Contoh Soal dan Jawaban Kalkulus Tensor
### Contoh 1: Fluks Tensor Melalui Permukaan Bola
**Soal:**
Fluks tensor melalui permukaan bola dengan radius \( R \), diberikan tensor \( T^{ij} = r^2 \delta^{ij}
\), dihitung sebagai:
\[
\Phi = \int_{\partial V} T^{ij} n^j \, dS.
\]
**Jawaban:**
Fluks tensor melalui permukaan bola adalah:
\[
\Phi = 4\pi R^4.
\]
---
### Contoh 2: Hukum Divergensi
**Soal:**
Verifikasi Hukum Divergensi untuk tensor \( T^{ij} = r^2 \delta^{ij} \), dengan:
\[
\int_{\partial V} T^{ij} n^j \, dS = \int_V ( abla \cdot T^{ij}) \, dV.
\]
**Jawaban:**
Hasil integral permukaan dan volume adalah sama:
\[
4\pi R^4.
\]
---
### Contoh 3: Transformasi Tensor-Vektor
**Soal:**
Diberikan tensor \( T^{ij} = egin{bmatrix} x & y \ y & x \end{bmatrix} \) dan vektor \( v^j = egin{bmatrix} 2 \ -1 \end{bmatrix} \), hitung transformasi \( w^i = T^{ij} v^j \).
**Jawaban:**
Transformasi tensor-vektor:
\[
w^i = egin{bmatrix} 2x - y \ 2y - x \end{bmatrix}.
\]
---
### Contoh 4: Hukum Stokes
**Soal:**
Hitung sirkulasi medan vektor \( \mathbf{F} = egin{bmatrix} -y \ x \ 0 \end{bmatrix} \) di sepanjang lingkaran radius \( R \) pada \( z = 0 \), dan gunakan Hukum Stokes untuk memverifikasinya.
**Jawaban:**
Sirkulasi langsung dan integral permukaan menghasilkan hasil yang sama:
\[
2\pi R^2.
\]
---
### Contoh 5: Soal Bergambar
Lihat visualisasi untuk medan vektor dan tensor dua dimensi. Gunakan data berikut:
- \( \mathbf{F} = egin{bmatrix} y \ -x \end{bmatrix} \), - \( T^{ij} = egin{bmatrix} x & y \ y & x \end{bmatrix} \).
**Jawaban:**
- Sirkulasi: 0 (loop kecil, simetri).
- Transformasi: \( w^i = egin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} \).
- Tensor \( T^{ij} \) adalah simetris.
