BENTUK UMUM METODE SIMPLEKS YANG DIPERBAIKI

(1)

Rivised Simpleks Met hod

(m etode sim pleks yang diperbaiki)

Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel berikutnya adalah :

(1) Nilai pada baris Zj – Cj.

(2) Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis). (3) Variabel basis.

(4) Nilai konstanta ruas kanan (bi) yang berkorespondensi dengan variabel basis.

Selain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen ke dalam tabel berikutnya.

Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier.

BENTUK UMUM METODE SIMPLEKS YANG DIPERBAIKI

Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut :

Maksimum Z = cx

dk Ax = bi

x ≥ 0

di mana,

a11 a12 …. a1n

a21 a22 …. a2n

.. .. ..

A = (m x m)

.. .. ..

am1 am2 …. amn

b1 x1

b2 x2

.. ..

bi =

(m x 1)

..

x = (n x 1)

..

bi xn

dan,

c =

(2)

Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y1, Y2, …,

Yn, di mana,

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

.. ; .. ; ..

Y1 =

(m x 1)

..

Y2 =

(m x 1)

..

Y3 =

(m x 1)

..

am1 am2 amn

Misalkan kita memiliki variabel basis x1, x2, …, xm, maka matriks basisnya adalah :

a11 a12 …. a1m

a21 a22 …. a2m

.. .. ..

B = Y1, Y2, …Ym =

(m x n)

.. .. ..

am1 am2 …. amm

B11 B12 …. B1m

B21 B22 …. B2m

.. .. ..

B invers = B-1

.. .. ..

Bm1 Bm2 …. Bmm

B1

Misalkan vektor (B) dipecah menjadi B = (n x 1)

BN

di mana B1 berkorespondensi dengan variabel basis, dan BN merupakan variabel nonbasis,

maka :

b1 xm+1

b2 xm+2

.. dan ..

B1 =

(m x 1)

..

BN =

(n - mx1)

..

(3)

dengan demikian solusi basis optimum adalah :

B11b1 + B12b2 + …. + B1mbm

B21b1 + B22b2 + …. + B2mbm

.. .. ..

BI = B -1

bi =

.. .. ..

Bm1b1 + Bm2b2 + …. + Bmmbm

Misalkan CB merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan dari

variabel basis adalah :

Z = Cx = CB BI = c1b1 + c2b2 + … + cmbm

Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (

π

_{) = C}_B_B-1_.

Koefisien fungsi tujuan yang baru =

ĉ

_j₌

π

_Y_i_{– c}_j_.

Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai apabila

ĉ

_j

≥ 0.

Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai

ĉ

_j_{yang memiliki negatif terbesar,}

sebagai variabel masuk basis. Sedangkan variabel yang akan keluar basis perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut :

â1n

â2n

..

Yjn

= B-1Yjn =

.. âmn

Setelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan keluar basis dengan rumus :

b2

= Minimum , untuk , i = 1,2, …, m. â2n â2n

(4)

Contoh 1 :

Penyelesaian LP dengan Rivised Simpleks, pada prinsipnya sama dengan metode simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting saja pada setiap perpindahan tabel baru.

Maksimum Z = 40X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2

Dk. [1] 3X1 + 2X2 + S1 = 150

[2] 8X1 + 2X2 + S2 = 200 [3] X1, X2, S1, S2≥ 0

Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised Simpleks, terlebih dahulu kita akan selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan.

Cj 40 25 0 0

CB Basis

bi X1 X2 S1 S2

Indeks

0 S1 150 3 2 1 0 150:3=50

0 S2 200 8 2 0 1 200:8=25

Zj-Cj 0 -40 -25 0 0

Cj 40 25 0 0

CB Basis

bi X1 X2 S1 S2

Indeks

0 S1 75 0 5/4 1 -3/8 75:1,25=60

40 X1 25 1 ¼ 0 1/8 25:0,25=100

Zj-Cj 1000 0 -15 0 5

Cj 40 25 0 0

CB Basis

bi X1 X2 S1 S2

Indeks

25 X2 60 0 1 0,8 -0,3

40 X1 10 1 0 -0,2 0,2

Zj-Cj 1900 0 0 12 0,5

Solusi optimum permasalahan diatas adalah X1 = 10, X2 = 60 dengan nilai Z = 1.900.

Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita perlukan.

Jika, kolom X1, X2, S1 dan S2 kita kita sebut Y1, Y2, Y3 dan Y4. Konstanta nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C1, C2, C3, dan C4, maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut :

Y1 = 

    

8 3

, Y2 = 

    

2 2

, Y3 = 

    

0 1

, Y4 = 

    

1 0

.

bi = 

    

200 150

; C1 = [40], C2 = [25], C3 = [0], C4 = [0].

(5)

Tabel 1. Tabel awal simpleks diperbaiki angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) bi : Y1.

bi Y1

Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi S1 dan X1, oleh karena itu matriks basis berubah

menjadi :

Invers matriks basisnya adalah :

B-1 =

_{[ ] [ ]}

Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya.

b

i = B-1bi= 

Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut :

(6)

Tabel 2. Tabel kedua simpleks diperbaiki

basis B-1 _b

i

S1 1 -3/8 75

X1 0 1/8 25

Apakah tabel dua tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis yaitu X2 dan S2

sebagai berikut.

Simpleks multiplier = π = C_BB-1, dimana C_B = [0,40].

Tabel akan optimum apabila nilai

C

j≥ 0. Berarti tabel 2 belum optimum, karena nilai

C

2 yang

baru masih negatif 15 yang berkorespodensi dengan variabel keputusan X2. Pada tabel

selanjutnya X2masuk basis (kolom kunci). Untuk menentukan variabel mana diantara S1 dan

X1 yang akan keluar basis (baris kunci), dipilih dari hasil minimum bi : Y2.

Nilai vektor kolom baru yang berkorespondensi dengan X2 adalah

Y

2 = B

-1

Variabel yang akan keluar basis adalah :

bi Y2

Variabel basis yang baru menjadi X2 dan X1, dan menghasilkan matriks basis seperti berikut :

B = [Y2,Y1] = 

Invers matriks basisnya adalah :

(7)

B-1 =

_{[ ] [ ]}

Nilai konstanta ruas kanan yang baru (bi) untuk tabel berikutnya adalah :

b

i = B-1bi= 

Hasil perhitngan diatas dapat dibuat dalam tabel simpleks yang diperbaiki seperti berikut ini :

Tabel 3. Tabel ketiga simpleks diperbaiki

basis B-1 bi

X2 4/5 -3/10 60

X1 -1/5 1/5 10

Apakah tabel tiga tersebut sudah optimum ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai Cj baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis (S1 dan S2).

Simpleks multiplier = π = C_BB-1, dimana C_B = [25,40].

adalah 10 dan 60. Sehingga nilai Zmaksimum adalah 40(10) + 25(60) = 1.900.

(8)

Contoh 2 :

dan bi berkorespondensi dengan konstanta ruas kanan, maka :

Y1 =

adalah sebagai berikut :

Tabel 1. Tabel awal simpleks diperbaiki

basis B-1 _b variabel yang memiliki nilai Cj negatif terbesar adalah variabel yang akan masuk basis.

(9)

3.

C

3 = [0,-M,-M]

Untuk mencari invers matriks basis (B-1_{) dapat dilakukan dengan operasi pivot, di mana kolom}

pivotnya adalah kolom Y2.

1. Kalikan baris 2 dengan nol, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 1.

Baris 2 = [0 1 0] x 0 = [0 0 0]

3. Kalikan baris 2 dengan minus satu, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris 3.

(10)

Baris 2 = [0 1 0] x – 1 = [0 -1 0]

Baris 3 = [0 0 1]

+

Nilai baru baris 3 = [0 -1 1]

Dengan demikian, B-1 =

  

 

  

 

−1 1 0

0 1 0

0 0 1

Nilai konstanta ruas kanan yang baru dapat dicari dengan cara :

b

i = B-1bi

b

i =

  

 

  

 

−1 1 0

0 1 0

0 0 1

  

 

  

 

50 20 40

=

  

 

  

 

30 20 40

2 2 1

A X S

Hasil perhitungan di atas dapat dibuat dalam tabel kedua simpleks diperbaiki seperti berikut :

Tabel 2. Tabel kedua simpleks diperbaiki

basis B-1 bi

S1 1 0 0 40

X2 0 1 0 20

A2 0 -1 1 30

Apakah tabel 2 tersebut sudah optimum ?, lihat proses berikut ini :

Simpleks multiplier = π_{= C}_B_B-1_{, dimana C}_B_{= [0,80,-M]}

[0,80,-M]

  

 

  

 

−1 1 0

0 1 0

0 0 1