Bab 1-D. Bilangan Cacah

(1)

19 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika D

. Bilangan Cacah

a. Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, …

Bilangan cacah disajikan dalam garis bilangan sebagai berikut.

b. Operasi Hitung pada Bilangan Cacah 1. Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun.

1) Strategi Mendatar Contoh:

a. Jumlahkan 3 dan 4 yang menghasilkan 7.

3 + 4 = 7

b. Untuk menyelesaikan penjumlahan yang lebih dari dua suku, prinsipnya adalah dengan mengelompokkan menjadi dua suku-dua suku dan menjumlahkannya.

Langkah 1: Kelompokan 4 dan 2 dan jumlahkan (4 + 2 = 6), tulis 6.

Langkah 2: Jumlahkan hasil tadi (6) dengan 3 (6 + 3 = 9), tulis 9.

4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9 Soal ini dapat dikerjakan sebagai berikut.

Langkah 1: Kelompokkan 2 dan 3, kemudian jumlahkan (2 + 3 = 5), tulis 5.

Langkah 2: Jumlahkan 4 dengan hasil tadi (4 + 5 = 9), tulis 9.

4 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9

c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (2 + 6 = 8), tulis 8.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 3 = 4), tulis 4.

12 + 36 = 48

2) Strategi Bersusun Pendek Contoh:

a. Jumlahkan angka satuan (6 +3 = 9). tulis 9.

b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

6 3 9

+

34 51 85

+

4 5 6 7 8

3 2 0 1

(2)

20 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (1 + 5 + 2 = 8), tulis 8.

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (2 + 4 + 3 = 9). tulis 9.

Langkah 3: Jumlahkan angka raturan (3 + 1 = 4), tulis 4.

3) Strategi Bersusun Pendek dengan Teknik Menyimpan

Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (8 + 3 + 4 = 15), tulis 5 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan (di atas angka 9).

Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 9 + 6 + 8 = 24), tulis 4 dan 2 disimpan di kolom angka ratusan (di atas angka 3).

Langkah 3: Jumlahkan angka ratusan (2 + 3 + 5 + 1 = 11), tulis 1 dan 1 disimpan di kolom ribuan (di atas angka 7).

Langkah 4: Jumlahkan angka ribuan (1 + 7 + 9 = 17), tulis 7 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan ribu.

Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 7145. Jadi, hasil penjumlahan itu adalah 17145.

4) Strategi Bersusun Panjang Contoh:

2. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan:

1) Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a + b.

Contoh:

5 + 9 = 14 a. 75 4 ….

+

75 = 70 + 5 4 = 4 = 70 + 9 = 79

+



b. 597 26 ….

+

597 = 500 + 90 + 7 26 = 20 + 6 = 500 + 110 + 13

= 500 + 100 + 10 + 10 + 3 = 600 + 20 + 3

= 623

+



321 145 32 498

+

1121 7398 9563 184 17145

+

(3)

21 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Perhatikan 5 dan 9  C dan 5 + 9 = 14  C . Operasi penjumlahan bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

2) Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku a + b = b + a.

Contoh:

Periksalah apakah 23 + 59 = 59 + 23? Berilah komentarmu!

Solusi:

23 + 59 = 83 dan 59 + 23 = 83 Jelaslah bahwa 23 + 59 = 59 + 23.

Jadi, dalam penjumlahan bilangan cacah berlaku sifat komutatif.

3) Sifat Asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh:

Hitunglah dengan cara yang paling mudah.

a. 156 + 44 + 38 b. 188 + 567 + 512 Solusi:

Dengan menggunakan sifat asosiatif kelompokkan bilangan-bilangan yang mudah dijumlahkan.

a. 156 + 44 + 38 = (156 + 44) + 38 = 200 + 38 = 238

b. 188 + 567 + 512 = (188 + 512) + 567 = 700 + 567 = 1.267 4) Unsur Identitas

Sifat bilangan 0 pada penjumlahan sebagai unsur identitas (elemen netral).

Jika a adalah bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a = a.

2. Operasi Pengurangan

1) Pengertian Opreasi Pengurangan pada Bilangan Cacah

Pengurangan adalah operasi lawan (invers) dari operasi. Perhatikan bahwa 23 – 3 = 20  20 + 3

= 23. Secara umum dapat dikemukan bahwa:

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a – b = c  a = b + c.

Catatan: Lambang “” artinya “setara” atau “ekiuvalen” atau “sama artinya” . Contoh:

Carilah pengganti huruf n yang tepat dari persamaan berikut ini.

a.

n  30  50

c.

24  n  31

b.

n  21 78

d.

8  n  2

Solusi:

a.

n  30  50

b.

n  21 78

n  30  50  80

n  78  21  57

(4)

22 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

c.

24  n  31

d.

8  n  2

n  31  24  7

8  2  n

n  8  2  6

2) Sifat-sifat Operasi Pengurangan:

a. Terdapat Invers Terhadap Penjumlahan atau Negatif

Untuk setiap a  C (C adalah himpunan bilangan cacah) terdapat suatu bilangan cacah yang dinamakan invers terhadap penjumlahan atau negatif dari a dinyatakan dengan –a (dibaca “negatif dari a”), sehingga a + (a) = 0

b. Pada operasi pengurangan bilangan tidak berlaku sifat ketertutup.

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka belum tentu a  b adalah bilangan cacah.

Contoh:

5 – 3 = 2 (5, 2, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah), berlaku sifat ketertutupan.

3 – 5 = –2 (3 dan 5 adalah bilangan-bilangan cacah, sedangkan –2 adalah bilangan bulat), tidak berlaku sifat ketertutupan.

c. Dalam operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.

1. a – b  b – a (tidak komutatif) Contoh:

Apakah 12 – 7 = 7 – 12? Berilah komentarmu!

Solusi:

12 – 7 = 5 dan 7 – 12 = 5 Jelaslah bahwa 12 – 7 = ≠ 7 – 12.

Jadi, dalam operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat komutatif.

2. (a – b) – c  a – (b – c) (tidak asosiatif) Contoh:

Apakah (25 – 19) – 4 = 25 – (19 – 4)? Berilah komentarmu!

Solusi:

(25 – 19) – 4 = 6 – 4 = 2 dan 25 – (19 – 4) = 25 – 15 = 10 Jelaslah bahwa (25 – 19) – 4 ≠ 25 – (19 – 4).

Jadi, pada operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat asosiatif.

Operasi pengurangan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun.

1. Strategi Mendatar Hitunglah

a. 8 – 5 b. 27 – 8 c. 69 – 20 d. 542 – 245

(5)

23 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Solusi:

a. 8 – 5 = 3, karena 5 + 3 = 8 c. 69 – 20 = 49, karena 20 + 49 = 69

b. 27 – 8 = 19, karena 8 + 19 = 27 d. 542 – 245 = 297, karena 245 + 297 = 542 2. Strategi Bersusun

1. Hitunglah

a. 72.946 – 8.295 b. 67.423 – 18.297 – 29.258 Solusi:

a. 72.596 – 8.245

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 – 5 = 1), tulis 1.

Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (4 – 9 tidak bisa, pinjam 1 ratusan).

Jadi, 14 – 9 = 5, tulis 5 dan angka ratusan bersisa 7).

Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (7 – 2 = 6), tulis 6.

Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (2 – 8 tidak bisa, pinjam 1 ribuan).

Jadi, 12 – 8 = 4, tulis 4 dan angka puluhan ribu bersisa 6).

Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 4651. Jadi, hasil pengurangan itu adalah 64.651.

b. 67.423 – 18.297 – 29.258

Prosedur pertama yang ditempuh adalah:

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (3 – 7 tidak bisa, pinjam 1 puluhan = 1).

Jadi, 13 – 7 = 6, tulis 6, dan angka puluhan bersisa 1)

Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (3 – 2 = 1), tulis 1.

Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (5 – 1 = 4), tulis 4.

Jadi, 67.423 – 18.297 = 49.126.

Selanjutnya 49.126 – 29.258, dengan prosedur yang ditempuh adalah.

Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 – 8 tidak bisa, pinjam 1 puluhan = 1).

Jadi, 16 – 8 = 8, tulis 8, dan angka puluhan bersisa 1)

Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (0 – 2 tidak bisa, pinjam 1 rubuan).

Jadi 10 – 2 = 8, tulis 8 dan angka ribuan bersisa 8)

72.946 8.295 64.651



67.423 18.297 49.126



49.126 29.258 19.868



(6)

24 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (3 – 2 = 1), tulis 1. Jadi, 49.126 – 29.258 = 19.868.

Dengan demikian, 67.423 – 18.297 – 29.258 = 19.868.

2. Ayah membagikan uang sebesar Rp 15.000.000,00 kepada tiga orang anaknya. Anak yang sulung memperoleh Rp 4.500.000,00 dan anak kedua memperoleh Rp 5.750.000,00. Berapakah

rupiahkah uang bagian yang diterima si bungsu?

Solusi:

4 . 500 . 000  5 . 750 . 000  n  15 . 000 . 000

n  15 . 000 . 000  4 . 500 . 000  5 . 750 . 000

n  4 . 750 . 000

Jadi, bagian uang yang diterima si bungsu adalah Rp 4.750.000,00.

3. Operasi Perkalian

1) Pengetian Perkalian Bilangan Cacah

Perkalian adalah penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama



 



 



n m

n n

n n n m

buah sebanyak

...







Catatan:

Dalam perkalian tanda kali silang “×” dapat diganti dengan tanda titik yang diletakkan di tengah “”, (sebagai ilustrasi: 2.300 dibaca “dua ribu tiga ratus” dan 2  300 dibaca “ dua kali tiga ratus”) atau tanda kurung biasa “( )” atau kurung kurawal “{ }” atau kurung siku “[ ]”.

“mn” boleh ditulis sebagai “mn” atau “(m)(n)” atau “

{ m }{ n }

” atau “

[ m ][ n ]

”.

Contoh:

a. 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 b. 3 × 15 = 15 + 15 + 14 = 45

Perkalian dapat dilaksanakan dengan strategi bersusun panjang dan pendek.

Contoh:

Hitunglah

a. 257 × 6 b. 698 × 47 c. 756 × 439 Solusi:

a. Strategi Bersusun Panjang:

Langkah 1: 7 × 6 = 42 Langkah 2: 50 × 6 = 300 Langkah 3: 200 × 6 = 1200

Langkah 4: 42 + 300 + 1200 = 1542

257 6 42 300 1200 1542

×

+

(7)

25 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, 257 × 6 = 1.542

Strategi Bersusun Pendek:

Langkah 1: 7 × 6 = 42, ditulis 2 dan disimpan 4 pada puluhan.

Langkah 2: 5 × 6 = 30 ditambah 4 menjadi 34, ditulis 4 dan disimpan 3 pada ratusan.

Langkah 3: 2 × 6 = 12 ditambah 3 menjadi 15, ditulis semuanya (1542) Jadi, 257 × 6 = 1.542

b. Strategi Bersusun Panjang:

Langkah 1: 8 × 7 = 56 Langkah 2: 90 × 7 = 630 Langkah 3: 600 × 7 = 4200 Langkah 4: 8 × 40 = 320 Langkah 5: 90 × 40 = 3600 Langkah 6: 600 × 40 = 24000

Langkah 7: 56 + 630 + 320 + 3600 + 24000 = 32.806 Jadi, 698 × 47 = 32.806

Langkah 3: 6 × 7 = 42 ditambah 6 menjadi 48, ditulis semuanya.

Langkah 4: 8 × 4 = 32 puluhan, ditulis 2 dan disimpan 3 pada ratusan.

Langkah 5: 9 × 4 = 36 ratusan ditambah 3 ratusan menjadi 39 ratusan, ditulis 9 dan disimpan 3 pada ribuan.

Langkah 6: 6 × 4 = 24 ribuan ditambah 3 ribuan menjadi 27, ditulis semuanya (2792) Langkah 7: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 32.806.

Jadi, 698 × 47 = 32.806 c. Strategi Bersusun Panjang:

Langkah 1: 6 × 9 = 54 Langkah 2: 50 × 9 = 540 Langkah 3: 700 × 9 = 6300 Langkah 4: 6 × 30 = 180 Langkah 5: 50 × 30 = 1500 Langkah 6: 700 × 30 = 21000 Langkah 6: 6 × 400 = 2400 Langkah 6: 50 × 400 = 20000

257 6 1542 ×

698 47 56 630 4200 320 3600 24000 32806

×

+

698 47 4886 2792 32806

× +

756 439 54 450 6300 180 1500 21000 2400 20000 280000 331884

×

+

(8)

26 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Langkah 6: 700 × 400 = 280000

Langkah 4: 54 + 450 + 6300 + 180 + 1500 + 21000 + 2400 + 20000 + 280000 = 331.884 Jadi, 756 × 439 = 331.884

Langkah 3: 7 × 9 = 63 ditambah 5 menjadi 68, ditulis semuanya (6804).

Langkah 4: 6 × 3 = 18 puluhan, ditulis 8 dan disimpan 1 pada ratusan.

Langkah 5: 5 × 3 = 15 ratusan ditambah 1 ratusan menjadi 16 ratusan, ditulis 6 dan disimpan 1 pada ribuan.

Langkah 6: 7 × 3 = 21 ribuan ditambah 1 ribuan menjadi 22, ditulis semuanya (2268)

Langkah 7: 6 × 4 = 24 ratusan, ditulis 4 dan disimpan 2 pada ribuan.

Langkah 8: 5 × 4 = 20 ribuan ditambah 2 ribuan menjadi 22 ribuan, ditulis 2 dan disimpan 2 pada puluhan ribu.

Langkah 9: 7 × 4 = 28 puluhan ribu ditambah 2 puluhan ribu menjadi 30 puluhan ribu, ditulis semuanya (3024).

Langkah 10: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 331.884.

Jadi, 756 × 439 = 331.884 2) Sifat-sifat Operasi Perkalian:

1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)

Jika a, b  C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a × b atau ab.

Contoh:

2  3 = 6

Perhatikan 2 dan 3  C dan 2  3 = 6  C . Operasi perkalian pada bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal).

2. Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan

a  b  b  a

. Contoh:

Periksalah apakah 3 × 8 = 8 × 3? Berilah komentarmu!

Solusi:

3 × 8 = 24 dan 8 × 3 = 24

756 439 6804 2268 3024 331884

×

+

(9)

27 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jelaslah bahwa 3 × 8 = 8 × 3.

Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat komutatif.

3. Sifat Asosiatif

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan

)

( )

( a  b  c  a  b  c

. Contoh:

Periksalah apakah (4 × 6) × 5 = 4 × (6 × 5)? Berilah komentarmu!

Solusi:

(4 × 6) × 5 = 24 × 5 = 120 dan 4 × (6 × 5) = 4 × 30 = 120 Jelaslah bahwa (4 × 6) × 5 = 4 × (6 × 5).

Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat asosiatif.

4. Sifat Bilangan Nol

Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku

a  0  0  a  0

. Contoh:

3 × 0 = 0 × 3 = 0 5. Unsur Identitas

Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku

a  1  1  a  a

. Sifat bilangan 1 pada perkalian sebagai unsure identitas.

Contoh:

5 × 1 = 1 × 5 = 5 6. Sifat Distributif

 Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Penjumlahan

Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a(bc)abacatau a

c a b a c

b )    

( .

 Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Pengurangan

Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a(bc)abacatau a

c a b a c

b )    

( .

Contoh:

Hitunglah

a.

24  55  24  45

c.

76  97  56  97

b.

18 105

d.

564 99

Solusi:

a. Strategi 1:

24  55  24  45

= 1.320 + 1.080 = 2.400

(10)

28 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Strategi 2: Menggunakan sifat distributif

24  55  24  45

= 24 × (55 + 45) = 24 × 100 = 2.400 b. Strategi 1:

18 105

= 1.890

18 105

= 18 × (100 + 5) = 18 × 100 + 18 × 5 = 1.800 + 90 = 1.890 c. Strategi 1:

76  97  56  97

= 7.372  5.432 = 1.940 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif

76  97  56  97

= 97 × (76 – 56) = 97 × 20 = 1.940 d. Strategi 1:

564 99

= 55.836

564 99

= 564 × (100 – 1) = 564 × 100 – 564 × 1 = 56.400 – 564 = 55.836 4. Operasi Pembagian

1) Pengertian Operasi Pembagian pada Bilangan Cacah

Operasi pembagian adalah operasi kebalikan (invers) dari operasi perkalian.

Pernyataan 28 : 4 = 7 sama artinya dengan 4 × 7 = 28 atau ditulis 28 : 4 = 7  4 × 7 = 28.

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah sebarang, maka a : b = c  a = b × c.

Contoh:

8 : 4 = 2  8 = 4 × 2 216 : 36 = 6  216 = 36 × 6

Operasi pembagian pada suatu bilangan dapat dilakukan dengan strategi bersusun berekor dan strategi bersusun pendek.

Contoh:

Hitunglah

a. 1.296 : 8 b. 21.504 : 24 Solusi:

a. Strategi Bersusun Berekor:

Langkah 1: 1296 : 8 = 100 sisa 496, tulis 100 pada tempat hasil pembagian.

Langkah 2: 8 × 100 = 800, tulis 800 di bawah 1296, sehingga 1296 – 800 = 496.

100 + 60 + 2 = 162 8 1296

800 496 480 16 16 0



(11)

29 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Langkah 5: 16 : 8 = 2, tulis 2 pada tempat hasil pembagian.

Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 100 + 60 + 2 = 162.

Jadi, 1.296 : 8 = 162 Strategi Bersusun Pendek:

Langkah 1: 12 : 8 = 1 sisa 4, tulis 1 ditempat hasil pembagian.

Langkah 3: Turunkan 9 sejajar 4, sehingga menjadi 49.

Langkah 7: 16 : 8 = 2, tulis 2 ditempat hasil pembagian.

Jadi, 1.296 : 8 = 162.

b. Strategi Bersusun Berekor:

Langkah 5: 144 : 24 = 6, tulis 6 pada tempat hasil pembagian.

Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 800 + 90 + 6 = 896.

Jadi, 21.504 : 24 = 896.

Strategi Bersusun Pendek:

800 + 90 + 6 = 896 24 21504

19200

2304

2160

144

0

  

162

8 1296 8

49

48

16

0

  

896

24 21504 192 230

216

144

0



(12)

30 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Langkah 7: 144 : 24 = 6, tulis 6 ditempat hasil pembagian.

Jadi, 21.504 : 24 = 896.

2) Sifat-sifat Operasi Pembagian

1. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat ketertutupan (ketunggalan)

Jika a, b  C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka a : b belum tentu bilangan cacah.

Contoh:

a. 12 : 4 = 3 (12, 4, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah).

b. 12 : 5 = 5

22 = 2,4 (12 dan 5 adalah bilangan cacah tetapi 5

22 atau 2,4 jelas bukan bilangan

cacah)

2. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.

1.

a : b  b : a

(tidak komutatif) Contoh:

6 : 2 = 3 dan 2 : 6 = 3 1

Jelaslah bahwa 6 : 2 ≠ 2 : 6.

Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif.

2. (a:b):ca:(b:c) (tidak asosiatif) Contoh:

(36 : 4) : 2 = 9 : 2 = 2

41 dan 36 : (4 : 2) = 36 : 2 = 18

Jelaslah bahwa (36 : 4) : 2 ≠ 36 : (4 : 2).

Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat asosiatif.

3. Sifat Distributif pada Operasi Pembagian

Untuk a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah dengan c ≠ 0, berlaku:

1.

( a  b ) : c  a : c  b : c

(sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan).

2.

( a  b ) : c  a : c  b : c

(sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan).

Contoh:

Hitunglah

a. 1.050 : 75 b. 2.700 : 6 Solusi:

a. Strategi 1:

1.050 : 75 = 14

(13)

31 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan) 1.050 : 75 = (750 + 300) : 75 = 750 : 75 + 300 : 75 = 10 + 4 = 14 b. Strategi 1:

2.700 : 6 = 450

Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan) 2.700 : 6 = (3.000 – 300) : 6 = 3.000 : 6 – 300 : 6 = 500 – 50 = 450 4. Sifat Bilangan Nol

 Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a ≠ 0, berlaku 0 : a = 0, karena 0 : a = 0  a × 0

= 0.

Contoh:

0 : 7 = 0 0 : 108 = 0

 Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a ≠ 0, berlaku a : 0 = tidak didefinisikan.

Contoh:

9 : 0 = tidak didefinisikan 47 : 0 = tidak didefinisikan

 Dalam kasus a = 0, maka 0 : 0 = tidak tentu.

5. Sifat Bilangan 1

Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, a : a = 1, karena a : a = 1  a × 1 = a.

Suatu bilangan (kecuali 0) dibagi dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah 1. Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, ada sebarang bilangan yang dinamakan kebalikan dari a (invers terhadap perkalian dari a) yang dinyatakan dengan

a

1 , sehingga  11 a a a

a .

c. Kelipatan dan Faktor

1. Kelipatan Suatu Bilangan Cacah

Jika a adalah suatu bilangan, maka kelipatan a adalah hasil kali a dengan setiap anggota bilangan cacah.

Contoh:

Tentukan kelipatan 2, 3, dan 5.

Solusi:

Kelipatan 2 adalah 2  0, 2  1, 2  2, 2  3, 2  4, 2  5, … = 0, 2, 4, 6, 8, 10, … Kelipatan 3 adalah 3  0, 3  1, 3  2, 3  3, 3  4, 3  5, … = 0, 3, 6, 9, 12, 15, … Kelipatan 5 adalah 5  0, 5  1, 5  2, 5  3, 5  4, 5  5, … = 0, 5, 10, 15, 20, 25, … 2. Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari dua bilangan cacah atau lebih.

(14)

32 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Contoh:

Tentukan kelipatan dari petiap pasangan bilangan berikut ini.

a. 2 dan 3 b. 2 dan 5 c. 3 dan 5.

Solusi:

a. Kelipatan 2 dan 3 adalah 0, 6, 12, 18, 24, … b. Kelipatan 2 dan 5 adalah 0, 10, 20, 30, 40, 50, … c. Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, 75, … 3. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan kelipatan persekutuan antara bilangan-bilangan tersebut.

Contoh:

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini.

a. 3 dan 5 b. 6, 8, dan 12 Solusi:

a. Kelipatan 3 adalah 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, … Kelipatan 5 adalah 0, 5, 10, 15, 20, 25, … Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, … Jadi, KPK dari 3 dan 5 adalah 15.

b. Kelipatan 6 adalah 0, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … Kelipatan 8 adalah 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … Kelipatan 12 adalah 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … Kelipatan 6, 8, dan 12 adalah 0, 24, 48, 72, … Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 24.

4. Faktor Suatu Bilangan

Setiap bilangan cacah dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua buah bilangan cacah atau lebih.

Contoh:

a. 5 = 1  5 c. 6 = 1  6 = 2  3

b. 4 = 1  4 = 2  2 d. 12 = 1  12 = 2  6 = 3  4

Bilangan-bilangan dalam bentuk perkalian dari contoh di atas dinamakan factor, sehingga dapat dikemukakan bahwa:

a. Faktor-faktor dari 5 adalah 1 dan 5.

b. Faktor-faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4.

c. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.

d. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

(15)

33 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Dari uraian di atas kita dapat menyimpulkan bahwa faktor-faktor suatu bilangan adalah pembagi yang habis membagi bilangan itu.

5. Faktor Persekutuan Dua Bilangan Cacah

Faktor persekutuan dua bilangan cacah adalah bilangan-bilangan yang sama dapat membagi dua bilangan cacah itu.

Contoh:

Carilah faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18.

Solusi:

Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan12.

Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18.

Jadi, faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6.

6. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan cacah atau lebih adalah bilangan yang paling besar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan cacah tersebut.

Contoh:

Carilah FPB dari bilangan-bilangan berikut ini.

a. 12 dan 18 b. 36, 48, dan 72 Solusi:

a. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18.

Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari faktor-faktor ini 6 adalah bilangan yang terbesar.

Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6.

b. Faktor-faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36.

Faktor-faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48.

Faktor-faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.

Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari faktor- faktor ini 12 adalah bilangan yang terbesar.

Jadi, FPB dari 36, 48, dan 72 adalah 12.

7. Menentukan KPK dan FPB dengan Faktor Prima b. Menentukan KPK dengan Faktor Prima

KPK dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling banyak.

Contoh:

(16)

34 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini.

a. 14 dan 24 b. 6, 8, dan 12 c. 28, 48, 72, dan 240 Solusi:

a. 14 = 2  7 24 = 2³  3

Jadi, KPK dari 14 dan 24 adalah 2³ 3  7 = 168.

b. 6 = 2  3 8 = 2³ 12 = 2²  3

Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 2³ 3 = 24.

c. 28 = 2²  7 48 = 2⁴  3 72 = 2³  3² 240 = 2⁴  3  5

Jadi, KPK dari 28, 48, 72, dan 240 adalah 2⁴ 3² 5  7 = 5.040.

b. Menentukan FPB dengan Faktor Prima

FPB dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima persekutuan yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling sedikit.

Contoh:

Tentukan kelipatan persekutuan terbesar (FPB) dari setiap bilangan berikut ini.

a. 48 dan 60 b. 196, 84, dan 504 c. 72, 108, 225, dan 288 Solusi:

a. 48 = 2⁴  3 60 = 2²  3  5

Jadi, FPB dari 48 dan 60 adalah 2² 3 = 12.

b. 196 = 2²  7² 84 = 2² 3  7 504 = 2³  3²  7

Jadi, FPB dari 196, 84, dan 504 adalah 2² 7 = 28.

c. 72 = 2³  3² 108 = 2²  3³ 225 = 3²  5² 288 = 2⁵  3²

Jadi, FPB dari 72, 108, 225, dan 228 adalah 3² = 9.