PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Pendahuluan
Selain itu, persamaan trigonometri berbentuk sinus, cosinus atau tangen, dan koordinat titik diubah menjadi koordinat kutub. Mohon membaca pendahuluan materi ini dengan seksama agar anda memahami tujuan mempelajari materi ini dan cara mempelajarinya. Bacalah materi dalam materi ini sepotong demi sepotong, soroti kata-kata penting yang menjadi kata kunci.
Pahami maksud isi materi pembelajaran ini dengan mempelajari contoh, menggunakan pemahaman sendiri, bertukar pikiran (diskusi) dengan siswa atau tutor. Selesaikan soal tugas pada Bab 1 materi pelajaran ini tanpa melihat kunci jawabannya terlebih dahulu. Jawablah pertanyaan-pertanyaan dalam penilaian, jika anda belum yakin dengan jawabannya, lihat kembali uraian materi terkait pertanyaan tersebut.
Uraian Materi
- Ukuran Sudut
- Perbandingan Trigonometri
- Koordinat Kutub (Koordinat Polar)
Sudut dalam radian dapat dihitung dengan membagi panjang busur sudut potong dengan jari-jari lingkaran (s/r). Besar kecilnya sudut dalam satuan radian dapat dijelaskan dengan menggunakan Gambar 1.4. Pada gambar 1.5, titik M merupakan pusat kedua lingkaran. Pada pembahasan kali ini kita akan membahas lebih lanjut tentang segitiga siku-siku, khususnya unsur-unsur pada segitiga siku-siku yang berhubungan langsung dengan perbandingan trigonometri.
Pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari perbandingan trigonometri untuk sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut yang dimensinya antara 0o dan 360o. Dengan memutar ruas garis OA sehingga XOA berada pada kuadran I, II, III dan IV maka dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada seluruh kuadran. Berdasarkan pengertian trigonometri berdasarkan tinjauan geometri analitik dan perlu diingat bahwa r = OP selalu positif, maka tanda (positif atau negatif) nilai persamaan trigonometri ditentukan oleh tanda absis x dan ordinat y .
Perbandingan trigonometri sudut dengan Titik P1(x1,y1) adalah bayangan titik P(x,y) akibat refleksi pada sumbu y. Persamaan trigonometri sudut dengan Dari Gambar 1.15, titik P1(x1,y1) merupakan bayangan titik P(x,y) akibat dipantulkan pada garis yx.
Rangkuman
Sudut pada kuadran I adalah sudut yang besarnya antara 0o dan 90o atau 0o<1<90o. Sudut pada kuadran III adalah sudut yang besarnya antara 180o dan 270o atau 180o<3<270o. Sudut pada kuadran IV adalah sudut yang besarnya antara 270o dan 360o atau 270o<4<360o.
Tugas
Penilaian
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah Dan
Misalnya adalah sudut tunggal, maka rangkap dua sudut (ditulis: 2) disebut juga sudut rangkap atau double angle. Rumus baru ini adalah perkalian sinus dan kosinus, yang dinyatakan dalam jumlah atau selisih sinus atau kosinus. Berdasarkan rumus di atas, terlihat bahwa jumlah dan selisih sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dengan pola sebagai berikut.
52 (a) Jumlah atau selisih sinus dinyatakan sebagai hasil kali sinus. dengan cosinus atau perkalian cosinus dengan sinus. Pada bagian ini kita mempelajari cara membuktikan kebenaran identitas trigonometri dengan menggunakan kembali rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus trigonometri sudut 12𝛼. Jumlah dan selisih sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian dengan menggunakan pola berikut.
Jumlah atau selisih sinus dinyatakan dengan mengalikan sinus dengan cosinus atau mengalikan cosinus dengan sinus b.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Persamaan Trigonometri
63 Contoh: tan x = c; Jika c bilangan real positif, maka sudut x berada pada kuadran I dan III atau putarannya.
Pertidaksamaan Trigonometri …
FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri Sinus, Kosinus, dan
Nilai maksimum dan minimum fungsi sinus dan cosinus Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus, dan tangen) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan yaitu lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan. Dengan memperbesar sudut 𝛼𝑜 maka nilai fungsi trigonometri sin 𝛼𝑜, cos 𝛼𝑜 dan tan 𝛼𝑜 akan berubah. Titik-titik (𝑥, 𝑦) yang diperoleh pada langkah 1 diplot pada bidang Cartecius sehingga derajat pada sumbu 𝑥 dan pada sumbu 𝑦 sama, maka nilai 360 pada sumbu 𝑥 menjadi mendekati nilainya 6,28 satuan (mengapa.
Misalnya, jika skala pada sumbu 𝑦 diatur ke 1 cm, maka nilai 360 pada sumbu 𝑥 menjadi kurang lebih bernilai 6,28 cm. Hubungkan titik-titik yang diplot pada bidang Cartecius pada langkah 2 dengan kurva halus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri 𝑦 = 𝑓(𝑥𝑜). Di bawah ini kami akan menjelaskan cara membuat grafik fungsi trigonometri 𝑦 = sin 𝑥𝑜, 𝑦 = cos 𝑥𝑜 dan 𝑦 = tan 𝑥𝑜 dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dibahas di atas.
Titik-titik (𝑥, 𝑦) pada Tabel 2 diplot pada bidang Cartecius, setelah itu titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva halus sehingga diperoleh grafik fungsi 𝑦 = sin 𝑥𝑜 (lihat Gambar 4.2). Kemudian titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva halus sehingga diperoleh grafik fungsi 𝑦 = cos 𝑥𝑜 (lihat Gambar 4.3). Kemudian titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva halus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan 𝑥𝑜 (lihat Gambar 4.4).
Berdasarkan grafik fungsi sinus 𝑦 = sin 𝑥𝑜 pada gambar diatas, grafik fungsi cosinus 𝑦 = cos 𝑥𝑜, dan grafik fungsi tangen 𝑦 = tan 𝑥𝑜, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut. Fungsi sinus 𝑦 = sin 𝑥𝑜 dan fungsi cosinus 𝑦 = cos 𝑥𝑜 mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum +1, sedangkan fungsi tangen 𝑦 = tan 𝑥𝑜 tidak mempunyai nilai minimum dan maksimum. Lingkaran satuan adalah lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan, seperti terlihat pada Gambar 5 di bawah.
Invers Fungsi Trigonometri
Aplikasi dalam Maple
Dalam beberapa kasus, menyelesaikan limit fungsi trigonometri hampir sama dengan menyelesaikan limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung atau dengan metode faktorisasi. Rumus trigonometri dan teorema limit yang telah dipelajari dapat membantu menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Turunan suatu fungsi memiliki rumus yang cukup banyak, sehingga Anda perlu kreatif mengingat rumus yang tepat untuk menyelesaikan soal turunan fungsi trigonometri.
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Pengertian Limit Fungsi
Memahami pengertian limit fungsi pada suatu titik dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan mengamati grafik fungsi tersebut dan dengan menghitung nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Memahami limit suatu fungsi pada suatu titik dengan mengamati grafik fungsi di sekitar titik tersebut dapat digambarkan dengan menggunakan dua buah kawat dan selembar film tipis. Pada titik tertentu, titik ujung kawat akan menyentuh film (Gambar 5.1 (b)), sehingga dapat diperkirakan seberapa tinggi titik ujung kawat relatif terhadap sumbu X.
Dalam matematika, taksiran tinggi rusuk kawat terhadap sumbu X dikatakan sebagai limit fungsi f(x) untuk x yang mendekati a dari kiri. Dengan menggunakan bentuk kawat yang berbeda dan menggerakkan kawat ke kiri menuju film, kemungkinan posisi titik akhir kawat pada film yang berbeda ditunjukkan pada gambar 5.3 di bawah.
Limit Fungsi Trigonometri
Padahal, jika Anda mengetahui trik khusus tentang turunan suatu fungsi ini, Anda akan menikmatinya dan semakin tertantang ketika menghadapi soal-soal terkait turunan fungsi. Dengan menggunakan rumus turunan fungsi sinus dan rumus turunan fungsi cosinus, maka turunan fungsi 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 = cos 𝑥sin 𝑥 dapat ditentukan dengan menggunakan rumus hasil bagi fungsi sebagai berikut. Rumus di atas dikenal dengan postulat rantai atau aturan rantai untuk mencari turunan fungsi komposit.
Aturan rantai yang telah dibahas sebelumnya digunakan untuk mencari turunan fungsi komposisi yang dibentuk dari dua fungsi komponen.
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Pengertian Turunan Fungsi
Sebagai langkah awal dalam menyelesaikan konsep turunan fungsi, kita akan membahas terlebih dahulu konsep laju perubahan nilai fungsi. Dalam bahasa sehari-hari sering kita jumpai ungkapan seperti tingkat pertumbuhan ekonomi, tingkat inflasi, tingkat perkembangan investasi, tingkat pertumbuhan penduduk, tingkat reproduksi bakteri dan lain sebagainya. Konsep laju dalam bahasa sehari-hari dapat dirumuskan dalam bahasa matematika sebagai laju perubahan nilai suatu fungsi.
Kecepatan gerak suatu benda dapat ditentukan jika letak atau kedudukan benda tersebut diketahui sebagai fungsi waktu. 111 Perhatikan bahwa kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai rasio perubahan jarak terhadap perubahan waktu, secara tertulis. Penentuan kecepatan arus sebagai batas kecepatan rata-rata dapat dirumuskan secara tepat sebagai berikut.
Laju perubahan sesaat nilai fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 pada 𝑥 = 𝑎 diperoleh dari laju perubahan nilai rata-rata fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) ketika nilai ℎ mendekati ke nol. , yang dapat didefinisikan sebagai berikut.
Rumus-Rumus Turunan Fungsi
Jika suatu fungsi dibentuk oleh tiga atau lebih komponen fungsional, maka aturan rantainya harus diperluas.
INTEGRAL TRIGONOMETRI
Integral Tak Tentu
Karena integral merupakan kebalikan dari turunan, maka untuk mencari rumus integral kita lanjutkan dari turunannya. Turunan suatu fungsi konstanta adalah 0, atau integral 0 merupakan fungsi konstanta, biasanya dilambangkan dengan notasi c. Untuk menentukan fungsi 𝑓 dari suatu turunan fungsi, harus ada data lain agar dapat diketahui nilai c.
Cara menentukan integral adalah dengan menggunakan metode substitusi 1 yaitu dengan mengubah bentuk integral ke bentuk lain dengan notasi yang lebih sederhana sehingga mudah dalam penyelesaiannya. Bagaimana jika dua bagian integral tidak mempunyai hubungan turunan antara bagian yang satu dengan bagian yang lain?
Integral Tentu
Dengan menggunakan rumus integral yang sama dengan soal nomor satu, hasilnya dapat ditentukan sebagai berikut. 162 Tabel trigonometri ini hanya memuat sudut antara 0o dan 90o (sudut pada kuadran I) dengan bentuk dasar sebagai berikut. Mencari Nilai Kosekan, Garis Potong, dan Kotangen Sudut lancip Nilai kosekan, garis potong, dan kotangen sudut lancip dapat dicari dengan terlebih dahulu mengkonversikannya ke bentuk kebalikan dari perbandingan trigonometri:
