See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/358878418
Pemodelan Matematika
Book · February 2022
CITATION
1
READS
11,207
1 author:
Meksianis Ndii Universitas Nusa Cendana 73PUBLICATIONS 867CITATIONS
SEE PROFILE
All content following this page was uploaded by Meksianis Ndii on 26 February 2022.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
DAFTAR ISI
PRAKATA iii
DAFTAR GAMBAR ix
DAFTAR TABEL xi
1 PENDAHULUAN 1
1.1 Pemodelan Matematika . . . 1
1.2 Fenomena Dinamika . . . 3
1.3 Beberapa Contoh . . . 5
1.4 Tahapan Analisis Model . . . 8
2 PERSAMAAN BEDA 11 2.1 Pengantar . . . 11
2.2 Persamaan Beda Linear Orde Satu . . . 12
2.2.1 Persamaan Beda Linear Orde Satu Homogen 12 2.2.2 Persamaan Beda Linear Orde Satu Nonhomogen . . . 14
2.3 Persamaan Beda Linear Orde Tinggi . . . 19
2.4 Penyelesaian Persamaan Beda . . . 21
2.5 Sistem Persamaan Beda Orde Satu . . . 25
2.6 Latihan . . . 28
3 PERSAMAAN DIFERENSIAL 31 3.1 Pengantar dan Definisi . . . 31
3.2 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu . . . 31
3.3 Pemisahan Variabel . . . 37
3.4 Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial . . . . 39
3.5 Aplikasi . . . 40
vi PEMODELAN MATEMATIKA
3.6 Persamaan Diferensial Orde Dua . . . 49
3.7 Sistem Persamaan Diferensial . . . 50
3.8 Analisis Bifurkasi . . . 51
3.8.1 Analisis Bifurkasi Satu Dimensi . . . 51
3.8.2 Aplikasi Bifurkasi pada Model Perikanan . 55 3.8.3 Analisis Bifurkasi Dua Dimensi . . . 58
3.9 Latihan . . . 60
4 ANALISIS SISTEM PD NONLINEAR 63 4.1 Sistem Nonlinear . . . 63
4.2 Titik Tetap . . . 65
4.3 Matriks Jacobian . . . 66
4.4 Kriteria Routh-Hurwitz . . . 68
4.5 Kestabilan Lyapunov . . . 69
4.6 Analisis Sensitivitas . . . 70
4.7 Basic Reproduction Number . . . 71
4.8 RelasiR0 dan Kestabilan Global . . . 74
4.9 Bifurkasi Balikan (Backward Bifurcation) . . . 77
4.10 Latihan . . . 81
5 KONTROL OPTIMAL 83 5.1 Pengantar . . . 83
5.2 Pengantar Kontrol Optimal . . . 83
5.3 Prinsip Maksimum Pontragyn . . . 85
5.4 Metode Numerik untuk Kontrol . . . 86
5.5 Aplikasi . . . 89
5.5.1 Model PenyebaranSIR dengan Kontrol . . 89
5.5.2 Dinamika Penyebaran Rubella . . . 91
5.5.3 Dinamika Konsumsi Air Sadah dan Gangguan Ginjal . . . 92
5.6 Latihan . . . 96
vi
DAFTAR ISI vii
6 METODE NUMERIK 99
6.1 Metode Euler . . . 99
6.2 Metode Runge Kutta . . . 102
6.3 Skema Beda Hingga Non Standar . . . 106
6.4 Metode Transformasi Diferensial . . . 110
6.5 Latihan . . . 116
7 PROGRAM MATLAB 119 7.1 Penyebaran Rubela . . . 119
7.2 MATLAB Skema Beda Hingga . . . 126
7.3 MATLAB untuk Model Deterministik SIRS . . . . 128
7.4 Metode Transformasi Diferensial . . . 130
TENTANG PENULIS 141
DAFTAR PUSTAKA 141
DAFTAR GAMBAR
3.1 Konsentrasi garam dalam aliran air . . . 45 3.2 Ilustrasi eksistensi titik tetap ketika nilair berubah 53 3.3 Diagram Bifurkasi (Saddle Node). . . 53 3.4 Eksistensi titik tetap ketika nilair berubah. . . . 54 3.5 Diagram Bifurkasi (Pitchfork Bifurcation). . . 54 3.6 Eksistensi titik tetap ketika nilair berubah . . . . 55 3.7 Diagram Bifurkasi (Transcritical bifurcation) . . . 55 3.8 Diagram bifurkasi untuk permasalahan
penangkapan ikan. . . 58 3.9 Ilustrasi Hopf bifurcation . . . 60 6.1 Simulasi Numerik antara Metode Runge-Kutta
dan Transformasi Diferensial . . . 116
DAFTAR TABEL
6.1 Solusi persamaan diferensial dengan metode Euler . . . 101 6.2 Solusi persamaan diferensial dengan metode
Runge-Kutta orde 4 . . . 105 6.3 Operasi dari transformasi diferensial . . . 112
BAB 1
PENDAHULUAN 1.1 Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan salah satu teknik untuk merepresentasikan suatu sistem yang kompleks ke dalam model matematika. Dengan kata lain, pemodelan matematika merupakan suatu sistem persamaan yang dapat merepresentasikan suatu permasalahan kompleks yang sedang diamati. Dengan demikan, model matematika yang diformulasi diharapkan mampu menjelaskan situasi kompleks yang sedang diamati.
Model matematika terdiri dari variabel, parameter dan fungsi yang menyatakan relasi antara variabel dan parameter.
Dalam pemodelan, kita perlu dengan tepat memilih hal-hal yang perlu diabaikan dan hal-hal yang perlu diikutkan dalam model. Ini sangat bergantung pada permasalahan yang sedang pelajari atau teliti. Secara umum, model matematika diklasifikasikan kedalam beberapa kategori yakni model fenomena (phenomenological model) dan model mekanistis (mechanistic model).
Model fenomena (phenomological model) merupakan sebuah jenis model yang mendeskripsikan sebuah fenomena yang terjadi yang konsisten dengan teori tetapi tidak diformulasi secara langsung dari teori tersebut. Model fenomena tidak dibangun berdasarkan mekanisme permasalahan yang sedang dipelajari. Dengan kata lain, mekanisme internal dari permasalahan yang dipelajari tidak terepresentasikan dalam model tersebut. Model ini dibangun
2 PEMODELAN MATEMATIKA berdasarkan data yang diperoleh dan secara umum tujuannya adalah menentukan relasi atau pola antara data. Beberapa contoh model fenomena adalah sebagai berikut
dC
dt =rCp(t). (1.1)
Model (1.1) merupakan model yang menjelaskan pertumbuhan awal dari sebuah individu terinfeksi. Model ini diformulasi berdasarkan pengamatan data yang menunjukkan bahwa pada umumnya pada awal pertumbuhan individu akan naik secara eksponensial.
Contoh dari model fenomena lainnya adalah model Richards sebagai berikut
dC dt =rc
1−
C K
a
(1.2) di mana r adalah laju pertumbuhan dan a adalah parameter yang mengukur deviasi dari dinamika model pertumbuhan logistik klasik.
Model mekanistis diformulasi berdasarkan mekanisme permasalahan yang terjadi. Jenis model ini seringkali diformulasi dalam persamaan atau sistem persamaan diferensial. Sebagai contoh, model penyebaran penyakit SIR yakni populasi dibagi kedalam kelompok rentan (S), terinfeksi (I) dan sembuh (R).
dS
dt =Λ−βSI N −µS, dI
dt = βSI
N −γI−µI, dR
dt =γI−µR.
(1.3)
Perhatikan bahwa model SIR diatas diformulasi berdasarkan mekanisme penyebaran penyakit menular. Apabila individu
2
BAB 1. PENDAHULUAN 3 rentan (S) berinteraksi dengan proporsi individu terinfeksi (I) maka individu rentan berpotensi menjadi individu terinfeksi dengan laju penularan β sehingga mekanisme tersebut ditulis menjadi (βSI/N). Ini menunjukkan bahwa model tersebut diformulasi berdasarkan mekanisme dari permasahan yang sedang dipelajari yakni penyebaran penyakit menular. Ini berarti bahwa mekanisme internal dari permasalahan tersebut terepresentasi dalam modelSIRtersebut.
Model mekanistis diatas merupakan model deterministik yakni model yang solusinya ditentukan dari input dan relasinya dan tidak mengakomodir efek acak/random. Model (1.3) adalah contoh model deterministik. Model stokastik adalah model yang mempertimbakan efek acak/random, dan menggunakan nilai dari parameter dalam bentuk distribusi peluang/probabilitas.
Model stokastik umumnya diformulasi dengan menggunakan konsep Discrete Time Markov Chain, Continous Time Markov Chain, danStochastic Differential Equation (SDE).
1.2 Fenomena Dinamika
Istilah dinamis merujuk pada suatu fenomena yang berubah seiring dengan perubahan waktu. Perubahan yang dimaksud dapat berupa perubahan pola, karakteristik atau bentuk. Perubahan-perubahan tersebut dapat dimodelkan kedalam persamaan matematika yang kemudian dianalisis untuk dipelajari pola perubahan yang terjadi dan kaitannya dengan permasalahan yang dipelajari. Fenomena-fenomena yang terjadi seringkali dapat dimodelkan kedalam persamaan beda atau persamaan diferensial. Dengan demikian, teori-teori sistem dinamik sangat berkaitan dengan teori-teori yang ada pada persamaan beda dan persamaan diferensial.
Persamaan beda atau persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan sebuah fenomena sangat bergantung pada
4 PEMODELAN MATEMATIKA karakteristik dari waktu. Persamaan beda digunakan apabila waktu diskrit dan persamaan diferensial digunakan apabila waktunya kontinu. Misalkan t adalah waktu, maka t dapat direpresentasikan dengan sistem bilangan riil apabila t adalah kontinu. Sebaliknya, apabila t adalah diskrit, maka t dapat direpresentasikan dengan bilangan bulat yakni t =0,1,2,3, ....
Apabila permasalahan yang dipelajari sangatlah kompleks maka dapat dimodelkan kedalam sistem persamaan yang terdiri lebih dari satu persamaan.
Pada kenyataannya, permasalahan yang dipelajari pada umumnya sangat kompleks, sehingga umumnya sebuah fenomena direpresentasikan dalam bentuk sistem persamaan yakni sebuah sistem yang disusun oleh lebih dari satu persamaan. Sistem ini memuat lebih dari satu variabel dan satu parameter. Sebagai contoh, apabila kita ingin mempelajari dinamika penyebaran penyakit, kita dapat membagi populasi kedalam tiga kelompok yakni kelompok sehat, kelompok sakit dan kelompok yang telah sembuh dari penyakitnya. Dengan demikian, kita setidaknya memiliki tiga persamaan yakni persamaan untuk dinamika pertumbuhan kelompok orang sehat, kelompok orang sakit dan kelompok orang sembuh.
Oleh karena itu, dalam analisis kita tentu perlu memperhatikan interaksi dari ketiga komponen tersebut.
Contoh lain adalah pertumbuhan populasi. Kita perlu mempertimbangkah pola migrasi populasi antara wilayah, interaksi antar individu dlam populasi dan kelompok umur dalam populasi. Berkaca dari penjelasan tersebut, analisis komprehensif mengenai permasalahan yang dipelajari menjadi sangat penting agar kita dapat memperoleh informasi yang akurat mengenai permasalahan yang dipelajari. Oleh karena itu, analisis permasalahan matematika akan semakin kompleks tentu membutuhkan teori-teori matematika yang tepat dalam
4
BAB 1. PENDAHULUAN 5 menganalisis hal tersebut. Model matematika dapat digunakan dengan menggunakan kombinasi persamaan beda, persamaan diferensial.
1.3 Beberapa Contoh
Pada bagian ini akan diberikan beberapa contoh permasalahan sistem dinamik yang diformulasi kedalam model matematika. Dalam memodelkannya, permasalahan dalam dunia nyata kemudian diabstraksi kedalam bentuk atau model matematika. Dalam hal ini, pengetahuan tentang permasalahan yang diteliti sangat diperlukan sehingga model yang dibentuk dapat merupakan representasi dari permasalahan yang dipelajari. Perlu diingat juga bahwa tidak ada model yang benar, tetapi ada model yang berguna. Hal ini karena dalam pembuatan model. Dalam formulasi model matematika, diperlukan asumsi-asumsi yang tepat dan seringkali faktor-faktor yang tidak menjadi fokus untuk dipelajari dapat diabaikan.
Beberapa contoh yang dipaparkan dibawah ini adalah dalam bentuk persamaan beda dan juga persamaan diferensial.
Model ini merupakan contoh klasik yang sering digunakan dalam pembelajaran di kuliah-kuliah pemodelan dan sistem dinamik.
Contoh 1.3.1 (Pertumbuhan Geometrik). Berikut adalah model pertumbuhan yang sangat sederhana. Model tersebut dapat digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan populasi manusia atau populasi lainnya dan pertumbuhan lainnya.
Modelnya adalah dengan menggunaakn persamaan beda sebagai berikut
x(k+1) =ax(k) (1.4)
Dari Model (1.4) Nilai x(k) merupakan besarnya variabel pada waktu t dan parameter a merupakan konstanta yang
6 PEMODELAN MATEMATIKA terkait dengan laju pertumbuhan di mana nilai a>0 apabila pertumbuhan positif dan a<0 apabila pertumbuhan negatif.
Dalam konteks ini, pertumbuhan positif berarti jumlah populasi meningkat seiring perubahan waktu dan pertumbuhan negatif berarti jumlah populasi berkurang seiring perubahan waktu.
Contoh 1.3.2 (Pertumbuhan Eksponensial). Model pertumbuhan populasi didefinisikan oleh persamaan diferensial
dx
dt =rx(t). (1.5)
Parameter pertumbuhanrdapat berupa nilai riil apa pun, tetapi untuk pertumbuhannya (meningkat) harus lebih besar dari nol.
Tuliskan persamaan dalam bentuk 1
x(t) dx
dt =r. (1.6)
Kedua ruas kemudian dapat diintegrasikan dan diperoleh logx(t) =rt+logc=logen+logc
di mana cadalah konstanta arbitrer. Mengambil hasil antilog x(t) =cen.
Akhirnya, dengan menetapkan t =0, terlihat bahwa x(0) =C, sehingga solusinya dapat ditulis
x(t) =x(0)en.
Ini adalah persamaan pertumbuhan eksponensial. Model ini dapat dikembangkan menjadi model pertumbuhan logistik dengan memasukan faktor kapasitas lingkungan atau carrying capacity yakni
dx
dt =rx(t)
1−x(t) K
di mana K adalah carrying capacity.
6
BAB 1. PENDAHULUAN 7 Contoh 1.3.3 (Predator-Prey). Model predator-prey merupakan salah satu contoh klasik dalam masalah sistem dinamik. Model ini sering dijadikan contoh dalam mata kuliah pemodelan matematika, matematika biologi, sistem dinamik. Misalkan dalam suatu daerah terdapat predator dan prey, Prey dapat bertahan hidup apabila memakan vegetasi yang ada pada pulau tersebut sementara predator dapat bertahan hidup apabila memakan prey tersebut. Sistem ini kemudian dimodelkan kedalam persamaan matematika yang dikenal dengan model predator-prey. Model matematika adalah sebagai berikut
dN1
dt =aN1(t)−bN1(t)N2(t), dN2
dt =−cN2(t) +dN1(t)N2(t), di mana parameter a,b,cdand bernilai positif.
Contoh 1.3.4 (Model Penyebaran Penyakit). Salah satu model penyebaran penyakit yang paling sederhana adalah model SIR di mana populasi dibagi kedalam kelompok individu rentan ataususceptible (S), kelompok individu terinfeksi atauinfected (I), dan kelompok individu sembuh ataurecovered (R). Model matematika sederhana penyebaran penyakit adalah sebagai berikut
dS
dt =−βSI N, dI
dt =βSI N −γI, dR
dt =γI,
(1.7)
di mana β adalah laju penyebaran penyakit dan γ adalah laju kesembuhan. Model diatas merupakan model sederhana yang tidak memasukkan faktor demografi seperti kelahiran dan kematian.
8 PEMODELAN MATEMATIKA
1.4 Tahapan dalam analisis model dari sistem dinamik
Beberapa tahapan dalam analisis sistem dinamik akan dipaparkan. Secara umum, analisis sistem dinamik dapat dilakukan dengan teknik pemodelan matematika. Dapat dimulai dari identifikasi masalah, menentukan asumsi, mencari solusi, interpretasi solusi, validasi model. Pada bagian ini akan dibahas empat tahapan analisis sistem dinamik sebagaimana dipaparkan oleh David G. Luenberg. Empat tahapan tersebut adalah representasi dari fenomena, pencarian solusi, eksplorasi hubungan struktural, dan kontrol atau modifikasi. Secara umum, empat tahapan tersebut sama dengan yang dipaparkan oleh Ndii dalam bukunya pemodelan matematika dinamika populasi dan penyebaran penyakit: teori, aplikasi, dan numerik [38].
Representasi dari fenomena
Penggunaan matematika untuk analisis permasalahan nyata adalah untuk mendapatkan representasi dari fenomena yang dipelajari. Untuk dapat merepresentasikan sebuah fenomena kedalam model matematika, pemahaman mengenai masalah tersebut menjadi penting karena hal tersebut dapat membantu kita dalam melakukan identifikasi faktor-faktor utama yang perlu direpresentasikan kedalam model. Proses representasi dikenal dengan pemodelan matematika yang produk akhirnya adalah model matematika. Dalam merepresentasi fenomena tersebut kedalam model matematika maka perlu ditetapkan asumsi-asumsi yang diperlukan dan penting yang kemudian diikutkan ke dalam model matematika. Penetapan asumsi tersebut diperlukan sebab tidak semua faktor perlu direpresentasikan oleh karena kompleksitas permasalahan yang dipelajari.
8
BAB 1. PENDAHULUAN 9 Pencarian Solusi
Representasi dari fenomena yang dipelari diformulasi kedalam persamaan atau model matematika. Tahapan berikutnya adalah pencarian solusi dari persamaan tersebut.
Solusi dari model dapat diperoleh dalam bentuk analitik maupun numerik. Solusi analitik dapat diperoleh untuk persamaan-persamaan matematika yang sederhana. Apabila persamaan atau model tersebut semakin kompleks, solusi analitik tidak mudah diperoleh oleh karena itu sering digunakan pendekatan numerik untuk penyelesaian persamaan atau model tersebut.
Sebagai contoh, model pertumbuhan eksponensial sebagaiman pada contoh diatas dapat diperoleh solusi analitiknya, tetapi model penyebaran penyakit tidak mudah diperoleh solusi analitiknya, oleh karena itu digunakan pendekatan numerik untuk pencarian solusinya.
Eksplorasi dari Relasi Struktur
Dalam pemodelan matematika, kita tidak hanya berhenti pada pencarian solusi dari model. Kita perlu melangkah lebih jauh dengan menganalisis relasi antar struktur dalam model. Yang dimaksudkan adalah bagaimana hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya atau hubungan antara satu parameter dengan parameter lainnya. Analisis hubungan semacam ini sangat perlu sehingga interpretasi dari solusi dapat dilakukan secara komprehensif. Dari analisis tersebut, kita peroleh beberapa hal. Pertama, kita dapat mengetahui dengan lebih tepat mengenai karakteristik dan sifat-sifat dari suatu sistem.
Pengetahuan tersebut kemudian dapat dijadikan dasar untuk perbaikan model apabila terdapat kesalahan atau kekeliruan yang masih terjadi dalam formulasi model.
10 PEMODELAN MATEMATIKA Kontrol atau Modifikasi
Modifikasi atau kontrol dilakukan untuk adaptasi terhadap permasalahan yang sedang dianalisis. Apabila ruang analisis diperluas, maka modifikasi atau kontrol pada model perlu dilakukan. Modifikasi merujuk pada perubahan pada sistem yang berdampak pada perubahan pada persamaan. Ini dapat berdampak pada perubahan berbagai parameter atau mekanisme baru pada persamaan. Sebagai contoh, pada dinamika penyebaran penyakit, perubahan pada kematian pada penyakit yang pada model awalnya hanya kematian alami saja.
10
BAB 2
PERSAMAAN BEDA
Bab ini akan membahas persamaan beda dan teori-teori yang berkaitan dengan persamaan beda. Materi-materi yang dibahas adalah persamaan beda linier orde satu baik homogen maupun non-homogen, persamaan beda linear orde tinggi, dan penyelesaian persamaan beda.
2.1 Pengantar
Persamaan beda merupakan sebuah persamaan yang dibentuk dengan urutan waktu diskrit. Misalkan ada nilai y(k) (bilangan real) yang terkait dengan masing-masing titik ini.
Persamaan beda adalah persamaan yang menghubungkan nilai y(k), pada titik k, dengan nilai-nilai lainnya (biasanya persekitaran). Contoh sederhana persamaan beda adalah
y(k+1) =ay(k) (2.1)
Definisi 2.1.1 (Persamaan Beda). Persamaan beda orde k memiliki bentuk
f(xt+k,xt+k−1, ...,xt,t) =0, t=0,1, ...
di mana f merupakan fungsi bernilai real dari variabel real xt melalui xt+k,t. Secara khusus, f bergantung padaxt danxt+k Contoh 2.1.1. Misalkan ukuran populasi pada generasi t dinotasikan dengan xt. Asumsikan bahwa tiap individu dalam populasi menghasilkan a individu tiap generasi dan kemudian mati. Fenomena ini dapat dimodelkan dalam bentuk
xt+k=axt.
12 PEMODELAN MATEMATIKA Persamaan (2.1) merupakan contoh persamaan beda yang sangat sederhana. Persamaan beda dapat lebih kompleks dari persamaan tersebut.
Karakteristik dari persamaan beda adalah indeks k dinyatakan dengan himpunan bilangan bulat k=0,1,2,3,4, ....
Perhatikan Persamaan (2.1). Rangkaian persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk
y(1) =ay(0) y(2) =ay(1) y(3) =ay(2)
...
(2.2)
Definisi 2.1.2. Solusi dari persamaan beda
f(xt+k,xt+k−1, ...,xt,t) =0, t=0,1, ... (2.3) adalah sebuah barisan yk yang memenuhi Persamaan (2.3) di manak=1,2,3, ...
2.2 Persamaan Beda Linear Orde Satu
Pada bagian ini akan dipaparkan persamaan beda linear orde satu. Persamaan beda orde satu berbentuk
x(n+1) =a(n)x(n), x(n0) =n0 and n≥n0 (2.4) x(n+1) =a(n)x(n) +g(n),x(n0) =n0andn≥n0. (2.5) Persamaan (2.4) adalah persamaan homogen dan Persamaan (2.5) adalah persamaan nonhomogen.
2.2.1 Persamaan Beda Linear Orde Satu Homogen
Model persamaan beda orde satu homogen adalah
x(n+1) =a(n)x(n), x(n0) =n0 and n≥n0. (2.6) 12
BAB 2. PERSAMAAN BEDA 13 Apabila kita melakukan iterasi maka akan diperoleh solusi dari model tersebut adalah
x(n) =
"n−1
∏
k=n0
a(k)
#
x0. (2.7)
Lakukan iterasi dan kita dapat menemukan pola dari solusi tersebut sebagaimana pada Persamaan (2.7).
x(n0+1) =a(n0)x(n0) =a(n0)x0,
x(n0+2) =a(n0+1)x(n0+1) =a(n0+1)a(n0)x0, x(n0+3) =a(n0+2)x(n0+2)
=a(n0+2)a(n0+1)x(n0+1),
=a(n0+2)a(n0+1)a(n0)x0.
(2.8)
Apabila dilanjutkan maka kita akan menemukan pola seperti pada Persamaan (2.7). Dengan demikian dapat dituliskan teorema berikut.
Teorema 2.2.1. Persamaan beda linear orde satu homogen berbentuk
x(n+1) =a(n)x(n), x(n0) =n0 and n≥n0 memiliki solusi
x(n) =
"n−1
∏
k=n0
a(k)
# x0
apabila a(n) =a konstan, maka diperoleh solusi x(n) =anx0.
Contoh 2.2.1. Carilah solusi dari persamaan beda x(n+1) = (n+1)x(n), x(n0) =c.
Berdasarkan Teorema 2.2.1 maka solusi dari persamaan diatas dapat ditulis
Daftar Pustaka
[1] L. Allen. An Introduction to Mathematical Biology.
Pearson/Prentice Hall, 2007.
[2] L. Allen. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. CRC Press, 2010.
[3] R. Anguelov and J. M.-S. Lubuma. Contributions to the mathematics of the nonstandard finite difference method and applications. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 17(5):518–543, 2001.
[4] R. Anguelov and J. M.-S. Lubuma. Nonstandard finite difference method by nonlocal approximation.
Mathematics & Computers in Simulation, 61(3):465 – 475, 2003.
[5] A. J. Arenas, G. Gonzales-Parra, and B. M. Chen- Charpentier. Dynamical analysis of the transmission of seasonal disease using the Differential Transformation Method. Mathematical and Computer Modelling, 50:765–
776, 2009.
[6] A. J. Arenas, J. A. Moraño, and J. C. Cortés. Non-standard numerical method for a mathematical model of RSV epidemiological transmission.Computers and Mathematics with Applications, 56(3):670 – 678, 2008.
[7] E. Bunga and M. Ndii. Application of Differential Transformation Method for solving HIV model with anti- viral treatment. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan, 14(3):378–388, 2020.
[8] E. Bunga, J. Pahnael, M. Lobo, and M. Ndii. Konstruksi Metode Transformasi Diferensial Multi-Step (Multi-Step Differential Transform Method) untuk model SEIRS
135
136 PEMODELAN MATEMATIKA autonomous dan nonautonomous. Matematika Integratif, 16(1):53–59, 2020.
[9] C. Castillo-Chavez, S. Blower, P. van den Driessche, D. Kirschner, and A. Yakubu. Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases: An Introduction. Number v. 1 in INSTITUTE FOR MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS. IMA volumes in mathematics and its applications. Springer, 2002.
[10] C. Castillo-Chavez, Z. Feng, and W. Huang. On the computation of R0 and its role in global stability. Institute for Mathematics and Its Applications, 125:229–250, 2002.
[11] C. Castillo-Chavez and B. Song. Dynamical model of tuberculosis and their applications. Mathematical Biosciences and Engineering, 1(2), 2004.
[12] S. C. Chapra. Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists. Mc Graw Hill, 2012.
[13] N. Chitnis, J. M. Hyman, and J. M. Cushing. Determining Important Parameters in the Spread of Malaria Through the Sensitivity Analysis of a Mathematical Model. Bulletin of Mathematical Biology, 70(5):1272, Feb. 2008.
[14] Q. A. Dang and M. T. Hoang. Numerical dynamics of nonstandard finite difference schemes for a computer virus propagation model. International Journal of Dynamics and Control, 8(3):772–778, Sept. 2020.
[15] I. Darti and A. Suryanto. Stability preserving non-standard finite difference scheme for a harvesting leslie–gower predator–prey model. Journal of Difference Equations and Applications, 21(6):528–534, 2015.
[16] O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek, and M. G.
Roberts. The construction of next–generation matrices for compartmental epidemic models. Journal of the Royal Society Interface, 7:873–885, 2010.
DAFTAR PUSTAKA 137 [17] C. Edwards, D. Penney, and D. Calvis. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems.
Pearson/Prentice Hall, 2008.
[18] S. Elaydi. An Introduction to Difference Equations.
Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 2006.
[19] Fatmawati, F. F. Herdicho, Windarto, W. Chukwu, and H. Tasman. An optimal control of malaria transmission model with mosquito seasonal factor. Results in Physics, 25:104238, 2021.
[20] Z. Feng, C. Castillo-Chavez, and A. F. Capurro. A model for tuberculosis with exogenous reinfection. Theoretical Population Biology, 57(3):235–247, 2000.
[21] F. Gantmacher.Theory of Matrices. American Mathematical Society, 1964.
[22] B. D. Handari, F. Vitra, R. Ahya, T. Nadya S., and D. Aldila. Optimal control in a malaria model: intervention of fumigation and bed nets. Advances in Difference Equations, 2019(1):497, Dec. 2019.
[23] M. Hatami, D. Ganji, and M. Sheikholeslami. Differential Transformation Method for Mechanical Engineering Problems. Elsevier Science, 2016.
[24] D. Heath. Scientific Computing: An Introductory Survey.
McGraw-Hill Companies, 1997.
[25] M. T. Hoang and O. F. Egbelowo. Nonstandard finite difference schemes for solving an SIS epidemic model with standard incidence. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2, 69(3):753–769, Dec. 2020.
[26] E. Ince. Ordinary Differential Equations. Dover Books on Mathematics. Dover Publications, 1956.
[27] D. Kincaid and W. Cheney. Numerical Analysis of Scientific Computing. American Mathematical Society, 2009.
137
138 PEMODELAN MATEMATIKA [28] D. Kirk. Optimal Control Theory: An Introduction. Dover Books on Electrical Engineering. Dover Publications, 2012.
[29] S. Lenhart and J. Workman. Optimal Control Applied to Biological Models. Chapman & Hall/CRC Mathematical and Computational Biology. CRC Press, 2007.
[30] D. Luenberger. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applications. Wiley, 1979.
[31] S. Lynch. Dynamical Systems with Applications using MAPLE. Progress in Mathematics Series. Springer, 2001.
[32] F. Y. Malorung, M. A. Blegur, R. Pangaribuan, and M. Z.
Ndii. Analisis sensitivitas model matematika penyebaran penyakit dengan vaksinasi. Matematika Integratif, vol.14, No,1, pp 9-15, 2018.
[33] S. Marino, I. B. Hogue, C. J. Ray, and D. E. Kirschner.
A methodology for performing global uncertainty and sensitivity analysis in systems biology. Journal of Theoretical Biology, 254(1):178–196, 2008.
[34] R. E. Mickens. Nonstandard finite difference models of differential equations. world scientific, 1994.
[35] R. E. Mickens.Applications of nonstandard finite difference schemes. World Scientific, 2000.
[36] R. E. Mickens. Nonstandard Finite Difference Methods, pages 1–9. World Scientific, 2012.
[37] D. Naidu. Optimal Control Systems. Electrical Engineering Series. CRC Press, 2018.
[38] M. Z. Ndii. Pemodelan Matematika Dinamika Populasi dan Penyebaran Penyakit: Teori, Aplikasi, dan Numerik. CV Budi Utama (Deepublish), 2018.
[39] M. Z. Ndii, N. Anggriani, and A. Supriatna. Comparison of the differential transformation method and non standard finite difference scheme for solving plant disease
DAFTAR PUSTAKA 139 mathematical model. Communication in Biomathematical Sciences, 2:110–121, 2018.
[40] M. Z. Ndii, N. Anggriani, and A. K. Supriatna. Application of differential transformation method for solving dengue transmission mathematical model. AIP Conference Proceedings, 1937(1):020012, 2018.
[41] M. Z. Ndii, F. R. Berkanis, D. Tambaru, M. Lobo, Ariyanto, and B. S. Djahi. Optimal control strategy for the effects of hard water consumption on kidney-related diseases. BMC Research Notes, 13(1):201, Apr. 2020.
[42] M. Z. Ndii, D. Tambaru, and B. Djahi. A nonstandard finite difference scheme for water-related disease mathematical model. Applied Mathematics and Information Sciences, 13:545–551, 2018.
[43] M. Nourifar, A. A. Sani, and A. Keyhani. Efficient multi-step differential transform method: Theory and its application to nonlinear oscillators. Communication in Nonlinear Science Numerical Simulation, 53:154–183, 2017.
[44] Z. M. Odibat, C. Bertelle, M. Aziz-Alaoui, and G. H.
Duchamp. A multi-step differential transform method and application to non-chaotic or chaotic systems. Computers and Mathematics with Applications, 59(4):1462–1472, 2010.
[45] L. Pontryagin. Mathematical Theory of Optimal Processes.
Classics of Soviet Mathematics. Taylor & Francis, 1987.
[46] M. Porter and J. Gleeson. Dynamical Systems on Networks:
A Tutorial. Frontiers in Applied Dynamical Systems:
Reviews and Tutorials. Springer International Publishing, 2016.
[47] K. V. Ratnam, P. R. S. Rao, and G. Shirisha. Stability preserving NSFD scheme for a cooperative and supportive network. International Journal of Dynamics and Control, 9(4):1576–1588, Dec. 2021.
139
140 PEMODELAN MATEMATIKA [48] H. S. F. Rodrigues. Optimal control and numerical optimization applied to epidemiological models. Ph.d thesis, Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro, Portugal, 2012.
[49] I. Ross. A Primer on Pontryagin’s Principle in Optimal Control: Second Edition. Collegiate Publishers, 2015.
[50] T. Sauer. Numerical Analysis. Pearson Education, Inc., 2012.
[51] S. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Chapman & Hall book. CRC Press, 2019.
[52] A. Stuart and A. Humphries. Dynamical Systems and Numerical Analysis. Number v. 8 in Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics.
Cambridge University Press, 1998.
[53] A. Suryanto, W. M. Kusumawinahyu, I. Darti, and I. Yanti.
Dynamically consistent discrete epidemic model with modified saturated incidence rate. Computational and Applied Mathematics, 32:373–383, 2013.
[54] D. Tambaru, B. S. Djahi, and M. Z. Ndii. The effects of hard water consumption on kidney function: Insights from mathematical modelling. AIP Conference Proceedings, 1937(1):020020, 2018.
[55] P. Tu. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Science Applications. Springer Berlin Heidelberg, 2013.
[56] E. White and C. Comiskey. Heroin epidemics, treatment and ode modelling. Mathematical Biosciences, 208(1):312–
324, 2007.
[57] J. K. Zhou. Differential Transformation and Its Applications for Electrical Circuits. Huazhong University Press, Wuhan, China (in Chinese), 1986.
140
