BELAJAR TENTANG TRIGONOMETRI ANALITIKA

TRIGONOMETRI ANALITIKA

2

Pengalaman Belajar dan Istilah Penting

 Pengalaman Belajar

Melalui pembelajaran trigonometri analitika, peserta didik diharapkan memperoleh pengalaman belajar:

 Berlatih berpikir kritis dalam memecahkan masalah;

 Mengamati fenomena masalah trigonometri analitika dalam kehidupan sehari-hari;

 Menunjukkan kemampuan dalam memaksimalkan waktu dan hasil belajar.

 Istilah penting

Sudut Derajat Selisih Dua Sudut

Radian Jumlah Dua Sudut

2.1

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

2.1.1.Rumus 𝐜𝐨𝐬(𝜶 + 𝜷)

Pada gambar berikut, 𝑃, 𝑄, 𝑅 dan S adalah empat buah titik pada lingkaran yang berpusat di 𝑂(0,0) dan berjari-jari 𝑟 dengan < 𝑃𝑂𝑄 = 𝛼, < 𝑄𝑂𝑅 = 𝛽, dan < 𝑃𝑂𝑆 = −𝛽. Koordinator P adalah (𝑟, 0). Panjang OP = OQ = OR = OS = jari-jari = r.

Pada subbab ini, materi yang akan dipelajari meliputi penguraian atau penurunan rumus-rumus trigonometri analitika: cos(𝛼 + 𝛽) ; cos(𝛼 − 𝛽); sin(𝛼 + 𝛽) ; sin(𝛼 − 𝛽); tan (𝛼 + 𝛽) ; tan(𝛼 − 𝛽).

Untuk mempermudah pembahasan, kita akan memulai dengan cos(𝛼 ± 𝛽).

𝑂 𝛽

𝛽 𝛼

𝑅(𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽), 𝑟 sin(𝛼 + 𝛽)) 𝑄(𝑟 cos 𝛼 , 𝑟 sin 𝛼)

𝑃(𝑟, 0)

𝑆(𝑟 cos (−𝛽) , 𝑟 sin(−𝛽))

Dengan menggunakan (𝑟 cos 𝐴 , 𝑟 sin 𝐴) sebagai koordinat titik, maka diperoleh titik 𝑃, 𝑄, 𝑅 dan S.

Terlihat bahwa:

< 𝑃𝑂𝑅 = 𝛼 + 𝛽

< 𝑆𝑂𝑄 = 𝛼 + 𝛽

< 𝑃𝑂𝑅 =< 𝑆𝑂𝑄  |𝑃𝑅| = |𝑆𝑄| atau |𝑃𝑅|² = |𝑆𝑄|² Dengan menggunakan rumus jarak,

|𝐴𝐵|² = (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)² Maka dapat ditentukan panjang |𝑃𝑅| dan |𝑆𝑄| sebagai berikut.

|𝑃𝑅|² = [𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)− 𝑟]²+ [𝑟 sin(𝛼 + 𝛽)− 0]²

 𝑟 ²cos²(𝛼 + 𝛽) − 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²+ 𝑟²sin²(𝛼 + 𝛽)

 𝑟 ²[cos²(𝛼 + 𝛽) + sin²(𝛼 + 𝛽)]− 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²

 𝑟 ²(1) − 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²

|𝑃𝑅|² = 2𝑟 ²− 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)=2𝑟 ²[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)]…. (1) Sementara,

|𝑆𝑄|² = (𝑟 cos 𝛼 − 𝑟 cos 𝛽)²+ (𝑟 sin 𝛼 + 𝑟 sin 𝛽)²

 𝑟²cos²𝛼 − 2𝑟²cos 𝛼 cos 𝛽 + 𝑟²cos² 𝛽+ 𝑟²sin²𝛼 + 2𝑟²sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝑟²𝑠𝑖𝑛² 𝛽

 (𝑟 ²cos²𝛼 + 𝑟 ²sin²𝛼) + (𝑟 ²cos²𝛽 + 𝑟 ²sin²𝛽) −2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 𝑟 ²(1) + 𝑟 ²(1) − 2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 2𝑟 ²− 2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

|𝑆𝑄|² =2𝑟 ²[1 −(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)] …. (2) Ingat!

|𝑃𝑅|² = |𝑆𝑄|²

2𝑟 ²[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)]= 2𝑟 ²[1 −(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)]

1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 1 − (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷

2.1.2.Rumus 𝐜𝐨𝐬(𝜶 − 𝜷) “

Masalah Extra 2.1.2”

Berdasarkan,

𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷

Maka,

𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + (−𝛽))  ….

 ….

 ….

𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷

Contoh soal:

1. Jabarkan dan sederhanakan masing-masing ekspresi trigonometri berikut.

a. cos (𝜃 −^𝜋

2) b. cos 15^𝑜

Ingat!

𝑐𝑜𝑠 (−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 (−𝑥) = −𝑠𝑖𝑛 𝑥

Penyelesaian:

a. cos (𝜃 −^𝜋

2) =cos𝜃cos ^𝜋₂+ sin𝜃sin ^𝜋₂

 cos𝜃(0) + sin𝜃(1)

 0 + sin 𝜃  sin 𝜃

b. cos 15^𝑜 = cos(45^𝑜− 30^𝑜)

 cos45^𝑜cos 30^𝑜+ sin45^𝑜sin30^𝑜

(¹

2√2) (¹₂√3) + (¹₂√2) (¹₂)

 ¹

4√6 +¹₄√2 =¹₄(√6 + √2) TUGAS 01:

1. Buktikan setiap identitas di bawah ini!

a. cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜) = − cos 𝛼^𝑜

b. cos(180^𝑜− 𝛼^𝑜) = cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜) c. cos²

3𝜋 = −¹

2

d. Jika 2 cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼 − 𝛽), maka tan 𝛼 tan 𝛽 =¹

3 2. Carilah Nilai cos 75^𝑜!

2.1.3.Rumus 𝐬𝐢𝐧 (𝜶 + 𝜷)

Perhatikan gambar segitiga PQR dan segitiga PLR!

Misalkan < 𝐿𝑃𝑄 = 𝛼, < 𝐿𝑃𝑅 = 𝛽, 𝑃𝑄 = 𝑎, dan 𝑃𝑅 = 𝑏 Hal ini berarti,

𝑄𝐿 = 𝑥 = 𝑎 sin 𝛼, 𝑅𝐿 = 𝑦 = 𝑏 sin 𝛽 𝑃𝐿 = 𝑝 = 𝑎 cos 𝛼 = 𝑏 cos 𝛽

Luas segitiga PQR= Luas segitiga PLQ+ Luas segitiga PLR 1

2𝑎𝑏 sin(𝛼 + 𝛽) = 1

2𝑥𝑝 +1 2𝑦𝑝

 ¹

2𝑎𝑏 sin(𝛼 + 𝛽) =¹

2(𝑎 sin 𝛼)(𝑏 cos 𝛽) +¹

2(𝑏 sin 𝛽)(𝑎 cos 𝛼)

 ¹

2𝑎𝑏 sin(𝛼 + 𝛽) =¹

2𝑎𝑏 ( sin 𝛼. cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 )

sin(𝛼 + 𝛽) = ( sin 𝛼. cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 )

𝑄

𝑃

𝑅 𝐿

𝑥 𝑦

𝑎 𝑝 𝑏

2.1.4.Rumus 𝐬𝐢𝐧(𝜶 − 𝜷) “

Masalah Extra 2.1.4a”

Berdasarkan,

sin(𝛼 + 𝛽) = ( sin 𝛼. cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 )

Maka,

𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + (−𝛽))  ….

 ….

 ….

𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶. 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶. 𝐬𝐢𝐧 𝜷

Contoh soal:

1. Jabarkan dan sederhanakan masing-masing ekspresi trigonometri berikut.

a. sin(𝐴 − 60^𝑜) b. sin 75^𝑜

2. Tentukan 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) dan 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽) apabila sin 𝛼 = ⁵

13 dan cos 𝛽 =⁴

5. (Clue: Gambarlah segitiga siku-siku terlebih dahulu) “Masalah Extra 2.1.4b”

Penyelesaian:

a. sin(𝐴 − 60^𝑜) = sin 𝐴. cos 60^𝑜− cos 𝐴. sin 60^𝑜

 sin 𝐴. (¹

2) − cos 𝐴. (¹

2√3) b. sin 75^𝑜 = sin(45^𝑜+ 30^𝑜)

 sin 45^𝑜. cos 30^𝑜+ cos 45^𝑜. sin 30^𝑜

(¹

2√2) (¹₂√3) + (¹₂√2) (¹₂)

 ¹

4√6 +¹₄√2 =¹₄(√6 + √2)

Ingat!

Karena 𝛼 dan 𝛽 sudut lancip, maka nilai sinus dan kosinus kedua sudut bernilai positif

TUGAS 02:

1. Buktikan setiap identitas di bawah ini!

a. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽). 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) = sin²𝛼 − sin²𝛽 b. ^{sin(𝐴−𝐵)}

sin(𝐴+𝐵)=tan 𝐴−tan 𝐵 tan 𝐴+tan 𝐵

c. ^{sin(𝐴−𝐵)}

cos 𝐴.cos 𝐵= tan 𝐴 + tan 𝐵 2. Carilah Nilai sin 135^𝑜!