4.-Ukuran-Penyebaran..

UKURAN PENYEBARAN

Statistika I

Alfifto, SE, M.Si

Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata- rata hitungnya.

Ukuran penyebaran terdiri dari : 1. Range (Jarak)

2. Deviasi rata-rata

3. Varians dan Standar deviasi

Pengertian Ukuran Penyebaran

Ukuran Penyebaran untuk Data yang Tidak Dikelompokkan

1. Jarak (Range)

Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak (range) merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel.

Jarak (range) = Nilai Terbesar – Nilai Terkecil

Tahun Laju Inflasi (%)

Indonesia Thailand Malaysia

2004 6.4 2.76 1.52

2005 17.11 4.54 2.96

2006 6.6 4.64 3.61

2007 6.59 2.24 2.03

2008 11.06 5.47 5.44

2009 2.78 -0.85 0.58

2010 6.96 3.27 1.71

2011 3.79 3.81 3.2

2012 4.3 3.01 1.66

Range (Contoh)

Penyelesaian:

Nilai Indonesia Thailand Malaysia

Maksimum 17.11 5.47 5.44

Minimum 2.78 -0.85 0.58

Range 14.33 6.32 4.86

2. Deviasi Rata-Rata

Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya

Deviasi rata-rata mengukur besarnya variasi atau selisih dari setiap nilai dalam populasi atau sampel dari rata-rata hitungnya

Σ ∨ � − � ´ ∨ ¿

�

�� = ¿

Di mana:

MD : Deviasi rata-rata

X : Nilai setiap data pengamatan

: Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan N : Jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi Σ : Lambang penjumlahan

| | : Lambang nilai mutlak

Contoh

^Tahun Pertumbuhan GDP (%)

Negara Maju Indonesia

2002 1.74 4.5

2003 2.02 4.78

2004 3.09 5.03

2005 2.64 5.69

2006 3.03 5.5

2007 2.8 6.35

2008 0.07 6.01

2009 -3.47 4.63

2010 3.01 6.22

2011 1.63 6.49

2012 1.25 6.23

NEGARA MAJU

Tahun X | X - | Nilai Mutlak

2002 1.74 0.12 0.12

2003 2.02 0.40 0.40

2004 3.09 1.47 1.47

2005 2.64 1.02 1.02

2006 3.03 1.41 1.41

2007 2.8 1.18 1.18

2008 0.07 -1.55 1.55

2009 -3.47 -5.09 5.09

2010 3.01 1.39 1.39

2011 1.63 0.01 0.01

2012 1.25 -0.37 0.37

Jumlah 14.01

Rata-rata |/n =1.27

NEGARA MAJU

Tahun X Nilai Mutlak

2002 1.74 0.12 0.12

2003 2.02 0.40 0.40

2004 3.09 1.47 1.47

2005 2.64 1.02 1.02

2006 3.03 1.41 1.41

2007 2.8 1.18 1.18

2008 0.07 -1.55 1.55

2009 -3.47 -5.09 5.09

2010 3.01 1.39 1.39

2011 1.63 0.01 0.01

2012 1.25 -0.37 0.37

Jumlah Rata-rata

INDONESIA

Tahun X | X - | Nilai Mutlak

2002 4.5 -1.08 1.08

2003 4.78 -0.80 0.80

2004 5.03 -0.55 0.55

2005 5.69 0.11 0.11

2006 5.5 -0.08 0.08

2007 6.35 0.77 0.77

2008 6.01 0.43 0.43

2009 4.63 -0.95 0.95

2010 6.22 0.64 0.64

2011 6.49 0.91 0.91

2012 6.23 0.65 0.65

Jumlah

Rata-rata |/n =0.63

INDONESIA

Tahun X Nilai Mutlak

2002 4.5 -1.08 1.08

2003 4.78 -0.80 0.80

2004 5.03 -0.55 0.55

2005 5.69 0.11 0.11

2006 5.5 -0.08 0.08

2007 6.35 0.77 0.77

2008 6.01 0.43 0.43

2009 4.63 -0.95 0.95

2010 6.22 0.64 0.64

2011 6.49 0.91 0.91

2012 6.23 0.65 0.65

Jumlah Rata-rata

Jadi, nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi Indonesia adalah 0.63% dan rata-rata hitung pertumbuhan ekonomi Indonesia sebesar 5.58%.

Jadi, nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi negara maju adalah 1.27% dan rata-rata hitung pertumbuhan ekonomi negara maju sebesar 1.62%.

Penyelesaian:

Hitunglah deviasi rata-rata dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia

3. Varians dan Standar Deviasi

• Varians dan standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yan menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai rata-ratanya.

• Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

• Varians dan standar deviasi agak berbeda dengan deviasi rata-rata, namun keduanya didasarkan pada deviasi setiap data dengan rata-rata hitungnya

• Apabila pada deviasi rata-rata mengabaikan tanda + dan – dengan melakukan tanda mutlak, maka pada varians, deviasi dikuadratkan dengan demikian tanda negative akan hilang dan menjadi positif

� ² = Σ ( � − � ) ²

�

Di mana:

: Varians populasi ( merupakan huruf Yunani, dibaca tho) X : Nilai setiap data/pengamatan dalam populasi

µ : Nilai rata-rata hitung dalam populasi

N : Jumlah total data/pengamatan dalam populasi Σ : Simbol operasi penjumlahan

Ingat bahwa � = Σ �

�

Varians dapat dibedakan antara varians populasi dan varians sampel

Varians populasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh

Tahun X X - µ (X - µ) ²

2002 1.74 0.12 0,01

2003 2.02 0.40 0,16

2004 3.09 1.47 2,16

2005 2.64 1.02 1,04

2006 3.03 1.41 1,99

2007 2.8 1.18 1,39

2008 0.07 -1.55 2,40

2009 -3.47 -5.09 25,90

2010 3.01 1.39 1,93

2011 1.63 0.01 0,00

2012 1.25 -0.37 0,14

Jumlah (X-µ)² = 37.14

Rata-rata µ= ² = (X-µ)²/N = 3.38

Tahun X X - µ (X - µ) ²

2002 1.74 0.12 0,01

2003 2.02 0.40 0,16

2004 3.09 1.47 2,16

2005 2.64 1.02 1,04

2006 3.03 1.41 1,99

2007 2.8 1.18 1,39

2008 0.07 -1.55 2,40

2009 -3.47 -5.09 25,90

2010 3.01 1.39 1,93

2011 1.63 0.01 0,00

2012 1.25 -0.37 0,14

Jumlah Rata-rata

1. Langkah pertama, mencari nilai rata-rata hitung populasi µ=��/�, nilai diperoleh dengan menjumlahkan seluruh X dari populasi dan membagi dengan N. nilai µ = 1,62 diperoleh dengan membagi 17,81 dengan N = 11 2. Langkah kedua, mengurangkan setiap nilai X dengan µ dan hasilnya tetap

dalam nilai absolut, tidak dimutlakkan

3. Langkah ketiga, mengkuadratkan nilai X - µ, sehingga didapat nilai positif semua

4. Langkah keempat, menjumlahkan nilai (X-µ)², sehingga didapatkan nilai 37,14.

untuk mendapatkan nilai varians, maka nilai 37,14 dibagi dengan N dimana N = 11, sehingga diperoleh nilai varians 3,38

a. Varians negara maju

Hitunglah varians dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia!

b. Varians Indonesia

INDONESIA

Tahun X X - µ (X - µ) ²

2002 4.50 -1.08 1.18

2003 4.78 -0.80 0.65

2004 5.03 -0.55 0.31

2005 5.69 0.11 0.01

2006 5.5 -0.08 0.01

2007 6.35 0.77 0.59

2008 6.01 0.43 0.18

2009 4.63 -0.95 0.91

2010 6.22 0.64 0.40

2011 6.49 0.91 0.82

2012 6.23 0.65 0.42

Jumlah (X-µ)² = 5.47

Rata-rata µ= ² = (X-µ)²/N = 0.5

INDONESIA

Tahun X X - µ (X - µ) ²

2002 4.50 -1.08 1.18

2003 4.78 -0.80 0.65

2004 5.03 -0.55 0.31

2005 5.69 0.11 0.01

2006 5.5 -0.08 0.01

2007 6.35 0.77 0.59

2008 6.01 0.43 0.18

2009 4.63 -0.95 0.91

2010 6.22 0.64 0.40

2011 6.49 0.91 0.82

2012 6.23 0.65 0.42

Jumlah Rata-rata

Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

� = √ ^{Σ ( � � − � ) ²}

Hitunglah standar deviasi dari pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia sebagaimana pada Contoh 1.3

Penyelesaian :

a. Diketahui bahwa ² untuk negara maju adalah 3,38, sedangkan ² untuk Indonesia adalah 0,5.

b. Standar deviasi merupakan akar dari nilai varians, maka diperoleh nilai sebagai berikut:

= ²

negara maju = = 1,84 Indonesia = = 0,71

Contoh

4. Varians Sampel

Varians sampel dapat dirumuskan sebagai berikut:

�

²

= Σ ( � − � ´ ) ²

� − 1

Di mana:

: Varians sampel

X : Nilai setiap data/pengamatan dalam sampel : Nilai rata-rata hitung dalam sampel

n : Jumlah total data/pengamatan dalam sampel Σ : Simbol operasi penjumlahan

5. Standar Deviasi Sampel

Sebagaimana s² merupakan penduga ², maka standar deviasi sampel (s) merupakan penduga bagi standar deviasi populasi .

Standar deviasi sampel merupakan akar kuadrat dari varians sampel, sehingga dirumuskan sebagai berikut:

S

Contoh

Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%) Negara Maju Indonesia

2003 2,02 4,78

2005 2,64 5,69

2007 2,80 6,35

2009 -3,47 4,63

2011 1,63 6,49

Negara Maju Indonesia

X X- x̅ (X- x̅)² X X- x̅ (X- x̅)²

2,02 0,90 0,80 4,78 -0,81 0,65

2,64 1,52 2,30 5,69 0,10 0,01

2,80 1,68 2,81 6,35 0,76 0,58

-3,47 -4,59 21,10 4,63 -0,96 0,92

1,63 0,51 0,26 6,49 0,90 0,81

jumlah 5,62 27,27 27,94 2,98

rata-rata hitung 1,124 5,588

Varians Sampel 6,82 0,74

Standar Deviasi 2,61 0,86

Penyelesaian :

• Nilai tengah rata-rata:

= ΣX/n = (2,02+2,64+2,80+-3,47+1,63)/5 = = 1,124

Varians sampel negara maju

Standar deviasi negara maju

Ukuran Penyebaran untuk Data yang Dikelompokkan

1. Jarak (Range)

Sebagaimana pada data tidak berkelompok, range pada data berkelompok adalah selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah.

Range adalah selisih antara batas atas kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah.

Contoh

Kelas ke Interval Jumlah Frekuensi

1 3.850 - 10.450 13

2 10.451 - 17.051 1

3 17.052 - 23.652 3

4 23.653 - 30.253 1

5 30.254 - 36.853 2

Penyelesaian:

Range = Batas atas kelas tertinggi – Batas bawah kelas terendah = 36.853 – 3.850

= 33.003

2. Deviasi Rata-Rata

Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya.

Σ ∨ � − � ´ ∨ ¿

�

�� = ¿

Di mana:

MD : Deviasi rata-rata

X : Nilai setiap data pengamatan

: Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan N : Jumlah data atau pengamatan dalam sampel/populasi Σ : Lambang penjumlahan

| | : Lambang nilai mutlak

Contoh

Interval Nilai Tengah Kelas (xi) f f.X |X- x̅| f|X- x̅|

3.850 - 10.450 7.150 13

92.950 5.940,9 77.231,7

10.451 - 17.051 13.751 1

13.751 660,1 660,1

17.052 - 23.652 20.352 3

61.056 7.261,1 21.783,3

23.653 - 30.253 26.953 1

26.953 13.862,1 13.862,1

30.254 - 36.853 33.554 2

67.108 20.463,1 40.926,2

Jumlah 20 Σfi.xi =

261.818 Σf.|X-| =

154.463,4 Nilai

Rata- Rata

Σfi.xi/n =

13.090,9 Σf.|X|/n =

7.723,17 Interval Nilai Tengah Kelas (xi) f f.X |X- x̅| f|X- x̅|

3.850 - 10.450 7.150 13

92.950 5.940,9 77.231,7

10.451 - 17.051 13.751 1

13.751 660,1 660,1

17.052 - 23.652 20.352 3

61.056 7.261,1 21.783,3

23.653 - 30.253 26.953 1

26.953 13.862,1 13.862,1

30.254 - 36.853 33.554 2

67.108 20.463,1 40.926,2

Jumlah 20 Σfi.xi =

261.818 Nilai

Rata- Rata

Σfi.xi/n = 13.090,9

3. Varians dan Standar Deviasi Data Berkelompok

Varians untuk data berkelompok hampir sama dengan varians data tunggal, namun dikalikan dengan frekuensi setiap kelasnya.

Varians data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :

S²

Di mana:

S² : Varians sampel

f : Jumlah frekuensi setiap kelas

X : Nilai setiap data/pengamatan dalam sampel : Nilai rata-rata hitung dalam sampel

n : Jumlah total data/pengamatan dalam sampel Σ : Lambang penjumlahan

Sedangkan untuk standar deviasi data berkelompok (s) dirumuskan sebagai berikut:

S²

Contoh

Interval Nilai Tengah Kelas

(xi) f f.X X- x̅ (X- x̅)² f(X- x̅)²

3.850 - 10.450 7.150 13 92.950 - 5.940,9 35.294.292,8 458.825.806,5 10.451 - 17.051 13.751 1 13.751 660,1 435.732,0 435.732,0 17.052 - 23.652 20.352 3 61.056 7.261,1 52.723.573,2 158.170.719,6 23.653 - 30.253 26.953 1 26.953 13.862,1 192.157.816,4 192.157.816,4 30.254 - 36.853 33.554 2 67.107 20.463,1 418.738.461,6 837.476.923,2

Jumlah 20 261.817 1.647.066.997,8

Rata-rata hitung 13.090,9

Penyelesaian :

Langkah pertama, menemukan nilai rata-rata hitung data dan kemudian mencari deviasi antara nilai tengah kelas (Xi) dengan nilai rata-rata hitung data

Langkah kedua, menguadratkan deviasi nilai tengah kelas dengan nilai rata-rata hitung Langkah ketiga, mengalikan frekuensi dengan kuadrat deviasi

Langkah keempat, menjumlahkan hasil perkalian frekuensi dan kuadrat deviasi kemudian membagi dengan n – 1, untuk mendapatkan varians sampel, serta mengakarkan varians sampel untuk mendapatkan standar deviasi sampel.

Proses langkah penyelesaian disajikan pada tabel berikut :

= 1.647.066.997,8 Diketahui nilai rata-rata hitung data pada tabel diatas = 13.090,90

a. varians dari sampel adalah :S² (1.647.066.997,8)/(20-1) = 1.647.006.997,8/19 = 86.687.736,73 b. standar deviasi dari sampel adalah : S² = = = 9.310,62

Ukuran Penyebaran Relatif

adalah mengubah nilai ukuran penyebaran dari berbagai satuan menjadi ukuran relatif atau persen

Penggunaan ukuran relatif akan memberikan manfaat pada kondisi

a. data mempunyai satuan pengukuran yang berbeda, contoh ukuran % dan ukuran rupiah

b. data mempunyai satuan ukuran yang sama, namun mempunyai rata-rata hitung yang sangat berbeda

contoh sama-sama mempunyai harga dalam rupiah tetapi harga rata-rata kelompok sayuran tentunya sangat berbeda dengan harga rata-rata kelompok mobil.

untuk membahas ukuran penyebaran relatif, maka akan dibahas berurutan:

c. Koefisien range

d. Koefisien deviasi standar rata-rata

e. Koefisien deviasi standar

1. Koefisien Range

adalah pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif Koefisien range dirumuskan sebagai berikut :

Dimana

KR : Koefisien range dalam %

La : Batas atas data atau kelas tertinggi

Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh

Hitunglah koefisien range dari pertumbuhan ekonomi Indonesia pada contoh 4.2 dan harga saham di BEI pada contoh 4-6

Penyelesaian:

Koefisien range pertumbuhan ekonomi Indonesia La : 6,49 (pertumbuhan tertinggi)

Lb : 4,5 (pertumbuhan terendah)

KR = {(6,49 – 4,5) / (6,49 + 4,5)} x 100%

(1,99/10,99) x 100% = 18%

Koefisien range perkembangan harga saham La : 3.6853 (harga saham tertinggi)

Lb : 3.850 (harga saham terendah)

KR = {(3.6853 – 3.850) / (3.6853 + 3.850)} x 100%

(33.003/40.703) x 100% = 81%

Dari hasil di atas terlihat bahwa KR untuk pertumbuhan ekonomi Indonesia 18%, sedang KR harga

saham 81%. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa penyebaran deviasi dari pertumbuhan

ekonomi jauh lebih besar dari harga saham.

2. Koefisien Deviasi Rata-rata

adalah ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya

Koefisien deviasi rata-rata dirumuskan sebagai berikut :

Dimana

KMD : Koefisien range dalam % MD : Deviasi rata-rata

: nilai rata-rata data

Contoh

Koefisien deviasi rata-rata dari pertumbuhan ekonomi antara negara maju dan Indonesia sebagaimana contoh 4.2

Penyelesaian:

Negara maju : MD : 1,27 : 1,62

KMD = (1,27/1,62) x 100%

= 0,78%

Indonesia MD : 0,63 : 5,58

KMD = (0,63/5,58) x 100%

= 0,11%

Jadi KMD Indonesia 0,11% lebih besar dari negara maju 0,78. berarti penyebaran pertumbuhan

ekonomi Indonesia lebih besar daripada negara maju.

3. Koefisien Standar Deviasi

adalah ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata- rata yang dinyatakan sebagai persentase

Koefisien standar deviasi dinyatakan dalam bentuk rumus:

Dimana

KSD : Koefisien standar deviasi dalam % s : Standar deviasi

: nilai rata-rata data

Contoh

Berdasarkan standar deviasi niali rata-rata pada Contoh 4-5, hitunglsh koefisien standar deviasi untuk pertumbuhan ekonomi negara maju dan Indonesia dengan menggunakan data sampel tahun ganjil!

Penyelesaian:

Negara maju : s : 2,61

: 1,124

KSD = (1,124/2,61) x 100%

= 2,32%

Indonesia S : 0,86 : 5,588

KSD = (0,86/5,588) x 100%

= 0,15%

Jadi koefisien standar deviasi untuk Indonesia 0,15% sedang negara maju 2,32%

THANK YOU