Bab 1-I. Bilangan Pecahan

(1)

57 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

I. Bilangan Pecahan

a. Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk b

a, dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli, bilamana a tidak habis dibagi b. Dalam kasus ini a dinamakan pembilang (numerator) dan b dinamakan penyebut (denominator).

b

aadalah bilangan yang jika dikalikan dengan b

akan menghasilkan a, ditulis b a b

a  . Contoh:

1. Tentukan penyebut dan pembilangan dari setiap pecahan berikut ini.

a. 9

7 b.

y x

x

 , xy Solusi:

a. Pecahan 9

7, pembilangnya 7 dan penyebutnya 9.

b. Pecahan y x

x

 ,xy; pembilangnya x dan penyebutnya x – y.

2. Sebuah ruas garis panjangnya 150 cm. Berapakah panjang dari sepertiga, seperenam, dan tiga perempat dari panjang ruas garis itu?

Solusi:

 Panjang dari sepertiga dari panjang ruas garis itu = 150 3

1 cm = 50 cm.

 Panjang dari seperenam dari panjang ruas garis itu = 150 6

1 cm = 25 cm.

 Panjang dari tida perempat dari panjang ruas garis itu = 150 4

3 cm = 112,5 cm.

3. Tentukan bagian dari sebelas huruf pertama, huruf vokal, dan huruf konsonan pada abjad latin.

Solusi:

Abjad latin adalah a, b, c, …, z yang banyaknya ada 26 buah.

Huruf vokal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah, sehingga huruf konsonan (huruf mati) ada 26 – 5 = 21 buah.

Huruf vocal adalah a, i, u, e, dan o yang banyaknya ada 5 buah.

 Bagian dari sebelas huruf pertama pada abjad latin = 26 11.

(2)

58 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

 Bagian dari huruf vokal pada abjad latin = 26

5 .

 Bagian dari huruf konsonan pada abjad latin = 26 21. b. Jenis-jenis Bilangan Pecahan

Jenis-jenis bilangan pecahan adalah pecahan murni, pecahan tidak murni, pecahan campuran, pecahan senilai, pecahan decimal, pecahan persen, dan pecahan permil.

1. Pecahan Murni, Pecahan Tidak Murni, dan Pecahan Campuran Misalnya

b

a , dengan b0adalah suatu pecahan.

1) Jika a < b, maka pecahan b

a dinamakan pecahan murni (pecahan sejati). Misalnya 5 1,

3 2,

37 17 , dan sebagainya.

2) Jika a > b, maka pecahan b

a dinamakan pecahan tidak murni (pecahan tidak sejati). Misalnya 5 9,

2 3,

11

23, dan sebagainya.

3) Jika pecahan tidak murni b

a diuraikan menjadi bentuk pecahan b

cd , dengan c bilangan bulat

dan b

d pecahan murni, maka pecahan b

cd dinamakan pecahan campuran. Misalanya 5 14 5 9  ,

2 61 2

13 ,

11 2 1 11

23 , dan sebagainya.

2. Pecahan Senilai

Pecahan senilai adalah pecahan yang mempunyai nilai sama. Misalnya 2 1,

4 2,

6 3, dan

10

5 adalah pecahan-pecahan senilai, karena

10 5 6 3 4 2 2

1    .

Pecahan-pecahan senilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang sama, asalkan bilangan itu bukan nol.

Untuk sebarang pecahan b

a, dengan b0berlaku hubungan:

c b

c a b a



  atau

c b

c a b a

:

 : , dengan c0 Contoh:

Carilah dua buah pecahan senilai sebarang dari

(3)

59 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

a. 7

2 dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang sama.

b. 108

72 dengan membagi pembilang dan penyebut masing-masing dengan bilangan yang sama.

Solusi:

a. 14

4 2 7

2 2 7

2 



  dan

35 10 5 7

5 2 7

2 



  b.

36 24 3 : 108

3 : 72 108

72   dan

3 2 36 : 108

36 : 72 108

72  

3. Menyederhanakan Pecahan

Cara menyederhanakan pecahan, yaitu mengubah suatu pecahan menjadi pecahan lain yang senilai, yang pembilang dan penyebutnya tidak lagi mempunyai faktor persekutuan selain 1.

Pecahan b

a , dengan b0dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan itu masing-masing dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a dan b yang sama.

Contoh:

1. Sederhanakanlah pecahan 300

75 dan 288 216. Solusi:

 6

5 15 : 90

15 : 75 90

75  (15 adalah KPK dari 75 dan 90)

 4

3 72 : 288

72 : 216 288

216  (72 adalah KPK dari 216 dan 288)

2. Berapa bagian dari satu jamkah waktu-waktu berikut? Nayatakan hasilnya dalam bentuk yang sederhana.

a. 15 menit b. 48 menit c. 1.400 detik Solusi:

a. Bagian waktu 15 menit dari satu jam =

4 1 60 15 jam 1

menit

15  

b. Bagian waktu 48 menit dari satu jam =

5 4 60 48 jam 1

menit

48  

c. Bagian waktu 1.400 detik dari satu jam =

18 7 600 . 3

400 . 1 jam 1

detik

1.400  

4. Desimal

Desimal adalah suatu pecahan yang penyebutnya merupakan perpangkatan dari bilangan 10. Pada penulisan bentuk desimal, bagian bilangan pecahan campuran yang bulat dan yang tidak bulat (pecah) dipisahkan dengan tanda koma; bagian yang bulat diletakkan di depan koma dan bagian

(4)

60 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

yang pecah diletakkan di belakang koma. Jika bilangannya pecahan murni, maka bilangan yang diletakkan di depan koma adalah nol.

Misalnya b,pqrs adalah bilangan desimal. Lambang bilangan desimal ini mempunyai arti sebagai berikut.

Contoh:

1. 5

3 10

6 10 0 6 6 ,

0    

2. 4

71 100 7 25 100

5 100 7 20 100

5 10 7 2 25 ,

7         atau

4 71 100 7 25 25 ,

7  

5. Persen

Kata persen berasal dari kata per cent artinya perseratus. Jadi, pecahan persen adalah suatu pecahan yang penyebutnya seratus atau pecahan per seratus. Persen dilambangkan oleh %.

% 100x

x  (dibaca: x persen) Contoh:

1. 20

3 100

% 15

15   2.

5 11 5 6 100

% 120

120   

II. Permil

Kata permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya seribu atau pecahan per seribu. Permil dilambangkan oleh o/oo.

/oo 1000

o x

x  (dibaca: x permil) Contoh:

1. 200

3 1000 / 15

15o oo   2.

4 1 1000

% 250

250  

b. Mengubah Jenis Pecahan ke Jenis yang Lain

1. Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran dan Sebaliknya 1) Mengubah Pecahan Tidak Murni Menjadi Pecahan Campuran

Ada dua strategi mengubah pecahan tidak murni menjadi pecahan campuran.

b, p q r s =

10000 1000

100 10

s r

q

b p   

10000 b pqrs

 10

p

b 100

q 1000

r

10000 s

(5)

61 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

1. Melakukan pembagian antara pembilang dan penyebut pecahan akan diperoleh hasil dan sisa.

b cd d b c

a sisa 

2. Menguraikan pecahan itu menjadi dua bagian, sehingga bagian pertama akan menghasilkan bilangan bulat dan bagian yang lain akan menghasilkan bilangan pecahan murni.

b d b x b

a   (dengan x kelipatan b dan d = a – x) Contoh:

Ubahlah pecahan 6

29menjadi pecahan campuran.

Solusi:

Strategi 1:

6 45 5 sisa 6 4

29 

Strategi 2:

6 45 6 4 5 6 5 6 24 6

29    

2) Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Tidak Murni Pecahan campuran dapat diubah menjadi pecahan tidak murni.

b d c b b

cd   

Contoh:

1. Ubahlah pecahan 8

27 menjadi pecahan tidak murni.

Solusi:

8 23 8

7 8 2 8

27   

2. Gigih mendapat uang saku Rp 8.000,00 per bulan.Berapakah uang sakunya jika mendapat tambahan

5

1bagian?

Solusi:

Uang saku Gigih jika mendapat tambahan 5

1bagian menjadi Rp8.000,00 5

1 1



 

 



8.000,00 5 Rp

11



8.000,00 5 Rp

6



= Rp 9.600,00

(6)

62 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Mengubah Pecahan ke Desimal dan Sebaliknya

1) Mengubah Pecahan ke Desimal

 Untuk pecahan yang penyebutnya 10 atau perpangkatan dari 10, pengubahan ke bentuk desimal dapat dilakukan secara langsung. Pada pecahan decimal itu, banyaknya angka di belakang koma sama dengan banyaknya nol pada penyebut pecahan semula.

Contoh:

Ubahlah pecahan-pecahan berikut ini ke bentuk desimal.

a. 10

3 1 b.

100

5 17 c.

1000 29 827 . Solusi:

a. 3,1 10

3 1  b. 5,17 100

5 17  c. 29,827 1000

29 827 

 Untuk pecahan yang penyebutnya bukan 10 atau perpangkatan dari 10, penyebut pecahan itu diubah terlebih dahulu menjadi 10 atau perpangkatan dari 10. Tetapi jika penyebutnya tidak dapat diubah, dilakukan pembagian biasa.

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke desimal.

a. 2

1 b.

25

16 c.

8

7 d.

6 19 Solusi:

a. 0,5

10 5 5 2

5 1 2

1  



  b. 0,64 100

64 4 25

4 16 25

16  



 

c.

2) Mengubah Desimal ke Pecahan Desimal dapat diubah ke pecahan.

10000

, pqrs

b pqrs

b 

Contoh:

Ubahlah desimal berikut ini.

a. 9,75 b. 0,00125.

0,875 8 7,000

0

70

64

60

56

40

0

Jadi, 0,785 8 7 d. 3,166… 6 19,000 18

10

6

40

36

40

36

4

Jadi, 3,166...

6 19

(7)

63 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Solusi:

a. 4

93 100 9 75 75 ,

9   b.

800 1 100000 00125 125

,

0  

3. Mengubah Pecahan ke Persen dan Sebaliknya 1) Mengubah Pecahan ke Persen

Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke persen, yaitu:

1. Mengubah penyebutnya menjadi 100.

%

100x x Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.

a. 4

3 b.

8 1 5 Solusi:

a. 75%

100 75 25 4

25 3 4

3  



  b. 162,5%

100 5 , 162 5 , 12 8

5 , 12 13 8

15  



 

2. Mengalikan pecahan itu dengan 100%.

Pecahan b

a , dengan b0 dalam persen adalah 100% b

a . Jadi,  100% b

a b

a .

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam persen.

a. 5

2 b.

4 23 Solusi:

a. 100% 40%

5 2 5

2   b. 100% 275% 4

11 4

23  

2) Mengubah Persen ke Pecahan

Bentuk x% dalam pecahan dinyatakan sebagai 100

x . Jadi,

% 100x x  . Contoh:

1. Ubahlah persen berikut ini ke dalam pecahan.

a. 80% b. % 3 331 Solusi:

a. 5

4 100

% 80

80   b.

3 1 100

1 3 100 100

3 100 100

3 331 3%

331     

(8)

64 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Carilah nilai 25% dari 800 liter.

Solusi:

Nilai 25% dari 800 liter = 25% × 800 liter = 800 100

25  liter = 200 liter.

3. Uang saku Yuda naik 20% setiap semester. Jika uang sakunya pada semester pertama Rp 5.000,00, berapakah uang sakunya pada semester kedua?

Solusi:

Uang saku Yuda pada semester kedua =



120%



Rp5.000,00 5.000,00 100 Rp

0 1 2 



 

 



5.000,00 100 Rp

120



= Rp 6.000,00 4. Mengubah Pecahan ke Permil dan Sebaliknya

1) Mengubah Pecahan ke Permil

Ada dua strategi untuk mengubah pecahan ke permil, yaitu:

1. Mengubah penyebutnya menjadi 1000.

o/oo

1000x x Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.

a.

5

3 b.

125 9 Solusi:

a. 600o/oo

1000 600 200 5

200 3 5

3  



  b. 72o/oo

1000 72 8 125

8 9 125

9  



 

2. Mengalikan pecahan yang bersangkutan dengan 1000o/oo. Pecahan

b

a , dengan b0 dalam persen adalah 1000o/oo

b

a .

Jadi,  1000o/oo

b a b

a .

Contoh:

Ubahlah setiap pecahan berikut ini ke dalam permil.

a.

8

7 b.

25 116

(9)

65 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Solusi:

a. o oo

o/oo 875 / 8 1000

7 8

7   b. ooo

o/oo 1640 / 25 1000

41 25

116   

2) Mengubah Permil ke Pecahan

Bentuk permil xo/oodalam pecahan dinyatakan sebagai 1000

x . Jadi,

/oo 1000

o x

x  .

Contoh:

1. Ubahlah setiap permil berikut ini dalam pecahan.

a. 375o/oo b. o/oo

3 3331 Solusi:

a. 8

3 1000 / 375

375ooo   b.

3 1 1000 3

1000 1000

3 1000 1000

3 3331 3 /

3331ooo 

 



2. Jumlah penduduk di suatu daerah adalah 188.000 jiwa. Dari jumlah itu 640o/ooadalah dewasa dan 120o/oo adalah balita. Berapa jumlah penduduk dewasa dan balita di daerah itu?

Solusi:

Jumlah penduduk dewasa 640o/oo188.000jiwa 188.000

1000 640 

 jiwa

= 120.320 jiwa

Jumlah penduduk dewasa 120o/oo188.000jiwa 188.000

1000 120 

 jiwa

= 22.560 jiwa b. Mengurutkan Bilangan Rasional

Misalnya a, b, c, dan k adalah bilangan-bilangan positif, maka berlaku:

1. kb ka b

a  (pecahan senilai)

2. b c b

a  , jika a > c.

3. b

c b

a , jika a < c.

Aturan 1:

(10)

66 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan bertambah naik dengan nilai konstan, maka pecahan yang terakhir adalah yang terbesar.

Contoh:

1. Diberikan pecahan-pecahan 3 2,

4 3, dan

5

4. Pecahan yangmana yang terbesar?

Solusi:

Strategi 1:

60 40 3 2 ,

60 45 4

3 , dan 60 48 5 4

60 48 60 45 60

40  atau

5 8 4 3 3 2 

Jadi, pecahan yang terbesar itu adalah 5 4. Strategi 2:

Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 1, dengan demikian pecahan yang terakhir, yaitu

5

4 adalah pecahan yang terbesar.

7 5, dan

9

Solusi:

Kita lihat bahwa pembilang dan penyebut pecahan-pecahan itu bertambah 2, dengan demikian pecahan yang terakhir, yaitu

9

7 4, dan

8

Solusi:

Kita lihat bahwa pembilang bertambah 3 dan penyebut bertambah dengan 1, dengan demikian pecahan yang terakhir, yaitu

8

Berdasarkan uraian di atas dapat digeralisasikan bahwa:

Dalam kelompok pecahan

ny b

nx a y b

x a y b

x a b a



 ,...,

3 , 3 2 , 2 ,

Pecahan ny b

nx a



 adalah pecahan yang terbesar, dengan x = y atau x > y.

Contoh:

9 2,

14 3 , dan

18

4 . Pecahan yangmana yang terbesar?

(11)

67 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Solusi:

18

17 4 , dan

25

6 . Pecahan yangmana yang terbesar?

Solusi:

25

6 adalah pecahan yang terkecil.

Catatan:

Dari dua contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika a < b, maka aturan di atas tidak dapat diaplikasikan. Maka dari itu digunakan metode sebagai berikut.

 Aturan di atas dapat digunakan jika:

Pecahanpertama

npenyebut Pertambaha

npembilang

Pertambaha 

 Tetapi jika

Pecahanpertama

npembilang Pertambaha



Maka pecahan yang terakhir dalah pecahan yang terkecil.

 Jika Pecahanpertama

npembilang

Pertambaha 

Maka semua nilai sama.

Aturan 2:

Pecahan yang pembilangnya setelah dikali silang memberikan nilai terbesar adalah pecahan terbesar.

Contoh:

1. Manakah yang terbesar 8 3atau

7 2? Solusi:

Langkah 1: Kalikan silang dua pecahan yang diberikan.

Kita memperoleh 3 × 7 = 21 dan 2 × 8 = 16

Langkah 2: Karena 21 > 16 dan nilai terbesar mempuyai pembilang 3 yang terikat dengannya, maka 8

3adalah pecahan terbesar.

8 3

7 2

(12)

68 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Manakah yang terbesar

12 11atau

22 19? Solusi:

Langkah 1: 11 × 22 > 12 × 19

Langkah 2: Karena nilai terbesar mempunyai pembilang 11 yang terikat dengannya, maka 12

3. Manakah yang terbesar 19 15atau

25 22? Solusi:

Langkah 1: 15 × 25 < 22 × 19 Langkah 2:

25

c. Menggambar Bilangan Rasional pada Garis Bilangan

Bilangan pecahan dapat digambarkan pada garis bilangan dengan diwakili oleh titik yang terletak di antara dua bilangan bulat. Untuk setiap pecahan positif

b

a mempunyai pasangan bilangan negatif b

a.

Misalnya 7

3lawannya 7

3, 5

24 lawannya 5 24

 , dan sebagainya.

Jika a dan b adalah bilangan-bilangan rasional, maka hubungan antara a dan b dapat dilihat dari letak titik yang mewakili a dan b pada garis bilangan.

1. a < b, jika titik a ada di sebelah kiri titik b.

2. a > b, jika titik a ada di sebelah kanan titik b.

3. a = b, jika titik a berimpit dengan titik b.

Contoh:

1. Urutkan pecahan-pecahan 2 1,

4 3, dan

6

5, kemudian gambarlah pada garis bilangan.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 2, 4, dan 6 adalah 12. Pecahan-pecahan 2 1,

6 5, dan

4

3 senilai

dengan pecahan-pecahan 12

6 , 12 10, dan

12 9 .

12 10 12

9 12

6   atau

6 5 4 3 2 1 

a b

a < b

b a

a > b a = b

(13)

69 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Pecahan-pecahan

2 1,

6 5, dan

4

3digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.

Strategi 2:

5 , 2 0

1 ; 0,83 6

5 , dan 0,75 4 3

Jelaslah

6 5 4 3 2

1  .

4. Urutkan pecahan-pecahan 8

3, 5

3, dan 3

1, kemudian gambarlah pada garis bilangan.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 8, 5, dan 3 dalah 120. Pecahan-pecahan 8

3, 5

3, dan 3

1 senilai

dengan pecahan-pecahan 120

 45 , 120

 72 , dan 120

 10 .

120 72 120

45 120

10  

 atau

5 3 8 3 3

1 

 Pecahan-pecahan

8

3, 5

3, dan 3

1 digambarkan pada garis bilangan sebegai berikut.

Strategi 2:

375 , 8 0 3

 ; 0,6

5 3

 , dan 0,33

3 1

 Jelaslah bahwa

5 3 8 3 3

1 

 .

5. Susunlah barisan setiap bilangan 3 2,

5

 4, 8

5, dan 9

8 dengan urutan naik, kemudian sisipkan notasi ketidaksamaan < pada tempatnya.

Solusi:

Strategi 1:

KPK dari penyebut-penyebutnya 3, 5, 8, dan 9 adalah 360.

Pecahan-pecahan 3 2,

5

4, 8

5, dan 9

8 senilai dengan pecahan-pecahan 360 240,

360

288, 360

225, dan

360 320.

2 1

4 3

6

0 5 1

3

1 5

3

8

3

1 0

(14)

70 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Susunan dalam urutan naik empat bilangan itu

360

 288, 360

225, 360 240, dan

360

320 yang sama artinya

dengan urutan naik empat bilangan semula 5

 4, 8

5, 3 2, dan

9 8.

Dengan menyisipkan notasi ketidaksamaan < pada keempat bilangan itu, diperoleh pernyataan 5

4<

8

5<

3 2<

9 8. Strategi 2:

67 , 3 0

2  , 0,8

5 4

 , 0,625

8 5

 , dan 0,89

9 8 

Jelaslah bahwa 5

 4<

8

5<

3 2<

9 8.

d. Menentukan Pecahan yang Nilainya di antara Dua Pecahan

Strategi yang digunakan untuk menentukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan adalah sebagai berikut.

1. Jika kedua pecahan mempunyai penyebut yang sama, maka pecahan yang terletak di antara keduanya mempunyai pembilang yang terletak di antara kedua pembilang pecahan itu, dengan penyebutnya sama dengan penyebut kedua pecahan itu. Jika belum ditemukan bilangan cacah yang terletak di antara pembilang kedua pecahan itu, maka kedua pecahan itu diubah menjadi pecahan yang masing-masing senilai dengan pecahan semula, sampai ditemukannya bilangan yang diminta.

Contoh:

Tentukan sebuah pecahan yang terletak di antara dua pecahan berikut ini.

a. 5 2dan

5

4 b.

8 6 dan

8 7 Solusi:

a. Sebuah pecahan yang terletak di antara 5 2dan

5

4 adalah 5 3.

b. Karena belum ditemukan sebuah pecahan yang terletak di antara kedua pecahan 8 6 dan

8 7, maka kalikan pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan 2, sehingga diperoleh

2 8

2 ....7 2 8

2 6



16 ....14 16 12

Perhatikan di antara kedua pecahan

16 dan14 16

12 ada sebuah pecahan, yaitu 16 13.

(15)

71 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, sebuah pecahan yang terletak di antara

8 6 dan

8

7 adalah 16 13.

2. Jika kedua pecahan penyebutnya belum sama, maka kedua pecahan itu diubah dahulu menjadi pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahannya semula, yang keduanya mempunyai penyebut yang sama. Untuk menentukan pecahan yang terletak di antara kedua pecahan itu, digunakan cara yang serupa seperti pada butir 1.

Contoh:

a. Carilah dua buah pecahan yang dapat disisipkan di antara 4 3 dan

6 5.

b. Carilah lima buah pecahan yang dapat disisipkan di antara 7

5 dan 1.

Solusi:

a. 6

....5 4

3 (diketahui)

2 6

2 ....5 3 4

3 3



 

12 ....10 12

9 (belum ditemukan pecahan yang diminta)

2 12

2 ....10 2 12

2 9



 

24 ....20 24

18 (ditemukan sebuah pecahan yang terletak antara kedua pecahan

itu, yaitu 24 19)

3 12

3 ....10 3 12

3 9



 

36 ....30 36

27 (ditemukan dua buah pecahan yang terletak antara kedua pecahan

itu , yaitu

36 dan29 36

28 )

Jadi, dua buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara 4 3 dan

6

5 adalah

36 dan29 36

28 .

b. ....1 7

5 (diketahui)

7 1

7 ....1 1 7

1 5



 

7 ....7 7

5 (belum ditemukan pecahan yang diminta)

2 7

2 ....7 2 7

2 5



 

14 ....14 14

10 (ditemukan tiga buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu 14 11,

14 12, dan

14 13.

3 7

3 ....7 3 7

3 5



 

21 ....21 21

15 (ditemukan lima buah pecahan antara kedua pecahan itu, yaitu 21 16,

21 17,

21 18,

21 19,dan

21 20.

(16)

72 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, lima buah pecahan yang dapat disisipkan terletak di antara 7

5 dan 1 adalah 21 16,

21 17,

21 18,

21 19,dan

21 20. e. Operasi Hitung pada Pecahan

Operasi hitung pada bilangan pecahan meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antarpecahan dan bilangan bulat. Berkaitan dengan hal itu, kita harus memahami cara menyatakan bilangan bulat dalam bentuk pecahan.

Bilangan bulat a dapat dinyatakan sebagai pecahan k

ka, dengan k0dan k adalah bilangan real.

Contoh: 3 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sebagai ...

3 9 2 6 1

3  

1. Operasi Penjumlahan pada Pecahan

1) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama

Hasil penjumlahan dua pecahan atau lebih yang mempunyai penyebut sama diperoleh dengan menjumlahkan semua pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan penyebutnya tetap.

b c a b c b

a   , b0 Contoh:

Hitunglah

a. 8

5 8

1 b.

12 2 12 11 12

5  

Solusi:

a. 4

3 8 6 8

5 1 8 5 8

1     b.

2 11 12 16 12 18 12

2 11 5 12

2 12 11 12

5        

2) Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama

Untuk menjumlahkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, maka terlebih dahulu penyebut-penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya.

Setelah penyebut-penyebutnya sama jumlahkanlah pembilngan-pembilangnya.

bd c b d a d c b

a     , b0 dan d0 Contoh:

1. Hitunglah a.

12 5 9

1 b.

3 2 6 1 8 5  Solusi:

(17)

73 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

a.

36 19 36

15 4 36 15 36

4 12

5 9

1      (36 adalah KPK dari peyebutnya) atau

36 19 108

57 108

45 12 12

9

9 5 12 1 12

5 9

1    





 



b.

24 111 24 35 24

16 4 15 24 16 24

4 24 15 3 2 6 1 8

5          (24 adalah KPK dari

penyebutnya) atau

24 35 144 210 144

96 24 90 3

6 8

6 8 2 3 8 1 3 6 5 3 2 6 1 8

5     











 



 24

111



2. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya Boy dan Legimin. Boy mendapat

5

2nya dan Legimin mendapat 4

1nya. Berapa bagian talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu?

Solusi:

Talinya yang diberikan kepada kedua kawannya itu

4 5

5 1 4 2 4 1 5 2





 

 20

5 8

 20

13. 3) Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Bulat

 d

a c d a c 

 d

b c d a

bc

a (  ) Contoh:

Hitunglah a. 8

65 b.

3 52

2 Solusi:

a. Strategi 1:

8 65 8 53 8

5 48 8 5 8

8 6 8

65       atau

8 65 8 53 8

5 8 6 8

65     Strategi 2:

8 65 8

65 b. Strategi 1:

3

72 3 23 3

17 6 3 17 3

3 2 3 52

2        atau

3 72 3 23 3

17 6 3

17 3 2 3 2 17 3 52

2         

Strategi 2:

3 72 3 ) 2 5 2 3 ( 52

2    

(18)

74 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

4) Penjumlahan Pecahan Campuran

 d

c b p

d a bc d

a p  (  ) 

 qd

qc b pd

d a c q b p d a

bc q

ap    

 



 





 ( ) ( )

Contoh:

Hitunglah

a. 8

21 8

13 b.

3 52 3

7  c.

4 101 5

34 d.

8 35 7 12

9 

Solusi:

a. Strategi 1:

2 31 2 7 8 28 8 17 8 11 8 21 8

13     

Strategi 2:

2 31 8 3 4 8

1 ) 3 2 1 8 ( 21 8

13       

b. Strategi 1: 8

3 24 3

17 7 3 17 3 7 3 52 3

7      

Strategi 2: 7 1 8

3 2 ) 1 5 2 3 ( 52 3 21 3 52 3

7         

c. Strategi 1:

5 4

5 41 4 5

4 19 4 41 5 19 4 101 5 34



 



 





 20

14 1 20 281 20

205

76  



Strategi 2:





 









 





 

 





 5 4

1 5 4 13 4

4 1 5 ) 4 10 3 4 ( 101 5 34

20 14 1 20 1 1 20 13

13 21  



d. Strategi 1:

8 7

7 35 8 7

8 9 8 7

8 7 9 8 35 7 9 9 8 35 7 12

9 

 



 



 







 56

1437 56 821 56

245 72

504   



Strategi 2:

8 7

3 7 8 14 2 8 3 7 ) 2 4 1 9 8 ( 43 7 12 8 9

35 7 12

9 





 





 

 











 56

1437 56 1437

 2. Sifat-sifat Penjumlahan antar Pecahan

Dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat komutatif:

b a b c b c b

a   

(19)

75 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Sifat asosiatif: 

 



 









 

 

f e d c b a f e d c b a

Contoh:

a. Periksalah apakah

5 32 7 6 7 6 5

32   ? Berilah komentarmu!

b. Periksalah apakah

4 1 3 2 6

5 



 

  = 



 

 

 4

1 3 2 6

5 ? Berilah komentarmu!

Solusi:

a. 35

4 9 35 149 35

30 119 7 6 5 17 7 6 5

32      

35 4 9 35 149 35

119 30 5 17 7 6 5 32 7

6      

Jelaslah bahwa

5 32 7 6 7 6 5

32   .

Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat komutatif.

b.

4 13 4 7 36 63 36

9 1 2 27 4 1 18 27 4 1 18

12 15 4 1 3 2 6

5             



 

 

4 13 4 7 12

21 12

11 10 12 11 6 5 12

3 8 6 5 4 1 3 2 6

5          



 

 



Jelaslah bahwa

4 1 3 2 6

5 



 

  = 



 

 

 4

1 3 2 6

5 .

Jadi, dalam operasi penjumlahan pecahan berlaku sifat asosiatif.

3. Operasi Pengurangan pada Pecahan

1) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama

Hasil pengurangan pecahan yang mempunyai penyebut sama diperoleh dengan mengurangkan pembilang pecahan yang bersangkutan, sedangkan penyebutnya tetap.

b c a b

c b a b c b

a      , b0 Contoh:

Hitunglah a. 9

5 9

8  b.

12 7 12

5  Solusi:

a. 3

1 9 3 9

5 8 9 5 9

8     b.

6 1 12

2 12

7 5 12

7 12

5     

2) Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Tidak Sama

(20)

76 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Untuk mengurangkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama, terlebih dahulu penyebut- penyebutnya disamakan dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya, setelah penyebut-penyebutnya sama kurangkan pembilang pecahan itu.

bd c b d a bd

c b d a d

c b a d c b

a      ( )   

, b0 dan d0 Contoh:

1. Hitunglah a.

3 2 6

5 b.

15 14 8 7  Solusi:

a. 6

1 6 4 6 5 3 2 6

5    atau

6 1 18

3 18

12 15 3

6 6 2 3 5 3 2 6

5    





 



b. 120

7 120

112 105 15

8

8 14 15 7 15 14 8

7     





 



2. Di dalam sebuah kotak, 8

3dari isinya adalah klereng berwarna kuning, dan 4

1nya kelereng berwarna hijau, dan sisanya kelereng berwarna putih. Berapa bagian jumlah kelereng berwarna hijau dalam kotak itu.

Solusi:

Jumlah kelereng berwarna hijau dalam kotak =

8 2 3 8 4 1 8

13    8

3 bagian.

3. Di dalam sebuah kotak terdapat 12

5 bola kuning dan 6

1adalah bola hijau. Jika 3

2 dari bola yang terdapat di dalam kotak adalah bola kuning, hijau, dan putih, berapa bagian yang merupakan bola putih?

Solusi:

Jumlah bola berwarna putih dalam kotak

12 2 5 8 6 1 12

5 3

2    

 12

 1 bagian.

4. Mathman mempunyai seutas tali. Dia memberikan sebagian talinya kepada kawannya Boy dan Legimin. Boy mendapat

8

5nya dan Legimin mendapat 5

3nya. Siapakah yang mendapat tali terpanjang? Hitunglah kelebihan panjang tali itu?

Solusi:

40 1 40

24 25 5

8 8 3 5 5 5 3 8

5   





 



(21)

77 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jadi, Boy mendapat bagian tali lebih panjang dari pada Legimin, dengan kelebihan panjang talinya adalah

40

1 bagian.

3) Pengurangan Pecahan dengan Bilangan Bulat

 d

c d a d

a c    , d  0

 d

a d a c d

c     , d  0

 d

c d b a d b c d a

bc

a    (  )  )

( , d  0

 d

c d a b d a c b d a

bc     (  )  )

( , d  0

Contoh:

Hitunglah a. 7

23 b. 4 15

11 c.

4 83

12 d. 4 6 35 Solusi:

a. 7

14 7 11 7

3 14 7 3 7

7 2 7

23       atau

7 14 7 11 7

3 14 7

3 7 2 7

2 3      

b. 15

3 4 15

49 15

60 11 15

15 4 15 4 11 15

11        atau

15 34 15

49 15

60 11 15

15 4 4 11 15

11        

c. 4

31 4 13 4

35 48 4

35 4 12 4 12 35 4 83

12          atau

4

31 4 13 4

3 16 4

3 4 4 4 4 3 4 ) 3 8 12 4 ( 83

12            

d. 6

15 6 11 6

24 35 6

6 4 4 35 6

35        atau

6

15 6 ) 5 4 5 ( 6 4 55 6 4

35       atau

6 15 6 ) 5 4 5 ( 6 4 55 6 4

35      

4) Pengurangan Pecahan Campuran

 d

c b p

d a bc d

ap (  )  , d  0

 qd

qc b pd

d a c q b p d a

bc q

ap    

 



 







 ( ) ( ) , d  0 dan q  0

(22)

78 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Contoh:

Hitunglah a.

5 24 5

73 b.

6 55 4 31  Solusi:

a. Strategi 1:

5 44 5 24 5 14 5 38 5 24 5

73    

Strategi 2:

5 44 5 5 1 5 4 5 ) 3 2 7 5 ( 24 5

73   



 

 









b. Strategi 1:

12 2 7 12

31 12

2 35 3 13 6 35 4 13 6 55 4

31        

Strategi 2:

12 2 7 12 2 7 12

2 5 3 2 1 6 5 4 ) 1 5 3 6 ( 55 4

31         



 

 









Dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.

Contoh:

1. Hitunglah

4 23 6 1 6 1 4

23   ? Berilah komentarmu!

b. Periksalah apakah

6 5 4 3 8 25 



 



  



 

 



 6

5 4 3 8

Solusi:

a.

24 1 5 24 29 24

4 33 6 1 8 11 6 1 4

23      

24 1 5 24

29 24

33 4 8 11 6 1 4 23 6

1      

Jelaslah bahawa

4 23 6 1 6 1 4

23   .

Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat komutatif.

b.

24 1 1 24 25 24

20 45 6 5 8

6 21 6 5 4 3 8 21 6 5 4 3 8

25     



 



 







 



 







 



 

24 217 24 65 24

2 63 12

1 8 21 12

10 9 8 21 6 5 4 3 8

25      



 



 





 



 





 

 



Jelaslah bahwa 



 

 









 



 

6 5 4 3 8 25 6 5 4 3 8

25 .

Jadi, dalam operasi pengurangan pada pecahan tidak berlaku sifat asosiatif.

(23)

79 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

2. Seorang ayah menghibahkan sebidang tanah kepada 3 orang anaknya. Anak sulung menerima 5 2

bagian, anak kedua menerima 3

1bagian, dan anak ketiga menerima sisanya. Jika anak ketiga menerima 8 hektar, tentukan berapa hektar tanah yang diterima anak sulung dan anak kedua?

Solusi:

Anak ketiga menerima 



 

 



 3

1 5 1 2

15 4 15

11 15 15

5

16   

 bagian = 8 hektar

Luas tanah yang dibuahkan Ayah 8 30 4

15 

 hektar

Anak sulung menerima 30 12 5

2 

 hektar

Anak sulung menerima 30 10 3

1 

 hektar

3. Hitunglah a.

12 111 8 31 6 5 3

22   b.

8 15 16

7 12

5 9

8   Solusi:

a. 



 



   













 12

11 8 1 6 5 3 ) 2 1 3 2 12 ( 111 8 31 6 5 3

22 



 



       



 24

2 11 3 1 4 5 8 4 2





 



   



 24

22 3 20 4 16

24 425

 24

25 96

 24

223 24 71

 b.

144

18 15 9 7 12 5 16 8 8 15 16

7 12

5 9

8          

144 139 144

270 63 60

128   



4. Carilah angka yang hilang yang ditandai dengan tanda * (tanda bintang) dalam persamaan

6*

* 2* 16

1

* * 6

10 1   .

Solusi:

Penyebut pada pecahan campuran pertama dan penyebut pada pecahan campuran ketiga adalah enampuluhan, yang harus merupakan perkalian dari 17 (yaitu: 16 × 4 = 64). Maka dari itu persamaan menjadi:

64

* 2* 16

1 64 *

10 1  

64

* 2 * 16

1 64 ) 1 10 *

(  



 



 





(24)

80 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Karena

16 1 64

1  , maka 64

1 akan meminjam 1 dari 10, sehingga

64

* 2 * 16

1 64 ) 65 9 *

(  



 



 





64

* 2 * 64 ) 61 9 *

(    

64

* 2 * 64 ) 61 7 9

(    

64

* 2 * 64 2 61 

64

* 2 * 64 261 

Dengan demikian, persamaan itu menjadi

64 261 16 7 1 64

10 1   .

5. Operasi Perkalian pada Pecahan 1) Perkalian Pecahan Murni

Hasil kali pecahan diperoleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

d b

c a d c b a



 

 Contoh:

Hitunglah a. 17

7 5

3 b.

25 18 8 5 Solusi:

a. 85

21 17 5

7 3 17

7 5

3 



 



b. Strategi 1:

20 9 200

90 25 8

18 5 25 18 8

5  



 

 Strategi 2:

20 9 5 4

9 1 5 9 4 1 25 18 8

5 



 





 (5 dan 25; 18 dan 8 disederhanakan)

2) Perkalian Pecahan Campuran

Jika perkalian pecahan campuran, maka pecahan campuran diubah dahulu ke pecahan biasa.

 

d b

c d p a d

c d p b a d pc b a







 



 



 Contoh:

Hitunglah

(25)

81 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

a. 8

7 6

21 b.

4 13 9 35 Solusi:

a. 48

143 48 91 8 6

7 13 8 7 6 13 8 7 6

21  



 







b. Strategi 1:

9 62 36 6 8 36 224 4 9

7 32 4 7 9 32 4 13 9

35   



 





 Strategi 2:

9 62 9 56 1 9

7 8 1 7 9 8 4 7 9 32 4 13 9

35  



 











3) Perkalian Pecahan dengan Bilangan Bulat

Hasil kali suatu pecahan dengan suatu bilangan bulat adalah suatu pecahan pula yang penyebutnya sama dengan pecahan semula dan pembilangnya adalah hasil kali pembilang pecahan semula dengan bilangan bulat itu.

 c

b a c ab  

 d

c d b a d

c d a b d bc

a      (   ) Contoh:

1. Hitunglah a.

7

153 b.

18

24 5 c.

5 32 7 Solusi:

a. 7

63 7 45 7

3 15 7

153   

b. Strategi 1:

3 62 18 612 18 120 18

5 24 18

24 5     

Strategi 2:

3 62 3 20 3

5 4 3 4 5 18

24 5      

c. 5

234 5 119 5

17 7 5 7 17 5 32

7      

2. Jumlah siswa SD SUKASARI adalah 780 orang. Jumlah siswa laki-lakinya adalah 13

7 nya.

Berapakah jumlah siswa laki-laki dan perempuan masing-masing?

Solusi:

Jumlah siswa laki-laki = 780 420 13

7   orang.

Jumlah siswa perempuan = 780 – 420 = 360 orang

(26)

82 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

4) Invers Perkalian dari Suatu Bilangan

Invers (kebalikan) perkalian dari pecahan b

a adalah a

b. Karena  1 a b b

a .

Contoh:

1. Carilah invers perkalian dari 8 3 . 5 Solusi:

8 29 8 35

Jadi, invers perkalian 8

3 adalah 5 29

8 .

2. Suatu drum dua pertiganya terisi minyak dan ternyata volume minyak itu adalah 40 liter.

Berapakah volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh?

Solusi:

3

2 dari keseluruhan volume minyak = 40 liter

2 3 3

2 dari keseluruhan volume minyak = 40 liter 2

3 Keseluruhan volume minyak = 60 liter

Jadi, volume minyak dalam drum, jika drum terisi penuh adalah 60 liter.

3. Luas rumah dan halaman Pak Mathman adalah 250 m². 4

3dari halamannya ditanami

tanaman.

3

2 dari halaman yang ditanami tanaman itu adalah rumput. Jika luas yang ditanami rumput adalah 48 m²,berapa luas halaman dan rumahnya masing-masing?

Solusi:

3

2bagian dari halaman yang ditanami tanaman itu = 48 m²

Halaman yang ditanami tanaman = 48 72 2

3  m²

Halaman yang ditanami tanaman = 4

3dari halaman rumah

Halaman rumah = 72 96 3

4  m²

Jadi, luas halaman rumah = 96 m² dan luas rumah = 250 – 96 = 154 m².

(27)

83 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

4. Seorang siswa menghabiskan

3

1dari uang sakunya untuk jajan makanan dan minuman.

12

7 dari sisa uangnya ditabung. Untuk membayar ongkos angkuran umum sebesar Rp 4.000,00. Sisa uangnya sekarang adalah Rp 1.000,00. Berapakah uang sakunya?

Solusi:

Untuk jajan makanan dan minuman = 3

1dari uang saku

Sisa ke-1 = 1 – 3 1=

3 2

Ditabung = 12

7 × 3 2=

18 7

Sisa ke-2 = 3 2 –

18 7 =

18

5 dari uang saku = 4.000 + 1.000

Uang saku = 5.000 18.000 5

18 

Jadi, uang sakunya adalah Rp 18.000,00.

5. Tessa membeli tas dan sepatu. Harga tas adalah seperempat dari harga sepatu. Sepertiga dari uang sisanya dibelanjakan sebuah novel. Sisa uang Laras di dompetnya sekarang adalah Rp 40.000,00. Jika uang Laras yang ada di dompet semula adalah Rp 280.000,00. Berapakah harga sepatu dan tas masing-masing?

Solusi:

Sisa ke-2 = 40.000 = 3

1× sisa ke-1 Sisa ke-1 = 3 × 40.000 = 120.000 Harga tas =

3

1× harga sepatu …. (1)

Harga sepatu + harga tas = 280.000 – 120.000 = 160.000 …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

Harga sepatu + 3

1× harga sepatu = 160.000 3

4× Harga sepatu =160.000

Harga sepatu 160.000 120.000 4

3 



Harga tas 120.000 40.000 3

1 



Jadi, harga sepatu adalah Rp 120.000,00 dan harga tas adalah Rp 40.000,00.

6. Tangguh, Tekun, dan Kukuh adalah tiga anak yang bersahabat, mereka akan memulai bermain kelereng. Karena Tekun dan Kukuh tidak mempunyai kelereng, maka Tangguh

(28)

84 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

memberikan

5

1bagiannya kepada Tekun dan 9

2bagianya kepada Kukuh. Sisa kelereng Tangguh sekarang adalah 52 butir. Hitunglah jumlah dan selisih kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh masing-masing.

Solusi:

Sisa kelereng Tangguh = 52





 



   9 2 5

1 1 × Jumlah seluruh kelereng = 52

  

45 10 9

45 Jumlah seluruh kelereng = 52

 45

26 Jumlah seluruh kelereng = 52

Jumlah seluruh kelereng = 52 90 26

45  butir

Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 90

9 2 5

1 



 

  45 90

10 9 

 90 38

45 19 

 butir.

Kita boleh mengerjakannya sebagai berikut.

Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 90 – 52 = 38 butir.

Jumlah kelereng yang diterima Tekun dan Kukuh = 90 5 1 9

2 



 

  = 90

45 9 10 

 2

45 90

1  

 butir.

7. Jumlah uang Gagah dan Gigih adalah Rp 32.000,00. Setelah Gigih memberikan 5

1uangnya kepada Gagah, maka jumlah uang mereka masing-masing menjadi sama besarnya.

Berapakah uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?

Solusi:

Uang Gagah + Uang Gigih = 32.000 …. (1) 5

4 Uang Gigih = Uang Gagah + 5

1Uang Gigih

53 Uang Gigih = Uang Gagah …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

(29)

85 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

5

3Uang Gigih + Uang Gigih = 32.000

5

1 Uang Gigih = 32.000 3

5

8Uang Gigih = 32.000

Uang Gigih = 32.000 20.000 8

5 

Uang Gagah = 5

3Uang Gigih = 20.000 12.000 5

3 

Kita dapat mengerjakannya sebagai berikut.

Uang Gagah = 32.000 – 20.000 = 12.000

Jadi, uang Gagah semula adalah Rp 12.000,00 dan uang Gigih semula adalah Rp 20.000,00.

8. Pada hari Minngu, Afifah dan Annisa pergi berbelanja toko MAKMUR. dengan jumlah uang yang dibawanya sebesar Rp 500.000,00. Setelah selesai berbelanja, uang Afifah masih tersisa

3

1dari uangnya semula, sedangkan sisa uang Annisa adalah Rp 100.000,00. Tentukan uang yang dimiliki mereka masing-masing semula?

Solusi:

Uang Afifah + Uang Annisa = 500.000

Uang Annisa = 500.000 – Uang Afifah …. (1) Uang yang dibelanjakan Afifah = 



 

  3

1 1 × Uang Afifah = 3

2 Uang Afifah Uang yang dibelanjakan Annisa = Uang Annisa – 100.000

Uang yang dibenjakan Afifah = Uang yang dibelanjakan Annisa 3

2 Uang Afifah = Uang Annisa – 100.000 …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

3

2 Uang Afifah = 500.000 – Uang Afifah – 100.000

3

2 Uang Afifah +Uang Afifah = 400.000

3

1 Uang Afifah = 400.000 2

3

5 Uang Afifah = 400.000

(30)

86 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Uang Afifah = 400.000 240.000

5

3 

Uang Annisa = 500.000 – 240.000 = 260.000

Jadi, uang Afifah semula adalah Rp 240.000,00 dan uang Annisa semula adalah Rp 260.000,00.

5) Sifat-sifat Perkalian Pecahan

Dalam perkalian pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat komutatif:

b a d c d c b

a  

2. Sifat asosiatif: 

 



 









 

 

f e d c b a f e d c b a

3. a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:

f e b a d c b a f e d c b

a    

 



 



b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan:

f e b a d c b a f e d c b

a    

 



 



Contoh:

4 21 5 3 5 3 4

21   ? Berilah komentarmu!

b. Periksalah apakah 



 

 









 

 

4 13 8 7 6 5 4 13 8 7 6

c. Periksalah apakah

3 62 7 3 5 2 7 3 3 62 5 2 7

3    



 

 

 ? Berilah komentarmu!

d. Periksalah apakah

12 5 9 12 8 3 9 12 12

5 8 3 9

12    



 

 

 ? Berilah komentarmu!

Solusi:

a.

20 1 7 20 27 5 3 4 9 5 3 4

21     dan

20 1 7 20 27 4 9 5 3 4 21 5

3    

Jelaslah bahwa

4 21 5 3 5 3 4

21   .

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat komutatif.

b.

192 153 192 245 4 7 48 35 4 13 8 7 6

5     



 

  dan

192 153 192 245 32 49 6 5 4 7 8 7 6 5 4 13 8 7 6

5    



 

 







 

 



(31)

87 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Jelaslah bahwa 



 

 









 

 

4 13 8 7 6 5 4 13 8 7 6

5 .

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sufat asosiatif.

c.

35 3 1 105 3 3 105 318 15 106 7 3 15

100 6 7 3 3 20 5 2 7 3 3 62 5 2 7

3        



 

 







 

 



35 3 1 35 106 35

100 6 7 20 35

6 3 20 7 3 35

6 3 62 7 3 5 2 7

3           

Jelaslah bahwa

3 62 7 3 5 2 7 3 3 62 5 2 7

3    



 

 

 .

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

d.

216 11 24

1 9 11 24

10 9 9 11 12

5 8 3 9

12 



 



 





 



 





 

 



216 11 216

110 99 108

55 24 11 12

5 9 11 8 3 9 11 12

5 9 12 8 3 9

12           

Jelaslah bahwa

12 5 9 12 8 3 9 12 12

5 8 3 9

12    



 

 

 .

Jadi, dalam perkalian pecahan berlaku sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

6. Operasi Pembagian pada Pecahan

1) Pembagian yang Hanya Melibatkan Pecahan Murni Pada perkalian bilangan bulat dengan pecahan

b a ab1 

, maka

a b b b a

a 1

:    .

Untuk setiap pecahan b adan

d

c , dengan b0, c0 dan d0 berlaku

c b

d a c d b a d c b a



 



 : Contoh:

Hitunglah a.

9 :5 7

6 b.

8 :7 3 2 Solusi:

a.

35 119 35 54 5 9 7 6 9 :5 7

6     b.

21 16 7 8 3 2 8 :7 3

2   

2) Pembagian Pecahan yang Melibatkan Pecahan Campuran

Jika dalam pembagian pecahan terdapat pecahan campuran, maka pecahan campuran itu dinyatakan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa.

) : (

: b p d c

d a c

d p

d b

a d

c d p b a d pc b a





 



 

 

 

(32)

88 |Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

Contoh:

Hitunglah a.

5 41 9:

2 b.

5 :4 7 22 Solusi:

a.

189 10 21

5 9 2 5 :21 9 2 5 41 9:

2     b.

7 26 7 20 4 5 7 16 5 :4 7 16 5 :4 7

22     

3) Pembagian Pecahan dan Bilangan Bulat

1. b c

a c b c a b a

 



 1

:

2. a

b c a c b b

c:a   

3. c d

b c a d c

b c d a c ab





 

 

  1

:

4. a c b

c d b c a d c c

b c d a c ab

d  

 



 

 

 :  :

Contoh:

1. Hitunglah a. :3

12

7 b.

8 :3

5 c. :6 9

85 d.

3 21 : 14 Solusi:

a. 36

7 3 1 12 3 7 12:

7    c.

54 123 54 77 6 1 9 6 77 9 : 6 77 9:

85     

b.

3 131 3 40 3 5 8 8 :3

5     d. 6

7 14 3 3 :7 3 14 21 :

14    

2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5

52 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3 orang anaknya dengan luas yang sama. Carilah luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing.

Solusi:

Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing =

5 14 5 9 3 1 5 3 27 5:

52     hektar.

f. Operasi Hitung pada Desimal

 Pecahan yang penyebutnya pangkat dari 10 dinamakan pecahan desimal.

Contoh:

10 1 ,

10 9 ,

100 23 ,

1000

89 , dan sebagainya.