BAB II RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
1. Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah Dan
(), dan tan () mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang dirangkum dalam rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut berikut.
1.1. Rumus untuk cos () a. Rumus untuk cos (+)
Untuk memahami rumus trigonometri dari kosinus jumlah dua sudut perlu diilustrasikan pada Gambar 2.1.
42
Gambar 2.1
Pada gambar 2.1 diperlihatkan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan (disebut lingkaran satuan), sehingga titik A mempunyai koordinat (1,0).
Misalkan AOB = dan BOC = maka:
AOC = AOB + BOC = +
Dengan demikian sudut pertolongan AOD = - , maka AOC kongruen dengan BOD.
Akibatnya
AC = BD atau AC2 = BD2
Kita ingat bahwa koordinat Cartesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai (r cos , r sin ), sehingga koordinat titik B adalah (cos , sin ), titik C adalah (cos (+),sin (+)) dan titik D adalah (cos , - sin ).
Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik diperoleh:
Jarak titik A(1,0) dan C (cos (+),sin (+)) adalah AC2 = { cos (+) – 1}2 + {sin (+) – 1}2
= cos2 (+) – 2 cos (+) + 1 + sin2 (+) = {cos2 (+) + sin2 (+)} + 1 – 2 cos (+) = 1 + 1 - 2 cos (+)
43 AC2 = 2 - 2 cos (+)
Jarak titik B (cos , sin ) dan D(cos , - sin ) adalah BD2 = (cos - cos )2 + (-sin - sin )2
= cos2 - 2 cos cos + cos2 + sin2 + 2 sin sin + sin2
= (cos2 + cos2) + (sin2+ sin2) - 2 cos cos + 2 sin sin
= 1 + 1 – 2 (cos cos - sin sin ) = 2 – 2 (cos cos - sin sin ) Karena AC2 = BD2, maka diperoleh
2 - 2 cos (+) = 2 – 2 (cos cos - sin sin ) cos (+) = cos cos - sin sin
Jadi, rumus untuk cos (+) adalah
cos (+) = cos cos - sin sin
b. Rumus untuk cos ( - )
Rumus untuk cos ( - ) dapat diperoleh dari rumus cos ( - ) dengan cara mengganti sudut dengan sudut (-) sebagai berikut.
cos ( - ) = cos ( +(-))
= cos cos (-) – sin sin (-) = cos cos – sin (- sin ) = cos cos + sin sin Sehingga, rumus untuk cos ( - ) adalah
cos ( - ) = cos cos + sin sin
Rumus di atas dapat dituliskan secara bersama sebagai berikut cos () = cos cos ∓ sin sin
44 Contoh 2.1
Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari
a. Cos 15o b. Cos 75o Jawab
a. 15o = 45o – 30o, sehingga
Cos 15o = cos (45o – 30o)
= cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o
= 12√2 ×12√3 +12√2 ×12 =14(√6 + √2) Jadi, nilai eksak dari cos 15o = 14(√6 + √2)
b. 75o = 45o + 30o
1.2. Rumus untuk sin () a. Rumus untuk sin (+)
Rumus sin (+) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus- rumus yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu:
1. Rumus sudut yang berelasi i. sin (𝜋2− 𝛼) = cos ii. cos (𝜋2− 𝛼) = sin
2. Rumus cos ( - ) = cos cos + sin sin
Berdasarkan rumus 1) bagian ii), diperoleh hubungan sebagai berikut.
sin (+) = cos (𝜋2− (𝛼 + 𝛽)) = cos ((𝜋2− 𝛼) − 𝛽)
45 = cos (𝜋2− 𝛼) cos + sin (𝜋2− 𝛼) sin
sin (+) = sin cos + cos sin Jadi, rumus untuk sin (+) adalah
sin (+) = sin cos + cos sin
b. Rumus untuk sin (-)
Rumus untuk sin ( - ) dapat diperoleh dari rumus sin (+) dengan cara menggantikan sudut dengan sudut (-)
Sehingga, rumus untuk sin ( - ) adalah sin ( - ) = sin cos - cos sin
Kedua rumus di atas dapat ditulis secara bersamaan sebagai berikut sin () = sin cos cos sin
1.3. Rumus untuk tan () a. Rumus untuk tan (+)
Berdasarkan rumus perbandingan tan 𝛼 = cos 𝛼sin 𝛼 , maka tan (+) = cos(𝛼+𝛽)sin(𝛼+𝛽)
= sin 𝛼 cos 𝛽+cos 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛼 cos 𝛽−sin 𝛼 sin 𝛽 ×
1 cos 𝛼 cos 𝛽
1 cos 𝛼 cos 𝛽
=
sin 𝛼 cos 𝛼+cos 𝛽sin 𝛽 1− sin 𝛼cos 𝛼cos 𝛽sin 𝛽
= tan 𝛼+tan 𝛽 1−tan 𝛼 tan 𝛽
Jadi, rumus tan (+) adalah
46 tan (+) = tan 𝛼+tan 𝛽
1−tan 𝛼 tan 𝛽
b. Rumus untuk tan (-)
Rumus untuk tan ( - ) dapat diperoleh dari rumus tan (+) dengan cara mengganti sudut dengan sudut (-). Sehingga diperoleh rumus untuk tan () yaitu
tan ( - ) = tan 𝛼 − tan 𝛽 1+ tan 𝛼 tan 𝛽
Kedua rumus di atas dapat ditulis secara bersama sebagai berikut tan () = tan 𝛼±tan 𝛽
1∓tan 𝛼 tan 𝛽
2. Rumus Trigonometri Sudut Ganda
Misalkan adalah sebuah sudut tunggal, maka dua kali sudut (ditulis: 2) disebut juga sebagai sudut ganda atau sudut rangkap.
Trigonometri sudut ganda, yaitu sin 2, cos 2, dan tan 2
mengikuti kaidah-kaidah tertentu yang dirangkum dalam rumus- rumus trigonometri sudut ganda. Kajian diawali dengan pembuktian rumus bagi sin 2.
2.1. Rumus untuk sin 2
Perhatikan kembali rumus untuk sin (+) sin (+) = sin cos + cos sin
Apabila sudut diganti dengan sudut atau subtitusi = , maka rumus di atas menjadi:\
sin (+) = sin cos + cos sin
47
sin 2 = sin cos + sin cos (ingat sin cos = cos
sin )
sin 2 = 2 sin cos Jadi, rumus untuk sin 2 adalah
sin 2 = 2 sin cos
2.2. Rumus untuk cos 2
Kita ingat kembali rumus untuk cos (+).
cos (+) = cos cos - sin sin
Dengan mengganti sudut dengan atau subtitusi = , maka rumus di atas menjadi
cos (+) = cos cos - sin sin cos 2 = cos2 - sin2
jadi, rumus untuk cos 2 adalah cos 2 = cos2 - sin2
bentuk lain untuk rumus cos 2 adalah
cos 2 = 2 cos2 - 1 atau cos 2 = 1 – 2 sin2
2.3. Rumus untuk tan 2
Perhatikan kembali rumus untuk tan (+) tan (+) = tan 𝛼+tan 𝛽
1−tan 𝛼 tan 𝛽
Dengan mengganti sudut dengan atau subtitusi = , maka rumus di atas menjadi
tan (+) = tan 𝛼+tan 𝛼 1−tan 𝛼 tan 𝛼
tan 2 = 1−tan2 tan 𝛼2𝛼
jadi, rumus untuk tan 2 adalah tan 2 = 1−tan2 tan 𝛼2𝛼
48 2.4. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen sudut 𝟏𝟐𝜽
a. Rumus untuk sin 𝟏𝟐𝛉
Perhatikan kembali rumus untuk cos 2
cos 2 = 1 – 2 sin2
2 sin2 = 1 - cos 2
sin2 = 1−cos 2𝛼2
sin = √1−cos 2𝛼2
dengan mengganti atau mensubtitusikan = 12𝜃 ke persamaan di atas, diperoleh
sin 1
2𝜃 = √1−cos 𝜃2
jadi, rumus untuk sin 12𝜃 adalah
sin 12𝜃 = √1−cos 𝜃2
b. Rumus untuk cos 𝟏𝟐𝛉
Perhatikan kembali rumus cos 2, dengan cara yang sama untuk memperoleh rumus sin 1
2𝜃. Maka rumus utnuk cos 12𝜃 adalah cos 12𝜃 = √1+cos 𝜃2
49 c. Rumus untuk tan 𝟏𝟐𝛉
Dengan mensubtitusikan rumus sin 12𝜃 dan rumus cos 12𝜃 yang telah diperoleh sebelumnya pada tan 12𝜃 = sin
1 2 𝜃
cos2 1 𝜃 , diperoleh rumus tan 12𝜃 yaitu
tan 12𝜃 = √1− cos 𝜃1+cos 𝜃
dengan tan 12𝜃 di atas dapat diubah dalam bentuk lain dengan cara mengubah bagian pembilang atau penyebut sebagai berikut
tan 12𝜃 = 1+cos 𝜃sin 𝜃 atau tan 12𝜃 = 1−cos 𝜃sin 𝜃
3. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Dalam bagian ini dipelajari rumus-rumus baru dalam trigonometri. Rumus-rumus baru ini merupakan perkalian sinus dan kosinus yang dinyatakan dalam bentuk jumlah atau selisih sinus atau kosinus.
3.1. Rumus-Rumus untuk 2 sin cos dan 2 cos sin a. Rumus untuk 2 sin cos
Perhatikan kembali rumus untuk sin (). Jika rumus sin (+) dan rumus sin ( - ) dijumlahkan maka diperoleh
sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( - ) = sin cos - cos sin +
sin ( + ) + sin ( - ) = 2 sin cos
50 Jadi, 2 sin cos = sin ( + ) + sin ( - )
b. Rumus untuk 2 cos sin
Jika rumus sin (+) dan rumus sin ( - ) dikurangkan maka diperoleh
sin ( + ) = sin cos + cos sin sin ( - ) = sin cos - cos sin - sin ( + ) - sin ( - ) = 2 cos sin
Jadi, 2 cos sin = sin ( + ) - sin ( - ) 2 sin cos = sin ( + ) + sin ( - ) 2 cos sin = sin ( + ) - sin ( - )
3.2. Rumus-Rumus untuk 2 cos cos dan 2 sin sin a. Rumus untuk 2 cos cos
Perhatikan kembali rumus untuk cos (). Jika rumus cos (+) dan rumus cos ( - ) dijumlahkan maka diperoleh
cos ( + ) = cos cos - sin sin cos ( - ) = cos cos + sin sin +
cos ( + ) + cos ( - ) = 2 cos cos Jadi, 2 cos cos = cos ( + ) + cos ( - )
b. Rumus untuk 2 sin sin
Kalau rumus cos (+) dan rumus cos ( - ) dikurangkan maka diperoleh
cos ( + ) = cos cos - sin sin cos ( - ) = cos cos + sin sin -
51 cos ( + ) - cos ( - ) = - 2 sin sin
Jadi, 2 sin sin = - {cos ( + ) - cos ( - )}
Berdasarkan pembahasan tersebut, kita peroleh rumus 2 cos cos dan 2 sin sin sebagai berikut
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( - ) 2 sin sin = - {cos ( + ) - cos ( - )}
4. Rumus Jumlah Dan Selisih Pada Sinus Dan Kosinus
Pada bagian 2.3 telah dipelajari bagaimana memanipulasi secara aljabar untuk mengubah:
perkalian sinus dan kosinus menjadi jumlah atau selisih sinus
perkalian kosinus dan kosinus menjadi jumlah kosinus, dan
perkalian sinus dan sinus menjadi selisih kosinus.
Proses memanipulasi aljabar sebaliknya tentu saja dapat dilakukan, yaitu mengubah;
jumlah atau selisih sinus menjadi perkalian sinus dan kosinus
jumlah kosinus menjadi perkalian kosinus dan kosinus, dan
selisih kosinus menjadi perkalian sinus dan sinus.
Sehingga diperoleh
sin A + sin B = 2 sin 12 (A + B) cos 12 (A – B) sin A - sin B = 2 cos 12 (A + B) sin 12 (A – B) cos A + cos B = 2 cos 12 (A + B) cos 12 (A – B) cos A - cos B = - 2 sin 12 (A + B) sin 12 (A – B)
Berdasarkan rumus-rumus di atas tampak bahwa jumlah dan selisih pada sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dengan pola sebagai berikut.
52 (a) Jumlah atau selisih sinus dinyatakan sebagai perkalian sinus
dengan kosinus atau perkalian kosinus dengan sinus
(b) Jumlah atau selisih kosinus dinyatakan sebagai perkalian kosinus dengan kosinus atau perkalian sinus dengan sinus.
5. Identitas Trigonometri
Dalam bagian ini dipelajari cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus- rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda dan rumus trigonometri untuk sudut 12𝛼.
Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan adalah
Rumus-rumus kebalikan
sec = cos 𝛼1 , cosec = sin 𝛼1 , tan = cot 𝛼1
Rumus-rumus perbandingan tan = cos 𝛼sin 𝛼 , cot = sin 𝛼cos 𝛼
Rumus-rumus phytagoras
sin2 + cos2 = 1, 1 + tan2 = sec2, dan 1 + cot2 = cosec2
Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi
Agar lebih memahami bagaimana membuktikan kebenaran identitas trigonometri, perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.2
Untuk setiap sudut , buktikan bahwa (sin - cos )2 = 1 – sin 2
Jawab:
Jabarkan ruas kiri:
(sin - cos )2 = sin2 - 2 sin cos + cos2 = sin2 + cos2 - 2 sin cos
53 = 1 – sin 2.
Jadi terbukti bahwa (sin - cos )2 = 1 – sin 2
Contoh 2.3
Buktikan bahwa (sin 4x – sin x)2 + (cos 4x + cos x)2 = 2 (1 + cos 5x) Jawab:
Jabarkan ruas kiri:
(sin 4x – sin x)2 + (cos 4x + cos x)2
= sin2 4x - 2 sin 4x sin x + sin2 x + cos2 4x + 2 cos 4x cos x + cos2 x
= (sin2 4x + cos2 4x ) + (sin2 x + cos2 x) + 2 (cos 4x cos x - sin 4x sin x)
= 1 + 1 + 2 cos (4x + x)
= 2 + 2 cos 5x
= 2 (1 + cos 5x)
Jadi, terbukti bahwa (sin 4x – sin x)2 + (cos 4x + cos x)2 = 2 (1 + cos 5x)
C. Rangkuman
1. Rumus untuk cos (+) adalahcos (+) = cos cos - sin sin
2. rumus untuk cos ( - ) adalahcos ( - ) = cos cos + sin sin
3. rumus untuk sin (+) adalahsin (+) = sin cos + cos sin
4. rumus untuk sin ( - ) adalahsin ( - ) = sin cos - cos sin
5. rumus tan (+) adalah tan (+) = tan 𝛼+tan 𝛽 1−tan 𝛼 tan 𝛽
6. rumus untuk tan () yaitutan ( - ) = tan 𝛼 − tan 𝛽 1+ tan 𝛼 tan 𝛽
54 7. rumus untuk sin 2 adalah sin 2 = 2 sin cos
8. rumus untuk cos 2 adalahcos 2 = cos2 - sin2
9. bentuk lain untuk rumus cos 2 adalahcos 2 = 2 cos2 - 1 atau cos 2 = 1 – 2 sin2
10. rumus untuk tan 2 adalahtan 2 = 1−tan2 tan 𝛼2𝛼 11. rumus untuk sin 12𝜃 adalahsin 12𝜃 = √1−cos 𝜃
2
12. rumus utnuk cos 12𝜃 adalahcos 12𝜃 = √1+cos 𝜃
2
13. rumus tan 12𝜃 yaitutan 12𝜃 = √1− cos 𝜃
1+cos 𝜃
14. Rumus perkalian sinus dan kosinus adalah 2 sin cos = sin ( + ) + sin ( - )
15. Rumus perkalian kosinus dan sinus adalah 2 cos sin = sin ( + ) - sin ( - )
16. Rumus perkalian kosinus dan kosinus yaitu 2 cos cos = cos ( + ) + cos ( - )
17. Rumus perkalian sinus dan sinus adalah 2 sin sin = - {cos ( + ) - cos ( - )}
18. Jumlah dan selisih pada sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dengan pola sebagai berikut.
a. Jumlah atau selisih sinus dinyatakan sebagai perkalian sinus dengan kosinus atau perkalian kosinus dengan sinus b. Jumlah atau selisih kosinus dinyatakan sebagai perkalian
kosinus dengan kosinus atau perkalian sinus dengan sinus.
D. Tugas
Kerjakan soal-soal berikut
1. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari
a. tan 15o
55 b. sin 75o
c. cos 345o d. sin 105o
2. Diketahui adalah sudut lancip dan sin = 4/5. Hitunglah nilai dari
a. sin 2
b. cos 2
c. tan 2
3. tunjukkan bahwa nilai eksak dari a. tan (255o) = (√3 + 2)
b. sin (195o) = −14√2(√3 − 1) c. cos (105o) = 14√2(1 − √3)
4. diketahui A + B + C = , maka tunjukkan bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
5. nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 4.
a. sin 2
b. cos 2
c. tan 2
6. nyatakan bentuk-bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus.
a. 2 sin x cos y b. 2 sin 2a cos b c. 2 sin 40o cos 9o d. 2 cos x sin y e. 2 cos a sin 2b f. 2 cos 72o sin 26o 7. Tunjukkan bahwa:
a. 2 sin (𝜋4+ 𝛼) cos (𝜋4 − 𝛼) = 1 + sin 2𝛼
b. 2 cos (xo + 105o) sin (xo + 75o) = - (½ + sin 2xo) 8. Tunjukkan bahwa:
a. sin 40o + sin 20o = cos 10o
56 b. sin 105o + sin 15o = ½ 6
c. cos 465o + cos 165o = - ½ 6
9. Buktikan setiap identitas trigonomteri berikut.
a. (sin + cos )2 = 1 + sin 2
b. (cos - sin ) (cos + sin ) = cos 2
c. 2 sin2 x = sin 2x tan x 10. Buktikan bahwa
a. Sin 4x = 4 sin x cos x – 8 sin3 x cos x b. Cos 4x = 8 cos4 x – 8 cos2 x + 1
E. Penilaian
Tes Essay: Kerjakan soal-soal berikut
1. Tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, hitunglah nilai eksak dari
a. tan 150o b. sin 120o
2. Diketahui adalah sudut lancip dan sin = 5/12. Hitunglah nilai dari
a. cos 1/2 b. tan 2
3. tunjukkan bahwa nilai eksak dari a. tan (255o) = (√3 + 2)
b. sin (195o) = −14√2(√3 − 1)
4. diketahui A + B + C = , maka tunjukkan bahwa sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
5. nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 4.
a. sin 2 b. cos 2 c. tan 2
6. nyatakan bentuk-bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus.
57 a. 2 sin x cos y
b. 2 cos 72o sin 26o 7. Tunjukkan bahwa:
a. 2 sin (𝜋4+ 𝛼) cos (𝜋4 − 𝛼) = 1 + sin 2𝛼
b. 2 cos (xo + 105o) sin (xo + 75o) = - (½ + sin 2xo) 8. Tunjukkan bahwa:
a. sin 40o + sin 20o = cos 10o b. cos 465o + cos 165o = - ½ 6
9. Buktikan setiap identitas trigonomteri berikut.
a. (cos - sin ) (cos + sin ) = cos 2 b. 2 sin2 x = sin 2x tan x
10. Buktikan bahwa
a. Sin 4x = 4 sin x cos x – 8 sin3 x cos x b. Cos 4x = 8 cos4 x – 8 cos2 x + 1
F. Rujukan
Corliss, J.J., Berglund, V.W. 1958. Plane Trigonomtri. Boston: The Riverside Press Cambridge.
Budiarta, M. T. 2004. Trigonometri. Bagian Proyek Pengembangan Kurikulum Direktorat Pendidikan Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Pendiidkan Dasar dan Menengah Departemen Pendiidkan Nasional.
George B. Thomas JR dan Ross L. Finney. 1993. Kalkulus dan Geometri Analitik. Penerbit: Airlangga.
Gunawan, J. 1996. 100 Soal dan Pembahasan Trigonometri.
Grasindo, Jakarta.
John A. Graham and Robert H. Sorgenfrey. 1986. Trigonometry with application. Boston: Houghton Miffin Company.
Kariadinata, R. 2013. Trigonometri Dasar. Penerbit: Pustaka Setia Bandung.
58 Larson and Hostetler. 2007. Algebra and Trigonometry. Seventh
Edition. Boston, New York.
Noormandiri, B.K dan Scipto, E. 2000. Buku Pelajaran Matematika untuk SMU Jilid 2 Kelas 2 Kurikulum 1994, Suplemen GBPP 1999. Penertbit: Airlangga
Purcell E., J., & Varberg, D. 1984. Calculus with Analytic Geometry. Diterjemahkan Susila, I. N., Kartasasmita, B., Rawuh: Kalkulus dan Geometri Analitis, jilid 1. Penertbit:
Erlangga.
Purcell E., J., & Varberg, D. 1984. Calculus with Analytic Geometry. Diterjemahkan Susila, I. N., Kartasasmita, B., Rawuh: Kalkulus dan Geometri Analitis, jilid 2. Penertbit:
Erlangga
Wirodikromo, S. 2006. Matematika Jilid 2 IPA untuk Kelas XI.
Penerbit: Erlangga
Zen Fathurin, 2012. Trigonometri. Penerbit: Alfabeta Bandung.
59