2
Ukuran Deskriptif Data
2.1. Pendahuluan
2.1.1. Deskripsi Singkat
Seringkali, data yang kita kumpulkan memiliki ukuran yang sangat besar. Agar data tersebut dapat memberikan informasi yang berguna, maka data tersebut harus disajikan dengan cara-cara tertentu yang lebih ringkas. Pada bab terdahulu, telah kita pelajari bagaimana menyajikan data tersebut dalam bentuk tabel dan grafik. Cara lain yang dapat dilakukan adalah dengan dengan menghitung satu atau lebih nilai yang merupakan ringkasan dari data yang ada.
Pada Bab 2 ini akan beberapa ukuran yang dapat digunakan sebagai ringkasan data. Ukuran-ukuran tersebut terdiri dari ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, ukuran posisi dan ukuran bentuk data.
2.1.2. Manfaat dan Relevansi
Pada bab ini akan dipelajari cara dalam menyajikan data yaitu dengan menghitung ukuran deskriptif dari data. Ukuran-ukuran tersebut terdiri dari ukuran pemusatan, penyebaran, posisi dan ukuran bentuk. Pengukuran deskriptif data ini sangat bermanfaat, karena banyak analisis statistika, baik dalam statistika deskriptif maupun statistika inferensia yang didasarkan pada ukuran deskriptif dari data.
Untuk masing-masing ukuran itu, banyak cara yang dapat dilakukan. Cara mana yang akan digunakan sangat tergantung dari jenis data yang akan ditentukan ukuran deskriptifnya. Untuk itu, pengetahuan mengenai jenis-jenis data sangat diperlukan.
2.1.3 Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan dapat : 1. menghitung berbagai ukuran pemusatan data
2. menghitung berbagai ukuran keragaman data 3. menghitung berbagai ukuran posisi
4. menggunakan berbagai ukuran statistik yang sesuai dengan jenis data
2.2. Uraian Materi
Seperti telah disebutkan sebelumnya, salah satu cara untuk mendapatkan informasi dari data adalah dengan mereduksi himpunan data menjadi satu atau lebih nilai.
Nilai-nilai yang merupakan reduksi dari data tersebut dinamakan ukuran deskriptif dari data. Secara khusus, bila datanya merupakan data sampel, maka ukuran tersebut dinamakan statistik deskriptif dari data.
Ada beberapa ukuran deskriptif yang dapat kita tentukan dari suatu data. Ukuran mana yang akan dihitung sangat tergantung dari informasi apa yang diinginkan dari data tersebut. Ukuran-ukuran tersebut adalah :
1. Ukuran pemusatan. Ukuran ini akan menjawab pertanyaan ”Dimana pusat data”
atau ”Nilai apa yang paling sering muncul”
2. Ukuran penyebaran data yang merupakan ukuran seberapa menyebar data yang dimiliki
3. Ukuran posisi yang akan mengukur posisi suatu nilai relatif terhadap data lainnya.
4. Ukuran bentuk yang akan menggambarkan bentuk sebaran data.
2.2. 1. Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan ini seringkali juga disebut sebagai ukuran lokasi pusat.
Ukuran pemusatan adalah sebarang data yang menunjukkan pusat dari suatu data.
Terdapat beberapa ukuran pemusatan data. Beberapa diantaranya yang sering digunakan
adalah : nilai tengah (mean), median, modus, tengah wilayah, rata-rata harmonik dan rata-rata geometrik. Ukuran pemusatan apa yang akan digunakan sangatlah tergantung dari jenis data yang akan dihitung pusat datanya.
2.2.1.1. Nilai tengah (Mean)
Nilaitengah seringkali juga dinamakan rata-rata aritmetik atau rata-rata hitung.
Bila kita memiliki data yang diperoleh dari suatu populasi terhingga berukuran N, x1, x2, ..., xN, maka nilai tengah (nilaitengah) dari populasi tersebut adalah :
N x
N
i
i 1
Namun bila data yang kita miliki tersebut berasal dari sampel berukuran n, maka nilai tengah dari sampel tersebut dapat ditentukan dengan rumus :
n x x
n
i
i 1
Contoh 2.1. Misalkan diketahui IPK lulusan Matematika yang diwisuda pada bulan April 2011 adalah :
3.03 3.08 3.06 2.90 3.27 2.77 3.14 3.11 3.12 2.96 3.28 2.90 3.08 3.07 3.06 2.61 3.01 2.91 2.91 3.39 3.266 3.02 2.62
Hitunglah nilai tengah (mean) dari data tersebut.
Dari data tersebut, dapat diketahui rata-rata IPK lulusan matematika pada periode wisuda tersebut adalah :
024609 .
23 3 566 . 69 23
62 . 2 ...
06 . 3 08 . 3 03 .
1 3
N x
N
i i
Sekarang coba perhatikan.
n n
n
i i
nx nx
nx n
x x
x n
x
x 1
1 ...
... 1
1 1 2
1
1
Berarti dalam perhitungan nilai tengah ini, setiap pengamatan diberi bobot yang sama, yaitu sebesar 1/n.
Sekarang coba perhatikan kasus berikut ini. Ingin ditentukan IP dari seorang mahasiswa yang nilai-nilai mata kuliahnya adalah sebagai berikut.
KODE MATA KULIAH SKS NILAI HURUF NILAI ANGKA
HKU141 Agama 2 B- 2.75
PAK111 Kimia Dasar 3 B+ 3.25
PAM102 Bahasa Inggris Matematika
3 A- 3.50
PAM121 Kalkulus I 4 B 3.00
PAM123 Matematika Pendahuluan
4 B- 2.75
PAP111 Fisika Dasar 1 3 B 3.00
IP dari mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut.
04 . 19 3
75 . 57 3
4 4 3 3 2
) 00 . 3 ( 3 ) 75 . 2 ( 4 ) 00 . 3 ( 4 ) 50 . 3 ( 3 ) 25 . 3 ( 3 ) 75 . 2 (
2
IP
Dalam hal ini, pada dasarnya kita juga merata-ratakan nilai angka dari beberapa matakuliah, hanya saja sewaktu merata-ratakan, setiap nilai diberi bobot yang berbeda, sesuai dengan SKS matakuliah tersebut. Rata-rata yang demikian dinamakan rata-rata hitung terboboti.
Secara umum, dapat dikatakan bahwa jika kita memiliki data yang diperoleh dari suatu populasi terhingga berukuran N, x1, x2, ..., xN dimana setiap nilai diberi bobot w1, w2, ..., wN, maka rata-rata terboboti dari populasi tersebut adalah :
N i
i N
i i i W
w w x
1
1
Namun bila data yang kita miliki tersebut berasal dari sampel berukuran n, maka rata-rata terboboti dari sampel tersebut dapat ditentukan dengan rumus :
n i
i n
i i i W
w w x x
1 1
Contoh 2.2. Nilai tugas, kuis, UTS dan UAS yang diperoleh salah seorang mahasiswa pada mata kuliah Statistika Elementer berturut-turut adalah : 85, 70, 65 dan 86. Tentukan nilai rata-rata mahasiswa tersebut jika diketahui dosen menetapkan bobot dari masing- masing komponen nilai tersebut adalah 10, 10, 35 dan 45. Tentukan rata-rata nilai mahasiswa tersebut.
Dalam hal ini, nilai dirata-ratakan dengan bobot yang berbeda, sesuai dengan yang telah ditetapkan dosen. Diperoleh :
95 . 100 76 7695 45
35 10 10
) 86 ( 45 ) 65 ( 35 ) 70 ( 10 ) 85 ( 10
1
1
n
i i n
i i i W
w w x x
Ukuran nilai tengah ini biasanya digunakan sebagai ukuran pemusatan bagi data yang berskala selang ataupun rasio. Ukuran ini tidak digunakan sebagai ukuran pemusatan bagi data nominal ataupun ordinal, sebab seperti yang telah kita pelajari sebelumnya, nilai pada data nominal dan ordinal masih belum memiliki arti, sehingga tidak dapat kita olah dengan menggunakan operasi aritmatika.
2.2.1.2 Median
Median dari suatu data adalah pusat dari data yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar atau sebaliknya. Untuk populasi, nilai median tersebut dilambangkan dengan ~ dan untuk sampel dilambangkan dengan x~ .
Jika terdapat data x1, x2, ..., xN, maka untuk menghitung median, data harus diurutkan terlebih dahulu dari nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar sehingga didapatkan data terurut x[1], x[2], ..., x[N]. Nilai x[i] pada data tersebut adalah data dalam urutan ke i, sehingga x[1] adalah data terkecil dan x[N] adalah data terbesar.
Misalkan dimiliki data terurut x[1], x[2], x[3], x[4], x[5]. Median dari data adalah data yang tepat berada di tengah-tengah data terurut tersebut, sehingga median adalah data dalam urutan ke 3. Berdasarkan banyaknya data N=5, angkat 3 ini dapat kita peroleh
dari (5+1)/2. Misalkan lagi terdapat dua tambahan data sehingga terdapat data terurut x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6], x[7]. Median dari 7 data tersebut adalah data ke 4. Dengan N=7, nilai 4 ini dapat kita peroleh dari (7+1)/2. Dengan demikian, jika banyak data ganjil, maka median dari data dapat dirumuskan sebagai :
2 1
~ x N
untuk data populasi, dan
2 1
~ x n
x
untuk data sampel
Sekarang, misalkan dimiliki data terurut x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]. Karena terdapat dua data yang berada di tengah-tengah data terurut tersebut, yaitu x[3] dan x[4], maka median adalah rata-rata dari dua data tersebut. Dengan N=6, maka nilai 3 dapat diperoleh dari 6/2 dan nilai 4 dapat diperoleh dari 6/2 + 1. Demikian juga bila terdapat data terurut x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6], x[7], x[8]. Median dari data adalah rata-rata dari dua data yang berada di tengah-tengah data terurut, yaitu x[4] dan x[5]. Dengan N = 8, nilai 4 dapat diperoleh dari 8/2 dan nilai 5 diperoleh dari 8/2 + 1. Dengan demikian, jika banyak data genap, maka median dari data dapat dirumuskan sebagai :
2
~ 2 2 1
N
N x
x
untuk data populasi, dan
2
~ 2 2 1
n
n x
x x
untuk data sampel
Contoh 2.3. Berikut adalah data sample usia(dalam tahun) dari 10 orang kepala rumah tangga di Kecamatan Lubuk Kilangan Kota Padang.
34 27 45 25 55 43 36 37 29 67
Untuk mendapatkan nilai median, maka data tersebut harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya. Data yang telah diurutkan adalah :
25 27 29 34 36 37 43 45 55 67
Dengan banyak data genap (n = 10), maka median dari data adalah :
5 . 2 36
37 36 2
2
~ 2 1 5 6
10 2
10
x x x
x x
Median dapat digunakan sebagai ukuran pemusatan data yang minimal berskala ordinal. Median tidak dapat digunakan untuk data yang berskala nominal (kenapa?).
2.2.1.3 Modus
Modus dari suatu data adalah nilai yang paling sering muncul. Sebagai contoh, misalkan dimiliki data tingkat pendidikan orangtua mahasiswa : SD, SD, SMP, PT, SMA, SMA, PT, SMA, SMP, SMA, SMA, PT, SMA, PT, SD. Karena SMA muncul paling sering dalam data ini, maka modus dari data ini adalah SMA.
Kadang-kadang, dalam suatu data, terdapat dua nilai yang frekuensi munculnya paling tinggi. Data yang demikian dikatakan memiliki dua modus (bimodus). Suatu data tidak selamanya memiliki modus. Bila nilai dalam data tersebut muncul dalam frekuensi yang sama, maka data tersebut dikatakan tidak memiliki modus.
Modus dapat digunakan untuk semua jenis data. Namun, modus paling sering digunakan sebagai ukuran pemusatan bagi data nominal dan ordinal. Bahkan, untuk data nominal, modus adalah satu-satunya ukuran pemusatan yang dapat digunakan.
Contoh 2.4. Berikut adalah data fiktif frekuensi seminar mahasiswa yang diadakan oleh Jurusan Matematika dalam tahun 2001 – 2010. Tentukan nilai modusnya.
22 20 23 21 22 24 22 26 24 20
Modus dari data tersebut adalah 22, karena nilai 22 muncul dalam frekuensi paling tinggi yaitu 3 kali. Nila terdapat diketahui bahwa pada tahun 2008, Jurusan Matematikan mengadakan 24 kali seminar mahasiswa, maka nilai 22 dan 24 muncul dalam frekuensi yang sama, sehingga data tersebut memiliki dua buah modus yaitu 22 dan 24.
2.2.1.4 Midrange (Tengah Wilayah)
Tengah wilayah ini biasanya digunakan sebagai ukuran kasar pemusatan data.
Bila terdapat data, maka tengah wilayah dari suatu data adalah rata-rata dari data paling kecil dan paling besar atau dapat dirumuskan sebagai berikut :
2
] [ ] 1
[ xn
Mr x
dengan x[1] adalah data terkecil dan x[n] adalah data terbesar.
Contoh 2.5. Tentukan tengah wilayah dari data pada contoh 2.4.
Dari data tersebut diketahui bahwa data terkecil adalah x[1] = 20 dan nilai terbesar adalah x[10] = 26. Dengan demikian, tengah wilayah dari data tersebut adalah :
2 23 26 20 2
] 10 [ ] 1
[
x x Mr
Pemilihan ukuran pemusatan yang akan digunakan sangat tergantung pada beberapa hal, seperti skala pengukuran data, ada atau tidaknya pencilan dan lain-lain.
Jika kita bandingkan empat ukuran pemusatan yang telah kita bahas ini, maka akan dapat disimpulkan bahwa :
1. Keempat ukuran tersebut mudah dalam perhitungan dan sangat sederhana dalam interpretasinya.
2. Perhitungan keempat ukuran tersebut melibatkan keseluruhan data
3. Nilai tengah dan tengah wilayah sangat dipengaruhi oleh adanya pencilan, sedangkan median tidak.
4. Nilai tengah relatif lebih stabil daripada median. Maksudnya, jika diambil beberapa contoh berukuran n, kemudian dihitung nilai tengah dan median, maka keragaman dari nilai tengah lebih kecil jika dibandingkan keragaman dari median.
Oleh karena kelebihan ini, maka nilai tengah merupakan suatu pengukuran yang paling banyak digunakan, baik dalam pendeskripsian data, pendugaan parameter dan pengujian hipotesis.
Dari kelebihan-kelebihan di atas, dapat dikatakan bahwa nilai tengah adalah ukuran pemusatan yang baik, kecuali untuk kondisi dimana terdapat nilai pencilan ataupun bila datanya merupakan data nominal ataupun ordinal.
2.2.1.5 Rata-rata Harmonik
Misalkan tiga orang anak masing-masing diberi uang sebesar Rp. 10.000,-, Ketiga anak tersebut kemudian disuruh membeli pena merek A sebanyak-banyaknya dengan harga total yang sama dengan sejumlah uang yang diberikan di tempat yang berbeda.
Anak pertama dapat membeli pena tersebut seharga Rp. 2.500,-/buah. Anak kedua dapat membeli pena tersebut dengan harga Rp. 2.000,-/buah dan anak ketiga membeli pena tersebut dengan harga Rp. 5.000,-/buah. Ingin diketahui berapa harga rata-rata pena yang dibeli ketiga anak tersebut.
Seringkali, masalah di atas diselesaikan dengan cara mencari rata-rata hitung dari harga. Bila digunakan rata-rata hitung, akan diperoleh :
67 . 3 3166
5000 2000
2500
x
Tapi, coba perhatikan. Dengan uang sejumlah Rp. 10.000,-, anak pertama dapat membeli 4 buah pena, anak kedua dapat membeli 5 buah pena dan anak ketiga dapat membeli 2 buah pena. Berarti dengan uang sebanyak Rp. 30.000,-, ketiga anak tersebut dapat membeli 11 buah pena, sehingga seharusnya harga rata-rata pena tersebut adalah :
27 . 11 2727
30000
x
Jadi jika digunakan nilai rata-rata hitung sebagai ukuran pemusatan, akan didapatkan kesimpulan yang salah.
Suatu ukuran yang tepat digunakan pada kondisi ini adalah rata-rata harmonik. Bila dimiliki data berukuran n, x1, x2, ..., xn, maka rata-rata harmonik dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut.
n
i xi
H n
1
1
Sebagaimana yang diilustrasikan sebelumnya, maka harga rarat-rata pena adalah :
27 . 11 2727
) 10000 ( 3 10000
2 5 4
3 5000
1 2000
1 2500
1
3 1
1
n
i xi
H n
Hasil yang diperoleh sama dengan perhitungan sebelumnya.
Yang menjadi pertanyaan kemudian adalah pada data yang bagaimana rata-rata harmonik ini tepat kita gunakan sebagai ukuran pemusatan data. Rata-rata harmonik adalah ukuran pemusatan yang tepat digunakan bila data yang dimiliki merupakan rasio dari dua buah peubah dengan unit pembilang yang tetap. Sebagai contoh, pada ilustrasi tadi, harga pena sesungguhnya merupakan rasio dari harga per satu buah pena (satuan Rp,-/ buah). Bila unit penyebut dari rasio pada data tersebut tetap, unit pembilangnya yang bervariasi, maka rata-rata hitung merupakan ukuran yang lebih tepat digunakan.
Jadi rata-rata hitung tepat digunakan bila jumlah pena yang dibeli oleh ketiga anak tersebut (penyebut) sama namun jumlah uang yang dikeluarkan (pembilang) berbeda.
Sebaliknya, bila unit pembilangnya yang sama dan unit penyebutnya yang bervariasi maka rata-rata harmonislah yang lebih tepat. Seperti pada ilustrasi di atas, jumlah uangnya yang dibelanjakan (pembilang) adalah sama untuk membeli pena (penyebut) dalam jumlah yang berbeda-beda. Oleh karena itu, pada ilustrasi tersebut, akan lebih tepat jika digunakan rata-rata harmonik.
Contoh 2.6. Jarak antara Jakarta – Bandung – Cirebon kurang lebih 300 kilometer.
Sebuah perusahaan bus yang memiliki trayek Jakarta – Bandung – Cirebon mendirikan pos pemberhentian setiap 100 km dan pada tiap 100 km tersebut supir taksi harus diganti untuk meneruskan perjalanan 100 km selanjutnya. Pada suatu perjalanan, supir pertama telah menyelesaikan jarak 100 km pertama dengan kecepatan 80 km / jam. Supir kedua meyelesaikan 100 km kedua dengan kecepatan 40 km / jam dan supir ketiga menyelesaikan 100 km terakhir dengan kecepatan 30 km / jam. Berapa kecepatan rata- rata bus tersebut. (Dajan, 1987)
Dari satuannya (km/jam), kita dapat mengetahui bahwa kecepatan adalah rasio antara jarak dengan waktu. Pada contoh ini jarak ditempuh bus untuk setiap supir adalah sama
yaitu 100 km. Oleh karena itu, untuk mendapatkan rata-rata kecepatan, maka rata-rata harmonik sangat tepat digunakan.
km/jam 35294
. 17 42
) 240 ( 3 240
8 6 3
3 30
1 40
1 80
1 3 1
1
n
i xi
H n
2.2.1.6 Rata-rata Geometrik (Rata-rata Ukur)
Bila dimiliki data n buah data, x1, x2, ..., xn, maka rata-rata geometrik dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut :
n
nn n
i
i x x x
x
G 1 2 1/
/ 1
1
...
Rata-rata geometrik ini biasanya digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of change) atau merata-ratakan data berupa rasio yang suku-suku berurutannya kira- kira tetap. Data yang sering dirata-ratakan dengan menggunakan rata-rata geometrik ini adalah laju perubahan, rasio indeks-indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk periode waktu yang berurutan.
Dalam prakteknya, rata-rata geometrik dapat dicari dengan terlebih melogaritmakan kedua ruas persamaan di atas. Diperoleh :
n
i n
i i n n
i i
n xi n x
x G
1 1
/ 1
1
1 log 1log log log
n nin xii
n xi anti
G 1
1 log
1
10 1 log
log
Contoh 2.7. Selama periode empat tahun berturut-turut, seorang karyawan telah menerima kenaikan gaji pertahun sebesar 7.2%, 8.6%, 6.9%, 9.8%. Tentukan rata-rata geometrik dari kenaikan gaji karyawan tersebut.
Karena data tersebut mengukur tingkat perubahan (dalam hal ini adalah gaji) maka, rata- rata geometrik merupakan pengukuran yang cocok digunakan untuk menghitung rata-rata kenaikan gaji karyawan tersebut. Didapat :
Bila digunakan perhitungan langsung, diperoleh :
044083 .
8 ) 03 . 4187 (
) 8 . 9 )(
9 . 6 )(
6 . 8 )(
2 . 7 (
...
4 / 1
4 / 1
/ 1 2 1 / 1
1
n n n n
i
i x x x
x G
Bila digunakan logaritma, akan diperoleh :
905477 .
0 ) 621906 .
3 4( 1
991226 .
0 838849 .
0 934498 .
0 857332 .
4 0 1
8 . 9 log 9 . 6 log 6 . 8 log 2 . 7 4 log 1
4 log log 1
4
1
i
xi G
044083 .
8 10
10 1 log
log
905477 . 0
1 log
1
1
n nin xii
n xi anti G
2.2.2 Ukuran Penyebaran
Ukuran pusat data sudah tentu berguna. Namun, satu ukuran pemusatan saja masih belum cukup dapat menggambarkan data kita. Menggunakan hanya informasi dari ukuran pemusatan saja, seringkali membuat kita mengabaikan fakta-fakta penting dari suatu data.
Sebagai contoh, misalkan dimiliki data sampel tingkat pendapatan penduduk (dalam ribu rupiah) di suatu daerah tertentu.
5000 6000 5500 5000 5000 4500
Bila ukuran pusat data dinyatakan dalam rata-rata hitung, maka akan didapatkan rata-rata tingkat pendapatan pada sampel tersebut adalah :
6 5000 30000 6
4500 5000
5000 5500
5000
5000
x
Untuk data ini, nilai rata-rata sebesar Rp. 5.000.000,- cukup mewakili data sampel, sehingga bila nilai ini kita gunakan mewakili data yang ada, kesimpulan yang kita ambil tidak salah. Namun bila diperoleh data sampel sebagai berikut :
5000 16000 5500 4000 5000 500
Untuk data ini akan didapatkan rata-rata tingkat pendapatan : 6 5000 30000 6
500 4000 3000
4500 14000
4000
x
Untuk data ini, nilai rata-rata tingkat pendapatan sebesar Rp. 5.000.000,-. jelas tidak representatif untuk penduduk yang tingkat pendapatannya hanya Rp. 500.000,- ataupun penduduk dengan tingkat pendapatan Rp.14.000.000,-. Bila rata-rata ini kemudian kita gunakan mewakili data yang ada, maka kesimpulan yang kita ambil bisa jadi menyesatkan.
Oleh karena itu selain ukuran pemusatan, untuk suatu data sangat penting bagi kita untuk mengetahui seberapa jauh data menyebar di sekitar lokasi pusatnya. Bila data memiliki seragam (nilainya sama), maka ukuran pemusatan sangat baik dalam mempresentasikan data; kasus ini tentu saja sangat jarang terjadi. Semakin menyebar data tersebut dari lokasi pusatnya, maka ukuran pemusatan akan menjadi semakin tidak representatif dalam menggambarkan data.
Contoh lain, misalkan A dan B adalah dua merek air mineral yang diproduksi dua perusahaan yang berbeda. Dari masing-masing merek, diambil sampel 5 kemasan air mineral bervolume 1 liter. Bila diukur, tentu saja volume air mineral yang terdapat dalam kemasan tersebut tidak persis sama dengan 1 liter, namun bervariasi di sekitar nilai 1 liter tersebut. Misalkan setelah diukur, diperoleh hasil sebagai berikut.
Merek A 0.97 1.00 0.94 1.03 1.06 Merek B 1.06 1.01 0.88 0.91 1.14
Bila dicari rata-rata hitung dari sampel volume air mineral diperoleh bahwa rata-rata air mineral A adalah :
00 . 00 1 . 5 06 . 1 03 . 1 94 . 0 00 . 1 97 . 0
5
1
i
i A
x x
dan rata-rata sampel air mineral B adalah :
00 . 5 1
00 . 5 5
14 . 1 91 . 0 88 . 0 01 . 1 06 . 1 5
5
1
i
i B
x x
Jadi rata-rata volume air mineral A dan B sama-sama 1 liter. Meskipun demikian, jelas terlihat bahwa volume air mineral A lebih seragam jika dibandingkan volume air mineral B. Bila kita harus memilih yang lebih baik di antara kedua merek tersebut, maka kita akan memilih air mineral A, karena volumenya lebih konsisten sehingga lebih dapat kita percaya bahwa volume air mineral yang terdapat dalam kemasannya tidak akan jauh berbeda dari yang dinyatakan pada label kemasannya.
Dari ilustrasi di atas, jelaslah bahwa selain ukuran pemusatan, kita perlu juga menentukan suatu ukuran lain yang mengukur seberapa jauh penyebaran data atau ukuran keragaman data. Ukuran tersebut dinamakan ukuran penyebaran. Pengetahuan megenai penyebaran data dapat digunakan untuk mengontrol keragaman data untuk masa yang akan datang. Di industri-industi, biasanya keragaman dari produk yang dihasilkan adalah sesuatu hal yang selalu harus dikontrol, agar tidak besar nilainya. Pabrik Coca Cola, misalnya, akan selalu menjaga agar volume minuman kaleng yang diproduksinya seseragam mungkin. Dengan suatu prosedur yang dinamakan Quality Control (Pengendalian mutu), perusahaan akan dapat mengetahui bahwa pada suatu saat tertentu proses produksinya sedang tidak terkontrol yang ditandai dengan banyaknya variasi dalam produk yang dihasilkannya. Bila terjadi demikian, perusahaan dapat dengan segera berusahan menemukan penyebabnya dan memperbaiki proses produksinya sehingga kembali ke keadaan terkontrol.
Terdapat beberapa ukuran penyebaran data. Beberapa di antaranya yang akan dipelajari adalah : range/wilayah/jangkauan, simpangan tengah (mean absolute deviation), ragam (varians), simpangan baku (deviasi standar), jangkauan inter-kuartil dan koefisien keragaman. Karena perhitungan jangkauan inter-kuartil memerlukan perhitungan lain yang baru akan dipelajari pada sub-bab 2.2.3, maka materi jangkauan inter-kuartil ini akan dibahas pada bab 2.2.3.
2.2.2.1 Range/Wilayah/Jangkauan/Jarak Wilayah data dihitung dengan rumus :
Wilayah = Xmax - Xmin
Bila dimiliki dua gugus data, maka gugus data dengan range yang lebih tinggi dikatakan lebih beragam.
Contoh 2.8.: Tentukan wilayah dari contoh air mineral A dan B, dan tentukan sampel mana yang lebih beragam berdasarkan nilai wilayah ini.
Air mineral A
Wilayah = Xmax - Xmin = 1.06 – 0.94 = 0.12 Air mineral B
Wilayah = Xmax - Xmin = 1.14 – 0.88 = 0.26
Berdasarkan wilayah data, dapat dikatakan bahwa air mineral B lebih beragam jika dibandingkan air mineral A.
Ukuran wilayah ini adalah ukuran yang paling sederhana untuk mengukur penyebaran data. Pada beberapa keadaan, ukuran ini sangatlah bermanfaat. Pada pengendalian mutu statistika, ukuran inilah yang paling sering digunakan untuk mengukur keragaman produk. Namun demikian, ukuran ini bukanlah ukuran yang baik terutama jika contoh berukuran besar, karena nilai wilayah ini hanya tergantung pada nilai-nilai ekstrim saja (nilai tertinggi dan terendah) tanpa memperhitungkan pola penyebaran data secara keseluruhan. Tanpa mengikutsertakan seluruh data, pengukuran tersebut akan memberikan kesimpulan yang salah. Sebagai contoh, misalkan dimiliki dua data :
A : 3 4 5 6 8 9 10 12 15
B : 3 8 8 8 8 8 8 8 15
Kedua data tersebut memiliki sama-sama memiliki wilayah 12. Berdasarkan nilai wilayah, maka kita akan menyimpulkan bahwa kedua data tersebut memiliki keragaman yang sama. Padahal jika kita perhatikan keseluruhan data, maka akan terlihat bahwa data A lebih beragam jika dibandingkan dengan data B
2.2.2.2 Simpangan Tengah (Mean Absolute Deviation)
Untuk mengatasi kelemahan dari jangkauan ini, kita perlu mendefinisikan suatu ukuran penyebaran lain yang dapat mengukur seberapa besar penyebaran data di sekitar nilai tengahnya. Salah satu cara yang dapat digunakan adalah dengan menghitung jarak masing-masing data dengan nilai tengahnya, sehingga akan didapatkan (x1 x), (x2 x) , …, (xn x), kemudian merata-ratakannya. Namun, ternyata cara ini tidak dapat digunakan karena akan selalu menghasilkan nilai 0, apapun datanya. Salah satu alternatif yang dapat dilakukukan adalah dengan menghitung rata-rata dari simpangan mutlak data, yaitu jarak mutlak setiap data dengan nilai tengahnya. Ukuran ini dinamakan simpangan tengah (mean absolute deviation), yang didefinisikan sebagai :
n
i
i x
n x MAD
1
1
Sebagai catatan, nilai simpangan tengah ini sangat dipengaruhi oleh nilai pencilan. Bila dimiliki dua gugus data, maka data dengan simpangan tengah yang lebih besar dikatakan lebih beragam.
Contoh 2.9 : Misalkan terdapat data
2 2 4 5 12
Tentukan nilai MAD dari data tersebut.
Rata-rata dari data tersebut adalah :
5 5
12 5 4 2 2 5
5
1
i
xi
x
Dengan demikian,
(14) 2.95 7 1 0 1 3 5 3 1
5 12 5 5 5 4 5 2 5 5 2 1 5
1 5
1
i
i x
x MAD
2.2.2.3 Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Deviasi Standar)
Pada prakteknya, simpangan tengah ini jarang digunakan, karena sulit dimanipulasi secara matematis. Alternatif lain adalah dengan menggunakan kuadrat dari simpangan data terhadap nilai tengah. Ukuran yang didasarkan pada simpangan kuadrat ini adalah simpangan baku dan ragam.
Bila data yang dimiliki adalah data populasi berukuran N, x1, x2, …., xN, maka ragam populasi adalah :
N x
N
i
i
1
2 2
σ dibaca sigma
dan bila data merupakan data contoh berukuran n, maka ragam contoh adalah :
1
1
2 2
n x x s
n
i i
Dalam prakteknya, perhitungan ragam dilakukan dengan memanipulasi rumus di atas sehingga diperoleh :
3) hitung (rumus 1
2) hitung (rumus
)
1 (
1) hitung (rumus
1
1
1
2 2 1
2
1 2 1
2
1 2 1
2 2
n x n x
n n
x x
n
n
n x x
n x x s
n
i i n
i
n
i i i
n
i
n
i i i
n
i i
Untuk penghitungan ragam populasi, dilakukan manipulasi yang sesuai.
Akar pangkat dua yang positif dari nilai ragam dinamakan simpangan baku.
Penghitungan simpangan baku ini dilakukan agar diperoleh suatu ukuran dengan satuan yang sama dengan satuan asal peubahnya.
Gugus data yang lebih beragam memiliki nilai ragam dan simpangan baku yang lebih besar.
Contoh 2.10. : Berikut adalah data sampel banyaknya seminar yang diadakan di Jurusan Matematika dalam 5 tahun.
2 2 4 5 12
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data sampel tersebut.
Karena data yang dimiliki adalah data sampel, maka ragam dari data dapat dihitung dengan rumus :
1
1
2 2
n x x s
n
i i
Dari contoh 2.2.2.2 diketahui rata-rata sampel adalah 5.
Dengan demikian, maka ragam adalah :
4 17 68 4
49 0 1 9 9
1 5
) 5 12 ( ) 5 5 ( ) 5 4 ( ) 5 2 ( ) 5 2 ( 1
2 2
2 2
2 1
2 2
n x x s
n
i i
dan simpangan baku adalah : 123 . 4
2 17
s s
Bila digunakan rumus hitung 1, maka ragam diperoleh dengan cara :
4 17 125 193
1 5
5 / ) 12 5 4 2 2 ( ) 12 5 4 2 2 (
1
2 2
2 2 2 2 1
2
1 2 2
n
n x x
s
n
i
n
i i i
Penentuan ragam dengan menggunakan rumus hitung yang lain dapat dicobakan sendiri.
2.2.2.4 Koefisien Keragaman
Penggunaan koefisien keragaman sebagai ukuran keragaman dilakukan terutama jika kita ingin membandingkan keragaman dua buah peubah. Jika dua buah peubah yang memiliki satuan yang sama dan nilai tengah yang sama atau hampir sama, maka perbandingan keragamannya dapat dilakukan melalui perbandingan kedua ragamnya.
Namun jika kedua peubah tersebut memiliki satuan yang berbeda atau memiliki nilai tengah yang sangat berbeda, ragam bukanlah merupakan ukuran keragaman yang tepat digunakan.
Sebagai contoh, misalkan dimiliki dua data, data pertama adalah panjang lidi dan data kedua adalah tinggi pohon. Data panjang lidi (dalam cm) adalah :
2 2 4 5 12
sedangkan data tinggi pohon (dalam cm) adalah : 202 202 204 205 212
Untuk panjang lidi diketahui bahwa rata-ratanya adalah 5 cm dengan ragam 17. Untuk tinggi pohon diketahui bahwa rata-ratanya adalah 205 dan ragam 17. Jadi kedua data ini memiliki ragam yang sama namun dengan rata-rata yang berlainan. Dengan nilai ragam yang sama, apakah berarti bahwa kedua data tersebut memiliki keragaman yang sama?
Untuk pohon yang tinggi rata-ratanya adalah 205, perbedaan 2-10 cm mungkin dapat diabaikan sehingga dapat dikatakan bahwa tinggi pohon tidaklah terlalu beragam.
Namun tidak dengan panjang lidi yang memiliki nilai rata-rata 5. Perbedaan 2-10 cm tentulah tidak dapat diabaikan begitu saja, sehingga dapat dikatakan bahwa panjang lidi lebih beragam daripada tinggi pohon.
Jadi bila terdapat dua data yang memiliki nilai tengah yang jauh berbeda (demikian juga bila kedua data memiliki satuan yang berbeda), maka ragam bukanlah merupakan ukuran penyebaran yang baik. Pada kondisi seperti ini, ukuran penyebaran yang paling tepat digunakan adalah koefisien keragaman.
Untuk populasi, koefisien keragaman dari suatu peubah didefinisikan sebagai :
%
100
KK
dan untuk contoh, koefisien keragaman didefinisikan sebagai
100%
x
KK s
Contoh 2.11. Tentukan koefisien keragaman dari panjang lidi dan tinggi pohon pada ilustrasi sebelumnya. Tentukan data mana yang memiliki keragaman yang lebih besar.
Untuk panjang lidi, diperoleh nilai koefisien keragaman :
% 46 . 82
% 5 100
123 .
% 4
100
x
x KK s
dan untuk tinggi pohon didapatkan nilai koefisien keragaman :
% 01 . 2
% 205 100
123 .
% 4
100
x
x KK s
Dari kedua nilai ini dapat disimpulkan bahwa panjang lidi lebih beragam jika dibandingkan dengan tinggi pohon, karena memiliki nilai koefisien keragaman yang lebih besar.
2.2.3 Ukuran Posisi
Misalkan seorang karyawan sebuah perusahaan merasa bahwa gaji yang diterimanya sangat rendah jika dibandingkan dengan karyawan lain yang memiliki kemampuan dan pengalaman kerja yang sama dengannya. Salah satu cara yang dapat dilakukannya untuk memperlihatkan kenyataan itu adalah dengan mendapatkan data gaji keseluruhan karyawan dengan kemampuan dan pengalaman kerja yang sama dengannya, dan kemudian memperlihatkan bahwa gajinya memang berada pada posisi yang rendah.
Apa yang dilakukan karyawan tersebut sesungguhnya adalah menentukan posisi gajinya relatif terhadap data gaji yang lain.
Ukuran yang dapat digunakan berkaitan dengan posisi suatu data relatif terhadap data lain dinamakan ukuran posisi. Terdapat beberapa ukuran posisi, yaitu kuartil, desil,persentil dan skor Z.
2.2.3.1. Kuartil
Kuartil adalah suatu nilai pada kelompok data yang sudah terurut yang membagi kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama banyak. Dikenal adanya kuartil-1
(K1), kuartil-2 (K2) dan kuartil-3(K3). K1 adalah suatu nilai pada kelompok data yang terurut, dimana 25% bagian data bernilai kurang dari nilai K1; K2 adalah suatu nilai pada kelompok data terurut, dimana 50% bagian data bernilai kurang dari K2 dan K3 adalah suatu nilai pada kelompok data yang terurut, dimana 75% bagian data bernilai kurang dari K3.
Terdapat beberapa metode penentuan nilai kuartil. Salah satunya adalah seperti yang diterangkan berikut ini.
Langkah pertama untuk menentukan nilai-nilai kuartil adalah mengurutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesa. Kemudian tentukan posisi dari Ki tersebut, yakni (i/4)n.
Jika (i/4)n merupakan bilangan bulat, maka nilai Ki adalah rata-rata dari data pada posisi tersebut dengan data berikutnya. Namun jika (i/4)n bukan merupakan bilangan bulat, bulatkan nilai (i/4)n tersebut ke atas. Nilai Ki adalah nilai pada posisi (i/4)n yang sudah dibulatkan tersebut.
Jika kuartil-1 dan kuartil-3 dari suatu data diketahui, dapat dihitung ukuran penyebaran lain yang dinamakan jangkauan interkuartil (JIK). JIK dapat dihitung dari :
1
3 K
K JIK
Contoh 4.12. Tentukan nilai kuartil-1, kuartil-2, kuartil-3 dan jangkauan interkuartil dari data berikut.
3, 2, 5, 4, 7, 2, 6, 3, 9, 1, 2, 4, 2, 8
Bila diurutkan, akan didapatkan data terurut sebagai berikut.
1 2 2 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 9
Kuartil 1 :
Posisi 14 3.5 4
1
3.5 bukan bilangan bulat, sehingga harus dibulatkan ke atas menjadi 4. Sehingga, 2
4 ke data
1
K
Kuartil-2
Posisi 14 7 4
2 7 adalah bilangan bulat, sehingga,
5 . 2 3
4 3 2
8 ke data 7
ke
2 data
K
Kuartil 3
Posisi 14 10.5 4
3
10.5 bukan bilangan bulat, sehingga harus dibulatkan ke atas menjadi 11, sehingga 6
11 ke data
1
K
Dengan demikian dapat dihitung nilai Jangkauan-Inter-Kuartil 4
2 6 1
3
K K JIK
2.2.3.2. Desil
Desil adalah suatu nilai pada kelompok data yang sudah terurut yang membagi kelompok data tersebut menjadi 10 bagian yang sama banyak. Dikenal adanya desil-1 (D1), Desil-2 (D2), …, Desil-10 (D10). Desil-I (Di) adalah suatu nilai pada kelompok data terurut, dimana (i/10 x 100%) bagian data bernilai kurang dari Di. Prosedur penentuan Desil-i sama dengan prosedur penentuan nilai kuartil. Posisi dari Di ditentukan dengan (i/10) n
Contoh 2.13. Tentukan desil ke 4 dari data pada contoh 2.12
Posisi desil-4 adalah 14 5.6 10
4
5.6 bukan bilangan bulat, sehingga harus dibulatkan ke atas menjadi 6 dan 3
6 ke data
4
D
2.2.3.3. Persentil
Persentil adalah suatu nilai pada kelompok data yang sudah terurut yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian yang sama banyak. Dikenal adanya
Persentil-1(P1), Persentil-2(P2), …, Persentil-100(P100). Persentil-i(Pi) adalah suatu ni- lai pada kelompok data terurut, dimana (i/100x100%) bagian data bernilai kurang dari Pi.
Prosedur penentuan Persentil-i sama dengan prosedur penentuan nilai kuartil. Posisi persentil-i adalah (i/100) n
Contoh 2.14. Tentukan persentil ke 65 dari data pada contoh 2.12.
Posisi desil-4 adalah 14 9.1 100
65
9.1 bukan bilangan bulat, sehingga harus dibulatkan ke atas menjadi 10 dan 5
10 ke data
65
P
2.2.3.4.Skor-Z
Skor Z adalah suatu ukuran mengenai posisi suatu nilai di dalam suatu data. Skor Z dihitung dari :
s x Z x
Skor i
Misalkan diperoleh nilai skor-z dari suatu data adalah +a. Hal ini berarti bahwa data tersebut terletak a kali di atas simpangan baku di atas rata-rata. Bila skor z dari suatu data adalah –a, hal itu berarti bahwa data tersebut berada a kali di bawah simpangan baku di bawah rata-rata. Bila skor z dari suatu data bernilai 0, hal itu berarti bahwa data tersebut sama dengan rata-rata data.
Contoh 2.15. Bila x 60.36 dan s= 18.61, maka skor z dari suatu data yang nilainya 83 adalah :
22 . 61 1 . 18
36 . 60
83
Z Skor
Nilai skor z ini berarti bahwa data dengan nilai 83 tersebut berada 1.22 kali simpangan baku di atas rata-rata.
2.2.4 Ukuran Bentuk
Suatu pertanyaan dasar dalam beberapa bidang penerapan statistika adalah apakah data yang dimiliki tersebut simetrik atau tidak. Pengukuran bentuk data pada dasarnya adalah pengukuran kemenjuluran (skewness) dan kurtosis.
Suatu ukuran yang dapat digunakan untuk mengukur kemenjuluran suatu sebaran data adalah koefisien kemenjuluran Pearson, uang didefinisikan sebagai :
s Median Sk x
Berdasarkan ukuran kemenjulurannya, suatu sebaran data dapat dibedakan atas sebaran yang menjulur ke kiri (Sk < 0), sebaran yang simetris (Sk = 0) dan sebaran yang menjulur ke kanan (Sk > 0). Gambar 4.1. menggambarkan ketiga kemungkinan sebaran yang mungin terjadi pada suatu data.
105 95 85 75 65 55 45 35 25 15 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Data
Frekuensi
105 95 85 75 65 55 45 35 25 15 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Data
Frekuensi
105 95 85 75 65 55 45 35 25 15 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Data
Frekuensi
Gambar 4.1 Kemenjuluran Sebaran Data;
(a) menjulur ke kiri (Sk<0) (b) simetris (Sk=0) (c) menjulur ke kanan (Sk > 0)
2.3. Penutup 2.3.1. Rangkuman
Salah satu cara untuk mendapatkan informasi dari data adalah dengan mereduksi himpunan data menjadi satu atau lebih nilai yang dinamakan ukuran deskriptif dari data.
Beberapa ukuran deskriptif yang dapat ditentukan dari data adalah ukuran pemusatan data, ukuran penyebaran data, ukuran posisi dan ukuran bentuk.. Ukuran mana yang akan dihitung sangat tergantung dari informasi apa yang diinginkan dari data tersebut.
Ukuran pemusatan atau ukuran lokasi pusat adalah sebarang nilai yang menun-jukkan pusat dari data. Beberapa diantaranya yang sering digunakan adalah nilai tengah (mean), median, modus, tengah wilayah, rata-rata harmonik dan rata-rata geometrik. Nilaitengah
dan tengah wilayah dapat digunakan minimal untuk data yang berskala selang. Median dapat digunakan minimal untuk data yang berskala ordinal sedangkan modus dapat digunakan untuk semua skala data. Nilaitengah dan tengah wilayah sangat dipenagruhi oleh pencilan namun tidak demikian untuk median. Nilaitengah relatif lebih stabil digunakan, sehingga peng-ukuran ini lebih disukai. Rata-rata harmonik adalah ukuran pemusatan yang tepat digu-nakan bila data yang dimiliki merupakan rasio dari dua buah peubah dengan unit pem-bilang yang tetap. Rata-rata geometrik digunakan untuk mengukur tingkat perubahan (rate of change) atau merata-ratakan data berupa rasio yang suku-suku berurutannya kira-kira tetap, seperti data laju perubahan dan rasio indeks- indeks ekonomi.
Ukuran ukuran penyebaran atau keragaman suatu ukuran yang mengukur seberapa jauh penyebaran data. Terdapat beberapa ukuran penyebaran data. Beberapa di antaranya adalah : range/wilayah/jangkauan, simpangan tengah (mean absolute deviation), ragam (varians), simpangan baku (deviasi standar), jangkauan inter-kuartil dan koefisien keragaman. Wilayah adalah pengukuran kasar yang digunakan untuk menggambarkan keragaman data. Meskipun demikian, pengukuran ini sangat banyak digunakan dalam pengendalian kualitas produks dalam suatu industri. Ragam dan simpangan baku adalah pengukuran penyebaran yang paling banyak digunakan.
Koefisien keragaman digunakan jika ingin dibandingkan keragaman dua buah data yang memiliki nilai tengah yang berbeda jauh atau memiliki satuan pengukuran yang berbeda.
Ukuran yang dapat digunakan berkaitan dengan posisi suatu data relatif terhadap data lain dinamakan ukuran posisi. Terdapat beberapa ukuran posisi, yaitu kuartil, desil,persentil dan skor Z. Ukuran bentuk adalah suatu pengukuran yang mengukur bentuk penyebaran data. Terdapat dua pengukuran bentuk data, yakni kemenjuluran dan kurtosis.
2.3.4 Test Formatif
1. Hitung rata-rata hitung, median dan modus data data pengeluaran untuk iklan yang dibelanjakan oleh sebuah dealer mobil dalam 20 hari. Pengeluaran iklan dicatat dalam juta rupiah
3.8 6.0 2.0 13.0 5.5 15.0 4.7 3.5 8.6 9.5 3.1 4.6 11.2 13.0 5.5 4.2 13.0 3.5 6.0 13.0
2. Hitung simpangan baku dan ragam bagi pengeluaran iklan tersebut
3. Kriket adalah sebuah olahraga yang berasal dari Inggris dan populer di Australia, India dan Negara-negara Hindia Barat. Data berikut adalah data skor yang diperoleh oleh dua orang pemain, A dan B.
A 47 0 14 33 101 68 87 14 22 46
B 66 10 11 22 88 32 40 38 18 41
a. Pemain mana yang paling baik? Atas dasar apa?
b. Pemain mana yang paling konsisten? Atas dasar apa?
4. Sebuah lembaga mengirim suatu tim yang terdiri dari 5 orang untuk mengumpulkan data statistik diberbagai tempat yang berbeda. Berikut adalah data jarak tugas, jumlah biaya transpor yang dikeluarkan dan biaya/km dari kelima anggota tim tersebut.
Nama Jarak Tugas (km)
Jumlah biaya (Rp.)
Biaya / km (Rp. / km)
Jack 35 140.000 4.000
Alex 20 120.000 6.000
Donald 5 36.000 7.200
Sony 30 60.000 2.000
Ahmad 10 36.000 3.600
100 392.000 22.800
Hitunglah rata-rata biaya transporasi / km dari kelima anggota tim tersebut.
5. Tono adalah pelajar SMA A sedangkan Tini adalah pelajar SMA B. Pada ujian kenaikan kelas dalam mata pelajaran matematika, Tono memperoleh nilai 82.
Rata-rata nilai matematika di SMA A adalah 91 dengan simpangan baku 10. Tini memperoleh nilai nilai 68 dan hasil ujian rata-rata di sekolahnya adalah 90 dengan simpangan baku 20. Menurut saudara, pelajar mana yang memiliki prestasi lebih baik dalam mata pelajaran matematika ini. Jelaskan jawaban saudara.
6. Untuk data berikut, hitunglah nilai kuartil 1, 2 dan 3.
35, 8, 15, 9, 19, 14, 8, 16, 16, 18, 28, 21, 27, 11, 30, 32, 7
2.3.5 Umpan Balik
Cocokkan jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Test Formatif pada akhir bab ini.
Soal 1. Total nilai 20. Rata-rata hitung dan median diberi nilai 7, modus diberi nilai 6.
Soal 2. Total nilai 15. Ragam diberi nilai 10 dan simpangan baku diberi nilai 5 Soal 3. Total nilai 10
Soal 4. Total nilai 30. Setiap point diberi nilai 15 Soal 5. Total nilai 10
Soal 6. Total nilai 15. Untuk setiap statistik yang dijawab benar diberi nilai 5 Tingkat penguasaan anda terhadap materi diukur dengan rumus :
100
Nilai Total Penguasaan
Tk
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai : 90% - 100 % : Baik sekali 80% - 89% : Baik 60% - 79% : Cukup 0% - 59% : Kurang
2.3.6 Tindak Lanjut
Bila tingkat penguasaan anda mencapai 80% ke atas, Anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Namun bila tingkat penguasaan Anda di bawah 80%, Anda harus mengulang materi ini, terutama bagian yang belum Anda kuasai
2.3.7 Kunci Jawaban Test Formatif
1. x 7.435 juta rupiah; Median = 5.75 juta rupiah; Modus = 13 juta rupiah 2. s2 = 17.4213; s = 4.17389
3. a. xA 43.2; xB 36.6; A lebih baik b. sA = 33.4; sB = 24.68; B lebih konsisten 4. xW 39.200
5. zTono = -0.9; zTini =-1.1; Tono lebih baik 6. K1 = 12.5; K2 = 17; K3 = 27.5
