ANALISIS DINAMIK SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PREDATOR - PREY TIGA SPESIES

PENDAHULUAN

Rumusan Masalah

Tujuan Penelitian

Batasan Masalah

Manfaat Penelitian

Metode Penelitian

Sistematika Penulisan

7 predator-mangsa tiga spesies dengan penundaan dan keadaan titik keseimbangan dalam sistem predator-mangsa tiga spesies dengan penundaan.

KAJIAN PUSTAKA

Sistem Persamaan Diferensial
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Linier dan Nonlinier
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Autonomous
Titik Kesetimbangan Sistem Autonomous
Linierisasi Sistem PDB Autonomous
Titik Tetap atau Fixed point
Analisis Kestabilan Fixed point
Nilai-Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kajian Al-Quran tentang Kestabilan Ekosistem

Sistem persamaan diferensial dapat mengungkapkan fenomena yang terjadi di dunia nyata secara matematis dengan mengambil risiko perubahan besaran satu terhadap perubahan besar lainnya. Banyaknya variabel bebas yang terlibat, maka bentuk persamaan diferensial ada dua yaitu persamaan diferensial biasa jika hanya ada satu variabel bebas. 10 dimasukkan dan persamaan diferensial parsial jika lebih dari satu variabel bebas dimasukkan (Kartono, 2012).

Sistem persamaan diferensial biasanya muncul secara alami dalam permasalahan yang melibatkan banyak variabel bebas (misalnya 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), yang masing-masing merupakan fungsi dari satu variabel bebas (misalnya 𝑡) (Kartono, 2012). Contoh sederhana ini menggunakan dua persamaan diferensial linier orde pertama. dengan persamaan linier untuk setiap fungsi dinyatakan dalam bentuk :. Menurut Finizio dan Ladas (1988), sistem persamaan diferensial linier adalah sistem yang mengandung 𝑛 persamaan diferensial dengan 𝑛 fungsi yang tidak diketahui, dimana 𝑛 adalah bilangan bulat yang lebih positif.

Suatu sistem persamaan diferensial dikatakan linier jika sistem tersebut terdiri dari lebih dari satu persamaan linier yang saling berhubungan. Sedangkan suatu sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinier jika sistem tersebut terdiri dari lebih dari satu persamaan nonlinier yang saling berhubungan (Boyce dan Diprima, 1999). Linierisasi adalah proses pendekatan persamaan diferensial nonlinier dengan persamaan diferensial linier untuk membantu memahami persamaan diferensial nonlinier.

Sistem linier mendominasi di sekitar titik tetap, sehingga persamaan nonlinier juga memiliki titik tetap yang menarik, dan sebagian besar solusi mendekati titik tetap dengan garis asimtotik 𝑦 − 1. Manifold stabil titik tetap 𝑊𝑠(𝑥∗) adalah kumpulan semua titik yang mendekati titik tetap seperti ke titik positif seperti . Manifold tidak stabil dari titik tetap 𝑊𝑢(𝑥∗) adalah himpunan semua titik yang mendekati titik tetap sebagai 𝑡 hingga negatif tak terhingga.

Solusi yang dimulai pada titik tetap memiliki percepatan nol dari ∅(𝑡; 𝑥∗𝑛) = 𝑥∗ untuk semua 𝑡, ini adalah titik tetap. Titik tetap sistem linier 𝑒𝐴𝑡0 = 0 adalah satu-satunya titik tetap sistem linier kecuali jika memasuki nilai Eigen (Robinson, 2004). Untuk mencari titik tetap dari sistem dinamik, tidak perlu mencari rumus yang tepat untuk 𝑥(𝑘) atau 𝑥(𝑡).

Memang, menyelesaikan sistem persamaan bisa rumit, tetapi setidaknya menyenangkan mengetahui bahwa hanya itulah satu-satunya masalah yang terlibat. Berikut adalah definisi dari tipe stabilitas dari titik tetap 𝑥∗ = (𝑥∗, 𝑦∗), di mana 𝜙(𝑡; 𝑥0) adalah solusi yang mirip dengan 𝑥∗ untuk semua 𝑡 ≥ 0 jika kondisi awal 𝑥0 mulai cukup dekat dengan 𝑥∗.

Tabel 2.1 Mencari Titik Tetap Titik Tetap

PEMBAHASAN

Identifikasi Model Predator-Prey Tiga Spesies
Analisis Model Predator-Prey Tiga Spesies
Analisis Perilaku dari Model Predator-Prey Tiga Spesies
Besaran Parameter
Titik Tetap pada Sistem Persamaan
Linierisasi
Nilai Eigen
Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Predator-Prey Tiga Spesies
Kajian Agama tentang Keseimbangan Makhluk Hidup

Model predator-mangsa tiga spesies terdiri dari spesies mangsa, spesies predator menengah, dan spesies predator puncak. Kemudian ada efek lain yang timbul dari banyaknya perlakuan mangsa 𝑎2 yang dilakukan oleh spesies predator puncak (𝑧(𝑡)) terhadap spesies mangsa (𝑥(𝑡)). Persamaan di atas menunjukkan laju perubahan jumlah populasi predator perantara (𝑦(𝑡)) yang terjadi dari waktu ke waktu (𝑑𝑡) dengan laju pertumbuhan 𝑏1 yang dialami oleh predator perantara (𝑦(𝑡)) akibat memakan spesies mangsa (𝑥(𝑡)) berbanding terbalik dengan penjumlahan satuan tingkat kejenuhan 𝑚1 yang dialami oleh bertambahnya populasi spesies mangsa ( 𝑥(𝑡)) karena gangguan (𝛾) dari populasi spesies predator menengah (𝑦(𝑡)).

Persamaan di atas menunjukkan laju perubahan jumlah populasi spesies mangsa (𝑥(𝑡)) yang terjadi dari waktu ke waktu (𝑑𝑡) dengan laju pertumbuhan 𝑏2 yang dialami oleh spesies predator puncak (𝑧(𝑡)) sebagai akibat memakan lebih banyak spesies mangsa (𝑥2(𝑡)) dibandingkan dengan jumlah rasa kenyang yang digandakan oleh 𝑚22 yang dialami oleh spesies mangsa ( 𝑥(𝑡) )) karena spesies predator puncak. Perlakuan lain yang diberikan pada spesies predator puncak (𝑧(𝑡)) adalah laju pertumbuhan 𝑏3 yang dialami oleh spesies predator puncak (𝑧(𝑡)) akibat memakan spesies predator menengah (𝑦2(𝑡)) lebih dari dua kali lipat sebaliknya dengan tingkat kejenuhan ganda sebesar 𝑚32 yang dialami oleh spesies predator perantara (𝑦2(𝑡) )) akibat aksi a spesies predator pex. 34 Dari sekian banyak faktor yang dialami dalam pertumbuhan spesies predator puncak (𝑧(𝑡)), terdapat beberapa faktor yaitu kematian alami 𝜇 dan kejadian laju emigrasi 𝑞 yang menyebabkan populasi predator puncak (𝑧(𝑡)) menurun.

Model rantai makanan yang digunakan adalah model predator-mangsa tiga spesies yang terdiri dari spesies mangsa, spesies predator menengah dan spesies predator puncak. Sistem persamaan diferensial model predator-mangsa tiga spesies merupakan sistem persamaan diferensial biasa nonlinier, sehingga perlu dilakukan linierisasi terhadap persamaan tersebut yang nantinya akan dianalisis stabilitasnya di sekitar titik tetap. Nilai titik tetap ini sama dengan nilai titik tetap persamaan nonlinier, sehingga persamaan linier merupakan linierisasi di sekitar titik tetap persamaan nonlinier.

Menurut Finizio dan Ladas (1988), penentuan kestabilan titik tetap dapat diperoleh dengan melihat nilai eigen yaitu 𝜆𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3,. Untuk titik tetap 𝑥1 = 1, 𝑦1 = 0, 𝑧1 = 0, sistem pada model predator-prey ketiga spesies ini dinyatakan tidak stabil karena memiliki Eigenvalues positif (𝑅𝑒(𝜆𝑖 > 0), untuk masing-masing 𝑖). Simulasi pada Gambar 3.1 diambil dari model sistem persamaan diferensial predator-prey tiga spesies dengan titik tetap 𝑥 𝑦 dan 𝑧 dari persamaan tersebut dengan 𝑡 → ∞ dapat dikatakan bahwa sistem persamaan diferensial nonlinier tidak stabil karena bergerak menjauhi titik tetap.

Berdasarkan pembahasan di atas, ada titik-titik tetap yang tidak stabil, dan tidak ada data yang stabil, karena dalam penelitian ini stabil maka harus menggunakan syarat. Namun, dengan besarnya parameter yang diketahui sebelumnya, bahkan tanpa kondisi, ada titik tetap, dan kondisi stabil ternyata tidak stabil. Ketidakstabilan ini dipengaruhi oleh kematian populasi predator menengah dan atas serta perpindahan atau migrasi populasi predator puncak.

Hasil analisis dinamik sistem persamaan diferensial predator-mangsa tiga spesies diperoleh tiga titik tetap, yaitu titik tetap. Pada analisis stabilitas dan analisis simulasi, model predator-mangsa ketiga spesies ini tidak stabil dengan adanya nilai eigen positif, dan citra simulasi menunjukkan bahwa citra model bergerak menjauh dari nilai titik tetap.

PENUTUP

Saran

Pendidikan dasarnya ditempuh di SDN Harapan Jaya XVII, Bekasi dan tamat pada tahun 2005, kemudian melanjutkan ke SMP Negeri 5 Bekasi dan lulus pada tahun 2008. Selanjutnya menempuh pendidikan di Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang pada tahun 2011 jurusan Matematika melalui jalur SNMPTN tertulis. Anggota Paduan Suara Gema Gita Bahana Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang tahun 2012 dengan mengikuti Lomba Paduan Suara di SDGNCF Semarang tahun 2013 dan meraih medali perunggu, serta mengikuti Lomba Paduan Suara CIFCC Universitas Negeri Malang tahun 2015 dan meraih medali perak.