Ilmu Ukur Differensial Buku Koesdiono

Ilmu Ukur Differensial

Oleh

Drs. K O E S D I O N O

JURUSAN TEKNIK GEODESI

FAKULTAS TEKNIK SIPIL & PERENCANAAN INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

1 9 9 2

D A F T A R I S I

Hlm.

l. V E K T O R ... 1

1.1. Vektor dan Skalar ... 1

1.2. Kesamaan dan Operasi Vektor .... ... 1

1.2.1.Kesamaan ... 1

1.2.2.Perkalian Skalar dengan Vektor ... 2

1.2.3.jumlah Vektor ... 3

1.2.4.Selisih Vektor ... 3

1.2.5.Produk Skalar ... 4

1.2.6.Produk Vektor ... 5

1.2.7.Perkalian Tiga Vektor ... 5

1.3. Komponen-komponen Vektor ... 7

1.4. Kesamaan dan Operasi Vektor dalam Komponen – Komponen ... 8

1.4.1.Kesamaan Vektor dalam Komponen-komponen .... 8

1.4.2.Perkalian Skalar dengan Vektor dalam Komponen ... 8

1.4.3.Jumlah dan Selisih Vektor dalam Komponen ... 8

1.4.4.Produk Skalar dalam Komponen ... 9

1.4.5.Produk Vektor dalam Komponen ... 10

1.4.6.Perkalian Tiga Vektor dalam Komponen ... 13

1.5. Turunan Vektor ... 14

2. K U R V A ... 16

2.1. Persamaan Kurva ... 16

2.2. Panjang Busur... 21

2.4. Kelengkungan ... 27

3. P E R M U K A A N ... 32

3.1. Persamaan Permukaan ... 32

3.1.1.Persamaan Permukaan Bola,Pusat O,Jejari R ... 33

3.1.2. Persamaan Silinder Lingkaran Tegak, Poros Sumbu Z, Jejari a ... 34

3.1.3. Persamaan Bidang XOY ... 35

3.1.4. Persamaan Permukaan Kerucut ... .... 35

3.1.5. Permukaan Rotasi (Putar) ...36

3.2. Kurva Parametik ... 37

3.3. Bentuk Dasar Pertama ... 40

3.4. Sudut Diantara Dua Arah Pada Permukaan ... 44

3.5. Normal Permukaan ... 45

3.6. Bentuk Dasar Kedua ... 48

3.7. Teorema Meusnier ... 54

3.8. Arah Kelengkungan, Kelengkungan Utama ... 56

3.9. Kurva Kelengkungan ... 58

3.10.Bila Kurva Kelngkungan Adalah Juga Kurva Paramet- rik ... 59

3.11.Ellipsoida Rotasi ... 63

3.11.1.Jejari Kelengkungan Utama Ellipsoida rota- Si ... 63

3.11.2.Persamaan Ellipsoida dengan Parameter ø,λ.. 66

3.12.Teorema Euler ... 69

3.13.Rumus untuk Menentukan Kelengkungan Utama ... 71

3.14.Kelengkungan Gauss dan Kelengkungan Rata-rata .... 73

3.15.Geodesik ... 75

4. P E M E T A A N ... 77

4.1. Definisi Pemetaan ... 77

4.2. Perbesar ... 78

4.3. Pemetaan konform ... 80

4.4. Pemetaan Sama Luas ... 84

4.5. Pemetaan Sama Jarak ... 85

4.6. Pemetaan Konform Melalui Fungsi Kompleks ... 89

D A F T A R P U S A K A ... 91

I N D E K S ... 92

1. V E K T O R

1.1. Vektor dan Skalar

Vektor :besaran fisik yang mempunyai besar dan arah.

Contoh : gaya, kecepatan, percepatan Skalar :besaran tanpa arah.

Contoh : luas, volume, bilangan.

Vektor digambarkan sebagai garis berarah (anak panah) Ditulis dengan huruf kecil bergaris di atasnya. Lihat gambar 1.1.

Gbr.l.l : Vektor ā

Arah garis menunjukkan arah vektor. Panjang garis menunjuk kan besar vektor. Besar (panjang) vektor ā, ditulis | ā | atau a.

Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, ditulis O.

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu satuan panjang. Bila | ā | = l, maka ā adalah vektor satuan.

1.2. Kesamaan dan Operasi Vektor 1.2.1. Kesamaan

Dua vektor ā dan b dikatakan sama, ditulis ā = b , jika dan hanya jika kedua vektor tersebut sejajar searah

Dan sama panjang; lihat gbr.l.l. Semua vektor dapat dianggap bertitik awal sama, o.

Gbr.1.2. : ā = b ≠ c 1.2.2. Perkalian Skalar Dengan Vektor

Bila α skalar (bilangan) dan ā vektor,maka perkalian α dengan ā, a ā adalah vektor.

Panjang a ā =|α|| ā |; |α| harga mutlak dari α.

Arah a ā. Bila α > 0,maka a ā sejajar searah dengan ā.

Bi1a α < 0, maka a ā sejajar berlawanan arah dengan ā.

Lihat gbr. 1.3.

- ā

Gbr.l.3. :

Vektor-vektor 2ā dan - ā

1.2.3. Jumlah Vektor

Jumlah vektor ā dan b, ditulis ā +b = c didefinisikan sebagai berikut : Lihat gbr. 1.4.

Gbr.1.4. : ā +b = c

Vektor c adalah diagonal yang dibentuk oleh ā dan b

1.2.4. Selisih Vektor

ā – b = ā + (-1) b ; Lihat gbr. 1.5

Gbr.1.5. . a – b

ā – b adalah vektor bermula di ujung b dan berakhir di ujung ā.

Untuk jumlah dan selisih vektor berlaku :

a + b = b + a , komutatip ... (l.l) (ā+b)+c=ā+(b+c),asosiatip ... (1.2) α (a+ b)= α ā ± α b,distributip ... (1.3)

1.2.5. Produk Skalar

Produk skalar a dan b didefinisikan sebagai :

a . b = ab cos θ ... (1.4)

"≡" berarti didefinisikan. ā. b , baca ā titik b.

θ sudut di antara ā dan b.

ā. b > 0 , bila θ lancip ( 0 < θ < 90°) ā. b < 0 , bila θ tumpul (90^° < θ < 180°).

Lihat gbr. 1.6.

Bila θ = 90^° (ā ┴ b), maka ā.b = 0 . Sebaliknya bila ā.b = 0, berarti ā ┴ b.

Untuk produk skalar berlaku :

ā.b = b . ā . . . ( 1 . 5 ) (ā + b).c = ā .c + b.c ... (1.6)

1.2.6. Produk Vektor

Produk vektor " ā kali b" atau " ā silang b” , ā x b = c

didefinisikan sebagai berikut :

Arah c tegaklurus pada ā dan tegaklurus pada b, menurut arah sekrup kanan yang diputar dari ā ke b.

Panjang c sama dengan ab sin θ, dimana θ adalah sudut diantara ā dan b, jadi luas dari jajaran genjang yang dibentuk oleh ā dan b. Lihat gbr. 1.7

Gbr.1.7 : ā x b = c

Untuk produk vektor tidak berlaku hukum komutatip dan distributip

ā x b ≠ b x ā = - ā x b ... (1.7) (ā x b) X c ≠ a ^_X (b x c) ... (1.8)

1.2.7. Perkalian Tiga Vektor

(ā x b) . c adalah skalar.

Lihat gbr. 1.8.

Gbr.1.8 : (a xb ). c

Pada gbr.l.8, c dan ā x b terletak pada pihak yang sama terhadap bidangnya a dan b. Arti geometrik dari (ā x b).c adalah volume ( isi ) dari paralel-epipedum yang dibentuk oleh ā, b dan c. Bila c dan ā x b terletak pada pihak yang

berlawanan terhadap bidangnya ā, b, maka (ā x b).c sama dengan minus dari volume paralel-epipedum.

Untuk perkalian tiga vektor di atas berlaku :

(ā x b).c = (c x ā).b = (b x c). ā ... (1.9) Untuk produk vektor yang meliba,tkan tiga vektor, berlaku

rumus-rumus (tidak diberikan buktinya) :

(ā x b).c = (ā.c) b - (b.c) ā ... (1.10)

ā x (b x c) _ (ā.c) b - (ā.b) c ... (l.ll)

Dari rumus di atas dapat diturunkan rumus :

(ā x b).(c x d)=( ā.c) (b.d) - (b.c)(ā.d) ... (1.12) 1.3. Komponen-komponen Vektor

OXYZ adalah sistem sumbu yang saling tegaklurus. Lihat gbr. 1.9.

Vektor-vektor adalah vektor-vektor yang berturut-turut sejajar searah dengan arah-arah positip sumbu-::nbu OX, OY, OZ.

A adalah ujung dari vektor OA atau ā . Koordinat titik A adalah(al, a2, a3,). Maka vektor OA atau ā :

ā = al ī + a2 ј + a3 к ... (1.13) al, a2, a3 dinamakan komponen-komponen dari ā.

Komponen-komponen dari ā adalah koordinat dari titik A. Vektor dengan tiga komponen dapat dianggap sama dengan titik dalam ruang. Maka vektor ā dapat juga ditulis :

a = [al, a2, a3] ... (1.14)

1.4. Kesamaan dan Operasi Vektor dalam Komponen-komponen 1.4.1. Kesamaan Vektor dalam Komponen-komponen

Dua vektor ā =[al,a2,a3] dan b = [bl,b2,b3] dikatakan sama, jika dan hanya jika al = bl, a2 = b2 dan a3=b3 atau :

[al,a2,a3]=[bl,b2,b3]↔ al =bl,a2 = b2, a3=b3 ... (1.15) Contoh :

[x, Y, z] =[al, a2,a3]

Berarti : x = al , y = a2 , z = a3

1.4.2. Perkalian Skalar dengan Vektor dalam Komponen

α[ al,a2,a3 ]≡ [αal, a2α, αa3] ... (1.16) Contoh :

- 2 [4, -1, 0] = [-8, 2, 0]

1.4.3. Jumlah dan Selisih Vektor dalam Komponen

[al,a2,a3]±[bl,b2.b3]≡[al ± bl:a2 ± b2,a3±b3] ... (1.17) Contoh 1 :

[5, 3, -2] + [0, -1, 3]=[5, 2, l]

Contoh 2 :

[5, 3, -2] - [0, -1, 3] _ [S, 4, -5]

1.4.4. Produk Skalar dalam Komponen

Karena i, j, k masing-masing adalah vektor satuaan,maka :

ī.ī = 1, ј.ј = 1, k.k = 1 ... (1.18) Dan karena ī,j,k juga saling tegaklurus, maka :

ī.ј = 0, ј.k = 0, k.ī = 0 ... (1.19) (alī + a2j + a3k).(blī + b2ј + b3k)= albl ī.ī + alb2i.ј + alb3ī.k + a2blj.i + a2b2j.j + a2b2j.k + a2b3j.k +

a3blk.ī + a3b2k.j + a3b3k.k = albl, + a2b2 + a3b3

Telah didapat :

[al,a2,a3].[ bl,b2,b3J = albl + a2b2 + a3b3 ...(1.20) Contoh :

[ 5,-3,- ī ].[2 , 4, -3] = (5)(2) + (-3)(4) + (-1) (-3) = 10 – 12 + 3 = 1 Bila ā = [ al,a2,a3 ] , maka panjang ā ,ditulis a didapat sebagai beikut :

ā. ā = a

²

^{+ a}

²

^{+ a}

²

|ā ||ā | cos (ā , ā) = a

²

^{+ a}

²

^{+ a}

²

a

²

^{= a}

²

^{+ a}

²

^{+ a}

²

^{a =}

Contoh :

Diberikan ā = [5, -3, -l]

Cari a !

Penyelesaian :

a = ā .a = (5)

²

^+(-3)

²

^+(-1)

²

⁼ 25 + 9 + 1

= 35 Soal latihan :

Diberikan : ā =[5, -3, -1]

b =[2, 4, -3 ] dan c = [2, 0, -3]

Hitung : a). (2a – 3b).C ; b). (ā.b)c ; c).Panjang c

d). Bila [x,y,z] , tentukan komponen-komponen dari r , bila r = (ā.b) c

1.4.5. Produk Vektor dalam Komponen

Telah kita ketahui bahwa panjang ā x b, atau |a x b| = luas jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b. Maka untuk setiap vektor berlaku :

ā x ā = Ō

Ō adalah vektor dengan panjang nol.

Arah dari vektor ā x b adalah tegaklurus pada ā dan tegaklurus pada b, menurut arah sekrup kanan yang diputar dari ā ke b .

Maka untuk ketiga vektor satuan ī, j, k yang saling tegaklurus, berlaku :

ī x ī = Ō , j x j = Ō , k x k = Ō ... (1.21) Ī x j = k , j x k = ī , k x ī = j ... (1.22)

Sekarang misalkan ā = al,a2,a3 dan b = b1.b2 b3 maka : ā x b = (ali + a2j + a3k) x (bli + b2j + b3k) = albli x i + alb2i x j + alb3i x k + a2blj x i + a2b2j x j + a2b3j x k + a3blk x i + a3b2k x j + a3b3k x k = alb2k - alb3j - a2b1k + a2b3i +

a3blj _{- a3b2i}

= (a2b3 – a3b2). ī + (a3b1 – a1b3).j + (a1b2 – a2b1).k

Atau bila ditulis dalam bentuk determinan :

i j k

ā x b = al a2 a3 ... (1.23) bl b2 b3

Contoh 1 :

Bila ā = 1, -l, 2 dan b = 4, 1, -3 , maka ā x b ditentukan melalui determinan :

ī j k a x b = 1 -1 2 = 4 1 -3

-1 2 1 2 1 -1

ī - j +k = ī + 11j + 5k 1 -3 4 -3 4 1

Contoh 2 :

Bila ā dan b seperti dalam contoh 1 dan c = 2, 0, -1, hitung (ā x b ) x c

Penyelesaian :

ā x b = ī + llj + 5k (dari contoh 1) ī j k

(ā x b) x c = 1 11 5 = - 11ī + 11j – 22k 2 0 -1

Soal latihan :

Hitung ā x (b x c), bila ā, b dan c seperti yang diberikan dalam contoh 1 dan contoh 2 !

1.4.6. Perkalian Tiga Vektor dalam Komponen

Misalkan ā = [al, a2, a3] , b = [bl, b2, b3] dan c =

[

cl, c2, c3

]

. Akan dihitung (ā x b ) . c

ī j k

ā x b = al a2 a3 = [a2b3 - a3b2, a3b1 – a1b3 , b1 b2 b3 a1b2 – a2b1]

Maka (ā x b).c = (a2b3 - a3b2)cl + (a3bl - alb3)c2 + (a1b2 – a2b1)c3

Dapat juga ditentukan melalui nilai determinan : a1 a2 a3

(a x b).c = b1 b2 b3 ... (1.24) c1 c2 c3

Contoh :

Diberikan ā = [2, -1, 0], b = [-2, 3, 1], c = [1, 0, -1]

2 -1 0 2 -1 0 (a x b).c = -2 3 1 = -2 3 1 =

1 0 -1 -1 3 0 2 -1

- = -5 -1 3

Soal latihan :

Diberikan vektor – vektor ā = [2, 0, 1], b = [-1, 1, 3], C = [3, 2, -1],d = [0, 1, 4]

Hitung : a). (ā x b) x c b). ā x (b x c)

c). (ā x b) . (c x d) d). (ā . c) b – (b . c) ā e). (ā, c) b – (ā . b) c

f). (ā . c) (b . d) – (ā . d)(b . c)

g). Dari jawaban-jawaban di atas, uji kebenaran rumu- s-rumus (10), (11), (12).

1.5. Turunan Vektor

Bila komponen-komponen dari vektor ā adalah fungsi dari parameter u, maka vektor ā adalah fungsi dari parameter u, dan vektor ā dinamakan fungsi vektor.

ā(u) = al(u)

ī

+ a2(u)j + a3(a)k ... (1.25) Turunan dari ā terhadap u didapat dari turunan tiap-tiap komp- onen terhadap u.

da = da1, da2, da3 ... (1.26) du du du du

Contoh :

ā = [cos u, sin u, 2u]

dā = [-sin, u, cos u, 2]

Demikian juga bila ā fungsi dari dua parameter u, v maka turunan pasial dari ā didapat dari turunan pasial dari tiap – tiap komponen

a (u,v) = [a1(u,v), a2(u,v), a3(u,v)

∂ā = ∂a1, ∂a2, ∂a3 ... (1.27) ∂u ∂u ∂u ∂u

∂ā = ∂ā1, ∂ā2, ∂ā3 ... (1.28) ∂v ∂v ∂v

Contoh :

a = [u cos v, u sin v, u – 2v]

∂ā = [cos v, sin v, 1]

∂v

∂ā = [- u sin v, u cos v, -2]

∂v

soal latihan :

a). Diberikan r = [ u + v, u – v,uv]

cari : ∂r dan ∂r ∂u ∂v

b). Diberikan r = [cos u cos v, cos u sinv, sin u]

Cari : ∂r dan ∂r ∂u ∂v

2. K U R V A

2.1. Persamaan Kurva

Suatu partikel bergerak dalam ruang. Lintasan (kurva ruang) dari partikel terhadap sistem koordinat siku - siku XYZ adalah :

x = x (t)

Y = Y (t) ... (2.1)

z = z (t)

dimana parameter t adalah waktu. (2.1) adalah persamaan kurva dalam ruang. Lihat gb.2.1. berikut :

Gbr.2.1 : Kurva dalam ruang

Dapat juga persamaan kurva di atas dituliskan dalam bentuk persamaan vektor :

r =

[

x(t), Y(t), z(t)

]

... (2.2) dimana vektor posisi r adalah vektor yang bermula di v dan

berakhir di suatu titik pada kurva. Untuk setiap saat t didapat titik terentu pada kurva. Sebaliknya setiap titik pada kurva, sesuai dengan t tertentu.

Persamaan kurva yang umum adalah : R (u) =

[

x(u), y(u), z(u)

]

u dinamakan paramater dan tidak selalu berarti waktu.

Contoh :

Persamaan garis melalui o, sejajar dengan vektor ā yang di berikan. Lihat gb.2.2 :

Gbr.2.2.

Karena vektor OP sejajar dengan vektor ā, maka OP = r = skalar kali ā. Maka persamaan garis yang diminta adalah

r = u ā

dimana u adalah skalar dan

|

u

|

= a/r. Persamaan garis tersebut dapat juga dinyatakan dengan tiga persamaan :

x = u a1

y = u a2

z = u a3

dimana al, a2, a3 adalah komponen-komponen dari ā.

Persamaan garis melalui titik A (al, a2, a3) sejajar dengan vektor b =

[

b1, b2, b3

]

. Lihat gbr.2.3berikut :

Gbr.2.3

Garis melalui A sejajar b

Dari gbr.2.3, terlihat bahwa OP = OA + AP. OP adalah r ; ^OA adalah vektor ā = [al, a2. a3] . Vektor ^AP adalah vektor yang sejajar dengan vektor b. Jadi AP dapat ditulis : ^AP = u b ,dimana u adalah skalar.

Maka persamaan garis yang ditanyakan : r = ā + u b

atau :

x = a1 + u b1

y = a2 + u b2

z = a3 + u b3

Contoh 3 :

Penamaan lingkaran di bidang XOY, pusat O, jejari a. Lihat grb. 2.4 berikut :

Gbr.2.4 :

Lingkaran, pusat O jejari a Dari gambar tersebut dapat dilihat, bahwa : X = a cos u

Y = a sin u Z = O

adalah persamaan lingkaran yang ditanyakan. Parameter u di sini berarti sudut.

Bila dituliskan dalam persamaan vektor : r =

[

a cos u, a sin u, O

]

Contoh 4 :

ersamaan ellips di bidang XOY, pusat O, setengah sumbu panjang a dan setengah sumbu pendek b. Lihatgbr.2.5 berikut :

Dalam gbr.2.5., P adalah titik pada ellips. Koordinat dari p adalah P (a cos u, b sin u). Maka persamaan ellips yang

ditanyakan adalah :

X = a cos u Y = a sin u Z = O

atau : r =

[

a cos u, b sin u, O

]

; dengan u parameter yang berarti sudut.

Soal-soal latihan :

a). Tentukan persamaan garis melalui 0 sejajar vektor ā = [2, 3, -1]

b). Tentukan persamaan garis melalui titik (l, -1, 2) dan sejajar dengan vektor [-4, 4, 0].

c)

.

Tentukan persamaan lingkaran di bidang YOZ, pusat O, jejari 2 !

d). Tentukan persamaan ellips di bidang XOY, pusat O, setengah sumbu panjang 4 (berimpit dengan sumbu X), setengah sumbu pendek 3 !

Dalam contoh-contoh di atas, garis, lingkaran dan el~ips dinamakan kurva bidang, karena dapat diletakkan pada :uatu bidang. Contoh-contoh lain dari kurva bidang adalah parabola dan hiperbola. Di samping itu ada pula kurva

yang tidak dapat diletakkan pada suatu bidang, dinamakan kurva ruang. Salah satu contoh dari kurva ruang adalah : heliks.

Persamaan dari heliks lingkaran tegak adalah : x = a cos u

y = a sin u ... (2.4) z = b u

dimana a dan b adalah konstanta. Bila u berubah dengan 2ח maka x dan y harganya kembali pada harga semula, sedangkan z berubah sebesar 2 ח b. Jadi heliks adalah kurva yang terletak pada silinder lingkaran tegak dengan jejari a. Lihat gambar

maka x dan y harganya kembali berubah sebesar 27rb. Jadi heli- ks adalah kurva yang terletak pada silinder lingkaran dengan jejari a. Lihat gabar 2.6 berikut :

Gbr.2.6 : Heliks kanan

a : jejari dari silinder lingkaran tegak b : langkah heliks

Bila b > 0, dinamakan heliks kanan, bila b < 0, dinamakan heliks kiri. (Coba gambarkan sendiri) !!

2.2. Panjang Busur

Diberikan kurva r = r(u), ul ≤ u ≤ u2. Kurva adalah kontinyu, demikian juga turunannya. Lihat gb.2.7 :

Gbr.2.7 : Panjang busur s Dari ∆s = ∆x² + ∆y² + ∆z²

= ∆x ² + ∆y ² + ∆z ² ∆u ∆u ∆u ∆u

Maka diferensialnya adalah :

ds = x² + y² + z² du = r . r du ... (2.5) dimana :

x =dx, y = dy , z = dz , r = dr du du du du maka :s =

∫

1²

U

u x² + y² + z² du ... (2.6)

atau : s =

∫

1²

U

u r . r du ... (2.7) panjang busur Dari u = o sampai u harga tertentu :

s =

∫

O^U r . r du ... (2.8) dari (2.8) didapat sebagai fungsi dari u, s = s(u) dan fungsi inversnya u sebagai fungsi dari s, u = u(s). jadi, bila kurva diberikan dengan u sebagai parameter maka melalui persamaan (2.8), persamaan kurva dapat dinyatakan dengan panjang busur s sebagai parameter :

r = r (s) ... (2.9) Lihat gambar 2.8. di halaman berikut :

Gbr.2.8 :

kurva dengan panjang busur s sebagai parameter

Pada gambar 2.8, kurva mempunyai arah, yaitu arah bertambah besarnya s.

Contoh 1 :

Diberikan kurva : x = a cos u, y = a sin u, z = O Tentukan persamaan kurva dengan s sebagai parameter !

Penyeleseain :

X = -a sin u, y = a cos u, z = o X² + y² + z² = a²

S = o

∫

^{u x2 + y2 + z2 du = o}

∫

^{u a2 du =}

= o

∫

^u a du = a u

Didapat s = a u atau u = a . Maka persamaan kurva dengan panjang busur s sebagai parameter adalah :

x = a cos a

s, y = a sin a

s, z = O

atau :

r =

[

^{a cos}

a

s, y = a sin a

s, o

]

Contoh 2 :

Persamaan heliks dengan u sebagai parameter : r =

[

a cos u, a sin u, b u

]

r =

[

-a sin u, a cos u, b

]

r.r = (-a sin u)² + (a cos u)² + b = a² + b² = c² s =

∫

O^U r.r du =

∫

O^U

c2 du =

∫

O^U c du = cu Didapat u =

c

s. Maka persamaan heliks dengan s sebagai parameter:

r =

[

a cos c

s , a sin c s , b

c s

]

Dengan c = a² +b²

2.3. Vektor Tangen Satuan

Suatu kurna diberikan dengan s sebagai parameter : r = r(s)

Lihat gbr.2.9. berikut :

Gbr.2.9 : ∆r dan ∆s

Q adalah titik pada kurva, dekat titik P. Bila op = r, maka OQ = r + ∆r dan PQ = ∆r. Panjang busur PQ adalah ∆s

o s

Lim

→

∆ s

r

∆

∆ = ds

r

d = t ... (2.10) Atau :

r’ = ds

r

d = t ... (2.11)

t dinamakan v e k t o r t a n g e n s a t u a n , menyinggung kurva di P dan

|

^t

|

= 1. Lihat gbr.2.10. Arah t searah dengan arah kurva.

Gbr.2.10 :

Vektor tangen satuan t

Untuk r = r (u), maka r = du

r

d adalah vektor tangen (menyinggung), tetapi tidak selalu merupakan vektor satuan seperti t . Tetapi bila r dibagi dengan panjangnya sendiri menjadi vektor t

t =

r

r ... ( 2 . 1 2 )

C o n t o h :

Diberikan kurva : r =

[

a cos u, a sin u, O

]

Tentukan vektor tangen satuan t di u = 3 π !

Penyelesaian :

Cara I. Karena hubungan antara u dan s adalah u = a

s

(lihat contoh 1 pasal 2.2.). Maka persamaan kurva dengan s sebagai parameter adalah :

r =

[

a cos a

s , a sin a

s , 0

]

dan :

r’ = ds

r

d = t =

[

-sin a

s , cos a

s , 0

]

atau :

t =

[

-sin u, cos u, 0

]

t untuk u = 3

π , t =

[

-sin 3

π , cos 3

π , 0

]

=

[

- 3

2

1 ,

2

1 , 0

]

Lihat gbr. 2.11 :

Gbr.2.11 :

Vektor tangen satuan t

Cara II :

r =

[

a cos u, a sin u, 0

]

du r

d = r =

[

-a sin u, a cos u, 0

]

r = (−asinu)²+acosu)²+0² = a² = a Maka :

t =

r

r =

[

-sin u, cos u, 0

]

dan t untuk u = 3

π , t =

[

- 3 2

1 ,

2

1 , 0

]

Soal latihan :

Tentukan t untuk :

a). ellips r =

[

4 cos u, 3 sin u, 0

]

di u = 6 π b). heliks r =

[

2 cos u, 2 sin u, -3 u

]

di u =

2 π

2.4. Kelengkungan

Kurva dengan s sebagai parameter r = r(s)

Vektor tangen satuan r’ = t . Karena t vektor satuan, maka :

t .t = t t cos (t .t) = 1.1.1 = 1

Didapat : t . t = 1 ... (2.13) Turunan (2.13) terhadap s :

t .t ’ + t’.t = 0 atau :

2t.t ’ = 0 atau t.t’ = 0 , berarti t ’ ⊥ t

Jadi : r” = t ’ = k ... (2.14) k dinamakan vektor kelengkungan dan tegaklurus pada t .

Lihat gbr. 2.12 :

kGbr. 2. 12. : Vektor kelengkungan k

n adalah vektor satuan yang sejajar searah dengan k_{, dina-} makan normal kurva. Karena k sejajar dengan n, maka :

r" = k= κn ... (2.15)

κ dinamakan kelengkungan kurva di P, dan merupakan ukuran melengkungnya suatu kurva di suatu titik pada kurva. Lihat gbr.2.13. κ didapat dari persamaan (2.15) :

r”r" = κn.κn = κ² n.n = κ² Maka :

κ2 = r”r" ^... (2.16)

Gbr.2.13 : κ_p < κ_Q

R =

κ

1 ... (2.17)

R dinamakan jejari kelengkungan dan R ≥ 0.

Contoh 1 :

Diberikan garis r =

[

al + ubl, a2 + ub2, a3 + ub3

]

Tentukan kelengkungan κ dan jejari kelengkungan R di sebarang titik pada garis !

Penyelesaian :

Dari persamaan garis dengan parameter u akan ditentukan persamaan garis dengan parameter s :

r ₌

[

bl, b2, b3

]

r_.r _{= b1}² _{+ b}²_{2 + b}²_{3 = b}^{2 ,} _{b =} b

s =

∫

O^U

r.r du = bu dan u = b

s

Persamaan garis menjadi :

r =

[

a1 + S

b b₁

, a2 + ^S b b₂

, a3 + b b₃

]

r’ =

[

b b₁

, b b₂

, b

b₃

]

, r” =

[

0, 0, 0

]

κ2 = r”.r” = 0 , κ = 0, R = κ

1 =

Di tiap titik pada garis, kelengkungannya sama dengan nol.

Contoh 2 :

Lingkaran : r =

[

a cos u, a sin u, 0

]

atau

r =

[

a cos a

s, a sin a

s, 0

]

r’ =

[

- sin a

s, cos a

s, 0

]

r” =

[

- a

1 cos a s, -

a

1 sin a

s , 0

]

r”.r” = 1₂

a , κ² = 1₂

a , κ = a

1 , R = a

Jadi untuk lingkaran, jejari a, kelengkungan di tiap titiknya adalah

a

1 , dan jejari kelengkungan di tiap titiknya adalah sama dengan jejari lingkaran.

Sekarang akan diturunkan rumus untuk mendapatkan κ bila persamaan kurva diberikan dengan u sebagai parameter.

r = r (u) , r = r ds du

Dari s =

∫

^r.r d u , m a k a du

ds = ( r.r)²

1

atau

ds

du = ( r_.r₎ ²

−1

Maka :

r' = r (r. r)

r" = r- z (r.r)^{-3/2 -L} 2 ( r.r ) (r.r)⁻¹²+ (r&.r&) ²

−1 r&&(r&.r&) ²

−1

atau :

r" = -r& (r&.r&&)(r&.r&)^-2 + r&& (r&.r&)^-1

r".r" = (r&.r&)(r&.r&)^-4 (r&.r&&)² + (r&.r&&)(r&.r&)^-2 – -2(r&.r&&)(r&.r&&)(r&.r&&)(r&.r&)^-3 =

(r&.r&)^-3 (r&.r&&)² + (r&&.r&&)(r&.r&)^-2 +2(r&.r&&) (r&.r&)^-3 = (r&&.r&&) (r&.r&)-(r&.r&&)²

(r&.r&)³

Dari rumus (1.12), maka : r".r" = (r& x r&&). (r x r) (r&.r&)³

atau :

κ²=

( )

³

2

.r r

r x r

&

&

&&

&

... (2.18) Contoh :

Diberikan r _{= [u, u}²_{, u}³_] Tentukan untuk u = 1 ! Penyelesaian :

r u u2 u3 untuk u = 1 r& 1 2u 3u² 1 2 3 r&& 0 2 6u 0 2 6 i j k

r& x r&& = 1 2 3 = [6, -6, 2]

0 2 6

Soal-soal latihan :

Tentukan κdi sebarang u !

(a). r = [u - sin u, 1 - cos u, u]

(b). r = [3u - u², 3u², 3u + u²] (c). r = [u, b(u), g(u)]

(d). Buktikan bahwa garis melalui normal heliks memotong tega- Klurus poros silinder, dimana heliks terletak !!

3. P E R M U K A A N

3.1. Persamaan Permukaan

r = r (u, v) ... (3.1) atau :

x = x (u, v)

Y = Y (u, v) ...

(3.2)

z = z (u, v)

adalah persamaan permukaan dengan parameter u dan v. Per- hatikan bahwa untuk permukaan parameternya adalah dua, se- dangkan untuk kurva parameternya adalah satu.

Contoh 1 :

Persamaan bidang melalui 0, sejajar dengan vektor ā =

[ al, a2 , a3 ] dan sejajar dengan vektor b = [ bl , b2 , b31 Lihat gbr. 3.1 :

Persamaan bidang melalui o Sejajar ā dan sejajar b

P adalah suatu titik pada bidang melalui 0, sejajar ā dan sejajar b.opr= r= kombinasi linier dari ā dan b.

r = uā + vb

adalah persamaan bidang melalui 0, sejajar ā dan sejajar b. u, v adalah parameter.

Contoh 2 :

Persamaan bidang melalui titik A (al, a2. a3), sejajar vektor b

=

[

bl, b2, b3

]

dan sejajar vektor c =

[

cl, c2, c3

]

r = OAr

+ ub + vc atau:

r = ā + ub + vc atau:

x = a1 + ub1 + vc1 , y = a2 + ub2 + vc2 , z = a3 + ub3 + vc3

3.1.1. Persamaan Permukaan Bola, Pusat O, Jejari R Lihat gbr. 3.2. berikut :

G b r . 3 . 2 . : P e r m u k a a n b o l a , p u s a t O , j e j a r i R

Dari gbr. 3.2. terlihat, bahwa : x = R cos L cos B

y = R cos L sin B ... (3.3) z = R sin L

adalah persamaan bola, pusat O, jejari R, dengan parameter L dan B. L dinamakan Lintang dan B adalah bujur.

3.1.2. Persamaan Silinder Lingkaran Tegak, Poros Sumbu Z , Jejari a :

Lihat gbr.3.3.

Gbr. 3. 3 : Permukaan silinder

x = a cos v

y = a sin v ... (3.4) z = u

adalah persamaan silinder yang diinginkan.

3.1.3. Persamaan Bidang XOY Lihat gbr.3.4. :

Gbr.3.4 : Bidang XOY

Persamaan bidang XOY, dapat :

X = x, y = y ,z = 0 atau

x = u, y = v ,z = 0 atau ... (3.5) x = ρcos Ø , y =ρ sin Ø , z = 0 ... (3.6) Untuk persamaan (3.5), parameternya adalah u dan v, sedangkan untuk persamaan (3.6), parameternya adalah ρ _{dan Ø}.

3.1.4. Persamaan Permukaan Kerucut

Permukaan kerucut didapat dari memutar suatu garis yang memotong suatu poros, terhadap poros tersebut.

Lihat gbr.3.5. sbb. :

Gbr. 3. 5.:

Persamaan garis pada gbr.3.5. adalah : z = (cot α) y atau z = (cot ^{(X )} u

Namakan cot a = m, maka z = mu. Maka persamaan permukaan kerucut, lihat gbr.3.6. :

Gbr.3.6 : Permukaan kerucut

x = u cos v , y = sin v , z = mu ... (3.7) dimana parameter u adalah jarak dari suatu titik P pada permukaan kerucut ke poros rotasi (putar) z.

3.1.5. Permukaan Rotasi (Putar)

Permukaan rotasi terjadi bila suatu kurva yang ter- letak sebidang dengan suatu poros putar, diputar terhadap poros tersebut. Lihat gbr.3.7. :

Gbr.3.7 : Permukaan rotasi

Persamaan permukaan rotasi adalah :

x = u cos v, y = u sin v, z = f(u) ... (3.8) dimana u adalah jarak dari suatu titik pada permukaan ke poros rotasi.

Soal-soal :

Tentukan

a). Persamaan bidang yang melalui tiga titik A (5,3,2), B(-1, -1, 0) dan c (2, 2, 0) !

b). Persamaan dari silinder lingkaran tegak, dengan poros pu- tar, poros z dan jejari 2 !

c). Persamaan dari permukaan rotasi yang terjadi bila para bola z = y² yang terletak pada bidang YOZ, diputar ter hadap poros z !

3.2. Kurva Parametrik

Permukaan r = r(u,v)

untuk u = tetap = ul , maka r

₌

r(ul, v) dengan satu parameter v saja. Maka r = r (ul, v) adalah kurva yang terletak pada permukaan dann dinamakan kurva parmetrik u = tetap = u1.

Demikian juga bila parameter v = tetap = vl , maka

r=r (u,vl) adalah kurva yang terletak pada permukaan dan dinamakan kurva parametrik v = v l. Maka pada permukaan di dapat sistem kurva parametrik u = tetap dan sistem kurva parametrik v = tetap. Lihat gbr.3.8 berikut :

Gbr.3.8 : Kurva parametrik

Titik P pada gbr.3.8. terletak pada kurva parametrik u u2 dan pada kurva parametrik v = vl. Pasangan bilangan u2,vl dinamakan koordinat kurvilinier dari P, dapat ditulis :

P ( u2 , vl )

Untuk permukaan rotasi (gbr.3.7.), kurva parametrik u = tetap merupakan lingkaran dan dinamakan lingkar paralel atau Kurva disingkat paralel saja. Kurva parametrik v = tetap, merupakan kurva dan dinamakan meridian. Pada perumakaan silinder, v = tetap, garis lukis atau meridian silinder. Pada permukaan bola, gbr.3.2,L = tetap adalah meridian.

Misalkan titik P pada permukaan r = r (u, v) dilalui oleh kurva parametrik u = ul dan kurva parametrik v = vl. Lihat gbr.3.9. persamaan dari kurva parmetrik u = u1 adalah

r = r (u1, v).

v r

∂

∂ = r_v

adalah vektor tangen (singgung) pada kurva parametrik u = u1. Jadi di setiap titik pada permukaan didapat pasangan tangen

r_u dan r_v. pasangan

Gbr.3.9. :

P pada kurva parametrik u= u1 dan v=v1

Untuk permukaan rotasi (gbr.3.7), r_u adalah vektor tangen yang menyinggung paralel dan r_v adalah vektor tangen yang menyinggung meridian.

Contoh 1 :

Pada permukaan bola, gbr.3.2., ada titik P dengan L = 3

π dan

dan B = 4

π . Koordinat kurvilinier dari P adalah P (3, 4).

P dilalui oleh dua kurva parametrik L = 3

π dengan persamaan

r =

[

R cos 3

π cos B, R cos 3

π sin B, R sin 3 π

]

atau :

r

= [

2

1 R cos B, 2

1 R sin B, 2

1

³ R

]

dan

^rB =

[

- 2

1 R sin B, 2

1 R cos B, O

]

adalah vektor tangen di P arah paralel. Kurva parametrik lainnya yang melalui P adalah B =

4

π atau

r=

[

R cos L cos 4

π

,

R cos L sin 4

π

,

R sin 4 π

]

atau :

r=

[

2

1 R 2 cos L, 2

1 2 R cos L, 2

1 2 R

]

dan

Vektor tangen di p arah meridian adalah :

r_L =

[

- 2

1 R 2 sin L, - 2

1 2 sin L, 0

]

Soal latihan :

Pada permukaan silinder, gbr.3.3., terletak titik P dengan u = 5, v =

6

π . Tentukan :

(a). koordinat kartesian dari P ! (b). koordinat kurvilinier dari P !

(c). persamaan dari kedua kurva parametrik yang melalui P

(d). persamaan dari kedua vektor tangen di P, arah meridian dan arah paralel !

3.3. Bentuk Dasar Pertama

Pada permukaan r = r (u, v) terletak titik P (u, v) Diferensial dan r di P,

dr = ru du + r_v dv ... (3.9) Lihat gbr.3.10 :

Gbr.3.10 : Diferensial dr

r_{u dan} r_v tertentu di P, tetapi arah dr tergantung dari du dan dv.

dr . dr = ( r_u du + r_v dv ).( r_u du + r_v dv )

dr² = ( r_u . r_u )du² + 2(r_u. r_v)du dv + (r_v .r_v)dv² |dr| = ds adalah elemen panjang.

Namakan :

E = r_u. r_u, f = r_u. r_v, G = r_v. r_v ... (3.10) Maka persamaan di atas menjadi :

ds² = E du² + 2 F dudv + G dv² ... (3.11) Persamaan (3.11) dinamakan Bentuk Dasar Pertama.

E,F,G dinamakan koefisien-koefisien dari Bentuk Dasar Pertama.

Harga E.F.G di P tertentu, tetapi ds² tergantung dari arah yang diberikan oleh du, dv.

Contoh 1 :

Permukaan bola :

r =

[

R cos L cos B, R cos L sin B, R sin L

]

r_L =

[

-R sin L cos B, -R sin L sin B, R cos L

]

r_B =

[

-R cos L sin L cos B, O

]

E = rL. rL = (- R sin L cos B)² + (-R sin L sin B)² + R² cos² L = R² sin² L (cos² B + sin² B) + R² cos² L = R²

F = r_L. r_B = 0, G = rB.rB = R² cos² L

Untuk permukaan bola, jejari R, parameter L dan B, telah didapat :

E = R² , F = 0 , G = R² cos² L ... (3.12) Bentuk Dasar Pertama ds² = E dL² + 2 F dLdB + G dB² atau : ds² = R² dL² + R² cos² L dB ² ... (3.13)

Contoh 2 :

Bidang XOY dengan parameter u, v (pers. 3,5) r u v 0

r 1 0 0 r_v 0 1 0

E = r_u. r_u = 1, F = r_u. r_v = 0, G = r_v. r_v = 1

... (3.14) dan :

ds² = du² + dv² ... (3.15) Bidang XOY, parameter ρ, Ө (pers. 3.6)

r ρ cos Ө ρ sin Ө 0 r_p cos Ө sin Ө 0 r_{Ө -}ρ sin Ө ρ cos Ө 0 R = r _ρ.r _ρ = cos 2Ө + sin2Ө = 1,

F = r _ρ.r_Ө = -ρ sin Ө cos Ө + ρ sin Ө cos Ө = 0 G = r_Ө.r_Ө = (-ρ sin Ө )² + (ρ cos Ө)² = ρ²

Telah didapat :

E = 1 , F = 0 , G = ρ ... (3.16) dan :

ds² = E dρ² + G dӨ² = dρ² + ρ² dӨ² ... (3.17)

contoh 3 :

Permukaan rotasi umum :

r u cos v u sin v f(u) r_u cos v sin v f' (u) r_v -u sin v u cos v 0

E = r_u. r_u = 1 +

{

f' (u)

}

² , F = r_u . r_v = 0 , G = r_v.r_u = u² ... (3.18)

ds² =

[

1 +

{

f'(u)

}

²

]

du² + u² dv² ... (3.19)

Dari ketiga contbh di atas, terlihat bahwa untuk semua permuka-

an rotasi F = 0.

Soal Latihan :

Tentukan Bentuk Dasar Pertama untuk : (a). permukaan silinder !

(b). permukaan kerucut !

3.4. Sudut Diantara Dua Arah Pada Permukaan

Titik P terletak pada permukaan r = r (u,v). Di titik P ada dua arah :

dr ₌ r _{du +} r_vdv ... (3.20) δ r = r_u δ u + r_v δ v ... (3.21) Arah dr ditentukan oleh du, dv dan arah δ r ditentukan oleh δ u, δv. δ r

Dari dr . δ r = dr δ r cos α, didapat : cos α =

r r

r r d

δ δ

δ

. =

2 2

2

2 2 2

) . ( ) )(

. ( )

. (

v G v u F u E Gdu Fdudv Edu

v dv r r u dv u du r r u du r

r_{u u u v v v}

δ δ δ δ

δ δ

δ δ

+ +

+ +

+ +

+ =

E ds du

s u δ

δ + F

(

ds du

s u δ δ +

s u ds dv

δ

δ

)

+ G s v ds dv

δ

δ . . .. . . . (3 . 2 2 )

dimana a adalah sudut antara dr denyan δ r.

Bila di suatu titik-pada permukaan, diberikan dua arah du, dv dan δ u,δ v, maka melalui rumus (3,22) dapat diten- tukan sudut α di antara kedua arah tersebut.

Bila α = 2

π , maka E du δ u + F(du δ v + dv δ u)+ G dv dvδ v = 0

dan sebaliknya bila E duδ u + F(du δ v + dvδ u)+ G dvδ v = 0 , maka α =π _.

Yamg dapat diringkas :

α = 2 π ←

→E du δ u + F(du δ v + dv δ u) + G dv δ v =0 (3.23) yang merupakan syarat yang perlu dan cukup untuk saling ke tegaklurusan antara dua arah.

Berikut akan ditentukan besar sudut di antara dua kurva parametrik. Untuk kurva parametrik u = tetap, arahnya adalah du = 0, dv ≠ 0. Kurva parametrik v = tetap, arahnya adalah δ u ≠ 0 , δ v = 0. Substitusi du = 0, dv ≠ 0 ,

cos Ө =

2 2E u Gdv

u Fdv

δ

δ =

EG F

Telah didapat : cos Ө = = EG

F ... (3.24)

dimana Ө adalah sudut di antara dua kurva parametrik yang ber- potongan.

Bila Ө = 2 π _,

maka F = 0 dan sebaliknya bila F = 0 maka Ө = 2 π . F = 0 adalah syarat yang perlu dan cukup untuk ketegaklurusan kurva parametric.

Untuk permukaan rotasi, di tiap titiknya F = 0 , maka meridian tegaklurus pada parallel.

3.5. Normal Permukaan

Pada permukaan r = r (u,v) terletak titik P, Vektor- vektor tangen dari kurva parametrik yang melalui P, adalah r_u dan r_v. Vektor yang tegaklurus pada r_u dan tegaklurus pada r_v dan panjang vektor tersebut sama dengan satu, dinamakan normal permukaan, dan dinyatakan dengan N. Atau:

N =

v u

v u

r x r

r x

r ... (3.25)

Dari (1.12),(r_u x r_v).( r_u x r_v)=

(r_u.r_u)(r_v.r_v)-(r_u.r_v)(r_v.r_u) r_uxr_v ² =EG−F²,r_uxr_v = EG−F² Maka : N = ₂

F EG

r x r_{u v}

− ... (3.26)

Contoh 1 :

Permukaan bola :

r R cos L cos B R cos L sin B R sin L r_L - R sin L cos B - R sin L sin B R cos L r_B - R cos L sin B R cos L cos B O E = R² , F = O , G = R² cos² L , EG−F² = R² cos L

r_L x r_B =

[

^{- R2 cos2} L cos B,-R² cos² L sin B,- R² sin L cos L

]

N =

[

^{L B L B L}

]

F EG

r x r_{L B}

sin , sin cos , cos cos²

2 = − − −

−

yang merupakan vektor radius dengan panjang satu. Lihat gambar 3.11 :

Bila dalam penyelesaian ditentukan r_B lebih dulu dari r_L ,maka :

N =

F2

EG r x r_{B L}

− ; keduanya boleh digunakan.

Contoh 2 :

Permukaan kerucut :

r u cos v u sin v mu r_u cos v sin v m r_v -u sin v u cos v 0

E = r_u.r_v = 1 + m² , F = r_u.r_v = 0 ,G = r_v.r_v = u², EG−F² =u 1+m²

r_u x r_v =

[

-m u cos v,- m u sin v, u

]

N=

[ ]

2

2 1

, sin ,

cos m

u v mu v mu F

EG r x r_{u v}

+

−

= −

−

Terlihat bahwa N tidak tergantung dari u, Lihat gbr.3.12!

Gbr.3,12 ;

Normal permukaan kerucut

Soal Latihan :

Tentukan normal permukaan di sebarang titik pada : (a). bidang XOY !

(b). Permukaan silinder. Tunjukkan bahwa garis yang melalui N memotong tegaklurus sumbu silinder !

(c). Permukaan rotasi !

3_6. Bentuk Dasar Kedua

Ada permukaan r = r(u,v). Titik P terletak pada per- mukaan. N adalah normal permukaan di P. Bidang yang melalui

N dinamakan bidang normal di P, Untuk tiap arah du, dv di P didapat bidang normal tertentu. Irisan bidang normal dengan permukaan dinamakan irisan normal di.P. Irisan normal adalah kurva bidang (yang dapat diletakkan pada bidang). Kelengkungan dari irisan normal dinamakan kelengkunaan normal di P, ditulis κn. Lihat gbrR 3.13.

Gbr.3.13:

Irisan normal

Persamaan dari irisan normal di P dalam arah tertentu du, dv dan parameter s, adalah :

r = r(u(s),v(s)) r'= ruu'

+

r_v v', u'=

ds du,v'=

ds dv

r"=r_uu u'^{2 +} r_uv u'v' + r_uu" + r_uv u'v' + r_vv v'² + r_v v" = r_uuu'² + 2r_uv u'v' + r_vvv'² + r_uu" + r_vv"

r".N= (r_uu.N) u'² + 2 ( r_uv.N)u'v' + (r_vv. N)v'² karena ru ⊥ N dan r_v⊥ N.

κn n_.N =

2

).

(

F EG

r r x r_{u v uu}

− u'2 +

2

).

( 2

F EG

r r x r_{u v uv}

− u'v' +

2

).

(

F EG

r r x r_{u v vv}

− v'² Namakan :

2

).

(

F EG

r r x r_{u v uu}

− = L

2

).

(

F EG

r r x r_{u v uv}

− = M ... (3.27)

2

).

(

F EG

r r x r_{u v vv}

−

_{= N}

EG - F2 Maka :

κ_n= L(

ds

du)² + 2M ds du

ds dv + (

ds

dv)², atau

κn= ₂

2

2 2

ds

Ndv Mdudv

Ldu + +

... (3.28) Namakan :

L du² + 2 M dud v + N dv² = II Maka :

κ_n = Ι ΙΙ

II = L du² + 2 M du dv + N dv² dinmakan Bentuk Dasar Kedua;

I = E du² + 2 F du dv + G dv² dinamakan Bentuk Dasar Pertama L, M, N dinamakan koefisien-koefisien dari II,

L, M, N seperti halnya E, F, G di suatu titik P tertentu , harganya tertentu. Harga κ_ndi suatu titik tergantung dari arah du, dv.

Rn = κn

1 dinamakan jejari kelengkungan normal.

Contoh 1 .

Permukaan bola :

r R cos L cos B R cos L sin B R sin L r_L -R sin L cos B -R sin L sin B R cos L r_B -R cos L sin B R cos L cos B 0

r_LL -R cos L cos B -R cos L sin B -R sin L r_LB R sin L sin B -R sin L cos B 0 r_BB -R cos L cos B -R cos L sin B 0

E = rL. rL = R², F = r_L.r_B =0, G = r_B.r_B = R² cos² L, EG−F² =R²cos²L

L = 2

).

(

F EG

r r x r_{u v uu}

− =

2

).

(

F EG

r r x r_{L B LL}

−

- R sin L cos B - R sin L sin B R cos L

- R cos L sin B R cos L cos B

- R cos L cos B - R cos L sin B - R sin L R² cos L

L R

L L R L R L R

L R

cos

cos sin )(

sin ( ) cos )(

cos (

2

2 2

2 − −

=

= R cos² L + R sin ² L = R

M = 2

).

(

F EG

r r x r_{L B LB}

− =

-R sin L cos B - R sin L sin B R cos L -R cos L sin B R cos L cos B 0 -R sin L sin B - R sin L cos B 0 R² cosl L

N = 2

).

(

F EG

r r x r_{L B BB}

−

- R sin L cos B - R sin L sin B R cos L - R cos L sin B R cos L cos B 0

- R cos L cos B - R cos L sin B 0 R2 cos1 L

L R

B L R

B L R

L R

cos

) cos cos sin

cos ( cos

2

2 2 2 2 2

2 +

=

L R

L R

L R

cos cos ( cos

2

2 2

= R cos²L Telah didapat :

E = R² , F = O , G = R² cos² L L = R , M = 0 , N = R cos² L κn =

Ι

ΙΙ = _{2 2}

2 2

2 2

GdB FdLdB EdL

NdB mdLdB LdL

+ +

+

+ =

_{2 2 2 2 2}

2 2 2

cos cos

dB R

dL R

LdB D

RdL +

+ =

_{2 2 2}

2 2 2

cos cos 1

LdB dL

LdB dL

R +

+ =

R 1

Jadi : κ_n = R

1 ,Rn = κn

1 = R

Terlihat bahwa pada permukaan bola, κ_n tidak tergantung pada letak titik maupun arah.

Untuk setiap titip pada permukaan bola dan untuk setiap arah : κ_n =

R 1

Contoh 2 :

Kerucut :

r u cos v u sin v mu r cos v sin v m r_v -u sin v u cos v 0 r_uu 0 0 0