serupa secara kinematis. Karena batas benda merupakan garis arns, tentunya aliran yang sempa kinematis h8ll18pula sempa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum tentu benar, seperti ditunjukkan dalam gambar 5.3. disim digambarkan garis &rUSsekitar benda yang berbentuk belah ketupak dalam aJiran dua dimensi. Gambar a. menutriukkan aliran subsonik, M<l. sedangkan gambar b. aliran super Bonik,M<l. Dapat dilihat bahwa garis aJurnyatidak sempa.

45'

Gambar 5.3. Garis arus sekitar benda berbentuk belah ketupat 2 Dimensi

Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinarnis, bila distribusi gaya pada kedua aJiran adoJah sedemikian, sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya yang sejkenis ( misalnya gaya geser, tekanan, dan sebagainya) saling sejajar. dan memunyai peroaodingan yang sarna dengao pada pasangan tink yang berkorenspondensi Jainnya.

Sehuyutny~ angka perbandingan inl juga sarna untuk jenis gaya yang lain. Karena gaya seperti gaya angkat dan tahanan untuk skala sebenamya biasanya diramalkan dengan mengukur ygaya. yang serupa pada model-model yang lebih keci~, jelaslan mengapa keserupaan dinamis sanga! penting daIanl pengujian.

Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya keserupaan kinematik, clan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga.

pcrbandingan maaa jenis pOOatitik dalam aliran yang berkt>prespondensi mempunyai harga yang sarna pada setiap pas~mgtitik. Atiran yang memenuhi syarat yang terakbir ini disebut aliran distribusi masa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis berarti babwa kecepatan dan percepatan pOOa titik yang berkorespondensi. adalah sejtYlr clan perbanclinganbesar harga mutlaknyaadalab kOllstan.Aliran yang serupa secara kinematis dan mempunyai distribus masa yang serupa, dari hukum newton, juga mempunyai gaya resultan yang perbandingan harga mutlaknya sarna untuk titik yang saling berkorespondensi. Selain itu pada tink yang berkorespondensi juga sej~ar. JOOialiran yang serupa secara kinematis dan distribusi masanya serupa memenuhi syarat kesempaan.

5.9. ANALISA KESERUP AAN DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN

DASAR.

Kita perhatikan sekarang dua soal yang menyangkut aliran f1uida inkopresibel.

yang syarat batasnya sarna bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi.

Misalnya kedua soal ini adalal1aliran disekitar dua ailinder. yang satu lebih besar dari yang lain, srayat batas menyatakan bahwa kecepatan pada permukaan silinder" sarna dengan nol dan kecepatan pada takl terbingga adaklah tetap dan sarna dengan kecepatan fluida bila silinder tidal<ada. Kita gunakan kecepatan ini sebag-cUkecepatan patokan,

diameter sHinder sebagai panjang patokan, dan tekanan s~agnasi sebagai tekananpatokan.

Bila syarat batasnyajuga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, terlihat bahwa kedua- duanya sarna. Dengan demikian pemecahan kedua soal ini, bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi, temyata akan sarna bila persamaan diferensialnya juga sarna.

Bila kita perhatikan persamaan yang berlaku, terlihat bahwa persamaan kontinuitas dengan sendirinya memenuhi syarat tersebut, sedangkan persamaan Navier-Stokes akan sarna untuk kedua hal di atas ini hila ketiga paramet~r : po/pu,,2, v/uolo dan g l./u02 mempunyai harga yang samadalam kedua soal diatas. Bita demikian kedua soal di atas dapat dikatakan sempa"secara dinarnis, disamping secara geometris (konggruen).

Pemecahal1 untuk soal Y311gpertama, misalnya dapat diperoleh secara eksperimen, dan hasil ~ksperimen ini akan berlaku untuk aliran di sekitar silinder yang kedua.

Sekarang kita periksa secara lebih mendalam ketiga parameter yang timbul dalam persamaan Navier-Stokes. Bilangan po/put/ menyangkut hasil bagi antara tekanan patokall dengan tinggi kecepatan yang didasarkan pada kecepatan patokan. Dengan menganalisa parameter ini secara fisik dan bukan matematis, kita lihat bahwa hasil bagi ini hanya berarti bila tekanan absolut dari alinm mempunyai arti yang penting, yaitu bila hanya absolut dari po penting. Dalam banyak soal, harga absolut dari p tidak mempengaruhi besaran pu/ (atau ~ pU02),dan yang t.erakhirini dapat diambil sebagai ukuran tekanan, dan bukan po.

Deng311demikian jumlah besaran patokan dapat dikurangi dan parameter pI puo2 del1gan demikian menjadi berharga satu (atau 1/2) clan tidak perlu dibitung sebagai parameter yang tersendiri. Kedua, karena harga absolut dari tekanan tidak mempengamhi aliran, tekanan dapat diukur terhadap tiap patokan yang. memudahkan analisa. Misalnya, tekanan pada permukaan bebas dapat digunakan sebagai tekanan patokan, schingga haerga relatif dari tekanan pada. permukaan tersebnt ada1ah nol. Da1anl 80aJ di mana.

penyederhanaan yang demikian mungkin, jumlah parameter ada dua., yaitu u IUoLodan gl./uo2.

Penyederbanaan yang demikian tidak selalu mungkiu. Dalam beberapa alirall, tckanan pada titik tertentu menjadi sangat rendah sehingga mencapai tckanan uap dari cairan sehingga terbentuk kavitasi uap, suatu geja1a yang disebnt kavitasi. Da1ama1iran

47 d€'mikianharga absolut dari tekanan merupakan fakt"f y:mgpenting. kar€'na tekanan yang tinggi akan mencegah kavitasi. POOasuatu titik sil~der, tekanannya adaIah poo.uo2 . Tekanan (Poo_uo2) mungkin sarna dengan uap air. Dalam contob semacarn ini, parameter po /puo merupakan suatu faktor yang penting. Karena itu dalam BOalsemacarn tekanan diukur relatifterhadap tekanan uap.

Jadi :

po

=

poo

-

^Pv

sehingga

Po _ POI>- P,

1~- 1.1 2

~ PUn 72pU"

karena /2l,;.:iPU02 mempunyai arti khusus, parameter yang sering digunakan adalah : Po _ Pro - p,

,I,{pu() 2 - MpUo 2

yang dikenalsebagai bilangan Euler, Eu.

kedua parameter lain OOaJah-2- dan

~

; yang lebib dikenaJ adaJah nol / v, yaitu

uolo Uo

bilangan Reynolds, Re, clan bilangan Froude Fr

=

^Uo . Bila bilangan Euler dapat gso

diabaik8ll, maka bilangan Froude clan bilangan Reynolds merupakan parameter yang menentukan karakteristik aliran. Ini berarti bahwa bila dua aJiran mempunyai bilangan Reynolds yang sarna dan bilangan Froude yang sarna, uraian kedua aliran ini daJam besaran tak berdimensi akan sarna, asalkan syarai batas ( tak berdimensi ) dari kedua persoalan inijuga sarna.

Sekarang kita perbatikan satu jenis soal mana penyederhanaan yang lebih lanjut dapat dilakukan. Misainya aliran cairan tampa pennukaan bebas di daJam suatu pipa. Fluida dianggap inkompresibel clanbilangan Euler dianggap tidak penting untuk soal ini. Bila fluida di daJampipa tidak mengaJir, maka berlaku :

Yang dapat diperoleh dari persmnaan Navier-Stokes. Subskrip r digunakan di sini untuk menunjukkan bahwa tekanan yang bersangkutan ditemui bila fluida tidak mengalir.

Dengan menggunakan persamaan di atas dari persamaan Navier-Stokes diperoleh:

dimana Pn

=

P - Proclandisebuttekanannon gravitasi. Di sini dapatdilihat bahwa suku gravitasi dan bilangan Froude dapat dihilangkan dari persmnaan garak. Selanjutnya kita periksa syarat batasnya. Bila b-yarat batas ini termasuk jenis yang kecepatannya ditentukan pada batas yang tetop dalam ruang. maka syarnt batas ini tidak berubah dengan adanya substitusi tekanan sebenamya dengan tekanan non gravitasi. Demikian pula persamaan kontinuitas tidak dipengarubi oleb substitusi dua persamRRndiferensial dan syarat batas dalam bentuk tak berdimensi yaitu bilangan Reynolds. Untuk soal seperti illi. syarat untuk keserupaan dinamis adaIah bahwa bilangan Reynotdsnya sarna besar.

Aliran semacam ini banyak dijumpai dalmn mesin fluid&. serak benda di miara pada kecepatan rendah dan sel?againya.

Sekarang kita perhatikan satu jenis soal di mana dijumpai permukaan bebas, yaitu pennukaan batas yang bentuknya tergantung pOOa gerak. Dengan demikian konsep tekanan non gravitasi talcdapat menghasilkan penyederbanaan, karena pr harns diperoleh untuk bentuk permmukaan bebas yang terjadi sewaktu fluida mengalir.

Bentuk permukaan ini harns ditentukan dari persamaan dinamik lengkap yang penyertakan efek gravitasi. Karana itu suku gravitasi tidak dapat dihilangkan dari persamaan dasar, dan bilangan Froude harus diperhatikan sebagai parameter terpisah. Hal scmacam ini tcrjadi misalnya pada a1iranmela1uisa1urmtterbuka, perambatan ombak dan aJiran disekitar akpa1.

Sebagai ringkasan, dopat kita katakan bahwa keserupaan dinanlis dari aliran fluida yang tidak kompresibel yang dipengaruhi ole}}gravitasi clanviskositas umumnya ditentukan olah tiga parameter, yaitu bilangan Euler (Foo - Py) /lh PUo2.bilangan Froude UoIv g10 dan bilangan Reynolds UoIJv

.

Bila gravitasi tidalc penting. bilangan Eulel" dopat diabaik~ sehingga bilangan Reynolds menlpakan parameter yang penting untuk keserupaan dinamis.

49 Untuk aljran dengmrpermukaan bebas. baik bi1anganReynolds maupun bi1anganFroude harns diperhatikan.

Disamping bilangan tak berdimensi yang disebutlcandi mas yang penting daJam alirantak kompresibel. masih ada beberapa bilangan tak berdimensi yang penting, misaJoyabila efek kompresibilitas. eleldromagnetik dan sebagainya perlu di perbatikan.