6 𝑒1
𝑒2 𝑒3
𝑒5
𝑒4
𝑒6
𝑒7 𝑣1
𝑣2 𝑣3
𝑣4
𝑣5
Gambar 2. 1 Graf 𝐺
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dijelaskan mengenai tinjauan pustaka yang digunakan sebagai acuan dalam penyusunan Tugas Akhir. Tinjauan pustaka berisi penjelasan mengenai graf, pelabelan graf serta dekomposisi graf. Selain itu, juga membahas beberapa penelitian terdahulu guna menunjang teori pada Tugas Akhir.
2.1 Definisi Graf
Suatu graf 𝐺 merupakan himpunan terbatas tak kosong yang disebut titik dengan seperangkat pasangan tak beraturan dari titik berbeda pada graf 𝐺 yang disebut sisi. Himpunan titik graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝑉(𝐺) sedangkan
himpunan sisi pada graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝐸(𝐺) (Chartrand dan Lesniak, 1996). Suatu graf 𝑉(𝐺) tidak boleh kosong, sedangkan
𝐸(𝐺) boleh kosong. Hal ini berarti terdapat kemungkinan graf hanya terdiri dari satu titik saja tanpa memiliki sisi. Graf seperti ini disebut dengan graf trivial.
Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa graf 𝐺 memiliki himpunan titik, yaitu 𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5} dan himpunan sisi, yaitu (𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7} (Andhany, 2018).
Dalam graf juga terdapat istilah titik bertetangga. Suatu titik dikatakan bertetangga apabila kedua titik tersebut terhubung langsung dengan sebuah sisi.
Dari graf 𝐺 dapat dilihat bahwa titik 𝑣1 bertetangga dengan titik 𝑣2 yang terhubung
7 langsung dengan sisi 𝑒4 namun tidak bertetangga dengan titik 𝑣3 karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik secara langsung.
Selain itu, terdapat juga istilah derajat, lintasan (path), serta siklik (cycle).
Derajat pada graf, yaitu jumlah sisi yang saling berdampingan atau terhubung pada suatu titik. Sedangkan, lintasan adalah jalan dari satu titik ke titik yang lain, dimana tidak ada titik yang muncul lebih dari satu kali. Ketika titik yang muncul tidak ada yang lebih dari satu kali selain titik awal dan akhir, maka disebut siklik. Contohnya pada Gambar 2.1, dapat dilihat bahwa 𝑣1 pada graf 𝐺 memiliki derajat empat karena sisi yang terhubung dengan 𝑣1 adalah {𝑒1, 𝑒4,𝑒5, 𝑒7}. Sedangkan lintasan (path) pada graf 𝐺, yaitu {𝑣1, 𝑣5, 𝑣2, 𝑣3}. Serta siklik (cycle) dari graf 𝐺, yaitu {𝑣3, 𝑣1, 𝑣5, 𝑣2, 𝑣3}. Pada graf juga terdapat istilah sisi ganda (multiple edges) yang berarti terdapat dua titik yang dihubungkan lebih dari satu sisi. Selain itu, terdapat juga istilah gelang (loop) yang berarti terdapat satu sisi yang berakhir dan berawal dari titik yang sama (Andhany, 2018).
2.2 Jenis-Jenis Graf
Graf dibagi menjadi beberapa jenis (kategori) sesuai dengan jenis pengelompokannya. Pengelompokan graf terbagi berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang, berdasarkan jumlah titik, atau berdasarkan orientasi arah sisi.
2.2.1 Jenis Graf Berdasarkan Sisi Ganda
Berdasarkan pengelompokan ada tidaknya sisi ganda atau gelang maka dibagi menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph).
1. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana merupakan graf yang tidak memiliki sisi berganda (multiple edges) dan gelang (loop). Pada graf sederhana sisi merupakan pasangan tak terurut (unordered pairs). Sehingga, dapat dituliskan bahwa sisi (𝑢, 𝑣) sama dengan sisi (𝑣, 𝑢). Graf sederhana 𝐺 = (𝑉, 𝐸) juga dapat didefinisikan bahwa terdapat himpunan tidak kosong titik dan 𝐸 adalah pasangan tak terurut yang berbeda disebut dengan sisi (Munir, 2010).
8 2. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang memiliki sisi ganda (multiple edges) dan/ atau gelang (loop). Graf tak sederhana dibedakan menjadi dua, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a. Graf Ganda (Multigraph)
Graf ganda, yaitu graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda menghubungkan dua titik dengan dua atau lebih sisi, serta tidak mengandung gelang (loop). Selain itu, graf ganda juga dapat didefinisikan sebagai 𝐺 = (𝑉, 𝐸) yang terdiri dari himpunan tak kosong titik dengan 𝐸 adalah himpunan ganda (multiset) yang memuat sisi ganda seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3 (Munir, 2010).
b. Graf Semu (Pseudograph)
Graf semu, yaitu graf yang mengandung gelang (loop). Berbeda dengan graf ganda yang tidak boleh memiliki gelang (loop), graf semu dapat memiliki sisi ganda. Graf ini lebih umum dibandingkan dengan graf ganda karena dapat terhubung ke dirinya seperti pada Gambar 2.4 (Munir, 2010).
𝑣3
𝑣4 𝑒1
𝑒2
𝑒4 𝑒5
𝑒6 𝑣2
𝑣1
𝑒3
Gambar 2. 2 Graf Sederhana
𝑒1 𝑒2
𝑒3 𝑒4
𝑒5 𝑒6
𝑒7 𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
Gambar 2. 3 Graf Ganda (Multigraph)
9 2.2.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi Arah
Sisi pada graf memiliki orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi tersebut, maka jenis graf dibagi menjadi dua, yaitu graf tak berarah (undirected graph) dan graf berarah (directed graph atau digraph).
1. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah, yaitu graf yang tidak memiliki orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan graf tidak diperhatikan seperti pada Gambar 2.5. Jadi, (𝑢, 𝑣) = (𝑣, 𝑢) merupakan pasangan sisi yang sama (Munir, 2010).
2. Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph)
Graf berarah, yaitu graf yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah seperti pada Gambar 2.6. Sisi yang memiliki arah biasa disebut dengan busur (arc). Pada graf berarah, (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑢) menyatakan dua busur yang berbeda, sehingga dapat ditulis (𝑢, 𝑣) ≠ (𝑣, 𝑢). Pada busur (𝑢, 𝑣) titik 𝑢 dinamakan titik asal (initial vertex),
𝑒1 𝑒2
𝑒4
𝑣1
𝑒7 𝑒6
𝑒3 𝑒5
𝑣2
𝑣3
𝑒8 𝑣4
Gambar 2. 4 Graf Semu (Pseudograph)
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣5 𝑒1
𝑒2
𝑒5 𝑒6
𝑒3 𝑣4 𝑒4
Gambar 2. 5 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
10 sedangkan titik 𝑣 dinamakan titik terminal (terminal vertex). Pada graf berarah diperbolehkan terdapat gelang (loop), namun sisi ganda tidak (Munir, 2010).
Definisi graf berarah dapat diperluas sehingga mencakup graf ganda berarah (directed multigraph). Pada graf ganda berarah, gelang (loop) serta sisi ganda diperbolehkan seperti pada Gambar 2.7 (Munir, 2010).
2.2.3 Jenis Graf Berdasarkan Jumlah Titik
Diketahui bahwa suatu graf pasti terdiri dari paling sedikit satu titik.
Berdasarkan jumlah titiknya, maka graf dibedakan menjadi dua, yaitu graf berhingga dan graf tak berhingga (Miftahurrahmah, 2016).
1. Graf Berhingga
Graf berhingga, yaitu graf yang titiknya terdiri dari 𝑛 buah. Dengan kata lain, titik grafnya berhingga, yaitu 𝑛 < ∞ (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.8 dengan 𝑛 = 10.
𝑣1
𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝑣5 𝑣6
𝑒1
𝑒2
𝑒3
𝑒4 𝑒5
𝑒6
𝑒7
Gambar 2. 6 Graf Berarah (Digraph)
𝑒2 𝑒1
𝑒3
𝑒4
𝑒5 𝑣1
𝑣2
𝑣3
Gambar 2. 7 Graf Ganda Berarah (Directed Multigraph)
11 2. Graf Tak Berhingga
Graf tak berhingga, yaitu graf yang jumlah titiknya tak terhingga. Dengan kata lain, grafnya terdiri dari titik berjumlah 𝑛 = ∞ (Miftahurrahmah, 2016).
Contoh graf tak berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.9.
Selain itu, beberapa graf juga diberi penamaan serta pendefinisian berdasarkan klasifikasi graf khusus sederhana, diantaranya, yaitu graf siklik dan graf persahabatan.
1. Graf Siklik (𝐶𝑛)
Graf siklik atau graf lingkaran merupakan graf dengan 𝑛 titik, di mana 𝑛 ≥ 3, dengan masing-masing titiknya berderajat dua. Graf siklik dengan 𝑛 titik dilambangkan dengan 𝐶𝑛 (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf siklik ditunjukkan pada Gambar 2.10.
𝑣1
𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝑣5 𝑣6
𝑣7 𝑣8
𝑣10 𝑣9
Gambar 2. 8 Graf Berhingga
Gambar 2. 9 Graf Tak Berhingga
12 2. Graf Persahabatan (𝐹𝑛)
Graf persahabatan 𝐹𝑛 adalah graf tak berarah yang mempunyai 𝑛 buah pasang titik yang masing-masing disimbolkan dengan 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑛 ≥ 2. Graf ini memiliki titik sebanyak 2𝑛 + 1 dan sisi sebanyak 3𝑛. Graf persahabatan dibangun dengan menggabungkan 𝑛 salinan graf siklik 𝐶3 dengan titik utama yang sama (Darmaji, 2011).
2.3 Subgraf
Graf 𝐻 dikatakan subgraf dari graf 𝐺 jika setiap titik dalam 𝐻 merupakan anggota himpunan 𝑉(𝐺) dan setiap sisinya merupakan anggota himpunan dari 𝐸(𝐺) (Wilson, 2010). Hal ini dapat ditulis dengan 𝐻 ⊆ 𝐺. Subgraf 𝐻 dikatakan spanning subgraf dari graf 𝐺 jika 𝑉(𝐻) = 𝑉(𝐺) (Gross dan Yellen, 2006).
Gambar 2.12 merupakan contoh bahwa Graf 𝐺2 merupakan subgraf dari graf 𝐺1. 𝑣1
𝑣2 𝑣3
𝑣1
𝑣2 𝑣3
𝑣4
𝑣1 𝑣2
𝑣3
𝑣4 𝑣5
𝑣6
Gambar 2. 10 Graf Siklik
𝑣1
𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝑣5 𝑣6
𝑣7
𝑣1 𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣6
𝑣5 𝑣11
𝑣7 𝑣8
𝑣9 𝑣10
Gambar 2. 11 Graf Persahabatan (𝐹𝑛)
13 2.4 Fungsi
Misal 𝐴 dan 𝐵 merupakan suatu himpunan tak kosong, maka fungsi dari 𝐴 yang dipetakan ke 𝐵 merelasikan himpunan 𝑓 yang dipasangkan di 𝐴 × 𝐵 sedemikian hingga untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 terdapat 𝑏 ∈ 𝐵 dengan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑓. Fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 biasa dinotasikan dengan 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Jika 𝑓 merupakan fungsi yang memetakan 𝐴 ke 𝐵 maka 𝐴 merupakan domain dari 𝑓 dan 𝐵 merupakan codomain dari 𝑓. Adapun daerah hasil dari 𝑓 yang merupakan anggota himpunan dari elemen 𝐴 disebut range (Rosen, 2012). Sebagai contoh, misalkan 𝐴 = {1,2,3} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, maka 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dapat didefinisikan seperti pada diagram berikut.
Gambar 2.13 merupakan fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dengan 𝑓(1) = 𝑏, 𝑓(2) = 𝑎 dan 𝑓(3) = 𝑎. Fungsi dibedakan menjadi 3 jenis, yaitu fungsi pada (surjektif), fungsi satu-satu (injektif), dan fungsi satu-satu pada (bijektif). Misalkan 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah suatu fungsi 𝐴 ke 𝐵 (Bartle dan Sherbert, 2011).
a. Fungsi dikatakan injektif (satu-satu) jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦), maka 𝑥 = 𝑦. Selain itu, jika terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dengan 𝑥 ≠ 𝑦, maka 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦). Jika
𝑣1 𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝑣5
𝐺1
𝑣1
𝑣2
𝑣3 𝑣4
𝐺2 Gambar 2. 12 Graf 𝐺2 subgraf dari Graf 𝐺1
1 2 3
a b c 𝑓
𝐴 𝐵
Gambar 2. 13 Fungsi 𝑓
14
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝑓 merupakan fungsi injektif, maka 𝑓 disebut injeksi (Bartle dan Sherbert, 2011).
Contoh:
b. Fungsi dikatakan surjektif (pada) jika 𝑅(𝑓) = 𝐵. Sehingga, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi surjektif jika untuk masing-masing 𝑦 ∈ 𝐵 dan 𝑥 ∈ 𝐴 sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑦. Jika 𝑓 merupakan fungsi surjektif, maka 𝑓 disebut surjeksi (Bartle dan Sherbert, 2011).
Contoh:
c. Fungsi dikatakan bijektif jika memuat fungsi injektif sekaligus injektif. Jika 𝑓 merupakan fungsi bijektif, maka 𝑓 disebut bijeksi (Bartle dan Sherbert, 2011).
Contoh:
𝑓
1 2
a b c
Gambar 2. 14 Fungsi Injektif
1 2 3
a b 𝑓
Gambar 2. 15 Fungsi Surjektif
1 2 3
a b c 𝑓
Gambar 2. 16 Fungsi Bijektif
15 2.5 Pelabelan Graf
Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan bijektif yang memetakan setiap unsur pada graf (titik, sisi, maupun keduanya) ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif tertentu. Bilangan positif yang merupakan nilai pemetaan pada setiap unsur di graf disebut label. Selain itu, juga terdapat istilah bobot yang merupakan jumlah label yang terkait dengan elemen graf yang dinotasikan dengan 𝑤. Pada pelabelan terdapat berbagai jenis pelabelan, yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total (Baca dan Miller, 2008). Pada penelitian ini akan digunakan graf 𝐺 dengan himpunan tak kosong 𝑉 yang memuat titik dan himpunan sisi 𝐸 atau 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dan merupakan graf sederhana.
2.5.1 Pelabelan Titik (Vertex Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan titik jika pemetaan bijektif memetakan titik ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif tertentu (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik dan rangenya adalah himpunan yang berisi bilangan bulat positif. Pada penelitian terdahulu telah dibahas mengenai pelabelan titik salah satunya adalah penelitian dengan judul “Pelabelan Total Titik Ajaib pada Graf Peterson yang diperumum” oleh Abdul Rosyid. Contoh dari pelabelan titik dapat dilihat pada Gambar 2.17 sebagai berikut.
2.5.2 Pelabelan Titik Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan titik ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)|}
sehingga untuk setiap titik 𝑔 di 𝐺 berlaku 𝑤 = 𝑓(𝑔) + ∑ 𝑓(𝑥), dengan 𝑥 merupakan titik-titik yang bertetangga dengan 𝑔.Selanjutnya 𝑤 disebut konstanta ajaib pada graf 𝐺 (Rosyid, 2010).
1 2
4 3
Gambar 2. 17 Pelabelan Titik
16 Contoh dari pelabelan titik ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.18, yaitu berupa graf siklik 𝐶3 dengan konstanta ajaib yaitu 𝑤 = 6 yang diperoleh dari hasil
penjumlahan setiap titik yang terhubung, misalnya titik 1 maka
∑ 𝑤 = 1 + 2 + 3 = 6. Selain graf siklik 𝐶3, graf lengkap 𝐾𝑛 juga memuat pelabelan titik ajaib dimana pada graf lengkap 𝐾𝑛 setiap titiknya saling terhubung.
2.5.3 Pelabelan Titik Anti Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan titik anti ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)|}
sedemikian hingga untuk setiap titik 𝑔 di 𝐺 memiliki bobot titik 𝑤 = 𝑓(𝑔) + ∑ 𝑓(𝑥), di mana 𝑥 merupakan titik-titik yang bertetangga dengan 𝑔
serta bobot setiap titik berbeda (Baca dkk, 2007).
Contoh dari pelabelan titik anti ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.19 sebagai berikut. Pelabelan ini merupakan pelabelan titik anti ajaib karena jumlah dari setiap titik terhubungnya berbeda, yaitu 𝑤 = {6, 7, 8, 9}.
2.5.4 Pelabelan Sisi (Edge Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan sisi jika pemetaan bijektif memetakan sisi ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif tertentu (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain daerah asal (domain) dari pemetaan
1 3
Gambar 2. 18 Pelabelan Titik Ajaib
1 2
3 4
Gambar 2. 19 Pelabelan Titik Anti Ajaib
17 tersebut adalah sisi dan rangenya adalah himpunan yang berisi bilangan bulat positif. Pada penelitian terdahulu telah dibahas mengenai pelabelan sisi salah satunya adalah penelitian dengan judul “Pelabelan Total (𝑎, 𝑑)- Sisi Anti Ajaib pada Graf Peterson 𝑃(𝑛, 2), untuk 𝑛 Ganjil, 𝑛 ≥ 3” oleh Arif Rahman, Narwen, dan Ahmad Iqbal Baqi. Contoh dari pelabelan sisi dapat dilihat pada Gambar 2.20 sebagai berikut.
2.5.5 Pelabelan Sisi Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan sisi ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝐸(𝐺) → {1,2,3, … , |𝐸(𝐺)|}
sehingga untuk setiap sisi ℎ di 𝐺 berlaku 𝑤 = 𝑓(ℎ) + ∑ 𝑓(𝑦), dengan 𝑦 merupakan sisi-sisi yang bertetangga dengan ℎ.Selanjutnya 𝑤 disebut konstanta ajaib pada graf 𝐺 (Rosyid, 2010).
Contoh dari pelabelan sisi ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.21 sebagai berikut dengan konstanta ajaib yaitu 𝑤 = 6 yang diperoleh dari hasil penjumlahan setiap sisi yang terhubung, misalnya pada sisi 1, maka ∑ 𝑤 = 1 + 2 + 3 = 6.
2.5.6 Pelabelan Sisi Anti Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan sisi anti ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝐸(𝐺) → {1,2,3, … , |𝐸(𝐺)|}
sedemikian hingga untuk setiap sisi ℎ di 𝐺 memiliki himpunan bobot sisi 1
4 2
3
Gambar 2. 20 Pelabelan Sisi
2
2
2
2 1
7
7
7
3
3
3
3 Gambar 2. 21 Pelabelan Sisi Ajaib
18 𝑤 = 𝑓(ℎ) + ∑ 𝑓(𝑦), di mana 𝑦 merupakan sisi-sisi yang bertetangga dengan ℎ serta bobot setiap sisi berbeda. (Baca dkk, 2007).
Contoh dari pelabelan sisi anti ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.22 sebagai berikut. Pelabelan ini merupakan pelabelan sisi anti ajaib karena jumlah dari setiap sisi terhubungnya berbeda, yaitu 𝑤 = {6, 7, 8, 9}.
2.5.7 Pelabelan Total (Total Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan total jika pemetaan bijektif memetakan semua unsur baik titik maupun sisi ke suatu himpunan yang berisi bilangan bulat positif tertentu (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik dan sisi. Contoh dari pelabelan total dapat dilihat pada Gambar 2.23 sebagai berikut.
2.5.8 Pelabelan Total Titik Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan total
titik ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} sedemikian hingga berlaku
1
1
1
1
2
1
1
1 3
1
1
1
4
1
1
1
Gambar 2. 22 Pelabelan Sisi Anti Ajaib
1 2
4 3
6
5 7
8
Gambar 2. 23 Pelabelan Total
19 𝑤 = 𝑓(𝑔) + ∑ 𝑓(𝑔ℎ), untuk setiap 𝑔ℎ ∈ 𝑉(𝐺)dan 𝑤 merupakan konstanta ajaib pada graf 𝐺 (Simangunsong dan Mulyono, 2015).
Contoh dari pelabelan total titik ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.24 sebagai berikut dengan konstanta ajaib yaitu 𝑤 = 12.
2.5.9 Pelabelan Total Sisi Ajaib
Diketahui suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Suatu pelabelan dikatakan pelabelan total
sisi ajaib pada graf 𝐺 jika terdapat pemetaan bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2,3, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} sedemikian hingga berlaku
𝑤 = 𝑓(𝑔) + 𝑓(ℎ) + ∑ 𝑓(𝑔ℎ), untuk setiap 𝑔ℎ ∈ 𝐸(𝐺) dan 𝑤 merupakan konstanta ajaib pada graf 𝐺 (Rosyid, 2010).
Contoh dari pelabelan total sisi ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.25 sebagai berikut dengan konstanta ajaib yaitu 𝑤 = 9.
2.6 Dekomposisi Graf
Dekomposisi graf merupakan salah satu topik perluasan dari tema pelabelan. Dekomposisi dari suatu graf 𝐺 merupakan himpunan {𝐻𝑖} dari subgraf tak kosong sedemikian hingga 𝐻𝑖 = 〈𝐸𝑖〉, di mana 〈𝐸𝑖〉 merupakan subhimpunan 𝐸𝑖 dari 𝐸(𝐺), di mana 𝐸𝑖 adalah partisi dari 𝐸(𝐺). Misal {𝐻𝑖} merupakan dekomposisi
1
1
1
1
3
2
2
2
2
3
3
3 5
9
9
9
Gambar 2. 24 Pelabelan Total Titik Ajaib
1
3
2 5
6
Gambar 2. 25 Pelabelan Total Sisi Ajaib
20 dari 𝐺, dapat ditulis 𝐺 = 𝐻1⊕ 𝐻2⊕. . .⊕ 𝐻𝑛 (Chartrand dan Lesniak, 1996).
Notasi 𝐺 = 𝐻1⊕ 𝐻2⊕. . .⊕ 𝐻𝑛 berarti bahwa 𝐺 adalah penggabungan dari {𝐻𝑖}.
Gambar 2.27 merupakan contoh dekomposisi 𝐶3 pada graf Persahabatan 𝐹2.
Pada dekomposisi graf dikenal juga istilah dekomposisi (𝑎, 𝑑).
Dekomposisi pada graf dengan bobot titik maupun sisi yang berbeda akan menghasilkan himpunan bobot titik dan sisi berbeda pula dari masing-masing subgrafnya dan akan membentuk suatu barisan aritmatika. Barisan aritmatika yang terbentuk akan menjadi barisan seperti berikut {𝑎, 𝑎 + 𝑑, … , 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑} dengan 𝑎 merupakan suku awal dan 𝑑 adalah beda. Bentuk seperti ini disebut dengan dekomposisi (𝑎, 𝑑).
2.7 Dekomposisi Ajaib Graf
Berdasarkan pengertian dari pelabelan, maka suatu graf yang memuat dekomposisi dapat memiliki hasil berupa dekomposisi ajaib maupun anti ajaib.
Diketahui bahwa 𝐻 = {𝐻𝑖 ⊆ 𝐺, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} merupakan koleksi subgraf dari 𝐺 dengan 𝐻𝑖 ≅ 𝐻𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗. Jika 𝐻𝑖∩ 𝐻𝑗 = ∅ dan ⋃𝑛𝑖=1𝐻𝑖 = 𝐺, maka graf 𝐺 membuat suatu dekomposisi 𝐻. Selanjutnya, jika terdapat 𝑓(𝑣) dan 𝑔(𝑒) yang merupakan dua buah pelabelan titik dan sisi pada 𝐺 dan total bobot dari masing-masing subgraf 𝐻𝑖, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 bernilai sama, yaitu ∑𝑣∈𝑉(𝐻𝑖)𝑓(𝑣)+ ∑𝑒∈𝐸(𝐻𝑖)𝑔(𝑒)= 𝑤, maka graf 𝐺 memuat dekomposisi 𝐻𝑖 ajaib dengan 𝑤 sebagai konstanta ajaib.
1
3
2
5 4 10
6
9
7
8
11
Gambar 2. 26 Pelabelan Total pada Graf Persahabatan 𝐹2
1
1
1
1
2
2
2
2 3
3
3
3 6
6
6
6
7
7
7
7 10
10
10
10
11
11
11
11 9
9
9
9
8
8
8
8
4
4
4
4 5
5
5
5
3
3
3
3
Gambar 2. 27 Dekomposisi pada Graf Persahabatan 𝐹2
21 Gambar 2. 28 Pelabelan Total pada Graf Persahabatan 𝐹3
Gambar 2. 29 Dekomposisi Ajaib pada Graf Persahabatan 𝐹3
2.8 Penelitian Terdahulu
Pada sub bab ini akan ditunjukkan beberapa penelitian terdahulu dengan topik yang sama. Penilitian terdahulu akan menjadi acuan dalam mengerjakan penelitian saat ini. Berikut merupakan beberapa referensi mengenai penelitian terdahulu dalam penelitian ini.
Tabel 2. 1 Penelitian Terdahulu No Nama, Tahun Publikasi,
dan Judul
Hasil
1 Rina Munawarah, 2009, Dekomposisi Graf Komplit
1. Dekomposisi pada graf komplit 𝐾2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2 juga merupakan faktorisasi karena setiap partisinya merupakan subgraf merentang sehingga membentuk 1 − 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 dengan partisi sebanyak 𝑛 − 1 dan
22 masing-masing partisi mempunyai 𝑝 = 𝑛 dan 𝑞 =1
2𝑛
2. Dekomposisi pada graf komplit 𝐾2𝑛+1 dengan 𝑛 ≥ 1 juga membentuk faktorisasi karena dengan
menggunakan rumus 𝐹𝑖 = 𝐹 = 𝐻𝑖 ∪ ((𝑝 − 𝑝(𝐻𝑖))𝐾𝑖 terdapat satu titik pada setiap partisi yang tidak mempunyai pasangan dengan partisi sebanyak 2𝑛 + 1, dan masing-masing partisi mempunyai 𝑝 = 𝑛 − 1 dan 𝑞 =1
2(𝑛 − 1) 2 Nur Rahmawati dan Budi
Rahajeng, 2014,
Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda Graf Gir, dan Graf Persahabatan
1. Misalkan 𝑚|𝑛, 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑚 ≠ 𝑛, graf siklus 𝐶𝑛 merupakan 𝑚𝐾2- dekomposisi
2. Graf roda 𝑊𝑛, 𝑛 ≥ 3 merupakan 2𝐾2- dekomposisi
3. Graf gir 𝐺𝑛, 𝑛 ≥ 3 merupakan 3𝐾2- dekomposisi
4. Graf persahabatan 𝐹𝑛, 𝑛 ≥ 2 merupakan 𝐶3- dekomposisi 3 Sigit Pancahayani, 2017,
Dekomposisi Super Ajaib Berbentuk Lintasan dari Amalgamasi Graf Siklus
Amalgamasi titik 𝑡 buah graf siklus yang berukuran 𝑛 memuat dekomposisi super ajaib berbentuk lintasan dengan panjang 𝑛 + 1 mempunyai konstanta ajaib
𝑘1 = 2𝑛𝑡(𝑛 − 1) + (3𝑛 + 𝑡 + 1) dan 𝑘2 = 2𝑛𝑡(𝑛 − 1) + (3𝑛 + 𝑡 + 1).
23 4 Soffi Nur Masyitoh, 2019,
Dekomposisi (𝑎, 𝑑) - 𝑃4 – Anti ajaib pada Graf Generalized Peterson 𝐺𝑃(𝑛, 3)
Graf generized Petersen 𝐺𝑃(𝑛, 3) dengan 𝑛 ≥ 7, 𝑖 ∈ [0, 𝑛 − 1] memiliki dekomposisi (𝑎, 𝑑) − 𝑃4 − anti ajaib dengan nilai 𝑎 dan 𝑑 yang berbeda.
Penelitian ini menghasilkan 5 teorema yang disesuaikan dengan nilai 𝑎 dan 𝑑 yang diperoleh sebagai berikut.
𝑎 𝑑
20𝑛 + 4 1
14𝑛 + 4 2
19𝑛 + 5 3
13𝑛 + 5 4
18𝑛 + 6 5
Pada tugas akhir ini akan ditentukan bentuk dan jenis dekomposisi dari graf persahabatan. Penelitian ini banyak merujuk kepada penelitian dari Soffi Nur Masyitoh, yang berjudul Dekomposisi (𝑎, 𝑑) - 𝑃4 – Anti Ajaib pada Graf Generalized Peterson 𝐺𝑃(𝑛, 3). Hal yang berbeda dari penelian ini dengan penilitian dari Soffi Nur Masyitoh, yaitu dari jenis graf nya sehingga bentuk dekomposisi nya pun berbeda. Penelitian ini menjabarkan mengenai penentuan label dari graf persahabatan, kemudian jenis dekomposisinya, sehingga akan didapatkan formula baru mengenai dekomposisi dari graf persahabatan.
