CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS

CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS (TEKNIK M)

2.Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan pembatas : 7X1 + 3X2 ≥ 210 6X1 + 12X2 ≥ 180 4X2 ≥ 120

X1, X2 ≥ 0

Carilah harga X1 dan X2 ?

JAWABAN

Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan).

Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1

6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2 4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3

Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis ≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable surplus.

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut :

Basi X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

s

Z 13M-6 19M-7,5 -M -M -M 0 0 0 510M

A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 = 70

A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12 = 15

A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 = 30

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2

½ x1 + x2 - ¹/12 S2 +¹/12 A2 = 15

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = ⁹/4 x1 + 0S1 + ¹⁵/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - ¹⁵/24]A2 + MA3 + 112,5 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 1

11/2 x1 + ¼ S2 + A1 - ¹/4 A2= 165

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3 -2x1 + ¹/3 S2 - S3 - ¹/3 A2 + A3 = 60

Konversi bentuk standard iterasi Pertama :

Z = ⁹/4 x1 + 0S1 + ¹⁵/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - ¹⁵/24]A2 + MA3 + 112,5

11/2 x1 + ¼ S2 + A1 - ¹/4 A2 = 165 -2x1 + ¹/3 S2 - S3 - ¹/3 A2 + A3 = 60

½ x1 + x2 - ¹/12 S2 +¹/12 A2 = 15 Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z -¹³/2M-6 ^{0 0 7}/12 - ¹⁵/24 -M 0 ¹/24 - M ⁰ 225M – 112,5 *

A1 11/2 0 0 ¹/4 0 1 -¹/4 0 165 165 : 5,5 = 30

A3 -2 ^{0 0 1}/3 -1 0 ^-1/3 1 60 *

X2 ½ ^{1 0 -1}/12 0 0 ¹/12 0 15 15 : 0,5 = 30

Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi kedua.

Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1 x1 + ¹/22 S2 + ²/11A1 - ¹/22 A2 = 30

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0

Z = 0S1 + 0,725S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2

0.5 A2 = 0

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3 0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120

Konversi bentuk standard iterasi kedua :

Z = 0S1 + 0,725S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180 x1 + ¹/22 S2 + ²/11A1 - ¹/22 A2 = 30

0.5 A2 = 0

0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120 Tabel Iterasi Kedua

Basi s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK

Z 0 0 0 -0,725 0 -M+0,4 -¹/2M+0,725 M -180

x1 1 0 0 ¹/22 0 ²/11 -¹/22 0 30

A3 0 0 0 0 0 0 ½ ^{0 0}

X2 0 0 0 0,39 -1 0,36 0,21 1 120

Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan x1 = 30, x2 = 120 dan z=-180.

3.PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang.

Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg.

Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat ?

JAWABAN

Pemodelan matematika : Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200 6x1 + 3x2 = 360

Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1 6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 8M-3 8M+2 0 0 560M

A1 2 5 1 0 200 200:5=40

A2 6 3 0 1 360 360:3=120

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80

ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Konversi bentuk standard iterasi pertama : Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80

0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80

X2 0,4 1 0,2 0 40

A2 4,8 0 0,6 1 240

Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.

CONTOH MAKSIMASI Contoh Kasus Pertama:

• Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

• Batasan (constrain) (1) 2X1 ≤ 8 (2) 3X2 ≤ 15 (3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

Penyelesaian dari kasus di atas adalah:

Langkah 1:

Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

• Fungsi tujuan

Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0.

• Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel) (1) 2X1 ≤ 8 diubah menjadi 2X1 + X3 = 8 (2) 3X2 ≤ 15 diubah menjadi 3X2 + X4 = 15 (3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 diubah menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30

Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan

• Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2 = 0

• Fungsi batasan

(1) 2X1 + X3 = 8 (2) 3X2 + X4 = 15 (3) 6X1 + 5X2 + X5 = 30 Langkah 2:

Memasukkan persamaan fungsi tujuan dan fungsi batasan ke dalam tabel.

 NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3 sebesar 30.

 Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X1 + X3 = 8, kalau belum ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka

pengangguran ada 8 satuan, atau nilai X3 = 8. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X3, X4, X5) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif

Tabel Simplex Pertama

Langkah 3:

Memilih kolom kunci.

 Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom X2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan –5. Berilah tanda segi empat pada kolom X2, seperti tabel berikut:

Tabel Menentukan Kolom Kunci

Langkah 4:

Memilih baris kunci.

 Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai- nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

 Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci)

Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = ~, baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci.

Tabel Menentukan Baris Kunci

Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).

Langkah 5:

Mengubah nilai-nilai baris kunci.

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, seperti tabel 3. bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0; 15/3 = 5). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X2).

Tabel Mengubah nilai-nilai baris kunci

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai pada baris selain baris kunci

Tabel simplex kedua

Langkah 7:

Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif .

Tabel Menentukan Kolom Kunci dan baris kunci.

Tabel simplex ketiga

Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal.

Maka, diperoleh hasil akhirnya adalah.

X1 = 5/6, X2 = 6, dan Zmaximum = 27½