BELAJAR TENTANG TRIGONOMETRI ANALITIKA

(1)

1 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P

TRIGONOMETRI ANALITIKA

Tujuan belajar Trigonometri Analitika

Trigonometri analitika adalah salah satu materi matematika peminatan kelas XI yang bertujuan untuk menyederhanakan bentuk persamaan dalam suatu masalah. Trigonometri analitika ini merupakan bagian lain dari Identitas Trigonometri.

Materi yang akan dipelajari meliputi penguraian atau penurunan rumus-rumus trigonometri analitika: cos(𝛼 + 𝛽) ; cos(𝛼 − 𝛽); sin(𝛼 + 𝛽) ; sin(𝛼 − 𝛽); tan (𝛼 + 𝛽) ; tan(𝛼 − 𝛽). Terdapat 6 rumus jumlah dan selisih sudut yang akan kita uraikan pada subbab ini.

Penurunan rumus 𝐜𝐨𝐬(𝜶 + 𝜷) Perhatikan ilustrasi berikut!

Dengan menggunakan (𝑟 cos 𝐴 , 𝑟 sin 𝐴) sebagai koordinat titik “menggunakan perbandingan segitiga siku- siku (SINDEMI dan COSAMI)”, maka diperoleh

Koordinat Cartesius::

Titik Q

Dengan cara yang sama, dihasilkan R(𝑟 cos(𝛼 + 𝛽) , 𝑟 sin(𝛼 + 𝛽))

S(𝑟 cos(−𝛽) , 𝑟 sin(−𝛽))  S(𝑟 cos 𝛽 , 𝑟 sin(−𝛽))

02

Jumlah dan selisih dua sudut

TRIGONOMETRI ANALITIKA

Sudut Ganda dan Paruh Perkalian Sudut

Jumlah dan selisih Sinus-Kosinus Bentuk Khusus Trigonometri Analitika

Jumlah dan selisih dua sudut

A

Pada gambar tersebut, 𝑃, 𝑄, 𝑅 dan S adalah empat buah titik pada lingkaran yang berpusat di 𝑂(0,0) dan berjari-jari 𝑟 dengan

∠ 𝑃𝑂𝑄 = 𝛼, ∠ 𝑄𝑂𝑅 = 𝛽, dan ∠ 𝑃𝑂𝑆 = −𝛽.

Koordinat P adalah (𝑟, 0).

Panjang OP = OQ = OR = OS = jari-jari = r.

𝑄

𝑥 𝑟 𝑦 𝛼

Berasarkan penjelasan grafik, diketahui bahwa lingkaran yang berpusat di 𝑂(0,0) dan berjari-jari 𝑟. Sehingga diperoleh, titik P (r,0)

Sehingga diperoleh, sin 𝛼 =^𝑦

𝑟  𝑦 = 𝑟 sin 𝛼 cos 𝛼 =^𝑥

𝑟  𝑥 = 𝑟 cos 𝛼

Sehingga diperoleh, Q(𝑟 cos 𝛼 , 𝑟 sin 𝛼) 𝑂

(2)

2 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Terlihat bahwa:

∠ 𝑃𝑂𝑅 = 𝛼 + 𝛽

∠ 𝑆𝑂𝑄 = 𝛼 + 𝛽

∠ 𝑃𝑂𝑅 = ∠ 𝑆𝑂𝑄  |𝑃𝑅| = |𝑆𝑄| atau |𝑃𝑅|² = |𝑆𝑄|² Dengan menggunakan rumus jarak dua koordinat,

|𝐴𝐵|² = (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)² Maka dapat ditentukan panjang |𝑃𝑅| dan |𝑆𝑄| sebagai berikut.

Panjang |𝐏𝐑|, dengan P (r,0) dan R(𝒓 𝐜𝐨𝐬(𝜶 + 𝜷),𝒓 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷))

|𝑃𝑅|² = [𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)− 𝑟]²+ [𝑟sin(𝛼 + 𝛽)− 0]²

 𝑟 ²cos²(𝛼 + 𝛽) − 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²+ 𝑟²sin²(𝛼 + 𝛽)

 𝑟 ²[cos²(𝛼 + 𝛽) + sin²(𝛼 + 𝛽)] − 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²

 𝑟 ²(1) − 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑟 ²

|𝑃𝑅|² = 2𝑟 ²− 2𝑟²𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)=2𝑟 ²[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)] . . . . (1) Sementara,

Panjang |𝐒𝐐|, dengan S(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜷,𝒓 𝐬𝐢𝐧(−𝜷))dan Q(𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜶,𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜶)

|𝑆𝑄|² = (𝑟 cos 𝛼−𝑟 cos 𝛽)²+ (𝑟 sin 𝛼 + 𝑟 sin 𝛽)²

 𝑟²cos²𝛼 − 2𝑟²cos 𝛼 cos 𝛽 + 𝑟²cos² 𝛽+ 𝑟²sin²𝛼 + 2𝑟²sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝑟²𝑠𝑖𝑛² 𝛽

 (𝑟 ²cos²𝛼 + 𝑟 ²sin²𝛼) + (𝑟 ²cos²𝛽 + 𝑟 ²sin²𝛽) − 2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 𝑟 ²(1) + 𝑟 ²(1) − 2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 2𝑟 ²− 2𝑟²(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

|𝑆𝑄|² =2𝑟 ²[1 −(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)] . . . . (2) Ingat!

|𝑃𝑅|² = |𝑆𝑄|²  (1) = (2)

2𝑟 ²[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)]= 2𝑟 ²[1 −(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)]

1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 1 − (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 −𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 1 − (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽) − 1

 −𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = −(cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽)

 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

Rumus01:: 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷

Penurunan rumus 𝐜𝐨𝐬(𝜶 − 𝜷)

Berdasarkan Rumus01:: 𝒄𝒐𝒔(𝜶 + 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷, akan dicari penurunan rumus cos(𝛼 − 𝛽).

Sehingga,

𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + (−𝛽))  ….

 ….

 …. Rumus02:: 𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷) = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜷

(Note:: Gunakan rumus 01) Contoh soal 01::

1. Jabarkan dan sederhanakan masing-masing ekspresi trigonometri berikut!

a. cos (𝜃 −^𝜋

2) b. cos 15^𝑜

c. cos 3𝜃 . cos 2𝜃 − sin 3𝜃. sin 2𝜃 2. Buktikan setiap identitas di bawah ini!

a. cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜) = − cos 𝛼^𝑜

b. cos(180^𝑜− 𝛼^𝑜) = cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜)

Ingat!

cos²𝛼 + sin²𝛼 = 1

Ingat!

cos²𝛼 + sin²𝛼 = 1 cos (−𝑥) = cos 𝑥 sin (−𝑥) = −sin 𝑥

(3)

3 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Jawab::

1. Dengan menggunakan bantuan Rumus01 dan Rumus02 cosinus, diperoleh a. cos (𝜃 −^𝜋

2) =cos𝜃cos ^𝜋

2+ sin𝜃sin ^𝜋

 cos𝜃(0) + sin𝜃(1) 2

 0 + sin 𝜃

 sin 𝜃

b. cos 15^𝑜 = cos(45^𝑜− 30^𝑜)

 cos45^𝑜cos 30^𝑜+ sin45^𝑜sin30^𝑜

(¹

2√2) (¹₂√3) + (¹₂√2) (¹₂)

 ¹

4√6 +¹₄√2 =¹₄(√6 + √2) c. cos 3𝜃 . cos 2𝜃 − sin 3𝜃. sin 2𝜃

Apabila dicermati, bentuk di atas merupakan penjabaran dari rumus cos(𝛼 + 𝛽) =cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 Sehingga diperoleh, 𝛼 = 3𝜃; 𝛽 = 2𝜃

Maka,

cos 3𝜃 . cos 2𝜃 − sin 3𝜃. sin 2𝜃 = cos(3𝜃 + 2𝜃)

 cos 5𝜃

2. Akan dibuktikan::

a. cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜) = − cos 𝛼^𝑜

cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜) = cos 180^𝑜cos 𝛼^𝑜− sin 180^𝑜sin 𝛼^𝑜 (dibuktikan dari ruas kiri)  (−1). cos 𝛼^𝑜− (0). sin 𝛼^𝑜

 − cos 𝛼^𝑜

b. cos(180^𝑜− 𝛼^𝑜) = cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜)

cos(180^𝑜− 𝛼^𝑜) = cos 180^𝑜cos 𝛼^𝑜+ sin 180^𝑜sin 𝛼^𝑜 (dibuktikan dari ruas kiri)  (−1). cos 𝛼^𝑜+ (0). sin 𝛼^𝑜

 − cos 𝛼^𝑜

Apabila diperhatikan, penjabaran a dan b menghasilkan − cos 𝛼^𝑜, sehingga secara tidak langsung cos(180^𝑜− 𝛼^𝑜) = cos(180^𝑜+ 𝛼^𝑜)

1. Buktikan setiap identitas di bawah ini!

a. cos(𝐴 + 𝐵). cos(𝐴 − 𝐵) = cos²𝐵 − sin²𝐴 b. cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽) = 2 sin 𝛼. sin 𝛽

c. Jika 2 cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼 − 𝛽), maka tan 𝛼 tan 𝛽 = ¹

3

2. Jabarkan dan sederhanakanlah!

a. cos 75^𝑜 b. cos(𝑥 + 30^𝑜) c. ¹₂√3 sin 𝑥 +¹₂cos 𝑥

d. cos 2𝜃. cos 𝜃 + sin 2𝜃. sin 𝜃 3. Nilai dari::

a. Jika 𝛼 dan 𝛽 sudut lancip dengan cos 𝛼 =¹

7 dan cos 𝛽 =¹¹

14, maka cos(𝛼 + 𝛽) = ⋯ b. Jika diketahui cos 𝛼 =⁴

5 dan cos 𝛽 =¹²

13, hitunglah cos(𝛼 − 𝛽)!

(untuk 0 < 𝛼 <^𝜋

2 dan ³

2𝜋 < 𝛽 < 2𝜋) TASK 01

xx

(4)

4 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Penurunan rumus 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷)

Perhatikan gambar berikut!

Luas 𝛥PQR = Luas 𝛥PLQ + Luas 𝛥PLR

1

2𝑎𝑏 sin(𝛼 + 𝛽) =¹

2𝑥𝑝 +¹

2𝑦𝑝 (Rumus luas segitiga dengan sinus)

 ¹

2(𝑎 sin 𝛼)(𝑏 cos 𝛽) +¹₂(𝑏 sin 𝛽)(𝑎 cos 𝛼)

 ¹

2𝑎𝑏 ( sin 𝛼. cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 )

 sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼. cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽

Rumus03:: 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶. 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶. 𝐬𝐢𝐧 𝜷 Penurunan rumus 𝐬𝐢𝐧(𝜶 − 𝜷)

Berdasarkan Rumus03:: 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶. 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶. 𝐬𝐢𝐧 𝜷 , akan dicari penurunan rumus sin(𝛼 − 𝛽). Sehingga,

sin(𝛼 − 𝛽) = sin(𝛼 + (−𝛽))  ….

 ….

 …. Rumus04:: 𝐬𝐢𝐧(𝜶 − 𝜷) = 𝐬𝐢𝐧 𝜶. 𝐜𝐨𝐬 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶. 𝐬𝐢𝐧 𝜷

(Note:: Gunakan rumus 03) Contoh soal 02::

a. sin(𝑥 − 60^𝑜) b. sin 75^𝑜

c. sin 20^𝑜. cos 25^𝑜+ cos 20^𝑜. sin 25^𝑜

2. Buktikan setiap identitas 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽). 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) = sin²𝛼 − sin²𝛽!

Jawab::

1. Dengan menggunakan bantuan Rumus03 dan Rumus04 sinus, diperoleh a. sin(𝑥 − 60^𝑜) = sin 𝑥. cos 60^𝑜− cos 𝑥. sin 60^𝑜

 sin 𝑥 (¹

2) − cos 𝑥 (¹

2√3)

 ¹

2sin 𝑥 −¹

2√3 cos 𝑥 b. sin 75^𝑜= sin(45^𝑜+ 30^𝑜)

 sin 45^𝑜. cos 30^𝑜+ cos 45^𝑜. sin 30^𝑜

 (¹

2√2) (¹₂√3) + (¹₂√2) (¹₂)

 ¹

4√6 +¹₄√2 =¹₄√2(√3 + 1)

Perhatikan gambar segitiga PQR dan segitiga PLR!

Misalkan ∠𝐿𝑃𝑄 = 𝛼, ∠𝐿𝑃𝑅 = 𝛽, 𝑃𝑄 = 𝑎, dan 𝑃𝑅 = 𝑏 Hal ini berarti,

𝑄𝐿 = 𝑥 = 𝑎 sin 𝛼, 𝑅𝐿 = 𝑦 = 𝑏 sin 𝛽 𝑃𝐿 = 𝑝 = 𝑎 cos 𝛼 = 𝑏 cos 𝛽

“Ingat SINDEMI, COSAMI!!”

(5)

5 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P c. sin 20^𝑜. cos 25^𝑜+ cos 20^𝑜. sin 25^𝑜

Apabila dicermati, bentuk di atas merupakan penjabaran dari rumus sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 Sehingga diperoleh, 𝛼 = 20^𝑜; 𝛽 = 25^𝑜

Maka,

sin 20^𝑜. cos 25^𝑜+ cos 20^𝑜. sin 25^𝑜 = sin(20^𝑜+ 25^𝑜)  sin 45^𝑜= ¹

2√2 2. 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽). 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) = sin²𝛼 − sin²𝛽

Akan dibuktikan ruas kiri: 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽). 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽)

𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽). 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) = [ sin 𝛼. cos 𝛽+ cos 𝛼. sin 𝛽 ][ sin 𝛼. cos 𝛽− cos 𝛼. sin 𝛽 ] Dengan selisih kuadrat, rumus:: 𝑎²− 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

 sin²𝛼. cos²𝛽− cos²𝛼. sin²𝛽

 sin²𝛼. (1 − sin²𝛽)− (1 − sin²𝛼). sin²𝛽

 sin²𝛼 − sin²𝛼. sin²𝛽 − sin²𝛽 + sin²𝛼. sin²𝛽  sin²𝛼 − sin²𝛽 (Terbukti)

a. cos(𝛼+𝛽)+cos(𝛼−𝛽)

sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽) = cot 𝛼

b. sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽) = 2 sin 𝛼 cos 𝛽 c. sin(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 − 𝛽) = 2 cos 𝛼 sin 𝛽 2. Jabarkan dan sederhanakanlah!

a. sin 79^𝑜cos 11^𝑜+ cos 79^𝑜sin 11^𝑜 b. sin(𝜋 + 𝑥)

c. Jika sin 50^𝑜 = 𝑎, maka nilai sin 140^𝑜= ⋯ d. Jika 𝛼 + 𝛽 = 30^𝑜 dan sin 𝛼 cos 𝛽 =¹

3, maka cos 𝛼 sin 𝛽 = ⋯ 3. Tentukan 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 − 𝛽) dan 𝑠𝑖𝑛 (𝛼 + 𝛽) apabila sin 𝛼 = ⁵

13 dan cos 𝛽 =⁴

5! (Clue: Gambarlah segitiga siku-siku terlebih dahulu)

TASK 02

xx

(6)

6 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Penurunan rumus 𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷)

Perhatikan!!

cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 sin(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽

Penentuan rumus tan(𝛼 + 𝛽) dapat diperoleh dengan mempergunakan rumus dasar tan 𝐴 = ^{sin 𝐴}

cos 𝐴 yang dijabarkan sebagai berikut.

𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) = sin(𝛼 + 𝛽) cos(𝛼 + 𝛽)

𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽 cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

…

Berdasarkan hasil penjabaran, Apabila, 𝐭𝐚𝐧(𝜶 + 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶+𝐭𝐚𝐧 𝜷

𝟏−𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷. Benarkah pendefinisian tersebut?

Penurunan rumus 𝐭𝐚𝐧(𝜶 − 𝜷) Berdasarkan,

𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) = tan 𝛼 + tan 𝛽 1 − tan 𝛼 tan 𝛽

Rumus 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽) dapat diperoleh dari 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + (−𝛽)) yang dipaparkan sebagai berikut.

𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + (−𝛽))  …

Berdasarkan hasil penjabaran, Apabila, 𝐭𝐚𝐧(𝜶 − 𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶−𝐭𝐚𝐧 𝜷

𝟏+𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷. Benarkah pendefinisian tersebut?

Contoh soal 03::

a. tan(𝐴 − 135^𝑜) b. tan 15^𝑜

c. ^{tan 125}^𝑜^{−tan 65}^𝑜

1+tan 125^𝑜.tan 65^𝑜

2. Jika tan(𝑥 + 𝑦) = 1 dan tan 𝑥 =¹

2. Tentukan tan 𝑦!

Jawab::

1. Akan dijabarkan,

a. tan(𝐴 − 135^𝑜) = tan 𝐴−tan 135^𝑜 1+tan 𝐴 tan 135^𝑜

^{tan 𝐴−(−1)}

1+tan 𝐴(−1)

^{tan 𝐴+1}

1−tan 𝐴

Pembilang dan penyebut dibagi dengan cos 𝛼 cos 𝛽

Ingat!

𝑡𝑎𝑛 (−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛 𝑥

(7)

7 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P b. tan 15^𝑜= tan(45^𝑜− 30^𝑜)

 ^{tan 45}^𝑜^{−tan 30}^𝑜

1+tan 45^𝑜tan 30^𝑜

 ¹⁻

1

√3 1+1.¹

√3

.^√3

√3

 ^√3−1

√3+1.^√3−1

√3−1

 ^(√3−1)

2

3−1

 ^{(3+1)−2√3}

2 =^4−2√3

2

2 − √3

c. _{1+tan 125}^{tan 125}^𝑜^{−tan 65}_𝑜_{.tan 65}^𝑜_𝑜= tan(125^𝑜− 65^𝑜) Dihasilkan,

tan 60^𝑜= √3

2. Jika tan(𝑥 + 𝑦) = 1 dan tan 𝑥 = ¹

2 . Tentukan tan 𝑦 = ⋯ tan(𝑥 + 𝑦) = tan 𝑥 + tan 𝑦

1 − tan 𝑥. tan 𝑦 Ingat, tan(𝑥 + 𝑦) = 1 dan tan 𝑥 = ¹

2 maka, tan(𝑥 + 𝑦) = tan 𝑥+tan 𝑦

1−tan 𝑥.tan 𝑦  1 =

1 2+tan 𝑦 1−¹

2.tan 𝑦

 1 (1 −¹

2tan 𝑦) =¹

2+ tan 𝑦  1 −¹

2tan 𝑦 =¹

2+ tan 𝑦  −¹

2tan 𝑦 − tan 𝑦 =¹

2− 1  −³

2tan 𝑦 = −¹

2

 tan 𝑦 = −¹

2× −²

3= ¹

3

a. tan (^𝜋

4 − 𝐴) =cos 𝐴−sin 𝐴 cos 𝐴+sin 𝐴

b. tan 𝐴 − tan 𝐵 = ^{sin(𝐴−𝐵)}

cos 𝐴.cos 𝐵

c. ^{cos(𝐴+𝐵)}_{sin(𝐴−𝐵)} =1−tan 𝐴.tan 𝐵 tan 𝐴−tan 𝐵

2. Jabarkan dan sederhanakanlah!

a. Jika tan(𝑥 + 50^𝑜) = 𝛼, maka tan(𝑥 + 5^𝑜) = ⋯ b. _{1−tan 69}^{tan 69}^𝑜^{+tan 66}_𝑜_{.tan 66}^𝑜_𝑜= ⋯

c. Jika tan 𝐴 = 2 dan tan(𝐴 − 𝐵) = 0,25. Carilah tan 𝐵!

3. Untuk 𝛼 dan 𝛽 sudut-sudut lancip, diketahui sin 𝛼 =³

5 dan tan 𝛽 =¹

4. Hitunglah, a. tan(𝛼 + 𝛽)

b. tan(𝛼 − 𝛽) TASK 03

xx

(8)

8 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Sudut Ganda

Dalam subbab ini, pembahasan akan dikembangkan lagi dalam penentuan rumus sinus, cosinus dan tangen untuk sudut ganda. Pengertian ganda disini adalah penjumlahan dua sudut yang sama besar.

Pengembangan rumus ini akan didasarkan oleh rumus sin(𝛼 + 𝛽), cos(𝛼 + 𝛽) dan tan(𝛼 + 𝛽). Berikut adalah penjabaran dari penentuan rumus ganda berikut.

Penurunan rumus 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨

Perhatikan rumus ganda cosinus berikut.

a. cos 2𝐴 = cos²𝐴 − sin²𝐴 b. cos 2𝐴 = 1 − 2 sin²𝐴 c. cos 2𝐴 = 2cos²𝐴 − 1

Buktikan ketiga rumus ganda cosinus dengan menggunakan bantuan dari cos(𝛼 + 𝛽).

cos 2𝐴 = cos(𝐴 + 𝐴)

 …

Penurunan rumus 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 sin 2𝐴 = sin(𝐴 + 𝐴)

 …

Berdasarkan hasil penjabaran, apabila sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴, Benarkah rumus tersebut?

Penurunan rumus 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝑨 tan 2𝐴 = tan(𝐴 + 𝐴)

 …

Berdasarkan hasil penjabaran, apabila tan 2𝐴 = ^{2 tan 𝐴}

1−tan²𝐴, Benarkah rumus tersebut?

1. Jika sin 𝐴 =³

5 dengan A sudut lancip, hitunglah:

a. sin 2𝐴 b. cos 2𝐴 c. tan 2𝐴 2. Apabila sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝. Tentukan sin 2𝐴!

3. Tentukan nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0 jika 0^𝑜 < 𝑥 < 180^𝑜! Jawab::

1. Perhatikan gambar berikut!

Sudut Ganda dan Paruh

B

sin 𝐴 = ^depan

miring =³

5 cos 𝐴 =^samping

miring = ⁴

5 tan 𝐴 = ^depan

samping=³

4

(9)

9 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Akibatnya,

a. sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴

 2 (³

5) (⁴

5)

 ²⁴

25

b. cos 2𝐴 = 1 − 2 sin²𝐴

 1 − 2 (³

5)²

 1 − 2 (⁹

25)

 1 −¹⁸

25=²⁵⁻¹⁸

25 = ⁷

25

c. tan 2𝐴 = ^{2 tan 𝐴}

1−tan²𝐴

 ²⁽

3 4) 1−(³

4)²



3 2 1−⁹

16



3 2 7 16

 ³

2∶ ⁷

16 maka ³

2 ×¹⁶

7

 ²⁴

7

2. Diketahui:: sin 𝐴 − cos 𝐴 = 𝑝 sin 2𝐴 = ⋯ ???

(sin 𝐴 − cos 𝐴)² = 𝑝²

 sin²𝐴 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 + cos²𝐴 = 𝑝²

 (sin²𝐴 + cos²𝐴) − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝²

 1 − 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝²

 −2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 𝑝²− 1

 2 sin 𝐴 cos 𝐴 = 1 − 𝑝²

 sin 2𝐴 = 1 − 𝑝² 3. sin 2𝑥 + sin 𝑥 = 0

 2 sin 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 = 0

 sin 𝑥(2 cos 𝑥 + 1) = 0 Sehingga diperoleh,

sin 𝑥 = 0 atau cos 𝑥 = −¹

▪ Untuk sin 𝑥 = 0 2

Sehingga, sin 𝑥 = sin 0^𝑜 𝑥 = ⟨ 𝑥₁ = 0^𝑜+ 𝑘. 360^𝑜

𝑥₂ = (180^𝑜− 0^𝑜) + 𝑘. 360^𝑜

Tidak ada nilai-nilai 𝒙 yang memenuhi dalam interval 𝟎^𝒐 < 𝒙 < 𝟏𝟖𝟎^𝒐.

▪ Untuk cos 𝑥 = −¹

2

Sehingga, cos 𝑥 = cos 120^𝑜 𝑥 = ⟨ 𝑥₁ = 120^𝑜+ 𝑘. 360^𝑜 𝑥₂ = −120^𝑜+ 𝑘. 360^𝑜 Akibatnya,

𝑥₁ = 120^𝑜 𝐻𝑃 = {120^𝑜}

(10)

10 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P 1. Buktikan bahwa:

a. cos 𝑥(1 − cos 2𝑥) = sin 𝑥 sin 2𝑥 b. cos 2𝑥 =^1−tan²^𝜃

1+tan²𝜃

c. Jika 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180^𝑜. Tunjukan bahwa: sin 2𝐴 + sin 2𝐵 − sin 2𝐶 = 4 cos 𝐴. cos 𝐵. cos 𝐶!

2. Jika sin 𝐴 = ⁸

17 dan 𝐴 di kuadran II, tentukan nilai:

a. sin 2𝐴 b. cos 2𝐴 c. tan 2𝐴 3. Tuliskan rumus untuk:

a. sin 3𝑥; Jika sin 𝑥 =¹

3, maka tuliskan nilai sin 3𝑥!

b. cos 3𝑥 c. tan 3𝑥 4. Jika ^{tan 3𝐴}

tan 𝐴 = 𝐾. Tunjukkan bahwa ^{tan 3𝐴}

tan 𝐴 = ^2𝐾

𝐾−1! Sudut Paruh

Dalam pembahan sebelumnya, kita telah menguraikan pengertian tentang sudut ganda dan rumus- rumus trigonometrinya. Sekarang kita akan menjelaskan tentang sudut paruh, yaitu setengah dari sudut awal. Misalnya 𝐴 merupakan separuh dari 2𝐴, ¹

2𝐴 merupakan separuh 𝐴, ¹

4𝐴 separuh ¹

2𝐴, dan seterusnya.

Penurunan rumus 𝐬𝐢𝐧 ^𝟏

𝟐𝑨

Berdasarkan rumus cos 2𝐴 = 1 − 2 sin²𝐴, diperoleh:

2 sin²𝐴 = 1 − cos 2𝐴

 sin²𝐴 =^{1−cos 2𝐴}

2

 𝑠𝑖𝑛 𝐴 = ±√^{1−cos 2𝐴}

2

Akibatnya, hasil penjabaran, 𝑠𝑖𝑛¹

2𝐴 = ±√^{1−cos 𝐴}

2 Keterangan::

tanda positif (+) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran I dan II.

tanda negatif (−) untuk sudut ¹

2𝐴 di Kuadran III dan IV.

Penurunan rumus 𝐜𝐨𝐬 ^𝟏

𝟐𝑨

Perhatikan rumus cos 2𝐴 = 2cos²𝐴 − 1, maka 2 cos²𝐴 = 1 + cos 2𝐴

 …

Akibatnya, hasil penjabaran, 𝑐𝑜𝑠¹

2𝐴 = ±√^{1+cos 𝐴}

2 Keterangan::

2𝐴 di Kuadran I dan IV.

2𝐴 di Kuadran II dan III.

TASK 04

xx

(11)

11 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Penurunan rumus 𝐭𝐚𝐧 ^𝟏

𝟐𝑨 tan1

2𝐴 = 𝑠𝑖𝑛1 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠1

 … 2 𝐴

 …

** (Apabila dikalikan dengan √1 − cos 𝐴) ** (Apabila dikalikan dengan √1 + cos 𝐴)

Sehingga, Sehingga,

 …  … Akibatnya diperoleh,

1. tan¹

2𝐴 = ±√^{1−cos 𝐴}

1−cos 𝐴 2. tan¹

2𝐴 =^{1−cos 𝐴}

sin 𝐴 3. tan¹

2𝐴 = ^{sin 𝐴}

1+cos 𝐴

Keterangan::

2𝐴 di Kuadran I dan III.

2𝐴 di Kuadran II dan IV.

1. Dengan prinsip sudut paruh, hitunglah::

a. sin 15^𝑜 b. cos^𝜋

8 c. tan 15^𝑜 2. Diberikan sin 𝐴 = −¹²

13 dengan A di Kuadran III, hitunglah::

a. cos^𝐴

2 b. tan^𝐴

2

3. Tunjukkan bahwa:: cos^{2 𝐵}

2 =^{sec 𝐵+1}

2 sec 𝐵! Jawab::

1. Sudut paruh a. ^𝐴

2 = 15^𝑜  𝐴 = 30^𝑜 (Kuadran I, artinya positif) sin 15^𝑜= √^{1−cos 2𝐴}

2

 √^{1−cos 30}^𝑜

2

 √¹⁻¹²^√3

2

 √^2−√3

4 = ¹

2√2 − √3 b. ^𝐴₂ =^𝜋

8  𝐴 =^𝜋

4 (Kuadran I, artinya positif) cos^𝜋

8 = √^{1+cos 𝐴}

2  √^1+cos

𝜋 4 2

 √¹⁺¹²^√2

2

 √^2+√2

4

(12)

12 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P c. ^𝐴

2 = 15^𝑜  𝐴 = 30^𝑜 (Kuadran I, artinya positif) tan 15^𝑜= ^{sin 𝐴}

1+cos 𝐴  ^{sin 30}^𝑜

1+cos 30^𝑜 

1 2 1+¹₂√3

 ¹

2+√3= 2 − √3 (dikalikan dengan akar sekawan) 2. Perhatikan!

a. cos^𝐴

2  𝑨 dalam kuadran III, maka “- (negatif)”

cos^𝐴

2 = √^{1+cos 𝐴}

2

 √¹⁺⁽⁻¹³⁵⁾

2 = √

8 13

2 = √⁸

13×¹

2

 √⁴

13

b. tan^𝐴

2  𝑨 dalam kuadran III, maka “+ (positif)”

tan^𝐴

2 =^{1−cos 𝐴}

sin 𝐴  ¹⁻⁽⁻

5 13) (−¹²₁₃) =¹⁸

13× (−¹³

12)  −¹⁸

12= −³

2

3. Akan dibuktikan:: cos^{2 𝐵}

2 =^{sec 𝐵+1}

2 sec 𝐵

cos^{2 𝐵}

2 = cos^𝐵

2. cos^𝐵

2  (±√^{1+cos 𝐵}

2 ) (±√^{1+cos 𝐵}

2 )  ^{1+cos 𝐵}

2 ×¹₁^⁄^{cos 𝐵}

cos 𝐵

⁄

 ¹^⁄₂^{cos 𝐵}⁺¹

cos 𝐵

⁄ =^{sec 𝐵+1}

2 sec 𝐵

1. Buktikan bahwa::

a. tan^𝐴

2 = csc 𝐴 − cot 𝐴 c. 2 cos^{2 𝐵}

2− cos 𝐵 = 1 b. tan^𝐴

2(cos 𝐴 + 1) = sin 𝐴 d. (cos^𝑥

2− sin^𝑥

2)² = 1 − sin 𝑥 2. Carilah nilai::

a. sin 22,5^𝑜 b. tan 82,5^𝑜 c. tan 142^𝑜30′

3. Jika cos 𝑥 =⁴

5, maka carilah nilai tan^𝑥

2! 4. Jika tan 𝐴 = −⁴⁰

9 dengan 𝐴 di Kuadran II, hitunglah cos^𝐴

2!

A dalam kuadran III. Ingat, “SINDEMI COSAMI TANDESAM”!!!

sin 𝐴 = −¹²

13 cos 𝐴 = − ⁵

13 tan 𝐴 =¹²

5

TASK 05

xx

(13)

Masih ingatkah kalian dengan rumus-rumus berikut!

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽

Rumus-rumus tersebut akan dijadikan dasar sebagai pembuktian rumus perkalian ke penjumlahan dari ekspresi trigonometri.

Penurunan rumus 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐝𝐚𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃

Dengan melakukan penjumlahan antara sin(𝛼 + 𝛽) dan sin(𝛼 − 𝛽), diperoleh sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 +

… Sehingga,

Apabila dituliskan sin 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)], benarkah jawaban itu?

Apabila dilakukan pengurangan antara sin(𝛼 + 𝛽) dan sin(𝛼 − 𝛽), diperoleh sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 −

…

Apabila dituliskan cos 𝛼 sin 𝛽 = −¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽)] , benarkah jawaban itu?

Penurunan rumus 𝐜𝐨𝐬 𝛂 𝐜𝐨𝐬 𝛃 𝐝𝐚𝐧 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃

Dengan melakukan penjumlahan antara cos(𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 − 𝛽), diperoleh cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 +

… Sehingga,

Apabila dituliskan cos 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)], benarkah jawaban itu?

Apabila dilakukan pengurangan antara cos(𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 − 𝛽), diperoleh cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽

cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 −

…

Apabila dituliskan sin 𝛼 sin 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)] , benarkah jawaban itu?

Perkalian Sudut

C

Rumus perkalian ke penjumlahan (i) sin 𝛼 sin 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)]

(ii) sin 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)]

(iii) cos 𝛼 cos 𝛽 =¹

2[cos(𝛼 − 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)]

(iv) cos 𝛼 sin 𝛽 = −¹

2[sin(𝛼 − 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽)]

(14)

14 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Contoh soal 06::

1. Nyatakan setiap bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih kosinus.

a. 2 cos 72^𝑜cos 8^𝑜 d. 10 sin(4𝛼 + 3𝛽) sin(4𝛼 − 3𝛽) b. 4 sin 3𝐴 cos 2𝐴 e. 2 sin 37¹

2

𝑜cos 7¹

2 𝑜

c. 2 cos 2𝑥 cos 𝑦 f. 6 sin 3𝑥 sin 𝑥 2. Buktikanlah 2 cos (^𝜋

4+ 𝜃) cos (^3𝜋

4 − 𝜃) = sin 2𝜃 − 1!

Pembahasan 1a, 2 cos 72^𝑜cos 8^𝑜= 2.¹

2[cos 64^𝑜+ cos 80^𝑜]  cos 64^𝑜+ cos 80^𝑜 Pembahasan 1b,

4 sin 3𝐴 cos 2𝐴 = 4.¹

2[sin 𝐴 + sin 5𝐴]

 2[sin 𝐴 + sin 5𝐴]

 2 sin 𝐴 + 2 sin 5𝐴 Pembahasan 1c,

2 cos 2𝑥 cos 𝑦 = 2.1

2[cos(2𝑥 − 𝑦) + cos(2𝑥 + 𝑦)]

 cos(2𝑥 − 𝑦) + cos(2𝑥 + 𝑦) Pembahasan 1d,

10 sin(4𝛼 + 3𝛽) sin(4𝛼 − 3𝛽)

 10.¹

2[cos(4𝛼 + 3𝛽 − (4𝛼 + 3𝛽)) − cos(4𝛼 + 3𝛽 + (4𝛼 + 3𝛽))]

 5[cos(4𝛼 + 3𝛽 − (4𝛼 − 3𝛽)) − cos(4𝛼 + 3𝛽 + (4𝛼 − 3𝛽))]

 5[cos(6𝛽) − cos(8𝛼)]

 5 cos 6𝛽 − 5 cos 8𝛼 Pembahasan 1e, 2 sin 37¹

2

𝑜cos 7¹

2 𝑜 =¹

2[sin(30^𝑜) + sin(45^𝑜)]

 ¹

2[¹

2+¹

2√2] =¹₄(1 + √2) Pembahasan 1f,

6 sin 3𝑥 sin 𝑥 =¹

2. 6[cos(2𝑥) − cos(4𝑥)]

 3[cos(2𝑥) − cos(4𝑥)]

 3 cos 2𝑥 − 3 cos 4𝑥 Pembahasan 2,

Akan dibuktikan 2 cos (^𝜋

4 + 𝜃) cos (^3𝜋

4 − 𝜃) = sin 2𝜃 − 1 2 cos (^𝜋

4+ 𝜃) cos (^3𝜋

4 − 𝜃) = 2.¹

2[cos ((^𝜋

4+ 𝜃) − (^3𝜋

4 − 𝜃)) + cos ((^𝜋

4 + 𝜃) + (^3𝜋

4 − 𝜃))] (Ruas kiri)  cos (−^𝜋

2+ 2𝜃) + cos(𝜋)  [cos(−^𝜋

2)cos 2𝜃− sin(−^𝜋

2)sin 2𝜃] + (−1)  [cos(^𝜋

2)cos 2𝜃+ sin(^𝜋

2)sin 2𝜃] − 1  [0. cos 2𝜃+ 1. sin 2𝜃] − 1

 sin 2𝜃− 1 (Terbukti)

Ingat!

cos (−𝑥) = cos 𝑥 sin (−𝑥) = −sin 𝑥

(15)

1. Nyatakan setiap bentuk sebagai jumlah atau selisih kosinus.

a. sin 75^𝑜cos 15^𝑜

b. 2 sin(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) sin(𝑎 − 𝑏 + 𝑐) c. ^{cos 54}_{cos 18}^𝑜^{cos 36}_𝑜 ^𝑜

2. Buktikanlah!

a. 2 sin(315^𝑜+ 𝐴) sin(45^𝑜− 𝐴) = sin 2𝐴 − 1 b. sin 3𝑏 + (cos 𝑏 + sin 𝑏)(1 − 2 sin 2𝑏) = cos 3𝑏 c. 4 cos 𝐴 cos (𝐴 +⁴

3𝜋) cos (𝐴 +²

3𝜋) = cos 3𝐴

Berdasarkan rumus perkalian sinus dan cosinus, kita dapat menurunkan lagi menjadi rumus jumlah dan selisih pada sinus dan cosinus, yaitu dengan cara memisalkan: 𝛼 + 𝛽 = 𝐴 dan 𝛼 − 𝛽 = 𝐵, sehingga diperoleh hubungan antara 𝛼 dan 𝛽 dengan 𝐴 dan 𝐵 sebagai berikut.

𝛼 + 𝛽 = 𝐴 𝛼 − 𝛽 = 𝐵 + 2𝛼 = 𝐴 + 𝐵

𝛼 =𝐴 + 𝐵 2

Dengan mengganti masing-masing 𝛼 dan 𝛽 pada rumus sinus dan cosinus pada memo, dapat dituliskan:

TASK 06

xx

Jumlah dan selisih Sinus-Kosinus

D

Rumus penjumlahan ke perkalian

▪ sin 𝐴 + sin 𝐵 = 2 sin¹

2(𝐴 + 𝐵) cos¹

2(𝐴 − 𝐵)

▪ sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos¹

2(𝐴 + 𝐵) sin¹

2(𝐴 − 𝐵)

▪ cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos¹

2(𝐴 + 𝐵) cos¹

2(𝐴 − 𝐵)

▪ cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin¹

2(𝐴 + 𝐵) sin¹

2(𝐴 − 𝐵)

Magic Spells

Untuk mengingat materi tersebut, coba hafalkan mnemonik berikut.

Sayang + Sayang = Semakin Cinta Sayang – Sayang = Cinta Sirna Cinta + Cinta = Cenat Cenat

Cinta – Cinta = Aduh Sayang Sekali

𝛼 + 𝛽 = 𝐴

𝛼 − 𝛽 = 𝐵 − 2𝛽 = 𝐴 − 𝐵

𝛽 =𝐴 − 𝐵 2

(16)

16 | T r i g o n o m e t r i A n a l i t i k - L D P Contoh soal 07::

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus dan cosinus berikut.

a. sin 160^𝑜+ sin 40^𝑜 b. cos 2𝑥 + cos 8𝑥

c. cos(2𝑥 − 𝑦) + cos(4𝑥 + 3𝑦) d. ^sin

5𝜋 12+sin₁₂^𝜋 cos^5𝜋₁₂−cos₁₂^𝜋

2. Buktikanlah sin (^5𝜋

12) + sin ^𝜋

12=¹

2√6!

Pembahasan 1a,

sin 160^𝑜+ sin 40^𝑜 = 2 sin¹

2(200^𝑜) cos¹

2(120^𝑜)  2 sin¹

2(200^𝑜) cos¹

2(120^𝑜)  2 sin 100^𝑜cos 60^𝑜

 2.¹

2. sin 100^𝑜= sin 100^𝑜 Pembahasan 1b,

cos 2𝑥 + cos 8𝑥 = 2 cos¹

2(2𝑥 + 8𝑥) cos¹

2(2𝑥 − 8𝑥)

 2 cos¹

2(10𝑥) cos¹

2(−6𝑥)

 2 cos 5𝑥 cos(−3𝑥)

 2 cos 5𝑥 cos 3𝑥 Pembahasan 1c,

cos(2𝑥 − 𝑦) + cos(4𝑥 + 3𝑦) = 2 cos¹

2((2𝑥 − 𝑦) + (4𝑥 + 3𝑦)) cos¹

2((2𝑥 − 𝑦) − (4𝑥 + 3𝑦))

 2 cos¹

2(6𝑥 + 2𝑦) cos¹

2(−2𝑥 − 4𝑦)

 2 cos(3𝑥 + 𝑦) cos(−𝑥 − 2𝑦)

 2 cos(3𝑥 + 𝑦) cos(−(𝑥 + 2𝑦))

 2 cos(3𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 + 2𝑦) Pembahasan 1d,

sin^5𝜋 12+sin^𝜋

12 cos^5𝜋

12−cos^𝜋 12

= ^{2 sin}

1

2(^5𝜋₁₂+₁₂^𝜋) cos¹₂(^5𝜋₁₂−₁₂^𝜋)

−2 sin¹₂(^5𝜋₁₂+₁₂^𝜋) sin¹₂(^5𝜋₁₂−₁₂^𝜋)  ^{2 sin}

1

2(^6𝜋₁₂) cos¹₂(^4𝜋₁₂)

−2 sin¹ 2(^6𝜋

12) sin¹ 2(^4𝜋

12)

 ^{2 sin(}

𝜋 4) cos(^𝜋₆)

−2 sin(^𝜋 4) sin(^𝜋

6)

 ^2.(

1

2√2).(¹₂√3)

−2.( ¹ 2√2)(¹₂)

 ^√3

−1= −√3 Pembahasan 2,

Akan dibuktikan:: sin (^5𝜋

12) + sin ^𝜋

12= ¹

2√6 sin (^5𝜋

12) + sin (^𝜋

12) =2 sin¹

2(^5𝜋

12+ ^𝜋

12)cos¹

2(^5𝜋

12− ^𝜋

12)  2 sin¹

2(^𝜋₂) cos¹

2(^𝜋₃)  2 sin (^𝜋₄) cos (^𝜋₆)  2 (¹

2√2) (¹₂√3) =¹₂√6

(17)

1. Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan dari sinus dan cosinus berikut.

a. sin 3𝑥 − sin 𝑥 b. cos 105^𝑜+ cos 15^𝑜 c. ^{cos 70}_{sin 70}^𝑜_𝑜^{+cos 20}_{+sin 20}_𝑜^𝑜

d. cos 56^𝑜+ sin 56^𝑜. tan 28^𝑜 2. Buktikanlah!

a. sin 80^𝑜− sin 20^𝑜 = cos 50^𝑜 b. sin 𝑠+sin 𝑡

cos 𝑠+cot 𝑡= tan (^𝑠+𝑡

2 )

c. cos 2𝛼 + cos 5𝛼 + cos 8𝛼 + cos 11𝛼 = 4 cos³

2𝛼 cos 3𝛼 cos¹³

2 𝛼 TASK 07