Misalkan ada pemetaan antara permukaan pertama r = r (u,v) dengan permukaan kedua rl = rl(u,v) melalui rumus transformasi ul = ul(u,v), vl = v1(u,v). ,Titik P(u,v) pada permukaan pertama dipetakan menjadi titik Pl(u,v) pada permukaan kedua. Kuadrat elemen panjang di P dan Pl arah du, dv adalah :
ds2 = E du 2 + 2 F du dv + G dv2
ds12 = Eldu2 + 2Fl du dv + Gl dv2 .. (4.2)
E, F, G adalah koefisien Bentuk Dasar Pertama di P, dan E1, F1, G1 adalah koefisien Bentuk Dasar Pertama di P1. Lihat gbr.4.1 berikut :
Gbr.4.1 : ds dan ds 1
ds ds1
= k ... (4.3) k dinamakan perbesaran atau faktor skala di P arah du, dv.
Perhatikan bahwa faktor skala k, disamping tergantung dari u,v (letak P) tergantung pula dari arah du, dv. Jadi
ds ds1
= k (u, du, dv) ... (4.4) Untuk du = 0, dv ≠ 0, maka (dari pers.4.2) dan (4.3)
Didapat : K =
G G1
... (4.5) Untuk du ≠ 0 , dv = 0 , maka :
K = E E1
... (4.6) Untuk contoh di atas, sudah diketahui bahwa : E = R2, R =0, G = R2 cos2 L untuk permukaan pertama (bola). Maka :
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB 2
Akan dihitung E1, F1, G1 untuk permukaan kedua : rl = [RB, RL, 0]
L r
∂
∂1
= r1L = [0, R, 0]
B r
∂
∂1
= r1B = [R, 0, 0]
E1 = r1L.r1L = R2 , F1 = r1L.r1B = 0, G1 = r1B.r1B = R2
k = 2 2 2 12
2 2
1 )
( cos
LdB dL
dB dL ds
ds
+
= +
Faktor skala arah meridian (dB = 0), k = 1.
Faktor skala arah paralel (dL = 0), k = sec L.
4_3. Pemetaan Konform Misalkan :
ds ds1
= k (u, v) ... (4.7)
Berarti k hanya bergantung dari u dan v saja dan tidak ber- gantung pada arah du, dv.
Pemetaan yang memenuhi (4.7) dinamakan pemetaan konforin.
Dari = 2
2 1
ds
ds = k
Gdv Fdudv Edu
dv G Fdudv du
E =
+ +
+ +
2 2
2 1 2
1
2 2
dengan menamakan du
dv = λ, didapat :
E1 + 2F1λ + Gl λ2 = k2 (E + 2Fλ + G λ2 ) atau :
(El - k2E ) + 2(Fl - k2F)λ + (G1 - k2G ) λ2 = 0
Persamaan di atas merupakan identitas, berlaku untuk setiap arah λ. Maka koefisien-koefisien dariλ harus = 0.
E1 – k2 E = 0 , F1 – k2F = 0 , G1 – k2G =0 Atau :
E1 = k2E , F1 = k2F , G1 = k2G ... (4.8) Atau :
1 1 1 k2 G G F F E
E = = = ... (4.9)
Jadi bila pemetaan adalah konform, maka akan memenuhi (4.9).
Sebaliknya bila suatu pemetaan memenuhi (4.9), maka pemetaan itu adalah konform.
Misalkan suatu pemetaan adalah konform. Titik P dipe- takan menjadi titik P1. Di P ada dua arah du, dv dan du, dv.
Namakan sudut antara dua arah tersebut di P adalah a dan di Pl
adalah al. Besar sudut antara dua arah du, dv dan δ u, δ v (3.22) adalah :
cos α =
12 2 2 2
2 1
2 2 ) ( 2 )
(
) (
v G v u F u E Gdv Fdudv Edu
v Gdv u
dv v du F u Edu
δ δ δ δ
δ δ
δ δ
+ +
+ +
+ +
+
cos α1 =
12 2 1 1
2 2 1 2 1 1 1
2 1
1 1 1
) 2
( ) 2
(
) (
u G v u F u E dv G dudv F du E
v dv G u dv v du F u du E
δ δ δ δ
δ δ
δ δ
+ +
+ +
+ +
+
Karena konform, maka E1 = k2E, F1 = k2F, Gl = k2 G.
Substitusi ketiga persamaan terakhir ini dalam persamaan untuk cos αl , didapat :
cos a = cos α1 atau α = αl ,
berarti dalam pemetaan konform besar sudut antara dua arah dipertahankan. Lihat gbr.4.2 berikut :
Gbr.4.2 : a = α1
Untuk segitiga yang kecil di P akan dipetakan menjadi segitiga di P1 , dimana kedua segitiga tersebut adalah se- bangun (sudut-sudutnya sama).
Contoh :
Permukaan bola, parameter L, B dipetakan pada bidang XOY , parameter ρ, Ө (koordinat polar), melalui rumus transform- asi :
ρ = 2 R tan ( 4 π -
2
L), Ө = B.
Meridian bola (B = tetap), dipetakan menjadi garis melalui O di bidang XOY, dan paralel bola (L = tetap) , dipetakan menjadi lingkaran dengan pusat 0 di bidang XOY.
Untuk permukaan bola telah didapat E = R2 , F = 0 dan G = R2 cos2 L. Maka :
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB 2 Persamaan dari bidang XOY, parameter p, 8 .
rl = [ρ cos Ө, ρ sin Ө, 0]
Dari rumus traasformasi persamaan bidang XOY menjadi : rl 2R tan (
4 π -
2
L) cos B 2R tan ( 4 π -
2
L) sin B 0
r1L -R sec2(
4 π -
2
L) cos B -R sec2( 4 π -
2
L) sin B 0
r1B -2Rtan ( 4 π -
2
L) sin B 2R tan ( 4 π -
2
L) cos B 0
E1 = r1L.r1L = R2 sec4( 4 π -
2
L) , Fl = riL.r1B = 0 ,
G1 r1B.r1B = 4R2 tan2( 4 π -
2 L) ds12 = E1 dL2 + G1 dB2
E E1
= sec4 ( 4 π -
2 L),
G G1
= 4 tan2 ( 4 π -
2
L)/ cos2 L
=
L L L
2 2 2
cos . 1 2) (4 cos
2) (4 sin 4
−
− π
π
Dari sin α = 2 sin 1 2α cos12α , maka sin1 2α =
α α
12 2
cos 2
sin
atau :
sin212α =
α α
12 2 2
cos 4
sin
Diterapkan pada sin2 ( 4 π -
2 L) :
sin 2 ( 4 π -
2 L)=
2) (4 cos 4
cos 2)
(4 cos 4
2 ) ( sin
2 2
2 2
L L L
L
−
=
−
−
π π
π
Substitusi dalam persamaan untuk G G1
di atas : E
E1
= )
2 (4 sec cos
2) (4
1 2)
(4 cos 4
cos
4 4
2 2
2 L
L L L
L = −
−
−
π π
π
Maka :
E E1
= G G1
= sec4 ( 4 π -
2 L) dan :
k = sec2 ( 4 π -
2 L)
k hanya tergantung dari L dan tidak tergantung dari arah dL, dB. Maka pemetaan di atas konform.
Soal Latihan :
Tunjukkan bahwa pemetaan dari permukaan bola, parameter B pada bidang XOY, parameter x,y melalui rumus transformasi x = RB, y
= R ln tan ( 4 π +
2
L) adalah konform
4.4. Pemetaan Sama Was
Bila elemen luas pada permukaan pertama dipetakan jadi elemen luas pada permukaan kedua, dan luas dari kedua elemen luas tersebut adalah sama, maka pemetaan dinamakan pemetaan sama luas. Lihat gbr.4.3. :
Gbr.4.3 : Elemen luas
dr = ru du , r = δ r = rv δ v.Elemem luas adalah jajaran genjang yang dibentuk oleh dr danδ r.Luas elemen luas tersebut sama dengan drxδr . (1.2.6.)
r
drxδ = (drxδr).(drxδr) = (ruduxrvδv).(ruduxrvδv)
= (ru.ru)du2(rv.rv)δu2−(rv.ru.rv)2du2δv2
= EG−F2duδv (dari 1.12)
Luas dari elemen luas pada permukaan kedua sama dengan : v
du F G
E1 1− 12 δ
Luas dari kedua elemen luas sama, maka : EG−F2 =E1G1−F12 Jadi bila pemetaan adalah pemetaan sama luas, maka :
2 1 1 1
2 EG F
F
EG− = − ...(4.10)
Sebaliknya, bila berlaku (4.10), maka pemetaan adalah pemetaan sama luas.
Bila F = 0 dan F1 = 0, maka EG = E E1
G G1
= 1.
E E1
adalah factor skala arah meridian, G G1
adalah factor skala arah parallel.Maka untuk F = 0, F1 = 0 ,
Kmkp = 1
Dimana km adalah factor skala arah meridian, dan kp adalah factor skala parallel.
Contoh :
Permukaan bola dengan parameter L,B dipetakan pada bidang XOY, parameter x,y melalui rumus transformasi : x = RB ,
Y = R sin L.
E = R2 , F = 0 , G = R2 cos2 L
r1 RB R sin L 0
r1L 0 R cos L 0
r1B R 0 0
E1 = R2 cos2 L, F1 = 0 , G1 = R2
E =
E1 cos2 L, G G1 =
2 L cos
1 , =
G G E
E 1
1.
1 , pemetaan
Sama luas.
Soal Latihan :
Permuakaan bola, Parameter L,B dipetakan pada bidang XOY ,parameter x,y melalui rumus transformasi :
X = 2 R sin ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ − 2 4 π L
sin B, y = 2 R sin ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ − 2 4 π L
cos B (a). Tentukan pemetaan dari meridian bola di bidang XOY !!
(b). Tentukan pemetaan dari paralel bola di bidang XOY !!
(©). Tunjukan bahwa pemetaan adalah sama luas !!
4.5 Pemetaan Sama Jarak
Pemetaan dinamakan pemetaan sama jarak, bila ds = ds, untuk setiap arah du,dv.
Dari: ds2 = E du2 + 2 F dud v + G dv2
Dan : ds12 = E1 = , F1 = F , G1 = G ....(4.12)
Dapat juga sama jarak hanya dalam suatu arah tertentu.
Misalkan pada permukaan rotasi, sama jarak dalam arah meridian (dv = 0) atau. Dalam arah parallel (du = 0).
Dalam arah meridian : Km = E E1
= 1 ....(4.13)
Dalam arah parallel : Kp = G G1
= 1 ....(4.14)
Contoh 1 :
Permukaan bola, parameter L, B dipetakan pada bidang XOY, parameter x,y, melalui rumus transformasi x = RB, y = RL.
r1 RB RL 0 r1L 0 R 0 r1B R 0 0
E1 =R2, F1 = 0 , G1 = R2 , sedangkan E = R2 , F = 0 dan G = R2 cos2 L.
Ternyata E1 = E , berarti sama jarak arah meridian.
Contoh 2 :
Seperti pada contoh 1, tapi dengan rumus transformasi : X = R cos L sin B , Y = R cos L cos B
Berarti meridian dipetakan menjadi garis melalui o di bidang XOY dan paralel dipetakan menjadi lingkaran, pusat di o di bidang XOY.
r1 R cos L sin B R cos L cos B 0 r1L -R sin L sin B -R sin L cos B 0 r1B R cos L cos B -R cos L sin B 0
E1 = R2 sin2 L, f1 = 0,G1 = R2 cos2 L, sedangkan E = R2, F = 0, G = R2 cos2 L. Ternyata G1, berarti sama jarak dalam arah parallel.
Telah didapat untuk permukaan rotasi : Km = 1, sama jarak arah meridian Kp = 1, sama jarak arah parallel
Km.kp = 1, sama luas ... (4.15) Km = kp, sama sudut (konfrom)
Dimana : Km = 1,
E
E kp = G G1
4.6. pemetaan konfrom melalui fungsi kompleks
Parameter fari permukaan, dinamakan parameter isometric bila F = 0 , dan E = G.
Contoh 1 :
Bidang XOY dengan parameter x,y ; r r y 0
rx 1 0 0 ry 0 1 0
E = 1, F = 0, G= 1, maka x,y adalah parameter isometrik.
Contoh 2 :
Bidang XOY, dengan parameter ρ,θ;
r ρ cos θ ρ sin θ 0
r cos θ sin θ 0 r θ - sin θ ρ cos θ 0
E = 1, F = 0, G = ρ2, E ≠ G, ρ, Ө bukan paramater isometrik.
Sekarang perhatikan :
Ds2 = dρ2 + ρ2 + dӨ2 = ρ2
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧( )2+ θ2 ρ
ρ d
d
Namakan ρ
ρ
d = dρ1, maka lnρ = ρ1 atau ρ = eρ1 Maka :
ds2 = ρ12 {dρ12 + dӨ2}
sekarang F = 0, E = G = 2 ; ρ1, Ө paramater isometrik
Contoh 3 :
Permukaan bola, paramater L,B. Didapat E =R2,F =0, G = R2 cos2 L. L,B bukan parameter isometrik.
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB2
= R2 cos2 L
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ )2+ 2
(cos dB
L dL
Namakan L dL
cos = dQ dan Q = ln tan(π4 + 2L) Maka :
ds2 = R2 cos2 L dQ2 + dB2 sekarang Q, B parameter isometrik.
Misalkan y + ix = z dan Q + iB = w dua variabel kompleks.
Bila:
z = f(w)
dengan f(w) analitik dan f’ (w) ≠ 0 maka pemetaan Q, B ke X, Y konfrom.
F(w) dikatakan analitik di w, bila : f’(w) = dw
dz ada.
Pembahasan yang terinci mengenai ini dapat dilihat dari:
“ PEMETAAN KONFROM DENGAN FUNGSI KOMPLEKS” !
DAFTAR PUSAKA
1. STRUK, D.J. (1950) : Lectures on classical Differential Geomtry, Addison – Wesley Press.
2. WEATHERBRUN, C.E. (1971) : Differential Geometry Of Three Dimensions,Cambridge University Press.
3. WILIMORE, T.J. (1959) :An Introduction to Differential Geometry, Oxford University Press.
--o0o—
I N D E K S Arah kelengkungan 56
- meridian 53, 65 - paralel 53, 65 - vektor 1
Bentuk Dasar Kedua (II) 48 Bentuk Dasar Pertama (I) 40 Besar Vektor 1
Bidang, lihat Persamaan Bidang Normal 48
Clairaut, lihat Teorema Elemen panjang 41
Ellipsoida 63 Faktor skala 79 Geodesik 75 Heliks 20
Hukum asosiatip 3, 4 Hukum distributip 3, 4 Hukum komutatip 3
Jejari kelngkungan 28 - - ellipsoida 67 - - normal 50 - - utama 56 Jumlah vektor 3 Kelengkungan 27 - Gauss 73 - Normal 48 - Rata-rata 73 - Utama 56 Koeifesien I 41 Koeifisien II 50 Komponene vektor 7
Koordinat kurvilinier 38
- bidang 20 - parametrik 38 - ruang 20
normal Permukaan 45 - bola 46
- kerucut 47 - kurva 28 Panjang busur 21 Parameter 16, 17 - isometrik 89 pemetaan 78
perkalian tiga vektor 5, 13 - sekalar dengan vektor 2, 8 Permukaan 23
- rotasi 36
Persamaan ellips 19 - bidang 32, 35 - bola 33
- garis 17 - krucut 35 - lingkaran 18
- permukaan rotasi 37 - silinder 34
Produk skalar 4, 9 - vektor 5, 10 Rumus transformasi 77 Selisih vektor 3
Sudut antara dua arah 44 - - - kurva parametrik 37 Syarat kurva parametrik Saling tegak lurus 45 Teorema Clairaut 75