BUKU-AJAR-DINAMIKA-Struktur (1)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatNya sehingga kami dapat menyelesaikan Buku Ajar Mata Kuliah Dinamika Struktur ini. Buku ajar ini merupakan bagian dari media bahan ajar yang dimaksudkan untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi perkuliahan yang disampaikan, khususnya mata kuliah Dinamika Struktur, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Brawijaya, Malang.

Buku ajar ini disusun dalam enam bab. Bab I memperkenalkan konsep- konsep dasar mengenai dinamika struktur, respon struktur terhadap beban dinamik, analisa dinamis pada struktur, serta derajat kebebasan. Bab II membahas sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) yang meliputi pemodelan parameter, pemodelan matematis, free body diagram, dan persamaan gerak dari suatu struktur. Getaran bebas sistem SDOF untuk kondisi tak teredam dan teredam dibahas pada bab III. Selain itu juga dijelaskan mengenai eksperimen penentuan frekuensi alami dasar dan faktor damping, serta getaran bebas dengan coulomb damping dari sebuah sistem SDOF. Sistem SDOF terhadap gerak harmonis untuk sistem tak teredam dan sistem dengan redaman viskous dijelaskan pada bab IV.

Bab V membahas respon sistem SDOF terhadap bentuk spasial dari eksitasi, meliputi respon sistem redaman viskous untuk step input ideal, respon sistem tak teredam pada rectangular pulse dan pembebanan ram, serta impuls dengan durasi pendek, unit respon impuls. Bab VI dibahas tentang respon sistem SDOF pada eksitasi dinamis dengan metode integral duhamel. Akhirnya, pada bab VIII dan IX membahas mengenai sistem berderajat kebebasan banyak (MDOF).

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan buku ajar ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat kepada siapapun yang ingin mengkaji dinamika struktur.

Hormat kami,

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur ... 1

1.2 Analisa Dinamis pada Struktur ... 2

1.3 Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom) ... 4

BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL (SDOF) ... 6

2.1 Pemodelan Parameter ... 6

2.2 Pemodelan Matematis ... 7

2.3 Free Body Diagram ... 9

2.4 Persamaan Gerak (Equation of Motion) ... 10

2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter... 10

2.4.2 Prinsip D’Alembert ... 12

2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped) ... 15

2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped) ... 20

BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF ... 21

3.1 Pendahuluan ... 21

3.2 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped) ... 22

3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped) ... 23

3.4 Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF ... 26

3.5 Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping ... 32

BAB IVRESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK HARMONIS ... 35

4.1 Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis ... 35

4.2 Respon Sistem SDOF Redaman Viskous Terhadap Gerakan Harmonis ... 39

BAB V Respon Sistem SDOF Terhadap Bentuk Spesial Dari Eksitasi ... 44

5.1 Respon Dari Sebuah Viscous-Damped System SDOF Untuk Sebuah Step Input yang Ideal... 44

5.2 Persamaan Respon dari sebuah Sistem Undamped SDOF pada Rectangular Pulse dan Pembebanan Ram ... 45

5.3 Respon Dari Sistem SDOF Tak Teredam untuk Impuls dengan Durasi Pendek,

Unit Respon Impuls ... 49

BAB VI Respon System SDOF pada Eksitasi Dinamis ... 53

6.1 Metode Integral Duhamel ... 53

BAB VII Respons Spektrum ... 62

7.1 Bentuk Respons Spektrum ... 62

7.2 Respons Spektrum pada Pondasi yang Bergerak ... 65

7.3 Besaran- Besaran Respons Spektrum ... 66

7.4 Respons Spektrum untuk Perencanaan Elastis ... 68

BAB VIII SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN BANYAK (MDOF) ... 70

8.1 Sistem MDOF Sederhana ... 70

8.2 Hukum Newton Kedua pada Sistem MDOF ... 70

8.3 Prinsip D’Alembert’s pada Sistem MDOF ... 71

8.4 Sistem Massa – Pegas – Redaman ... 72

8.5 Koefisien Kekakuan ... 74

BAB IX GETARAN BEBAS UNTUK SISTEM MDOF ... 77

9.1 Sistem MDOF Tak Teredam ... 77

9.2 Frekuensi Natural dan Pola Normal ... 78

9.3 Sifat Ortogonalitas dari Pola Normal ... 79

9.4 Solusi Persamaan Getaran Bebas pada Sistem Tak teredam ... 83

9.5 Respon Pada Gedung Akibat Gempa ... 84

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Pendahuluan mengenai Dinamika Struktur

Secara sederhana dinamik dapat diartikan sebagai variasi atau perubahan terhadap waktu dalam konteks gaya yang bekerja (eksitasi) pada struktur. Beban dinamis dapat berupa variasi besarannya (magnitude), arahnya (direction) atau posisinya (point of application) berubah terhadap waktu. Demikian pula respons struktur terhadap beban dinamik, yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan juga perubahan-waktu, atau bersifat dinamik.

Gambar 1.1. Balok kantilever dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis.

Pada gambar diatas terlihat balok kantilever dengan dua jenis pembebanan berbeda yaitu beban statis dan dinamis.

a. gambar 1.1 (a) menunjukan balok kantilever dengan beban statis, responnya dipengaruhi oleh beban P.

b. gambar 1.1 (b) menunjukan balok kantilever dengan beban dinamis atau beban yang bervariasi terhadap waktu P(t).

Lendutan dan tegangan internal yang timbul dalam kasus beban statis hanya ditimbulkan langsung oleh beban P, sedangkan dalam kasus beban dinamis, percepatan yang dialami oleh balok akibat P(t) menimbulkan gaya inersia yang terdistribusi pada seluruh bagian balok. Lendutan dan tegangan pada balok sangat dipengaruhi pula oleh gaya inersia yang ditimbulkan oleh massa balok ketika mengalami percepatan. Jika pengaruh gaya inersia yang terjadi sangat signifikan, maka perlu dilakukan analisa dinamis. Perbedaan respon untuk beban statis dan dinamis juga dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut.

(a) (b)

P P(t)

Gambar 1.2. Balok dengan (a) beban statis dan (b) beban dinamis

1.2 Analisa Dinamis pada Struktur

Dapat dikatakan bahwa langkah yang paling diperlukan dalam sebuah analisa dinamis adalah pemodelan matematis. Namun secara keseluruhan langkah- langkah dalam analisa dinamis dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 1.3. Langkah-langkah dalam analisa dinamis.

DINAMIS STATIS

Model analitis terdiri dari:

a. Asumsi sederhana yang dibuat untuk menyederhanakan suatu sistem.

b. Gambar dari model analitis tersebut.

c. Daftar parameter desain.

Model analitis terbagi dalam dua kategori dasar : a. Model berkesinambungan (continues model) b. Model diskrit (discrete-parameter model)

Model berkesinambungan (continues model) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of DOF) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi, sebuah model matematis dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit.

Gambar 1.4. Model analitis berkesinambungan (continues) dan diskrit (discrete-parameter) pada sebuah balok kantilever.

Model berkesinambungan (continues model) pada gambar 1.4(a) menunjukan jumlah derajat kebebasan tak berhingga, model diskrit pada gambar 1.4 (b) dan (c) ditunjukan dengan model massa terkelompok (lumped-mass model) dimana massa terbagi rata dari sistem dianggap sebagai massa titik atau partikel.

(a)

(b)

(c)

1.3 Derajat Kebebasan (Degrees of Freedom)

Jumlah koordinat bebas yang menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat.

Model Struktur

Model SDOF

Model MDOF

Model Struktur

Model SDOF

Model MDOF

Model Struktur Model SDOF Model MDOF

Gambar 1.5. Beberapa model struktur dengan derajat kebebasan SDOF (Single Degree of Freedom) dan MDOF (Multiple Degree of Freedom).

Model Struktur Model SDOF Model MDOF

Model Struktur Model SDOF Model MDOF

) (u₂ u₁ c

f_D   

BAB II SISTEM BERDERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL (SDOF)

2.1 Pemodelan Parameter

Komponen-komponen yang merupakan pemodelan himpunan parameter dari sebuah struktur adalah sesuatu yang menghubungkan gaya dengan perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Komponen yang menghubungkan gaya dengan perpindahan disebut pegas. Gambar 2.1 menunjukkan idealisasi pegas tak bermassa dan plot gaya dari pegas terhadap regangan. Gaya pegas selalu bekerja sepanjang garis hubung kedua ujung pegas.

Hubungan linier antara gaya dan regangan dinyatakan : f_s = k e

dimana, k adalah konstanta pegas. Besaran k adalah pound/inc (lb/in) atau N/m.

Energi tegangan dinyatakan dengan V = ½ (k e²)

Gambar 2.1. Gaya-deformasi pada pegas.

dimana energi tegangan dinyatakan sebagai area dibawah kurva fs terhadap e.

Model analitis yang paling umum dari redaman dalam analisa dinamika struktur adalah model tahanan dashpot, yang dapat diilustrasikan pada gambar 2.2.

Gambar 2.2. Model tahanan dashpot.

Gaya redaman fD dinyatakan :

Dari fungsi linear dari kecepatan relatif antara dua ujung dashpot.

………(2.1)

………(2.2)

………(2.3)

Konstanta c disebut koefisien viscositas redaman dan besarannya adalah pond/inc/detik atau N/m/detik. Dalam menulis persamaan gerak dari partikel, hukum kedua dari Newton digunakan,

dimana m adalah massa dan a adalah percepatan relatif dari suatu bidang referensi inersia. Besaran massa adalah lb.det/in atau N.det/in.

Untuk permasalahan dinamika struktur seringkali sangat berguna untuk memperkenalkan gaya inersia.

Kemudian persamaan 2.4 bisa ditulis sebagai persamaan dinamik yang semisal :

dengan resultan gaya inersia yang ditambahkan pada resultan gaya lain yang bekerja pada partikel.

2.2 Pemodelan Matematis

Model matematis dalam analisa dinamika struktur mempunyai beberapa elemen sebagai berikut:

 massa m menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur

 pegas k menyatakan gaya balik elastic dan kapasitas energy potensial dari struktur

 redaman c menyatakan sifat geseran dan kehilangan energy dari struktur

 gaya pengaruh F(t) menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur sebagai fungsi dari waktu.

Namun dalam pembahasan dinamika struktur dengan analisa sederhana pada sistem berderajat kebebasan tunggal, redaman c diabaikan. Beberapa contoh model matematis pada struktur dapat dilihat pada gambar berikut.

ma f_l 

………(2.4) ma

F



………(2.5)





^{F'fl  F 0} ………(2.6)

P(t) P(t)

K1 K2 K

m

m P(t) K

Fs y

Fs (gaya)

y (perpindahan) hard spring

linier spring soft spring

K

m

m

K

y EI

Gambar 2.3. Model matematis sistem berderajat kebebasan tunggal.

Pada model diatas, massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis pegas digambarkan antara gaya Fs pada ujung pegas dan hasil perpindahan y dapat dilihat pada gambar 2.4 (a) sedangkan tiga jenis pegas ditunjukan secara grafis pada gambar 2.4 (b).

Gambar 2.4. Hubungan gaya dan perpindahan pada pegas.

Lengkungan pada pegas kuat (hard spring) menyatakan sifat dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang diisyaratkan seiring dengan terdeformasinya pegas. Karakteristik garis lurus pada pegas liniear (linear spring) menggambarkan deformasi yang selaras dengan gaya.

Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebut konstanta pegas (spring constant) k. Sedangkan pada pegas lemah (soft spring),

Model Struktur Model SDOF Model Matematis

Model Struktur Model SDOF Model Matematis

(a)

(b)

m

y K₂ K₁

P

y

K1 K2

2 1

1 1 1

k k k_e  

2

1 k

k k_e  

i n

i

e k

k







1

i n

e i k

k

1 1



1





m P(t) K

f

s P(t)

I

pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi makin besar.

Jika suatu pegas terpasang secara paralel atau seri, maka diperlukan penentuan konstanta pegas ekivalen dari sistem tersebut.

(a) (b)

Gambar 2.5. Kombinasi pegas (a) pegas paralel (b) pegas seri.

Untuk n pegas yang dipasang parallel, konstanta pegas ekivalennya:

Sedangkan untuk n pegas yang terpasang seri :

2.3 Free Body Diagram

Salah satu aspek yang penting dalam analisis dinamis adalah menggambar sebuah diagram free body dari sistem yang memungkinkan penulisan besaran matematik dari sistem tersebut. Free Body Diagram (FBD) adalah suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2.6. Free Body Diagram dari sebuah sistem berderajat kebebasan tunggal.

………(2.7)

………(2.8)

Dari gambar free body diagram diatas, menunjukan bahwa massa m yang dipindahkan dengan adanya gaya luar sebesar P(t), dan memberikan gaya pegas sebesar F_s=ky serta gaya inersia I.

2.4 Persamaan Gerak (Equation of Motion)

Pada bagian ini persamaan gerakan dari beberapa model lumped parameter akan diturunkan dengan menggunakan hukum Newton atau yang ekivalen, metode gaya D’Alembert. Hal ini akan berlaku sebagai review atas pelajaran sebelumnya pada dinamika dan juga memperkenalkan prosedur yang digunakan dalam menentukan model matematis dari sistem SDOF.

2.4.1 Aplikasi dari Hukum Newton Pada Model-model Lumped Parameter Untuk menentukan gerak pada sebuah sistem, yaitu mempelajari perpindahan atau kecepatan massa m pada saat t untuk kondisi awal pada saat

0

t . Hubungan antara perpindahan dan waktu diberikan oleh Hukum Newton Kedua untuk gerak yang ditulis pada persamaan (2.4), dimana F adalah resultan gaya yang bekerja pada partikel massa m dan a adalah resultan percepatan.

Persamaan diatas merupakan persamaan vector yang dapat ditulis dalam bentuk ekivalen, dalam besaran komponennya menurut sumbu koordinat.

z z y y x

x ma F ma F ma

F

 



^{  }

Contoh 2.1

Gunakan hukum Newton untuk menurunkan persamaan gerakan dari sistem pegas sederhana dan dashpot massa di bawah ini. Asumsikan hanya ada gerakan vertikal. Dan asumsikan bahwa pegas linier dengan konstanta pegas k. Abaikan gesekan udara, massa pegas, dan redaman dalam pegas. P(t) adalah gaya yang bekerja pada massa dari luar.

………(2.9)

Solusi:

Tentukan bidang referensi dan koordinat perpindahan. Pilih sumbu x sepanjang garis pergerakan dan tentukan titik acuan awal (misal x = 0) pada lokasi dimana pegas tidak teregang. u adalah perpindahan pada arah x.

Gambar diagram free body dari partikel.

Gunakan hukum Newton yang kedua u

m Fx 



^





(catatan : tanda + menunjukkan arah ke bawah dimana u adalah positif untuk arah ke bawah).

Dari diagram free body, tentukan gaya-gaya pada bagian kanan persamaan (2.10) u

m W fd fs

p    

Hubungkan gaya dengan sistem variabel gerakan u

c e c fd

ku ke fs











Gabungkan dan susunlah variabel yang tidak diketahui di bagian kanan pada persamaan

) (t p W ku u c u

m   

(Catat bahwa ini adalah persamaan diferensial ordiner ordo dua, linier, non homogen dengan koefisien konstan).

Persamaan ini bisa disederhanakan dengan pertimbangan sebagai berikut.

Perpindahan statis dari bobot w dinyatakan sebagai perpindahan dari massa terukur berhubungan dengan posisi setimbang, statis sebagai ur sehingga

st

r u

u u 

dimana u_st adalah konstan, persamaan (2.14) bisa ditulis sebagai :

………(2.10)

………(2.11)

………(2.12)

………(2.13)

………(2.14)

………(2.15)

) (t p ku u c u

m_r _r _r 

Persamaan (2.16) pada contoh 2.1 bisa dipertimbangkan sebagai persamaan dasar pada dinamika struktur dan teori getaran linier. Akan diperlukan waktu yang lama untuk menetukan solusinya dan aplikasinya pada soal-soal dinamika struktur, baik sistem SDOF maupun MDOF. Pada contoh 2.1, hukum Newton yang kedua digunakan langsung, sehingga tidak ada gaya inersia yang diperlihatkan pada diagram free body.

2.4.2 Prinsip D’Alembert

Alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan gerak adalah penggunaan Prinsip D’Alembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gaya luar yang disebut sebagai gaya inersia.

y m

K

fs = ky ^m

N

y m I  mg

(a) (b)

Gambar 2.7. Sistem berderajat kebebasan tunggal, (a) model matematis dan (b) diagram Free Body.

Penggunaan Prinsip D’Alembert memungkinkan pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada gambar free body diagram diatas dapat dilihat bahwa jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan persamaan

0 0 0











 ky y m

I f

H

s





Dengan: y = simpangan

2 2y dt d y

 = percepatan

m = massa

k = kekakuan elemen

………(2.16)

→ Persamaan gerak (Equation of Motion)

K

m

yo

K1

m

y K1

W I

A B C

Satuan:

2 sec

386 sec

2

g in

lb g m w

lbin k

in









Keterangan:

Kondisi (B) Statis f_s

m

W

yo

k W

fs W

W fs

V

. 0 0











 : Pegas belum dibebani : Pegas dibebani (statis) : Pegas dibebani (dinamis)

C B A

 

 

o o

o o

o o

y k y m y k y k

y k y m y y k

W I fs

y k W

y m I

y y k fs

W I fs

V

. . . .

. . .

. 0





























 













m

W

fs

I Kondisi (C) Dinamis

0 . .yk y

m  → Persamaan gerak (Equation of Motion)

Untuk menunjukkan kegunaan gaya inersia dan juga mengilustrasikan fungsi utama eksitasi terdukung atau gerakan dasar, seperti struktur gedung yang akan mengalaminya selama gempa bumi, dapat dilihat pada contoh 2.2 .

Contoh 2.2

Gunakan metode gaya D’Alembert untuk menentukan persamaan gerakan dari massa m, asumsikan bahwa gaya redaman pada sistem bisa diwakili dengan viskous dashpot linier seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah.

Asumsikan bahwa eksitasi terdukung z(t) diketahui. ketika u = z = 0, pegas belum diregangkan.

Solusi:

Gambarkan diagram free body dari massa termasuk gaya inersia bersama dengan gaya sesungguhnya.



^m2k



^0

0 t Cos

A 

Tulis persamaan kesetimbangan dinamis



^

 F'_x 0

Dari diagram freebody didapat

0





 fs fd mu

p 

Hubungkan gaya dengan variable gerakan dan sederhanakan p

z u k z u c u

m () (  )

Ingat bahwa gaya redaman dan gaya pegas yang dihubungkan dengan gerakan dari massa mempunyai hubungan dengan gerakan yang terdukung.

Persamaan (2.19) bisa dituliskan dengan semua nilai yang diketahui dari bagian kanan persamaan.

p kz z c ku u c u

m    

Persamaan (2.20) adalah persamaan dari gerakan dari perpindahan aktual dari massa yang berada dalam kerangka acuan inersia yakni untuk u(t)

z u w 

Dengan mengalihkan mzpada persamaan (2.19) dan menggunakan persamaan (2.21) bisa didapatkan persamaan berikut :

z m p kw w c w

m    

2.4.3 Solusi Persamaan Gerak SDOF Tak Teredam (Undamped)

Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal tak teredam adalah

0 . .yk y

m Misal solusi:

t A y

t A y



 sin cos





Kita menganggap bahwa solusi pada persamaan (2.23) adalah persamaan (2.24)

t A

y

t A

y

t A y











cos sin cos

 2















Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.26) kedalam persamaan (2.23)

   



^.



^{0 0}

0 . .

2 2

















t Cos A k m

t Cos A k t Cos A

m

y k y m















Sehingga:

m k k m









2

2 0





………(2.23)

………(2.24)

………(2.25)

………(2.17)

………(2.18)

………(2.19)

………(2.20)

………(2.21)

………(2.22)

………(2.26)

m

 k

 → Frekuensi Alami Struktur [rad/dt]

Sebenarnya persamaan (2.25) juga solusi, maka solusi umumnya adalah:

t Cos B t Sin A y

t Sin B t Cos A y























Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:

Perpindahan awal : y

   

t  y 0 y_o Kecepatan awal : y

   

t  y 0 V_o

Maka substitusi persamaan (2.30) ke dalam persamaan (2.28) didapat:

yo

A

Substitusi persamaan (2.31) dan (2.32) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:

 Vo

B

Substitusi persamaan (2.32) dan (2.33) ke dalam persamaan (2.29), maka didapat:

t V Sin t Cos y

y _o ^o 

  

 atau



 



CSin t y

dengan:







o o

o o

V y y V C





 







tan

2 2

Gambar 2.8. Respon getaran bebas tak teredam.



 2 1 

T

f → Frekuensi Alami [Siklus/dt]





2

T → Periode Getar

………(2.27)

………(2.28)

………(2.29)

………(2.30)

………(2.31)

………(2.32)

………(2.33)

→ Solusi Gerak Respons

Contoh 2.3

F(t) F(t)

W8x24

m 200 lb/ft

15 ft

SDOF

m F(t) K

y

fs m F(t)

I

Persamaan Kesetimbangan:

 

t F fs I  

 

t F y k y

m. .  (Equation of Motion)

   

 

sps f

dt m rad

k g m W

in L lb

I K E

46 . 5000 4

386 . 185 , 10 2

1 2

5000 / 386 . 185 , 10 386 5000

/ 185 , 10 12

. 15

5 , 82 . 2 10 . 30 . 12 2

12

3 6 3





























Model Struktur : E = 30.10⁶ psi I = 82,5 in⁴

W = 200 x 25 = 5000 lb g = 386 ft/dt²

Model Matematis

Free Body Diagram

Latihan.

Jika: Simpangan awal y

 

0 0,001 ft Kecepatan awal ^y

 

^{0 0,1ft/dt}

Gaya luar F(t)

Gambarkan Respons Struktur!!

yo

P

o o

y K P

y K P



 .

y_o P

EI _{3 3}

3

48 48

48

L EI EI

PL P y

K P

EI y PL

o o









EI yo

h P

3 3

3

12 12

12

h EI EI

Ph P y

K P

EI y Ph

o o









EI

yo

L

P

3 3 3

3 3

3

L EI EI

Pl P y

K P

EI y Pl

o o







 Konstanta Pegas (Konstanta Elastis)

yo

h

P

h EA EA Ph P y K P

EA y Ph

o o









m P(t)

K²

K^{1 K,c}

P(t) m

m P(t) y

K

I c

 

t P ky y c y

m   ky

f y c f

y m I

t P f f I H

s d

s d

























) ( 0

2.4.4 Persamaan Gerak SDOF Teredam (Damped)

Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa cara untuk memeperoleh persamaan gerak untuk SDOF teredam. Struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem sederhana dengan redaman-liat (viscous- damping), seperti pada gambar berikut:

(a) (b) (c)

Gambar 2.9. Sistem SDOF teredam, (a) model struktur, (b) model SDOF, dan (c) model matematis.

Free Body Diagram I P(t) fs

fd

→ solusi persamaan gerak

BAB III GETARAN BEBAS SISTEM SDOF

3.1 Pendahuluan

Pada semua kasus, persamaan gerak sistem linier berderajat kebebasan tunggal mempunyai bentuk

) (t p ku u c u

m  

Perpindahan dan kecepatan pada saat t = 0 adalah

o

o u u

u

u(0) , (0) 

dimana, u_odan u_oadalah perpindahan awal dan kecepatan awal.

Persamaan (3.1) dapat ditulis kembali menjadi )

( 2

2

2 p t

u k u

u _{n n} ⁿ 











    





dimana m

k

n² 

 dan

ccr

 c



k km m

c

n n

cr 2 2

2  

  

Untuk getaran bebas →P(t) = 0, maka persamaan (3.1) dan (3.3) menjadi:

0



cu ku u

m 

0

2  ² 

 u u

u _n _n

nadalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), adalah faktor redaman liat dan c_cradalah koefisien redaman kritis.

Respon total:

) ( ) ( )

(t u t u t u  _p  _c

Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaan diferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya u_p(t) dan penyelesaian komplemen/pelengkap uc(t). Untuk memenuhi persamaan (3.4) dan (3.5), maka digunakan asumsi

t

es

C u

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.7) kedalam (3.5), maka diperoleh



s^{2 2}ns^n²



Ce^{st 0}

Agar persamaan (3.8) valid untuk semua nilai t, kita harus menentukan 0

2 ²

2 _ns _n 

s  

………(3.1)

………(3.2)

………(3.3)

………(3.4)

………(3.5)

………(3.6)

………(3.7)

………(3.8)

………(3.9)

3.2 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Tak Teredam (Undamped)

Persamaan gerak untuk sistem berderajat kebebasan tunggal (SDOF) tak teredam adalah

2 0



 u

u _n

Dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah

2 0

2 _n 

s 

Akar dari persamaan adalah

1 - i dimana

2 ,

1 i _n 

s 

Jika akar-akar tersebut di substitusikan ke persamaan (3.7), kita mendapat penyelesaian umum

t i t

i _{n n}

e C e

C

u 1 ^  2 ^

dengan memperkenalkan persamaman Euler :





 cos isin

e^i  

kita dapat menulis ulang persamaan (3.13) dalam bentuk fungsi trigonometri, yaitu

t A

t A

u ₁cos_n  ₂sin_n

dimana A1 dan A2 adalah konstanta real untuk ditentukan dari kondisi awal yaitu persamaan 3.2. Persamaan 3.2 dan 3.15 mengacu pada

n o

o

A u u

A u u

2

1

) 0 (

) 0 (











 jadi,

u t t u

u _n

n o n

o 

  sin

cos 



 





 

adalah respon getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam.

Pertama-tama dengan mempertimbangkan kasus dari sebuah sistem yang menggantikan dari posisinya yang seimbang dengan jumlah uo dan dibebaskan.

Kemudian u(0) = 0 , jadi t u

u _ocos_n

Gambar 3.1. Getaran bebas dari sistem SDOF tak teredam dengan (0) 0

. 

u .

………(3.10)

………(3.11)

………(3.12)

………(3.13)

………(3.14)

………(3.15)

………(3.16)

………(3.17)

………(3.18)

s1 s₂

Dapat dilihat bahwa gerakan hasil adalah merupakan gerakan harmonik sederhana dengan amplitudo u_o, periode alami dari sistem tak teredam (undamped natural period) yaitu

2 (s)

n

Tn



 

dan frekuensi alami dari sistem tak teredam (undamped natural frequency) adalah 2 (Hz)

1



_n

n

n T

f  

Gambar 3.2. Respon getaran bebas secara umum dari sistem SDOF tak teredam.

Gambar diatas menunjukkan sebuah plot dari persamaan (3.17) apabila u_o ataupun u_o adalah 0 (nol). Hal ini tetap merupakan gerakan harmonik sederhana dengan periode Tn u(t) dapat diekspresikan dengan persamaan (3.17) atau dengan persamaan



 



 







n n

nt U

U t

u 

 



 ) cos 1

cos(

) (

3.3 Getaran Bebas Pada Sistem SDOF Teredam (Damped) Persamaan (3.5) ditulis kembali disini :

0

2  ² 

 u u

u _n _n

Mengasumsi kembali sebuah solusi dari bentuk :

t s t s t s

e C s u

e C s u

e C u

 2











dan kita akan mendapatkan persamaan karakteristik : 0

2 ²

2 _ns _n 

s  

nilai dan adalah

2 1

2 ,

1 _n_n   s

………(3.19)

………(3.20)

………(3.21)

………(3.22)

………(3.23)

………(3.24)

………(3.25)

0 0dan u

u 

Besarnya faktor "damping" () dapat digunakan untuk membedakan 3 kasus, yaitu underdamped (0 <  < 1), critically damped ( = 1), dan overdamped (  1). Respon pada sistem SDOF teredam dengan beberapa variasi nilai redaman dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 3.3. Respon dari sistem SDOF dengan redaman viskous dan variasi tingkat redaman.

Kasus Underdamped (ζ<1) (redaman subkritis)

Untuk  < 1, lebih mudah bila menulis persamaan (3.25) dalam bentuk

d

n i

s_1,2   

dimana adalah unit imajiner dan d adalah frekuensi alami "damped circular" yang diberikan oleh

1 2



_d  _n 

periode redaman (Td) adalah

d

Td





 2

Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u(t), dapat ditulis dalam bentuk

) sin cos

( )

(t e A₁ t A₂ t

u  ^nt _d  _d

digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2 , dengan hasil:















 



 



 ^ cos sin )

)

( u u A₂ t

t u

e t

u _d

d o n o d o

nt 



 

 

persamaan (3.30) dapat ditulis dalam bentuk:

) cos(

)

(t Ue^  t

u ^nt _d

2 0 2 0

0 

 



 





d nu u u

U 





jika harga ζ=20%, maka pada persamaan (3.27)

n

d 

 0,98

n

d 

 

………(3.26)

………(3.27)

………(3.28)

………(3.29)

………(3.30)

………(3.31)

………(3.32)

………(3.33)

1

 i

Substitusi persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.30), maka solusi gerak dapat digambarkan sebagai berikut

Gambar 3.4. Respon getaran bebas dari sistem redaman subkritis.

Gambar berikut menunjukkan perbandingan antara respon-respon dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda dalam redaman subkritis. Dalam tiap kasus, karena uo = 0, respon yang didapat adalah

Gambar 3.5. Pengaruh dari tingkat redaman pada getaran bebas.

Walaupun nilai dari  mempunyai efek pada frekuensi, d, efek yang paling berat dari damping adalah pada angka pada saat gerakan menyusut, yaitu pada waktu e^-dt. Efek ini akan dibahas lebih lanjut pada bagian 3.4, yang membahas ukuran dari damping.

Kasus Critically-damped (ζ=1) (redaman kritis) Ketika ζ=1 maka persamaan (3.25) menjadi

s_1,2 n

Sehingga responnya menjadi:

nt

e t C C t

u( )( ₁ ₂ ) ^

Ketika kondisi awal diperhitungkan, maka respon dari sistem redaman kritis adalah:

t o

n o o

e n

t u u

u t

u( )[ (  ) ] ^

Gambar 3.6. Respon getaran bebas pada redaman kritis.

Kasus Overdamped (ζ>1) (redaman superkritis)

Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman kritis yaitu

1 ccr

c

3.4 Eksperimen Penentuan dari Frekuensi Alami Dasar dan Faktor Damping dari sebuah sistem SDOF

Metode eksperimen biasa dipakai untuk variabel dinamis pada suatu sistem (misal: frekuensi alami dan faktor redaman). Nilai konstanta pegas (k) dan massa (m) dari sistem SDOF sederhana dapat diukur secara langsung. Namun nilai faktor redaman sering berubah sehingga perlu pengukuran yang lebih teliti. Bila faktor redaman diketahui, maka koefisien redaman bisa dihitung menggunakan persamaan faktor redaman. Frekuensi alami dari sistem SDOF tak teredam dapat ditentukan secara langsung melalui pengukuran statis. Contoh perhitungannya seperti pada contoh 3.2 berikut.

………(3.34)

………(3.35)

………(3.36)

………(3.37)

Contoh 3.1

Tentukan frekuensi natural dari sistem pegas-massa dengan menggunakan pengukuran perpindahan secara statis.

Solusi:

k Lo k

w ust

fs=kust

w Dari persamaan frekuensi alami struktur, diperoleh persamaan

m

n² k



Persamaan keseimbangan massa yang tergantung pada pegas adalah



^



 F 0 atau W f_s 0

Dari persamaan gaya-perpindahan pada pegas

st

s ku

f 

Kombinasi persamaan 3 dan 4

st

n u

 g

 2

apabila redaman dalam sistem kecil ( < 0.2), persamaan 3.32 menunjukkan bahwa nilai d kurang lebih sama dengan n. Sedangkan dari contoh 3.3 dapat diketahui bagaimana sebuah eksperimen getaran bebas dapat digunakan untuk menentukan frekuensi alami dari sebuah sistem SDOF.

Contoh 3.2

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa lumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang (3) (1)

(2)

(4) (5)

mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural dalam radian per detik dan hertz. Berapa periodenya?

Solusi:

Pada titik a, mass telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Hz 125 . 4 3

. 0

putaran 25

.

1 

 s

f_n

rad/s 6 . 19 ) 125 . 3 )(

28 . 6 (

2  

 _n 

n f

 f s T

n

n 0.32

125 . 3

1

1  



Terdapat dua metode yang hampir sama untuk menentukan faktor redaman ( ) menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas dari sistem SDOF, yaitu metode pengurangan logaritmik dan metode setengah amplitudo dimana keduanya didasarkan pada persamaan 3.31.

Gambar 3.7. Rekaman melemahnya respon pada sistem teredam.

Pada metode setengah amplitudo, gerakan amplitudo (up) pada permulaan putaran dan amplitudo (uQ) pada akhir putaran diperkirakan besarnya. Pada akhir

periode (satu putaran) nilai cos



_dt



kembali lagi ke nilai pada awal putaran.

Dari persamaan 3.31, didapatkan rumus:

d nT Q

P e

u

u  

Persamaan pengurangan logaritmik adalah:

d n Q

P T

u

u 

 









ln

Dimana Td adalah periode natural teredam yang dirumuskan sebagai berikut.

1 2

2 2











 



d n

Td

Dari persamaan 3.38 dan 3.39 didapatkan 1 2

2



 

  _nT_d  

Untuk faktor redaman kecil ( < 0,2), persamaan persamaan pengurangan logaritmik mendekati nilai



 2

Sehingga faktor redaman dapat diketahui juga menggunakan persamaan











 



 





Q P

U ln U 2

1

  

Prosedur yang sama juga dapat diterapkan pada metode setengah amplitudo, yang menghasilkan perhitungan lebih sederhana untuk faktor redaman. Metode setengah amplitudo didasarkan pada amplitudo dari kurva envelope.

nt

Ue t

uˆ( ) ^

Pada dua titik P dan R dimana:

2 ˆ_R uˆ^P u 

Titik-titik tersebut sejarak periode redaman N, dimana N bukan sebuah bilangan bulat. Selanjutnya,

ˆ 2

ˆ  ^nNTd 

R

P e

u u 

Dari persamaan 3.40 dan 3.46 )

2 ln(

1 2

2 





N

………(3.38)

………(3.39)

………(3.40)

………(3.41)

………(3.42)

………(3.43)

………(3.44)

………(3.45)

………(3.46)

………(3.47)

m K

n 



Gambar 3.8 menunjukkan hubungan antara  dan N.

Gambar 3.8. Faktor redaman vs. jumlah putaran untuk mengurangi ampitudo sebesar 50%.

Untuk nilai faktor redaman yang kecil, ²<< 1, persamaan 3.47 menjadi:

) 2 ln(

2N  Sehingga,

N 11 .

 0



Persamaan 3.49 memberikan cara yang mudah untuk memperkirakan redaman dalam sebuah sistem yang teredam secara ringan ( < 0.1, misal N > 1)

Contoh 3.3

Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.

Tentukan:

a) _n

b) Pengurangan logaritma

2

ln 1

y

 y

 c) 

d) c e) _D Solusi:

a) K = 20 lb/in in/sec2

386 lb

 10

 g m W

radsec 78 , 386 27 10

20 

n 



………(3.48)

………(3.49)

2

ln 1

y

 y



SPS

f 4,42

2 78 , 27

2  

  



b) y1 = 1,00 y2 = 0,85

165 , 85 0 , 0

0 , ln 1 

 

c ) (untuk ξ kecil)

0,026 2

163 ,

0 

 



d )

ccr

c

 







 

 0,026 2 10 20386

in

dt lb

0,037

Contoh 3.4

Gunakan metode setengah amplitudo untuk memperkirakan redaman dari sebuah sistem yang gerakannya terekam dalam gambar 3.10

Solusi:

 Gambar sketsa dari kurva envelope (terdapat pada gambar)

 Ambil titik P pada salah satu puncak dan ukur up up = 0,44 in



 

 2

ccr

 c



20386 10 2

2   

 k m c_cr

 Tempatkan titik R, dimana amplitudo dari kurvanya adalah up / 2 = 0,22 in

 Perkirakan jumlah putaran antara P dan R N = 2,25 putaran

 Gunakan persamaan 3.49 untuk memperkirakan  : 049

. 25 0 . 2

11 .

0 

 

Level redaman dalam suatu sistem juga tercermin dalam konstanta waktu,  , yang didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan amplitudo untuk berkurang sejumlah faktor 1/e. Persamaan untuk menghitung konstanta waktu dapat menggunakan langkah yang sama dengan langkah yang dipakai untuk penurunan persamaan pada metode setengah amplitudo. Gunakan kurva envelope pada gambar 3.7 lagi, tentukan titik S dimana:

e e u

u u

u

P P S

P  

) / 1 ( Jadi,

t e U

t U

u u

P n

P n S

P 





 

)]

( exp[

) exp(







Atau,

e e^n 

Dengan menggunakan logaitma pada kedua sisi, kita dapatkan:

1



_n

Selanjutnya konstanta waktu, , didapat dengan persamaan:



 

2

1 _n

n

 T



Dari persamaan 1/e = 1 / 2,718 = 0,368. Maka, konstanta waktu, ,adalah waktu yang diperlukan amplitudo gerakan untuk berkurang sekitar 63 %.

3.5 Getaran Bebas dari sebuah sistem SDOF dengan Coloumb Damping Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar. Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier. Gambar 3.12 menunjukkan sebuah massa meluncur pada permukaan kasar yang menghasilkan gaya gesekan.

………(3.50)

………(3.51)

………(3.52)

………(3.53)

………(3.54)

 

u^

Gambar 3.9. Sistem SDOF dengan redaman.

mg N

f_D _k _k

Dimana _k adalah koefisien gesek kinetik atau koefisien gesekan luncur. Gaya gesek selalu berlawanan arah dengan gerakan gaya . Menggunakan hukum Newton II, kita peroleh:

u m f

f_s  _D  



Sedangkan fs = k . u dan f_D _kmgsgn(u) Selanjutnya,

0 ,

0 ,

















u mg ku

u m

u mg ku

u m

k k

















Dengan

2

1

n k D

D

g f k

u 

 



 



 

Persamaan 3.58 dan 3.59 dapat digabungkan untuk mendapat:

0 0

2 2

















u u u

u

u u u

u

D n n

D n n





















Gambar 3.10. Respon getaran bebas sistem dengan redaman Couloumb.

………(3.55)

………(3.56)

………(3.57)

………(3.58)

………(3.59)

………(3.60)

Gerakan yang dihasilkan kemudian diplot dalam gambar 3.10. Yang perlu dicatat pada gambar 3.10 adalah bahwa sistem redaman couloumb berlaku seperti sistem SDOF tak teredam yang posisi seimbangnya berubah pada tiap akhir dari setengah putaran. Tampilan yang beda dari gambar 3.9 adalah amplitudo berkurang secara linier terhadap waktu, tidak secara eksponen seperti pada kasus redaman viskous.

2

1 k n

m



BAB IV RESPON SISTEM SDOF TERHADAP GERAK HARMONIS

Pada bab ini, dibahas respon sistem SDOF baik yang tidak teredam maupun dengan redaman viskous terhadap gaya luar, dalam bentuk gerakan harmonis, yaitu struktur yang dibebani oleh gaya atau perpindahan yang besarnya dinyatakan oleh fungsi sinus atau cosinus dari waktu (p(t) = sin Ωt atau p(t) = cos Ωt). Contoh gerakan harmonis adalah gerakan mesin-mesin rotasi yang menghasilkan pengaruh harmonis akibat adanya eksentrisitas massa yang berotasi.

4.1 Respon Sistem SDOF Tak Teredam Terhadap Gerakan Harmonis Respon total dari sistem linier terdiri dari superposisi respon akibat gerakan gaya luar dan respon dari gerakan natural. Sedangkan pada gerakan harmonis, gaya luarnya berupa respon steady-state.

Berdasarkan gambar 4.1 yang menunjukkan Sistem SDOF tak teredam, diasumsikan bahwa sistem linier, amplitudo p0 dan frekuensi gerakan Ω, persamaan gerakan adalah:

t p

ku u

m  ₀cos

Nilai dari gaya luar (respon steady-state) berbentuk:

t U

u_p  cos

Untuk menentukan amplitudo, U, persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1):

2 0



  m k U p

Terlihat bahwa km² 0, maka defleksi statis:

k U₀  p⁰

Kombinasi dari persamaan 4.3 dan 4.4 menghasilkan persamaan fungsi respon frekuensi:

2 0

1 

 k m

k p U

2 0

1 

 k m U U

1 r 1 ,

) 1

( ₂ 

 

 r

H

………(4.1)

………(4.2)

………(4.3)

………(4.4)

………(4.5)

dimana:

2 n

r 

  dan

0

)

( U

H   U

r = rasio rekuensi

H(Ω) = fungsi respon frekuensi

Gambar 4.1. Gerak harmonis dari sistem SDOF tak teredam.

Fungsi respon frekuensi adalah fungsi yang memberikan penambahan atau pembesaran pada gerakan steady-state dalam bentuk nilai absolut dari fungsi respon frekuensi. Faktor pembesaran respon steady-state dirumuskan sebagai berikut:

()

 H D_s

Dari gabungan persamaan (4.2) dn (4.5) memberikan persamaan respon steady- state sebagai berikut:

1 r , 1 ² cos

0   



 





  t

r u_p U

Gambar 4.2. Faktor pembesaran untuk sistem SDOF tak teredam (p(t) = po sin Ωt).

………(4.6)

………(4.7)

………(4.8)

………(4.9)

Jika r < 1, maka responnya sefase / terdapat di dalam fase gerakan karena (1-r²) bernilai positif.

Jika r > 1, maka responnya 180° diluar fase / tidak sefase dengan gerakan, sehingga up dapat ditulis:



^t



r

u_p U   



 





  cos

1 ²

0

Persamaan respon total terdri dari solusi komplementer (uc) yang memenuhi persamaan homogen dan solusi partikulir (up) yang memenuhi persamaan differensial nonhomogen.

c

p u

u u 

t A

t A

u_c  ₁cos_n  ₂sin_n

t A

t A

r t

u U cos cos_n sin_n

1 ^{2 1 2}

0    



 





 

Persamaan 4.9 dan 4.11 tidak dapat digunakan bila r = 1 atau Ω = _n