De{inisi dan Persamaan Ellips

B,AB V ELLIPS

A.

De{inisi

dan

Persamaan

Ellips

Ellips

dide'hnisikan s:b'agai tempat kedudukan

titik-titik

^yang jumlah jaraknya _terhadap dua

titik

tertentu retap besarnya. Jumlah

jarak itu

harus lebih besar daripada jarak _kedua

titik

tetap. Berdasarkan

dcfinisi

tersetrut dapat ditentukan persalnaan ellips.

Untuk

mernperoleh persamaan

ellips, diambil

sumbu

X

sebagai garis yang melalui kedua

titik tetap.

1-,dan

li,,

^{sedang sumbu}

Y

sebagai ruas

garis FrFr. Jika {,f, ^=2c,

nraka dapat rlitcrrtirkan koordinat titik-titik tetap itn, yaitu 4(c,0) ^dan 4(*c,0).

l)erhatikan Ganrbal

V.I

bcrikut.

Gambar V.1

Misal iit,'i 7'i.r,,.),,)

adalah

titrk

pada tempat kedudukan, sehingga

jika jumlah

jarak yang ltonstan i1u clirnisalkan 2a (

,

2c), maka akan dipenuhi:

r'[;',

47't;',

*

_Za

_{c> JG,} -')t+1n"," u6;4' *l

^{= 2,,}

o _r/(r, --.')' , /,' :2u*

^(x,

^+c)'+y,'

I t '\ r -t tl . ;\

c> l/ ^{-.'- lx,'}

⁺

alr

=

a'\u ^*

c- ₎

c+

6'-t',

t

_-f

,tyr'=u'b',dengzur u1 -c'=b'

x.

ll ^'t.',

o;r+!i;=1

Flubungan

ini

berlaku

untrili

setiap koordinat-koordinat

titik dari

tempat kedudukan.

Setelah dijalankan. diperoleh persarnaan berikut, yang merupakm persamaan ellips.

*. ti= _{a- b"}

^r

9

GeometriAnalitik Bidang 49

Berdasarkan persamaan ellips tersebut dapat diluhis grafik ellips, seperti berikut

ini.

Y

F', (-c,0)

">

.C

\_

AX

GnmSar V.2 Pada ellips

di

atas, dijelaskan beberapa hal berikut.

o o o

Titik-titik ₄ (r, 0)) dan Fr(-

c,0)Fz disebut

titik-titik api ataufokrs

ellip".

AB ..2a

disebut sumhu

ponjang

dan

CD :26

disebut sumbu pendek

Jika titik (x,,1) terletak

pada

ellips, maka titik 1*.r,,/r).iuga ^terletak

pada ellips, sehingga sumbu

Y

merupakan sumbu simetri dari ellips ini.

Jika titik (x1,!t) terlctak

pada

cllips,

nraka

titik (.rr,*/r)

_.iugrt

terlctak

^pada ellips, sehingga sumbu

X

merupakan sumbu simetri dari ellips

ini.

Jika titik (x1,!r) terletak

pada

ellips, maka titik (-x,,-"y,)juga terletak

pada ellips, sehingga

titik

pusat koordinat, yaitu

titik

O, merupakan

titik

pusat ellips.

Titik+itik potong ellips

dengan sumbu-sumbu

simetri ellips

disebut puncak-puncak ellips, yaitu

titik

A(a,0)

, ^{B(- a,0),}

^c(0,

^c),

^dan

^o(0,-c)

^.

Nilai

c ciisebut eksentrisitas

linierdan e:9 aa

^disebut eksentrisitas

numerik 1s: I- ^{< l;.}

Jika pada ellips itu. n ^{:= b, maka}

^persamaan

ellips menjadi xt

⁺

y'

₌

1,

yang merupakan persamaan lingkararr. Iadi

lingkoran

adnlah keadaan istimewa

dari

ellips.

Untuk

menentukan persamaan

ellips

yang berpusat

di P(a, p)

yang sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat diuraikan sebagai berikut.

Y IY'

-a---+_.t I

F*c,0) iO'=P(a,B)

^F

"-/

Sumbu koordinat-XOY

ditranslasikan

menjadi sumbu-X'O'Y'sedemikian

sehingga

titik

pusat

O' berimpit

dengan

titik

pusat

ellips

P(cr,

B). Diambil titik

sembarang

T(x',y')

pada ellips, sehingga koordinatnya mcmenuhi persamaan ellips yang berpusat

di O',

^yaitu

t2 ,2

j.?*1...,.. xv ^...(1)

Jika

terhadap susunan sumbu

XOY titik

T(x',y

) ^berimpit

^dengan

^titik

^{T(x,y), maka}

diperoleh hubungan sebagai berikut.

x=x'+al ["*'=x*a

i

^atau

{

...(2)

y=y'+{J) _ly'=y-F

Derrgan mensubtitusikan (1) _ke (2) diperoleh persamaan ellips yang berpusat di

P(a,fr),yutu

('-r)'-(v-P)'-,

a-

b-

B. Garis

Singgung Pada

Ellips

Terdapat

tiga

macam

garis

singgung pada

ellips, yaitu garis

singgung dengan

titik

singgung yang diketahui, garis singgung dengan gradien yang telah ditentukan,

ian

^garis

singgung dari suatu

titik di

luar ellips.

1. Persamaan

Garis

Singgung Pada

Ellips

yang

Mempunyai

Koefisien

Arah

m

Misal

persamaan garis singgung

itu

adalah

g: y

₌ mx +

n.

Selanjutnya dicari

titik

potong

)l

garis

-u:b' ini terhadapi * i

= I . Absis

titik

potong

itu

dapat diketahui dengan menyelesaikan persamaan berikut.

bt

x'

+

u'

1,nx

* n))

₌

ct'b' €s (b'

+

a' m'\r' +2r,'

rnra + a' nz

*

_{a2b2 = 0}

Persamaan

ini

merupakan persamaan

kuadrat dalam x. Garis g akan

menyingung ellips,

jika

_ked.'ra

titik

potongnya berirnpit. Secara analitis, garis g akan menyinggung ellips itu

jika

persamaan kuadrat

di

atas mempunyai akar kembar.

Hal ini

terjadi

jika

diskriminan persamaan kuadrat tersebut sama dengiur nol, yaitu

D=4aam2nt - 41b'+a'm')lr'r'-a'b')=0 c> *n'+b2

_+a2m2

₌₀

Dengan mensubtitusikan

nilai

n

ini

pada persamaan garis g, diperoleh persarnaan garis singgung pada

ellips 4 _ut) ^- *

^{= l clengan graclien m, yaitu}

e n=x"Ja2m2

+b2

GeometriAnalitik Bidang 42

\

i, , -,

)'=mx!la ^{m +D}

Dapat dituniukkan bahwa

^persamaan

(*-o)' _,(v-oY

7 ^* T= ^I

dengan gradien m adalah

garis

singgung

pada

^ellips

Contoh

5.1

Tentukan persamaan garis

3x+2y+7=0

Jowab

y * _P

₌

m(x*rr)t "'l'r'

^' ^{. b'}

1^)

singgung pada

ellips l*l!-=, 10

⁵

^yang

^{seja.jar dengan garis}

Karena garis singgung itu seiajar dengan garis 3x-r2y+7 =0, ^{nraka gradient}

^garis

singgung itu adalah

- ]

^.

^e.rru*aan

garis singgung dimaksud adalah

2"

,=-1**.m:= ^{e) v--1xts}

" 2 v +2

²

<+3x+2y-10=0 c>3x+2y+10=0

2. Persamaan

Garis

Singgung Pada

Bllips

dengan

Titik Singgung I(x,,y1) ,2

^rr2

Misal diketahuititik I1x,,y,)dan P(xr,y,)

terletak pada

ellips

i.i,

⁼

^l. Karenatitik

T(x,,!r)

terletak pada

ellips

5. #=

^{1. maka dipenuhi:}

11

y.#=l * b2x,'+a'y,'=a'b'

...(1)

Titik P(x,

^y,

₎

^juga terletak pada

ellips 4 ^. *=

^{I ,} sehingga dipenuhi:

o-

b-

,1

?.b=1 a ^b'xr2

^+o2yz2

=a'b'

...(2) Dari persamaan (1) _dan (2) _diperoleh

b'x,'+a2Y: :

_b'xr2

_+o'Yr' Q b2(,,'-'r')= -o'()','-r'r')

* b2(x,+xr[x, -rr)= -o'(.r',

^+y,)(-1,,

*-t,,)

v,-Y; h'(r,+x,)

3rt tt

=*.--l '-t '-z.l

. ...(3)

xt-xz a'(j/r +lz)

Perhatikarr

bahwa

persamaan

garis fr'

^adalah

mensubtitusikan (3) ke persamaan

ini

diperoleh

bt(.r +x.).

! ^* lr

⁼

^* _;r

1r

^('t

^{- r, )} ..."....'

'..'... ⁽⁴⁾ Jika

titik

P(.x.r,y,

)

^{berimpit dengan}

titik I(x,,y, ),

^{maka xz =}

xt

dan

lz

= y, ^. Dalam

<+

hal ini, garis PZ

merupakan

giuis

singgung pada

ellips

dengan

titik T(x1,!r).

Persamaan (4) di atas menjadi

b: ),

! - lt= --, i"', (r-r, ₎ o

^u,

^y,(y _- ^y,)= _b,r,(r_r, u t)'t

)

<)

u)

yry

+ b2

x,x

₌ a)

lr

^{+ brxr2}

_ xrx !r! *,' y,'

<'i --:-t--=---f

rlt b' u'

--

b'

o ^{l.I *}

^-P.'1 = ^I

,r' ht

Jadi.

persanraan

garis singgung pada ellip, + ^{* !r:} =l ^{dengan titik}

^singgung

Ll- h-

T(xr.!r ₎

adaiah

f',{.* lt! _=t

q2

b2

Dapat ditunjukkan batrwa persamaatl

singgung

pada ellips

! - lt - lt --!z

1x

-'x z).

^Dengan

xr*xz

garis

('

^-_

f L. U:4-

_{= 1 dengan}

_titik

singgung

r(x,

, y,

)

adalah sebagai berikut.

qt

_b)

Garis singgung pacia suarii ellips mempunyai sifat tertentu yang akan diuraikan sebagai

bcrikut. Misal tirik

^7'1.t,,

yr)

tcrletak pada

ellips.

Perhatikan gambar

berikut. Melalui titik r(.x1,li)

tlibuat garis singgung. garis yang menghubungkan

titik rdeur

F7,

yaitu fr ^,

^aan

garis yang nrenghubungkirn

tilik

?'clan 1i2,

yaim fr

^.

GeometriAnalitik Bidang 44

Gambar V.5

Garis singgung pada ellips dengan

titik

singgung

7(x,,y,)

I{ *4=l _{a' b'} ^<+ - ,,=-h'-r' a'!r ".*4 lt

Persamaan garis yang menghubungkan

titik I

dan f,7. yaitu adalah

If, -+

, adalah

Y _x-c atauy= )', ^(_r*c)

lt 'tt-c ^rr -c

-)

Jika sudut antara garis singgung dan garis

I{

dimisalkan

a,,

maka dipenuhi

b'*,

)'t

-7;-;;

i5-ir ₌

---:-- -o-1

1*-b-'l.- '

^YL

a"lt xt-c h'Gx. - r')

-\l/

cy,,lrr, - ^o') :b'

cv,

Jika sudut antara garis singgung dan

gu.i, ii,

dirnisalkan

a,,

maka dengan cara yang

h2

s€urla,

akan diperoleh tgd) =:--. ^{Tampak bahwa tgat} =tgd), )'ang

mengakibatkan

c!t

dt

-*

dz'

Berdasarkan

uraian di

atas,

diperoleh sifat garis

singgung pada

ellips yaitu:

^garis

singgung di ^suatu titik pada ellips ntembagi dua sama besar sudut antara

garis penghubung

titik itu

dengan

titik

api yang sotu don

perpanjangan

garis penghubung

titik

tersebut dengan

titik apinya

Geometri Analitik Bidang 45

Contoh 5.2

Tentukan persamaan geris singgung yang berabsis 2 pada ellips Jawab

Titik-titik pada ellips yang

^berabsis

2 adalah P(2,2)dan

singgung pada ellips itu dengan

titik

singgung

P(2,2)

adalah

dimaksud. Sebagai ilLrstr;rsi perharikan berikut.

,4,

(r',-y'

'x .Y

77 ^,

205

QQ,*2).

Persamazur garis

2x ^2v

-" +-r l c+ x+4y-10=0

205

Persanraan

garis singgung pada ellips itu dengan titik ^singgung _QQ,*z)

^adaiah

)- -?',

-A ;l

-"'+- 205 ^-r- =1c> x'-4y -10=0

Jadi persamann g;uis singgung ^yaurg dimaksud adalah

x+4y -i0

⁼

⁰

^dan

^{x-4y *10}

⁼

^0.

3.

Persamaan

Garis

Singgung l'>arla

Ellips

yang

Melalui

Suatu

Titik di Luar Ellips,

)l

Diketahui ellips ! ^* {=

⁼

I ^dan titik ^'[(x1,!r) di luar ellips itu. Akan

ditentukan

d"

b-

persalnaan garis singgung

dari titik 7'(.r,,y,) ke ellips itu. Misal titik

singgungnya adalah

A\x',y').

^Persamaan

^garis singgung pada ellips

*2

e.#=, ^{dengan titik}

^singgung

-{(.r'..r")

^adatah

-{i* _{Lt- b'} 4: ^=r.

"t2 ^,,'2 Karena

titik ,{(x',y'1

terletak pada

ellips,

maka

dipenuhi

T-?

⁼

^l.

^Karena

^titik

7'(.r, ,1,

) ^{terletak pac'la garis singgung,} maka dipenuhi + ^* _','r'

^{= t}

.

^Dengan

a' ^b'

nrenyclesaikan keduu persanlaan terscbut akan diperoleh persamaan garis singgung yang

T(xD)

bar Y.

4

GeometriAnalitik Bide

g

₄₆

Contoh

5.3

Tentukan persamaan garis singgung

dari titik f(I0, _-8)pada

ellips pula persamaan garis yang menghubungkan

titik-titik

singgung itu.

Jawab

"l

+'

^,2

_=1.

Tentukan

25 t6

Misal titik

singgungnya

adalah A,(x',y').

Persamaan

garis

singgung

di A

pada adalah

* 25 ^. +

¹⁶

⁼¹

^. Karena garis

ini

melalui

titik f(l0, ^* 8),

maka dipenuhi

L:+. 25 1652" ^-.8/'

₌

_t o _? r,-I y,=l ... ^...

^.

^{... (r)}

Karena

titik

_{At(x' ,}

y')

terletak pada ellips, maka dipenuhi

x'2

t,'2

-- ⁺ _ -l ... ^...,.(2) 25

¹⁶

Dari

persamaan

(1)

dan

(2) diperoleh , : I*|Ji

^dan

^y'= -1*J7,ludi, ^titik-

titik

singgung pada

etlips iru

adatah

n,(1*1,fi.-,**Fl

^dan

A,(1-1O,-1-,/}'l

\4 4 ) "\4 4 )

Dengan demikian, persamaan garis singgung dimaksud adalah se5agai berikut.

f \ ( -\

l1+"*^lllx / r\

U-#.Ir#2

=

r <*

⁽⁺

* +J1\- ^(-

^s

* sfib-8g

₌ ⁰

dan

/- - ^\

()-).r;\-

/

V {r .l' 25 _,!)' i6 =1 c> (q-q"ryb-(s*

^\

sJlb-8.=0

Persamaan garis yang menghuburrgkan

titik-titik

singgung pada

ellips

tersebut, yaitu

(s t - -\ (\ ( - ^{^-\}

titik-titik

A, _I

:-+ :"17. _-1+

^ll ^I

^dan

^A,

^I

: ^- _-J7, -t -.,17 l.

^adalah

"(4 4- ) '\4 4'' ₎

ellips itu

--(1-,- 1r'l

\44),

m= \4 4 ) \4 4 ⁾