S a s a n B a h a r a e e n a n d A b u S. M a s u d
D e p t . of I n d u s t r i a l E n g i n e e r i n g , The W i c h i t a S t a t e U n i v e r s i t y W i c h i t a , K a n s a s 6 7 2 0 8
A B S T R A C T
T h i s p a p e r p r e s e n t s a m i c r o c o m p u t e r p r o g r a m f o r t i m e s e r i e s f o r e c a s t i n g . T h e p r o g r a m has b e e n d e v e l o p e d in G W - B A S I C f o r Z e n i t h 150 m i c r o c o m p u t e r s w h i c h are I B M PC c o m p a t i b l e . It u t i l i z e s S i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , a n d B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g m e t h o d s to f o r e c a s t t h e f u t u r e v a l u e s o f a g i v e n t i m e s e r i e s . T h e p r o g r a m p r o d u c e s p l o t s of t h e o r i g i n a l t i m e s e r i e s a n d f o r e c a s t e d s e r i e s as w e l l a s f o r e c a s t i n g e r r o r s . It c o m p u t e s 9 0 % a n d 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l s f o r f o r e c a s t e d v a l u e s a n d c a l c u l a t e s t h e f o l l o w i n g s t a t i s t i c s : M e a n s q u a r e d e r r o r , M e a n a b s o l u t e p e r c e n t a g e e r r o r , M e a n a b s o l u t e e r r o r , D u r b i n - W a t s o n s t a t i s t i c , a n d T h e i l ' s U s t a t i s t i c .
K E Y W O R D S
F o r e c a s t i g ; T i m e s e r i e s ; S i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ; A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ; B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ; C o m p u t e r p r o g r a m ; M i c r o c o m p u t e r s .
I N T R O D U C T I O N
F o r e c a s t i n g p l a y s an e s s e n t i a l r o l e in d e c i s i o n - m a k i n g a c t i v i t i e s of m a n a g e m e n t in a n y o r g a n i z a t i o n . The n e e d f o r r e l i a b l e f o r e c a s t s is i n c r e a s i n g as m a n a g e m e n t a t t e m p t s to d e c r e a s e i t s d e p e n d e n c e o n c h a n c e a n d b e c o m e s m o r e s c i e n t i f i c in d e a l i n g w i t h i t s p r o b l e m s . R e l i a b l e f o r e c a s t s r e s u l t f r o m u s i n g c o r r e c t f o r e c a s t i n g t e c h n i q u e s f o r d i f f e r e n t d e c i s i o n - m a k i n g s i t u a t i o n s . F o r e c a s t i n g m e t h o d s are e i t h e r q u a n t i t a t i v e or q u a l i t a t i v e in n a t u r e . Q u a l i t a t i v e m e t h o d s a r e m a i n l y a r e s u l t of i n t u i t i v e t h i n k i n g , j u d g e m e n t a n d a c c u m u l a t e d k n o w l e d g e . Q u a n t i t a t i v e t e c h n i q u e s , o n t h e o t h e r h a n d , h a v e a m a t h e m a t i c a l b a s i s , a n d a r e u s e d in s i t u a t i o n s i n w h i c h i n f o r m a t i o n c a n be q u a n t i f i e d in t h e f o r m of n u m e r i c a l data. T h e r e are t w o m a j o r t y p e s of q u a n t i t a t i v e f o r e c a s t i n g m o d e l s : t i m e s e r i e s a n d r e g r e s s i o n . R e g r e s s i o n m o d e l s a t t e m p t to f i n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e v a r i a b l e to be f o r e c a s t e d a n d o t h e r i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s , a n d u s e t h i s r e l a t i o n s h i p to o b t a i n t h e f o r e c a s t s . In t i m e s e r i e s m o d e l s t h e f u t u r e v a l u e s of a v a r i a b l e are f o r e c a s t e d u s i n g the p a s t v a l u e s of t h a t v a r i a b l e . All s m o o t h i n g m e t h o d s s u c h as e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e s f a l l w i t h i n t h i s l a s t c a t e g o r y .
T h i s p a p e r r e v i e w s t h e t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d r e q u i r e d f o r t h r e e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e s : S i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , a n d B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ( B r o w n , 1 9 6 1 , 1 9 6 2 ; K i r b y , 1 9 6 6 ; H a r r i s o n , 1 9 6 7 ; M a k r i d a k i s , 1 9 8 3 ) . It p r e s e n t s a c o m p u t e r p r o g r a m d e v e l o p e d on Z e n i t h 1 5 0 m i c r o c o m p u t e r s w h i c h a r e I B M P C c o m p a t i b l e . T h e p r o g r a m u t i l i z e s t h e a b o v e t e c h n i q u e s to o b t a i n f o r e c a s t e d v a l u e s , p l o t s of t h e o r i g i n a l a n d f o r e c a s t e d s e r i e s , p l o t of r e s i d u a l s , c o n f i d e n c e i n t e r v a l s f o r the f o r e c a s t e d v a l u e s , a n d r e l a t e d s t a t i s t i c s .
S I N G L E E X P O N E N T I A L S M O O T H I N G
T h i s m e t h o d is the s i m p l e s t c a s e in e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e s a n d is u s e d f o r d a t a d i s p l a y i n g a h o r i z o n t a l p a t t e r n . The n a m e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g is u s e d s i n c e t h e w e i g h t o f o b s e r v a t i o n s u s e d to c o m p u t e t h e f o r e c a s t s d e c r e a s e e x p o n e n t i a l l y as t h e y g e t o l d e r . T h e f o r e c a s t f o r t i m e p e r i o d t + 1 , F t + I, is c a l c u l a t e d by e q u a t i o n I.
F t + 1 = F t + ~ (X t - Ft)
(I)
151
152 PROCEEDINGS OF THE 8TH ANNUAL CONFERENCE ON COMPUTERS AND INDUSTRIAL ENGINEERING
w h e r e F t i s t h e f o r e c a s t f o r p e r i o d t, X t i s t h e o b s e r v a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t i m e t, a n d G i s a s m o o t h i n g c o n s t a n t v a r y i n g b e t w e e n 0 a n d I s u p p l i e d b y t h e f o r e c a s t e r . T h e f o r e c a s t e r a l s o n e e d s to s p e c i f y a n i n i t i a l v a l u e f o r F 2.
A D A P T I V E - R E S P O N S E - R A T E S I N G L E E X P O N E N T I A L S M O O T H I N G
T h e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g r e q u i r e s t h e f o r e c a s t e r to s p e c i f y t h e v a l u e o f t h e s m o o t h i n g c o n s t a n t , a , w h i c h r e m a i n s f i x e d t h r o u g h o u t t h e e n t i r e f o r e c a s t i n g p r o c e d u r e . A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g ( A R R S E S ) , h o w e v e r , i s a d a p t i v e b e c a u s e i t a l l o w s t h e v a l u e o f a to c h a n g e a u t o m a t i c a l l y a s a r e s u l t o f c h a n g e s i n t h e d a t a p a t t e r n s . E q u a t i o n s 2 t h r o u g h 6 a r e u s e d b y M a k r i d a k i s ( 1 9 8 3 ) to c o m p u t e t h e f o r e c a s t s u s i n g t h i s m o d e l :
F t + I = a t X t + I- ~ t) F t (2)
~ t + 1 = I E t / M t l (3)
E t =
6[etl+ 1- 6) Et_ I (4)
M t = 6 1 e t l + I - 6 ) M t _ I ( 5 )
e t = X t - F t (6)
w h e r e F t is t h e f o r e c a s t f o r p e r i o d t, X t i s t h e o b s e r v a t i o n a t t i m e t, e t i s t h e f o r e c a s t i n g e r r o r c o r r e s p o n d i n g t o t i m e t, ~ t a n d 6 a r e s m o o t h i n g c o n s t a n t s v a r y i n g b e t w e e n 0 a n d 1, E t i s a s m o o t h e d e r r o r t e r m , a n d M t i s a s m o o t h e d a b s o l u t e e r r o r t e r m . T h e f o r e c a s t e r n e e d s t o s p e c i f y t h e f o l l o w i n g i n i t i a l v a l u e s : F 2 ' E l ' M I ' ~ 1 ' 6.
B R O W N ' S D O U B L E E X P O N E N T I A L S M O O T H I N G
D o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g i s u s e d t o o b t a i n t h e f o r e c a s t s f o r a t i m e s e r i e s d i s p l a y i n g a t r e n d p a t t e r n . I t c a n b e t h o u g h t o f a s a s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g o f a s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g . I f X t r e p r e s e n t s a n o b s e r v a t i o n a t t i m e t, S I t t h e f i r s t e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , a n d S 2 t t h e s e c o n d e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g , ' t h e n t h e f o r e c a s t F t is c a l c u l a t e d b y e q u a t i o n s 7 t h r o u g h 11 ( B r o w n , 1 9 6 1 ).
S 1 , t = G X t + ( I - ~) S l , t _ I S 2 , t = e $ 1 , t + ( 1 - e) S 2 , t _ 1 a t = 2 S 1 , t - $ 2 , t
b t = ~ / ( 1 - a ) ( $ 1 , t - $ 2 , t ) F t + m = a t + mb t
(7) (a) (9) (lO)
(11)
w h e r e a is t h e s m o o t h i n g c o n s t a n t i n d i c a t e d b y t h e f o r e c a s t e r . T h e o t h e r i n i t i a l v a l u e s p r o v i d e d b y t h e f o r e c a s t e r a r e $1, I a n d $2, 1.
C O M P U T E R P R O G R A M D E S C R I P T I O N
T h e f o r e c a s t i n g p r o g r a m d e v e l o p e d i n c l u d e s a t o p l e v e l m e n u d i s p l a y i n g b a s i c o p t i o n s a v a i l a b l e t o t h e u s e r . T h i s m e n u c o n t a i n s a d a t a e n t r y o p t i o n u s e d t o c r e a t e t i m e s e r i e s o f u p t o 2 0 0 p e r i o d s , e d i t i n g a n d m o d i f y i n g e x i s t i n g t i m e s e r i e s , o b t a i n i n g a p r i n t o u t o f o b s e r v a t i o n s i n a t i m e s e r i e s , a n d v i e w i n g a p l o t o f a g i v e n t i m e s e r i e s . A s e q u e n t i a l f i l e w h o s e n a m e i s s p e c i f i e d b y t h e u s e r i s c r e a t e d t o s a v e t h e c o n t e n t s o f a t i m e s e r i e s . O t h e r o p t i o n s i n c l u d e d in t h e t o p l e v e l m e n u a l l o w t h e u s e r t o s e l e c t o n e o f t h e a b o v e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e s i n o r d e r to d e t e r m i n e t h e f o r e c a s t s f o r a g i v e n s e r i e s .
A f t e r a c e r t a i n t e c h n i q u e is c h o s e n , t h e u s e r i s a s k e d to s p e c i f y t h e n a m e o f t h e s e q u e n t i a l f i l e c o n t a i n i n g t h e t i m e s e r i e s , t h e n u m b e r o f p e r i o d s t o b e f o r e c a s t e d , a n d t h e i n i t i a l v a l u e o f a . O p t i m a l v a l u e o f t h e s m o o t h i n g c o n s t a n t , a, c a n b e s u p p l i e d b y t h e u s e r , o r c o m p u t e d b y t h e p r o g r a m . If t h e u s e r d o e s n o t s u p p l y t h e o p t i m a l v a l u e , t h e p r o g r a m p r o m p t s t h e u s e r f o r u p p e r a n d l o w e r l i m i t s o f a , t h e s t e p s i z e , a n d t h e t o t a l n u m b e r o f t i m e p e r i o d s s e l e c t e d f o r o b t a i n i n g t h e o p t i m a l v a l u e . D i f f e r e n t v a l u e s o f ~ , s t a r t i n g w i t h t h e l o w e r l i m i t a n d e n d i n g w i t h t h e u p p e r l i m i t , a r e u s e d to o b t a i n f o r e c a s t s f o r t h e n u m b e r o f p e r i o d s s p e c i f i e d , a n d t h e ~ r e s u l t i n g i n m i n i m u m M e a n S q u a r e d E r r o r ( M S E ) i s c h o s e n . T h e p r o g r a m t h e n u s e s t h i s v a l u e t o c a l c u l a t e d e s i r e d f o r e c a s t s f o r t h e o r i g i n a l t i m e s e r i e s . T h e s e f o r e c a s t s a l o n g w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g o b s e r v a t i o n s a n d f o r e c a s t i n g e r r o r s ( r e s i d u a l s ) a r e d i s p l a y e d o n t h e s c r e e n . A t t h i s p o i n t t w o d i f f e r e n t s u b r o u t i n e s a r e u s e d to c o m p u t e u s e f u l
s t a t i s t i c s a n d c o n f i d e n c e i n t e r v a l s f o r f o r e c a s t e d v a l u e s . T h e c o m p u t e d s t a t i s t i c s i n c l u d e M e a n S q u a r e d E r r o r ( M S E ) , M e a n A b s o l u t e E r r o r ( M A E ) , M e a n A b s o l u t e P e r c e n t a g e E r r o r ( M A P E ) , D u r b i n - W a t s o n s t a t i s t i c , a n d T h e i l ' s U s t a t i s t i c . The i m p o r t a n c e of t h e s e s t a t i s t i c s l i e s in t h e i r a b i l i t y to d e t e r m i n e t h e a c c u r a c y o f a f o r e c a s t i n g t e c h n i q u e , a n d d e t e c t a n y e x i s t i n g p a t t e r n in the r e s i d u a l s . A f t e r t h e s e v a l u e s a r e d i s p l a y e d u s e r h a s the o p t i o n of r e t u r n i n g to t h e m a i n m e n u , o b t a i n i n g a p r i n t o u t o f t h e r e s u l t s , o r v i e w i n g t h e p l o t s of t h e o r i g i n a l t i m e s e r i e s , f o r e c a s t e d s e r i e s , a n d f o r e c a s t i n g r e s i d u a l s o n t h e s c r e e n . A h a r d c o p y of t h e s e g r a p h s c o u l d be o b t a i n e d via S h i f t - P r t S c keys.
In t h e i n i t i a l i z a t i o n s t a g e if s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g is s e l e c t e d , F 2 is s e t e q u a l to XI, a n d X I is n o t u s e d w h e n c a l c u l a t i n g d i f f e r e n t s t a t i s t i c s . If A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e s i n g l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g is c h o s e n , t h e f o l l o w i n g i n i t i a l v a l u e s a r e u s e d : F 2 = Xl, E I = M 1 = O, a n d ~ = .2. F o r d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g $1, I a n d $2, I are set e q u a l to X I.
E X A M P L E P R O B L E M S
A 2 4 p e r i o d t i m e s e r i e s w i t h a t r e n d p a t t e r n , a n d a n 11 p e r i o d t i m e s e r i e s d i s p l a y i n g a h o r i z a n t a l p a t t e r n w e r e c r e a t e d u s i n g t h e d a t a e n t r y o p t i o n . B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g a n d A d a p t l v e - r e s p o n s e - r a t e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e s w e r e u s e d to c o m p u t e f o r e c a s t s f o r e a c h t i m e s e r i e s r e s p e c t i v e l y . T h e r e s u l t s f o r t h e 2 4 p e r i o d t i m e s e r i e s i n c l u d e f o r e c a s t e d v a l u e s f o r 6 f u t u r e p e r i o d s , a n d the c o r r e s p o n d i n g c o n f i d e n c e i n t e r v a l s . A v a l u e of .5 w a s u s e d f o r the s m o o t h i n g c o n s t a n t a in t h i s p r o b l e m . In s e c o n d p r o b l e m a s i n g l e f o r e c a s t is c a l c u l a t e d f o r t h e 11 p e r i o d t i m e s e r i e s u s i n g a I = .3.
F i g u r e I i n c l u d e s a s a m p l e o u t p u t for A R R S E S , a n d Fig. 2 c o n t a i n s a s a m p l e o u t p u t f o r B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g . F i g u r e 3 d i s p l a y s t h e p l o t of f o r e c a s t e d v a l u e s a n d t h e o r i g i n a l s e r i e s as w e l l a s f o r e c a s t i n g r e s i d u a l s f o r t i m e s e r i e s of Fig. 2. In t h e s e p l o t s the m e a n v a l u e of the o r i g i n a l t i m e s e r i e s a n d m e a n of r e s i d u a l s are u s e d to r e p r e s e n t the v e r t i c a l s c a l e .
P e r i o d S e r i e s V a l u e F o r e c a s t e d V a l u e E r r o r a
1 200
2 135 200 - 6 5 .3
3 195 1 8 0 . 5 1 4 . 5 . 3
4 1 9 7 . 5 1 8 4 . 8 5 1 2 . 6 5 .3
5 310 1 8 8 . 6 5 1 2 1 . 3 8 . 2 6
6 175 2 2 0 . 6 2 - 4 5 . 6 2 . 6 2
7 155 1 9 2 . 4 5 - 3 7 . 4 5 . 2 2
8 130 1 8 4 . 2 7 - 5 4 . 2 7 . 0 3
9 220 1 8 2 . 7 6 3 7 . 2 4 . 2 9
10 277 1 9 3 . 5 8 3 . 5 . 0 5
11 235 1 9 7 . 4 7 3 7 . 5 3 . 3 1
12 2 0 9 . 2 . 4 2
T e s t P e r i o d i n From P e r i o d 5 t o P e r i o d 11 Mean S q u a r e d E r r o r (NSE) • 4 4 1 7 . 8 2
Rean Abmolute P e r c e n t a g e E r r o r (NAPE) = 2 7 . 7 3 8 Mean A b s o l u t e E r r o r (HAE) • 5 9 . 5 6 7
D u r b i n - W a t s o n S t a t i s t i c = 1 . 3 2 1 T h e i l ' s U S t a t i s t i c • . 7 3 8 F o r e c a s t f o r P e r i o d 12 • 2 0 9 . 2
90X C o n f i d e n c e I n t e r v a l = ( 1 0 4 . 8 3 , 3 1 3 . 5 7 ) 95X C o n f i d e n c e I n t e r v a l • ( 8 4 . 4 6 5 9 9 , 3 3 3 . 9 3 4 ) 98~ C o n f i d e n c e I n t e r v a l • ( 6 0 . 9 1 8 9 9 , 3 5 7 . 4 8 1 )
1. ( P ) r t n t 2. ( R ) e l i e t 3. ( G ) r a p h 4. ( f l ) a i n Menu?
F i g . 1. Sample o u t p u t f o r A d a p t i v e - r e s p o n s e - r a t e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g
154 PROCEEDINGS OF THE 8TH ANNUAL CONFERENCE ON COMPUTERS AND INDUSTRIAL ENGINEERING
S U M M A R Y A N D R E M A R K S
A l t h o u g h o u r p r o g r a m w a s d e s i g n e d to be a s u p p l i m e n t f o r t e a c h i n g a c o u r s e in f o r e c a s t i n g , b e c a u s e of i t s a b i l i t y to c r e a t e a n d m a n i p u l a t e t i m e s e r i e s of up to 2 0 0 p e r i o d s , i t c a n be e a s i l y u s e d in p r a c t i c a l s i t u a t i o n s . M o s t r e a l l i f e p r o b l e m s , h o w e v e r , do n o t i n h e r e t a s i m p l e h o r i z o n t a l or t r e n d p a t t e r n . O t h e r p a t t e r n s s u c h as s e a s o n a l i t y c o u l d c o m p l i c a t e a p a r t i c u l a r p r o b l e m in w h i c h c a s e t h e m o d e l s d i s c u s s e d in t h i s p a p e r w o u l d n o t be s u f f i c i e n t . T h e p r o g r a m i n t r o d u c e d in t h i s p a p e r is c u r r e n t l y u n d e r e x p a n s i o n in o r d e r to i n c o r p o r a t e m e t h o d s c a p a b l e of h a n d l i n g s u c h p a t t e r n s . W i n t e r ' s t r i p l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g a n d B o x - J e n k i n s m o d e l s a r e t w o a p p r o a c h e s w i d e l y u s e d in p r a c t i c e f o r f o r e c a s t i n g p r o b l e m s . T h i s p r o g r a m w i l l i n c l u d e b o t h W i n t e r ' s m e t h o d a n d h e l p f u l o p t i o n s f o r c h o o s i n g the c o r r e c t B o x - J e n k i n s m e t h o d f o r a p a r t i c u l a r s i t u a t i o n .
P e r i o d S e r i e s V a l u e S i n g l e E.S. Double E.S. F o r e c a s t E r r o r
1 143 120.66 115.57
2 152 136.33 125,95 -
3 161 148.67 137.31 157.09 3.91
4 139 143.83 140.57 171.38 - 3 2 . 3 8
5 137 140.42 140.49 150.358 - 1 3 . 3 6
6 174 157.21 148.85 140.263 3 3 . 7 4
7 142 149,6 149.23 173.923 - 3 1 . 9 2
8 141 145,3 147.26 150.357 - 9 . 3 5 9 9 9 9
9 162 153.65 150.46 141.377 20.62
10 180 166.83 158.64 160.037 19.96
11 164 165.41 162.03 183.193 -19.19
12 171 168.21 165.12 172.184 -1.18
13 206 187.1 176.11 174.386 31.61
14 193 190.05 183.08 2 0 9 . 0 9 - 1 6 . 0 9
15 207 198.53 190.8 203.993 3.01
16 218 208.26 199.53 213.971 4 . 0 3
17 229 218.63 209,08 225.723 3 . 2 8
18 225 221.82 215.45 237.73 - 1 2 . 7 3
19 204 212.91 214.18 234.549 - 3 0 . 5 5
20 227 219.95 217.07 210.367 16.63
21 223 2 2 1 . 4 8 219.27 225.729 - 2 . 7 3
22 242 231.74 225.51 225.888 16.11
23 239 235.37 230.44 244.205 - 5 . 2 1
24 266 250.68 2 4 0 . 5 6 245.233 2 0 . 7 7
25 270.932
26 281.056
27 291.18
28 301.303
29 311.427
30 321.551
Test Period is Pros Period 9 to Period 24
Mean Squared E r r o r (NSE) = 286.551
Nean A b s o l u t e P e r c e n t a g e E r r o r (MAPE) = 6 . 9 0 3 Hean A b s o l u t e E r r o r (HAE) = 1 3 . 9 8 1
D u r b i n - W a t ~ o n S t a t i s t i c = 2 . 2 3 2 T h e l l ' s U S t a t i s t i c = .951
P e r i o d F o r e c a s t 90X C.I. 95X C.I.
25 270.932
26 281.056
27 2 9 1 . 1 8
28 301.303
29 311.427
30 321.551
238.47 , 303.394 ) 244.248 , 317.864 ) 249.572 , 332.788 } 254.583 , 348.023 } 259.372 , 363.482 ) 264.002 , 379.1 )
232.136 237.066 2 4 1 . 4 5 4 245.466 249.215 252.773
309.728 ) 325.046 ) 340.906 } 357.14 } 373.639 ) 390.329 } Fig. 2. S a m p l e o u t p u t f o r B r o w n ' s d o u b l e e x p o n e n t i a l s m o o t h i n g
---= .= - = = -- - - - - ~ - - ~ . . .~ _ ~ _ . . = ... A - ~ --=_-a -
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