Dari persamaan kwadrat dalam λ, (3.33) : (FN - GM)λ2 + (EN - GL)λ + EM - FL = O , λ =
du dv
didapat : (FN - GM)(
du
dv )2 + (EN - GL) du
dv + EM - FL = 0 ... (3.35) Untuk u dan v berubah, maka (3.35) adalah persamaan dife- rensial derajat dua. Misalkan solusinya adalah. ;
v = f (u) + C
v = g (u) + K ... (3.36)
dimana C dan K adalah konstanta-konstanta sebarang.
Pers. (3.36) menyatakan dua sistem kurva, Sistem kurva yang pertama adalah bila C berubah dan sistem kurva yang kedua adalah bila K berubah. Sistem kurva tersebut dinamakan : kurva kelengkungan. Kurva kelengkungan dari sistem pertama tegaklurus pada kurva kelengkungan dari sistem kedua. Lihat gbr. 3.16 !
Gbr. 3. 16 : Sistem kurva kelengki,mgan
Di setiap titik dari kurva kelengkungan, arah garis singgung kurva kelengkungan adalah arah kelengkungan. Pada gbr.3.16, arah kelengkungan λl di P, menyinggung kurva ke- lengkungan untuk C = C2 dan λ2 arah kelengkungan lainnya di P menyinggung kurva kelengkungan untuk K = K2.
3.10. Bila Kurva Kelengkungan Adalah Juga Kurva Parametrik
Pada permukaan terdapat sistem kurva parametrik dan sistem kurva kelengkungan. Umumnya kedua sistem tersebut tidak sama.
Sekarang akan dibahas apabila kurva parametrik juga kurva kelengkungan.
Persamaan diferensial kurva parametrik :
du = O , dv = O ... (3.37) Dan persamaan diferensial dari kurva kelengkungan adalah : pers.(3.35) :
(FN - GM) dv2 + (EN - GL) dudv + (EM - FL) du2 = O
... (3.38) Karena kurva parametrik adalah juga kurva kelengkungan, maka dari (3.37) dan (3.38), mula-mula dengan mengisikan du = 0 dan sesudah itu dv = 0 dalam (3.38), didapat :
FN - GM = O dan EM - FL = O
Karena kurva parametrik adalah juga kurva kelengkungan, ma ka seperti halnya kurva kelengkungan, kurva-parametrik saling tegaklurus, Berarti F = O (lihat lagi pasal 3.4) !! Maka kedua persamaan di atas menjadi : .
GM = 0 dan EM = 0 ... (3.39.) Karena ru x rv2 = EG - F2 (lihat penurunan rumus (3.26),
dengan.F = O dan |ru x rv|2 > 0 , maka EG > O , berarti E ≠ O dan G ≠ 0.
Maka dari (3.39) didapat : M = O .
Jadi bila kurva parametrik adalah juga kurva kelengkungan, maka F = O dan M = 0. Sebaliknya, bila F = O dan M = O , maka kurva parametrik adalah juga kurva kelengkungan.
Kurva parametrik adalah kurva kelengkungan ←→F = O dan M = O ... (3.40)
Untuk permukaan rotasi (bidang datar, silinder, bola, kerucut, ellipsoid rotasi), F = O dan M = O. Maka untuk permukaan rotasi, meridian dan paralel adalah kurva keleng kungan.
Contoh 1 :
Untuk silinder lingkaran tegak, jejari a, meridian (garis lukis silinder) dan paralel adalah kurva kelengkungan.
κ1 arah meridian = 0 (kelengkungan dari garis lurus).
κ2 arah paralel = a
1 (kelengkungan dari lingkaran,je- Jari a).
Menentukan κl dan κ2, bila F = 0 dan M = O , mejadi lebih mudah.
Dari : κn = Ι
ΙΙ = 2 2
2 2
2 2
Gdv Fdudv Edu
Ndv Mduds Ldu
+ +
+ +
Untuk dv = O (arah kurva parametrik yang juga arah kelengkungan),
κ1 = E
L ... (3.41)
Dan unutuk du = O , didapat :
κ2 = G
N ... (3.42)
Contoh 2 :
Diberikan permukaan r = u2, u cos v, u sin v , u, v para meter dan titik P dengan u = 1 dan v =
6
π pada permukaan. .
Tentukan :
(a). koordinat kartesian dari P dan kurva parametrik melalui P!
(b). E, F, G di P !
(c). Bentuk Dasar Pertama di P dalam arah du = 0,001 dan dv = - 0,002 !
(d). L, M, N di P !
(e). κn di P dalam arah seperti dalam pertanyaan (c)!
(f). κ1 dan κ2 di P !
(g). jejari kelengkungan utama di P ! (h). normal permukaan di P !
Penyelesaian :
di P, u = 1, v = 6 π r u2 u cos v u sin v 1 3
12 12 ru 2u cos v sin v 2 12 3 12 rv 0 -u sin v u cos v 0 -12 3
12
ruu 2 0 0 2 0 0 ruv 0 - sin v cos v 0 -12 3
12
rvv 0 -u cos v -u sin v 0 -12 3 -12
(a). Koordinat kartesian dari P (l, 12 3,12)
Kurva parametrik u = l, r = [1, cos v, sin v]
Kurva parametrik v = 6
π ,r = [u2, 3
12 u, 12u]
(b). E = ru.ru = 4 + 4 3 +
4
1 = 5 , F =ru.rv = 0 ,
G = rv.rv = 4 1 +
4
3 = 1 , EG−F2 = 5
(c). ds2 = E du2 + 2F dudv + G du2 = 5(0,001)2 + (0,002)2 = 9.10-6
(d). L =
( )
5 5 2 5
4) 1 4 (3 . 2
2 + =
−F = EG
r r x ru v uu
,
M =
2
).
(
F EG
r r x ru v uv
− = 0 ,
N = ( ). 2 F EG
r r x ru v vv
− =
5 4) 3 4 (1
2 +
= 5 5
2 ,
(e). κn = Ι
ΙΙ = 2
2
2 2
ds
Gdu Mdudv
Ldu + +
= 6
2 2
10 . 9
) 002 , 0 ( 5 5 ) 2 001 , 0 ( 5 5 2
−
+
= 45 5 4
(f). κ1 = E
L = 5
5 , 2
25 5 2
2 = =
G κ N
(g). R1 = 5
2 , 1 2 5 5 1 1
12
2 = =
= R
(h). N =
F2
EG r x rv v
− =
[ ]
5 1 , 3 , 1− −
3.11. Ellipsoida Rotasi
3.11.1. Jejari Kelengkungan Utama Ellipsoida Rotasi
Perhatikan ellips di bidang XOY, pusat O, setengah sumbu panjang a berimpit dengan sumbu Y dan setengah sumbu pendek b berimpit dengan sumbu Z. Lihat gbrt3.17 :
Persamaan dari ellips adalah : 2 1
2 2
2 + =
b z a y
atau :
z = a
b (a2 –y2)12
Dari eksentrisitas pertama e = a
y a2 2)12
( −
didapat : B = (1-e2)12,
maka :
z = (1-e2)12(a2 – y2)12 ... (3.43)
Ellips diputar terhadap sumbu Z dan terjadi permukaan rotasi yang dinamakan ellipsoida rotasi atau disingkat : ellipsoida.
Maka persamaan ellipsoida dengan mengganti y dengan pa rameter u dan parameter lainnya v adalah :
r =
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ucosv,usinv,(1−e2)12(a2−u2)12
Dari ellipsoida tersebut akan ditentukan jejari kelengkung r u cos v u sin v (1 – e2)12(a2-u2)12
ru cos v sin v
12 2 2
12 2
) (
) 1 (
u a
u e
−
−
−
rv -u sin v u cos v 0 ... (3.44)
ruu 0 0 3 2
2 1 2(1 e ) a −
−
ruv -sin v cos v 0
rvv - u cos v - u sin v 0
E = ru.ru = 1 + 2 2
2 2 2 2 2
2 2) 1 (
e a
u e a u a
u e
−
= −
−
−
F = ru.ru = 0 , G = ru.ru = u2 EG−F2 = u ( 2 2
2 2 2
u a
u e a
−
− )12
L = 2 2 2 12
2 2
32 2 2
12 2 2
) ) (
(
) 1 ( )..
(
u e a
u a u
a
e a r r x ru v uu
−
−
−
−
−
=
u 1
=
12 2 2 2 2 2
12 2 2
) )(
(
) 1 (
u e a u a
e a
−
−
−
−
M = ( ). 0
2 =
−F EG
r r x ru v uv
N =
2
), (
F EG
r r x ru v vv
− = 2 2 2 12
2 2
12 2 2
2 3 2 1
) (
) (
) 1 (
u e a
u a u
a u
u e
−
−
−
−
−
=
12 2 2 2
2 2 2 1
) (
) 1 (
u e a
u e
−
−
−
Dari κn = Ι
ΙΙ = 2 2
2 2
2 2
Gdv Fdudv Edu
Ndv Mdudv Ldu
+ +
+ +
untuk v = tetap, jadi dv = 0 (arah meridian); κ1 = E L
untuk u = tetap (arah paralel), du = 0 dan κ2 = G N
R1 = L E =
12 2 2
12 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
) 1 (
) )(
(
e a
u e a u a u a
u e a
−
−
−
−
−
R1 =
12 2 2
12 2 2 2
) 1 (
) (
e a
u e a
−
− , arah meridian ... (.45)
R2 = N G =
12 2 2
12 2 2 2 2
) 1 (
) (
e u
u e a u
−
−
R2 =
12 2
12 2 2 2
) 1 (
) (
e u e a
−
− , arah paralel ... (.46)
3.11.2. Persamaan Ellipsoida dengan Parameter ø ,λ
Parameter u akan diganti dengan parameter ø, dimana ø adalah sudut antara normal permukaan dengan bidang XOY. Lihat gbr.3.18 :
Kita ketahui bahwa du
dz = tan α dan dari (3.44),
tan α =
12 2 2
12 2
) (
) 1 (
u a
u e
−
−
−
Karena α = ø + 2
π , maka tan α = -cos ø
Maka : cot ø =
12 2 2
12 2
) (
) 1 (
u a
u e
−
− atau :
) (
) 1 ( sin cos
2 2
2 2 2
2
u a
u e o
o
−
= − / /
Atau : a2 cos2 ø – u2 cos2 ø = u2 sin2 ø – e2u2 sin2 ø
U2 (1 – e2 sin2 ø) = a2 cos2 ø U2 =
o e
o a
− / /
2 2
2 2
sin 1
cos ... (3.47)
U =
12 2
2sin )
1 (
cos g e
o a
−
/ ... (3.48)
Dari (3.45), Rl =
12 2 2
32 2 2 2
) 1 (
) (
e a
u e a
−
−
Substitusi (3.47) dalam persamaan di atas, R1 =(a2 - e2
o e
o a
− / /
2 2
2 2
sin 1
cos )32 / a2 (1-e2)12
=
32 2 2 2
2 1
32 2 2 2 2
) sin 1
( ) 1 (
) cos sin
1 (
o e e
o e
o e a
− /
−
− /
− / R1 =
12 2 2
2
) sin 1
(
) 1 ( e
e a
−
− , jrjari kelengkungan utama arah meridian ... (3.49) Dan (3.46), R2 =
12 2
12 2 2 2
) 1 (
) (
e u e a
−
−
Substitusi (3.47) dalam persamaan ini,
R2 = (a2 – e2 2 2 12
2 2
sin ) 1
cos o e
o a
− /
− /
/ (1-e2)12
=
12 2 2 2
2 1
12 2 2 2 2 2 2 2
) sin 1
( ) 1 (
) cos sin
(
o e e
o a
e o a e a
− /
−
− /
− /
=
12 2 2 2
2 1
12 2 2 2
) sin 1
( ) 1 (
) (
o e e
e a a
− /
−
−
=
12 2 2 2
2 1
12 2
) sin 1
( ) 1 (
) 1 (
o e e
e a
− /
−
−
R2 =
12 2
2sin )
1
( e o
a
− / , jejari kelengkungan utama arah paralel ... (3.50)
Dari (3.48) telah didapat u
12 2
2sin )
1 (
cos o e
o a
− /
/ . Membandingkannya
dengan (3.50), Didapat :
U = R2 cos ø ... (3.51) berarti R2 = PG. Lihat gbr.3.18 !!
Dari (3.44), Z = (1 - e2)12 (a2 - u2)12 = (1-e2)12(a2 -
o e
o a
− / /
2 2
2 2
sin 1
cos )12 =
= (1-e2)12
12
) sin 1
(
) cos sin
(
2 2
2 2 2 2 2 2
o e
o a
o e a a
− /
− /
− /
=
12 2 2
12 2 2
2 1 2 2 2 2
) sin 1
(
) 1 ( ) sin sin
(
o e
e o
e a o a
− /
/ − /−
=
12 2 2
2
) sin 1
(
sin ) 1 (
o e
o e a
− /
− /
Membandingkan dengan (3.50), maka :
Z = R2 (1 - e2) sin ø ... (3.52) Maka persamaan ellipsoida dengan parameter ø, λ :
X = R2 cos ø cos λ Y = R2 cos ø sin λ Z = R2 (1 – e2) sin ø dengan R2 =
12 2
2sin )
1
( e o
a
− / Lihat gbr.3.19 :
3.12. Teorema Euler
Pada permukaan dengan F = 0 dan M = 0 terdapat titik P.
Arah kelengkungan di P adalah λ1, λ2 dan kelengkungan utamanya adalah κ 1, κ2. Lihat gbr.3.2 :
Gbr.3.20 : κn arah du, dv
Di P ada arah du, dv yang membentuk sudut α dengan arah λ1 akan ditentukan κn dalam arah du, dv di atas.
κn = 2
2 2
ds Ndv Ldu +
Atau :
κn = L ( ds
du)2 + N ( ds
dv)2 ... (3.54) Namakan arah λ1 : u = 0, δ v ≠ 0. Maka dari. (3.22), sudut antara dua arah du, dv dan δ u = 0, δ u ≠ 0, adalah :
Cos = 2 2 2 2
v G u E Gdv Edu
v Gdv u Edu
δ δ
δ δ
+ +
+
dan karena cu = 0 , maka cos α =
2
2 G u
ds v Gdv
δ δ
atau :
cos α = ds
G dv dan
( ds du)2
G α cos2
... (3.55) Arah λ2 adalah δ u ≠ 0 , δ v = 0 Maka :
cos (90° - α) =
u2
E ds
u Edu
δ δ
atau :
sin α = ds
E du dan
( ds
du)2 = E
α sin2
... (3.56) Substitusi (3.56) dan (3.55) dalam (3.54) :
κn = E
L sin2 α + G
N cos2 α
dimana : G
N = κ1 dan E
L = κ2
Maka rumus di atas menjadi : κn = κ1 dan
E
L = κ2 sin2 α ... (3.57) Rumus (3.57) dinamakan Teorema Euler.
Contoh :
Pada silinder r = [a cos v, a sin v, u ] terdapat titik P. Di P ada arah yang membentuk sudut π/6 dengan arah garis lukis di P. Tentukan jejari kelengkungan normal do P dalam arah tersebut !!
Penyelesaian :
Dari Teorema Euler : Kn = Kl cos2 α + K2 sin2 α Kl = 0 , K2 =
a 1 , =
6 π κn =
a
1 sin2 6 π =
4a
1 , R = 4s
Soal Latihan :
Diberikan kerucut r = [ u cos v, u sin v, 2u ] dan titik p pada permukaan dengan u = 1 dan v =
6 π .
Tentukan kelengkungan normal di P dalam arah yang membentuk sudut
4
π dengan arah garis lukis di P !
3.13. Rumus untuk Menentukan Kelengkungan Utama
Kelengkungan normal di suatu titik pada permukaan dengan arah du, dv :
κn = Ι
ΙΙ = 2 2
2 2
2 2
2
Gdv dudv F Wdu
Ndv Mdudv Ldu
+ +
+ +
atau :
κn (λ) = 2
2
2 2
λ λ
λ λ
G F E
N M L
+ +
+
+ dengan λ = du dv
Harga a yang memberikan harga ekstrim untuk κn didapat dar:
=0 λ κ d d n
, atau
(E + 2Fλ + Gλ2) (M + Nλ )=(L + 2Mλ + Nλ2) (F + Gλ) (3.58)
Dari κn = Ι
ΙΙ = 2
2
2 2
λ λ
λ λ
G F E
N M L
+ +
+
+ =
λ λ G F
N M
+
+ dari ... (3.58)
Atau :
) (
) (
2 2
2 2
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
G F F E
N M M
L G F E
N M L
+ +
+ +
= + + +
+ +
Dari dua persamaan terakhir, didapat :
κn =
) (
) (
_
λ λ
λ λ
λ λ
λ
G F F E
N m M
L G F
N M
+ + +
+
= + +
+
Berarti : κn =
λ λ λ
λ
F E
M L G F
N M
+
= + +
+
Atau :
κn (f + Gλ) = M + Nλ dan κn (E + Fλ) = L + Mλ dan κn F – M = (N - κn G)λ dan κn E – L = (M - κnF)λ
Eliminasi λ dari dua persamaan terakhir, didapat :
F M
L E G
N M F
n n n
n
κ κ κ
κ
−
= −
−
−
atau :
(EG - F2) κn2 - (EN - 2FM + GL)κn + (LN - M2) = 0 ..(359) adalah persamaan kuadrat dari κn. Dari persamaan ini dapat ditentukan kelengkungan utama K1 dan K2 sebagai akanakan dari persamaan (3.59),
3.14. Kelengkungan Gauss dan Kelengkungan Rata-rata Kelengkungan Gauss K didefinisikan sebagai :
K = Kl K2 ... (3.60) Kelengkungan rata-rata H didefin,isikan sebagai :
H = 2
2
1 κ
κ +
... (3.61) Dari (3.59),
2
2
1 κ
κ +
= 2( ) 2
F2
EG
GL FM EN
− + +
Dan : Kl K2 = 2
2
F EG
M LN
−
−
Substitusi kedua persamaan dalam (3.60) dan (3.61) :
K = 2
2
F EG
M LN
−
− ... (3.62)
H =
) (
2 2
F2
EG
GL FM EN
− +
+ ... (3.63)
Untuk permukaan rotasi, dimana F = 0 dan M = 0 , maka K =
EG
LN ... (3.64)
H = EG
GL EN
2
+ ... (3.65)
Contoh :
Diberikan permukaan r = [u + v, u - v, uv] dan titik P pada permukaan dengan u = 1 dan v = 1.
Tentukan kelengkungan rata-rata H dan kelengkungan Gauss di P!!
Penyelesaian :
r u + v u - v uv 1 1 1
ru 1 1 v 1 -1 1
rv 1 -1 u 0 0 0
ruu 0 0 0 0 0 0
ruv 0 0 1 0 0 1
rvv 0 0 0 0 0 0
E = ru.ru = 3 , F = ru.rv = 1, G = rv. rv = 3, EG−F2 = 2 2
L = 2
1 2 2
2 ).
, ( ). 0
(
2
2 = − =−
= −
− = EG F
r r x M r
F EG
r r x
ru v uu u uv
N = ( ). 0
2 =
−F EG
r r x ru v vv
H = 2
16 1 )
( 2
2
2 =
−
=
− F EG
GL FM EN
K = 2
2
F EG
M LN
−
− = - 16
1
Soal Latihan :
Tentukan kelengkungan Gauss dan kelengkungan rata-rata di suatu titik pada permukaan :
(a). r = [ u cos v, u sin v, f (u) ]
(b). Ellipsoida dengan persamaan (3.53) !
3.15. Geodesik
Kurva pada permukaan dimana di setiap titiknya normal kurva sejajar (berimpit) dengan normal permukaan, dinamakan geodesik. Lihat gbr. 3.21 :
Geodesik adalah jarak terpendek pada permukaan yang meng- hubungkan dua titik pada permukaan,
Contoh-contoh :
Pada bidang datar, geodesik adalah garis lurus.
Pada permukaan bola, geodesik adalah lingkaran besar atau bagian dari lingkaran besar.
Pada permukaan silinder lingkaran tegak adalah garus lukis, lingkaran paralel dan heliks.
Teorema Clairaut :
Geodesik pada permukaan rotasi memotong meridian-meridian dengan sudut-sudut αl, α2, ..., αn.Lihat gbr.3.22 :
Gbr.3.22 : Geodesik memotong meridian Menurut Teorema Clairaut, maka :
ul sin αl = u2 sin α2 = ... = un sin αn
atau :
u sin α = tetap ... (3.66) dimana ul adalah jarak dari Pl ke poros putar permukaan rotasi, u2 jarak P2 ke poros putar, dst.Di sini teorema tidak dibuktikan !
4. P E M E T A A N
4.1. Definisi Pemetaan
Ada dua permukaan : permukaan pertama r = r (u,v) dan permukaan kedua rl = rl (ul, vi).
Bila untuk setiap titik pada permukaan pertama, melalui suatu Tumus transformasi, didapat satu titik pada permukaan kedua, dan sebaliknya, untuk setiap titik pada permukaan kedua, melalui rumus transformasi invers, didapat satu titik pada permukaan pertama, maka dikatakan bahwa antara kedua permukaan tersebut ada pemetaan. Atau permukaan pertama dipetakan pada permukaan kedua, melalui rumus transformasi. Sebaliknya permukaan kedua dipetakan pada permukaan pertama melalui rumus transformasi invers.
Jadi bila ada pemetaan antara permukaan pertama dengan permukaan kedua, maka ada hubungan antara parameter u, v dengan parameter ul, vl.
U1 = (u, v)
V1 = (u, v) ... (4.1)
Untuk setiap titik P(u,v) pada permukaan pertama , melalui rumus transformasi (4.1) didapat titik P1(u,v) pada permukaan kedua.
Perhatikan bahwa bila ada pemetaan antara kedua perm- ukaan, maka parameter untuk keduanya adalah u, v.
Contoh :
Misalkan permukaan pertama adalah permukaan bola : r = [R cos L cos B, R cos L sin B, R sin L]
dengan parameter L, B.
Misalkan permukaan kedua adalah bidang XOY : rl = [E x. Y. o]
dengan parameter x, y.
Permukaan pertama dipetakan pada permukaan kedua melalui rumus transformasi :
x = R B y = R L
Maka parameter untuk permukaan kedua (bidang XOY) adalah L, B dan persamaan dari permukaan kedua menjadi :
rl = [R B, R L, 0]
Perhatikan bahwa pada pemetaan ini, meridian bola, B=
tetap, dipetakan menjadi garis sejajar poros Y, paralel bola, L = tetap, dipetakan menjadi garis sejajar dengan poros X.
Titik pada permukaan bola dengan L = 3
π dan B = 4
π , dipetakan menjadi titik pada bidang XOY dengan :
x = dan y =
4 πR
dan y = 3 πR
4.2. Perbesaran
Misalkan ada pemetaan antara permukaan pertama r = r (u,v) dengan permukaan kedua rl = rl(u,v) melalui rumus transformasi ul = ul(u,v), vl = v1(u,v). ,Titik P(u,v) pada permukaan pertama dipetakan menjadi titik Pl(u,v) pada permukaan kedua. Kuadrat elemen panjang di P dan Pl arah du, dv adalah :
ds2 = E du 2 + 2 F du dv + G dv2
ds12 = Eldu2 + 2Fl du dv + Gl dv2 .. (4.2)
E, F, G adalah koefisien Bentuk Dasar Pertama di P, dan E1, F1, G1 adalah koefisien Bentuk Dasar Pertama di P1. Lihat gbr.4.1 berikut :
Gbr.4.1 : ds dan ds 1
ds ds1
= k ... (4.3) k dinamakan perbesaran atau faktor skala di P arah du, dv.
Perhatikan bahwa faktor skala k, disamping tergantung dari u,v (letak P) tergantung pula dari arah du, dv. Jadi
ds ds1
= k (u, du, dv) ... (4.4) Untuk du = 0, dv ≠ 0, maka (dari pers.4.2) dan (4.3)
Didapat : K =
G G1
... (4.5) Untuk du ≠ 0 , dv = 0 , maka :
K = E E1
... (4.6) Untuk contoh di atas, sudah diketahui bahwa : E = R2, R =0, G = R2 cos2 L untuk permukaan pertama (bola). Maka :
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB 2
Akan dihitung E1, F1, G1 untuk permukaan kedua : rl = [RB, RL, 0]
L r
∂
∂1
= r1L = [0, R, 0]
B r
∂
∂1
= r1B = [R, 0, 0]
E1 = r1L.r1L = R2 , F1 = r1L.r1B = 0, G1 = r1B.r1B = R2
k = 2 2 2 12
2 2
1 )
( cos
LdB dL
dB dL ds
ds
+
= +
Faktor skala arah meridian (dB = 0), k = 1.
Faktor skala arah paralel (dL = 0), k = sec L.
4_3. Pemetaan Konform Misalkan :
ds ds1
= k (u, v) ... (4.7)
Berarti k hanya bergantung dari u dan v saja dan tidak ber- gantung pada arah du, dv.
Pemetaan yang memenuhi (4.7) dinamakan pemetaan konforin.
Dari = 2
2 1
ds
ds = k
Gdv Fdudv Edu
dv G Fdudv du
E =
+ +
+ +
2 2
2 1 2
1
2 2
dengan menamakan du
dv = λ, didapat :
E1 + 2F1λ + Gl λ2 = k2 (E + 2Fλ + G λ2 ) atau :
(El - k2E ) + 2(Fl - k2F)λ + (G1 - k2G ) λ2 = 0
Persamaan di atas merupakan identitas, berlaku untuk setiap arah λ. Maka koefisien-koefisien dariλ harus = 0.
E1 – k2 E = 0 , F1 – k2F = 0 , G1 – k2G =0 Atau :
E1 = k2E , F1 = k2F , G1 = k2G ... (4.8) Atau :
1 1 1 k2 G G F F E
E = = = ... (4.9)
Jadi bila pemetaan adalah konform, maka akan memenuhi (4.9).
Sebaliknya bila suatu pemetaan memenuhi (4.9), maka pemetaan itu adalah konform.
Misalkan suatu pemetaan adalah konform. Titik P dipe- takan menjadi titik P1. Di P ada dua arah du, dv dan du, dv.
Namakan sudut antara dua arah tersebut di P adalah a dan di Pl
adalah al. Besar sudut antara dua arah du, dv dan δ u, δ v (3.22) adalah :
cos α =
12 2 2 2
2 1
2 2 ) ( 2 )
(
) (
v G v u F u E Gdv Fdudv Edu
v Gdv u
dv v du F u Edu
δ δ δ δ
δ δ
δ δ
+ +
+ +
+ +
+
cos α1 =
12 2 1 1
2 2 1 2 1 1 1
2 1
1 1 1
) 2
( ) 2
(
) (
u G v u F u E dv G dudv F du E
v dv G u dv v du F u du E
δ δ δ δ
δ δ
δ δ
+ +
+ +
+ +
+
Karena konform, maka E1 = k2E, F1 = k2F, Gl = k2 G.
Substitusi ketiga persamaan terakhir ini dalam persamaan untuk cos αl , didapat :
cos a = cos α1 atau α = αl ,
berarti dalam pemetaan konform besar sudut antara dua arah dipertahankan. Lihat gbr.4.2 berikut :
Gbr.4.2 : a = α1
Untuk segitiga yang kecil di P akan dipetakan menjadi segitiga di P1 , dimana kedua segitiga tersebut adalah se- bangun (sudut-sudutnya sama).
Contoh :
Permukaan bola, parameter L, B dipetakan pada bidang XOY , parameter ρ, Ө (koordinat polar), melalui rumus transform- asi :
ρ = 2 R tan ( 4 π -
2
L), Ө = B.
Meridian bola (B = tetap), dipetakan menjadi garis melalui O di bidang XOY, dan paralel bola (L = tetap) , dipetakan menjadi lingkaran dengan pusat 0 di bidang XOY.
Untuk permukaan bola telah didapat E = R2 , F = 0 dan G = R2 cos2 L. Maka :
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB 2 Persamaan dari bidang XOY, parameter p, 8 .
rl = [ρ cos Ө, ρ sin Ө, 0]
Dari rumus traasformasi persamaan bidang XOY menjadi : rl 2R tan (
4 π -
2
L) cos B 2R tan ( 4 π -
2
L) sin B 0
r1L -R sec2(
4 π -
2
L) cos B -R sec2( 4 π -
2
L) sin B 0
r1B -2Rtan ( 4 π -
2
L) sin B 2R tan ( 4 π -
2
L) cos B 0
E1 = r1L.r1L = R2 sec4( 4 π -
2
L) , Fl = riL.r1B = 0 ,
G1 r1B.r1B = 4R2 tan2( 4 π -
2 L) ds12 = E1 dL2 + G1 dB2
E E1
= sec4 ( 4 π -
2 L),
G G1
= 4 tan2 ( 4 π -
2
L)/ cos2 L
=
L L L
2 2 2
cos . 1 2) (4 cos
2) (4 sin 4
−
− π
π
Dari sin α = 2 sin 1 2α cos12α , maka sin1 2α =
α α
12 2
cos 2
sin
atau :
sin212α =
α α
12 2 2
cos 4
sin
Diterapkan pada sin2 ( 4 π -
2 L) :
sin 2 ( 4 π -
2 L)=
2) (4 cos 4
cos 2)
(4 cos 4
2 ) ( sin
2 2
2 2
L L L
L
−
=
−
−
π π
π
Substitusi dalam persamaan untuk G G1
di atas : E
E1
= )
2 (4 sec cos
2) (4
1 2)
(4 cos 4
cos
4 4
2 2
2 L
L L L
L = −
−
−
π π
π
Maka :
E E1
= G G1
= sec4 ( 4 π -
2 L) dan :
k = sec2 ( 4 π -
2 L)
k hanya tergantung dari L dan tidak tergantung dari arah dL, dB. Maka pemetaan di atas konform.
Soal Latihan :
Tunjukkan bahwa pemetaan dari permukaan bola, parameter B pada bidang XOY, parameter x,y melalui rumus transformasi x = RB, y
= R ln tan ( 4 π +
2
L) adalah konform
4.4. Pemetaan Sama Was
Bila elemen luas pada permukaan pertama dipetakan jadi elemen luas pada permukaan kedua, dan luas dari kedua elemen luas tersebut adalah sama, maka pemetaan dinamakan pemetaan sama luas. Lihat gbr.4.3. :
Gbr.4.3 : Elemen luas
dr = ru du , r = δ r = rv δ v.Elemem luas adalah jajaran genjang yang dibentuk oleh dr danδ r.Luas elemen luas tersebut sama dengan drxδr . (1.2.6.)
r
drxδ = (drxδr).(drxδr) = (ruduxrvδv).(ruduxrvδv)
= (ru.ru)du2(rv.rv)δu2−(rv.ru.rv)2du2δv2
= EG−F2duδv (dari 1.12)
Luas dari elemen luas pada permukaan kedua sama dengan : v
du F G
E1 1− 12 δ
Luas dari kedua elemen luas sama, maka : EG−F2 =E1G1−F12 Jadi bila pemetaan adalah pemetaan sama luas, maka :
2 1 1 1
2 EG F
F
EG− = − ...(4.10)
Sebaliknya, bila berlaku (4.10), maka pemetaan adalah pemetaan sama luas.
Bila F = 0 dan F1 = 0, maka EG = E E1
G G1
= 1.
E E1
adalah factor skala arah meridian, G G1
adalah factor skala arah parallel.Maka untuk F = 0, F1 = 0 ,
Kmkp = 1
Dimana km adalah factor skala arah meridian, dan kp adalah factor skala parallel.
Contoh :
Permukaan bola dengan parameter L,B dipetakan pada bidang XOY, parameter x,y melalui rumus transformasi : x = RB ,
Y = R sin L.
E = R2 , F = 0 , G = R2 cos2 L
r1 RB R sin L 0
r1L 0 R cos L 0
r1B R 0 0
E1 = R2 cos2 L, F1 = 0 , G1 = R2
E =
E1 cos2 L, G G1 =
2 L cos
1 , =
G G E
E 1
1.
1 , pemetaan
Sama luas.
Soal Latihan :
Permuakaan bola, Parameter L,B dipetakan pada bidang XOY ,parameter x,y melalui rumus transformasi :
X = 2 R sin ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ − 2 4 π L
sin B, y = 2 R sin ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ − 2 4 π L
cos B (a). Tentukan pemetaan dari meridian bola di bidang XOY !!
(b). Tentukan pemetaan dari paralel bola di bidang XOY !!
(©). Tunjukan bahwa pemetaan adalah sama luas !!
4.5 Pemetaan Sama Jarak
Pemetaan dinamakan pemetaan sama jarak, bila ds = ds, untuk setiap arah du,dv.
Dari: ds2 = E du2 + 2 F dud v + G dv2
Dan : ds12 = E1 = , F1 = F , G1 = G ....(4.12)
Dapat juga sama jarak hanya dalam suatu arah tertentu.
Misalkan pada permukaan rotasi, sama jarak dalam arah meridian (dv = 0) atau. Dalam arah parallel (du = 0).
Dalam arah meridian : Km = E E1
= 1 ....(4.13)
Dalam arah parallel : Kp = G G1
= 1 ....(4.14)
Contoh 1 :
Permukaan bola, parameter L, B dipetakan pada bidang XOY, parameter x,y, melalui rumus transformasi x = RB, y = RL.
r1 RB RL 0 r1L 0 R 0 r1B R 0 0
E1 =R2, F1 = 0 , G1 = R2 , sedangkan E = R2 , F = 0 dan G = R2 cos2 L.
Ternyata E1 = E , berarti sama jarak arah meridian.
Contoh 2 :
Seperti pada contoh 1, tapi dengan rumus transformasi : X = R cos L sin B , Y = R cos L cos B
Berarti meridian dipetakan menjadi garis melalui o di bidang XOY dan paralel dipetakan menjadi lingkaran, pusat di o di bidang XOY.
r1 R cos L sin B R cos L cos B 0 r1L -R sin L sin B -R sin L cos B 0 r1B R cos L cos B -R cos L sin B 0
E1 = R2 sin2 L, f1 = 0,G1 = R2 cos2 L, sedangkan E = R2, F = 0, G = R2 cos2 L. Ternyata G1, berarti sama jarak dalam arah parallel.
Telah didapat untuk permukaan rotasi : Km = 1, sama jarak arah meridian Kp = 1, sama jarak arah parallel
Km.kp = 1, sama luas ... (4.15) Km = kp, sama sudut (konfrom)
Dimana : Km = 1,
E
E kp = G G1
4.6. pemetaan konfrom melalui fungsi kompleks
Parameter fari permukaan, dinamakan parameter isometric bila F = 0 , dan E = G.
Contoh 1 :
Bidang XOY dengan parameter x,y ; r r y 0
rx 1 0 0 ry 0 1 0
E = 1, F = 0, G= 1, maka x,y adalah parameter isometrik.
Contoh 2 :
Bidang XOY, dengan parameter ρ,θ;
r ρ cos θ ρ sin θ 0
r cos θ sin θ 0 r θ - sin θ ρ cos θ 0
E = 1, F = 0, G = ρ2, E ≠ G, ρ, Ө bukan paramater isometrik.
Sekarang perhatikan :
Ds2 = dρ2 + ρ2 + dӨ2 = ρ2
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧( )2+ θ2 ρ
ρ d
d
Namakan ρ
ρ
d = dρ1, maka lnρ = ρ1 atau ρ = eρ1 Maka :
ds2 = ρ12 {dρ12 + dӨ2}
sekarang F = 0, E = G = 2 ; ρ1, Ө paramater isometrik
Contoh 3 :
Permukaan bola, paramater L,B. Didapat E =R2,F =0, G = R2 cos2 L. L,B bukan parameter isometrik.
ds2 = R2 dL2 + R2 cos2 L dB2
= R2 cos2 L
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ )2+ 2
(cos dB
L dL
Namakan L dL
cos = dQ dan Q = ln tan(π4 + 2L) Maka :
ds2 = R2 cos2 L dQ2 + dB2 sekarang Q, B parameter isometrik.
Misalkan y + ix = z dan Q + iB = w dua variabel kompleks.
Bila:
z = f(w)
dengan f(w) analitik dan f’ (w) ≠ 0 maka pemetaan Q, B ke X, Y konfrom.
F(w) dikatakan analitik di w, bila : f’(w) = dw
dz ada.
Pembahasan yang terinci mengenai ini dapat dilihat dari:
“ PEMETAAN KONFROM DENGAN FUNGSI KOMPLEKS” !
DAFTAR PUSAKA
1. STRUK, D.J. (1950) : Lectures on classical Differential Geomtry, Addison – Wesley Press.
2. WEATHERBRUN, C.E. (1971) : Differential Geometry Of Three Dimensions,Cambridge University Press.
3. WILIMORE, T.J. (1959) :An Introduction to Differential Geometry, Oxford University Press.
--o0o—
I N D E K S Arah kelengkungan 56
- meridian 53, 65 - paralel 53, 65 - vektor 1
Bentuk Dasar Kedua (II) 48 Bentuk Dasar Pertama (I) 40 Besar Vektor 1
Bidang, lihat Persamaan Bidang Normal 48
Clairaut, lihat Teorema Elemen panjang 41
Ellipsoida 63 Faktor skala 79 Geodesik 75 Heliks 20
Hukum asosiatip 3, 4 Hukum distributip 3, 4 Hukum komutatip 3
Jejari kelngkungan 28 - - ellipsoida 67 - - normal 50 - - utama 56 Jumlah vektor 3 Kelengkungan 27 - Gauss 73 - Normal 48 - Rata-rata 73 - Utama 56 Koeifesien I 41 Koeifisien II 50 Komponene vektor 7
Koordinat kurvilinier 38
- bidang 20 - parametrik 38 - ruang 20
normal Permukaan 45 - bola 46
- kerucut 47 - kurva 28 Panjang busur 21 Parameter 16, 17 - isometrik 89 pemetaan 78
perkalian tiga vektor 5, 13 - sekalar dengan vektor 2, 8 Permukaan 23
- rotasi 36
Persamaan ellips 19 - bidang 32, 35 - bola 33
- garis 17 - krucut 35 - lingkaran 18
- permukaan rotasi 37 - silinder 34
Produk skalar 4, 9 - vektor 5, 10 Rumus transformasi 77 Selisih vektor 3
Sudut antara dua arah 44 - - - kurva parametrik 37 Syarat kurva parametrik Saling tegak lurus 45 Teorema Clairaut 75