Garis Arah atau Direktris Ellips

C.

Garis Kutub

Perhatikan kembali Gambar v.4, yaitu ellips dengan titik singgung A,(x',y')dan

Ar(x",y").

Persamaan

garis singgung

dengan

titik singgung At idalah +.$=t. _AD

Karenagarissinggunginimelalui T(x1,!r),makaberlaku +.'.'rt =l ... ....(1) (J' _b'

Persamaan garis singgung

di A,

^adalah

+. +

⁼¹

^.

Karena garis singgung

ini

melalui

a' ^h'

T(x1,!t),

maka berlaku

{* _*

'','

!' =l ^,..,.

cr- b'

^:

| "" ""

⁽²⁾

Dari (1) dan (2)

tampak bahwa koordinat-koordinat

titik lr (x',y') dan Ar(x",-y")

memenuhi persamaan

\*+{=1 a' ^{b' . Hal ini berarti} titik-titik A,(x',y,) dan Ar(x,,,!,,)

terletak pada garis

{I a' ^* ++ b'

⁼

^I

^{. Garis}

ⁱⁿⁱ

^disebut

^tuli

^busur singgung pada eyips

dari titik

T(xy,

!r)

^atau disebutjug a

garis kutubtitik Z(x,,y, )

^terhadap

ellips,.

# ^=,

Dapat ditunjukkan

bahwa

jika _{T(x,,y,) terletak di} luar ellips, maka garis

kutub menjadi

tali

busur singgung.

Jika

1' pada elips, maka garis

kutub

menjadi garis singgung.

Sedangkan

jika _T

_{di dalam ellips,} maka garis kutub tidak memotong ellips.

D.

Garis Arah atau Direktris Ellips

Misal 'l'(x,,),t;

adalah sembarang

titik

pada

cllips ! *\ =l

^seperti

^tampak

^pada

gambar berikut.

Gambar V.

6

GeometriAnalitik Bidang 4g

Dimisalkaniugaiarak T(x,,\t1)

terhadap fokus

ellips

tr,(c:.

0)dan Er(-c,0)

^berturut-

turut adalah TF', =

d,

dan

TF,

₌

r/r.

Dipenuhi persamaan-persamaan berikut.

,2 ', 1

dt =(xr-c)-+lt

dr'=(xr+c)2+yr2

Dari dua persamaan tersebut diperoleh

dr' ^* d,' ₌ 4x,c * ^(d, _{- d,\d,}

^{+ d,')}

:

_4x,c

e ^(d, _-d,\2a :

_4x,c

o ^(d, - d) = ^?!'c-

a

Dengan

sedikit

memanipulasi secara aljabar,

dari

persamaan

terakhir

tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

d,

₌

9({- _4\c ,, I

^oun

^a,

⁼

^{L( o' * r,)}

) a\c ₎

Perhatikan

bahwa o'

-r,

^adalah

^jarak titik T(xr,!r)

terhadap

garis r=1- dun {**, ccc

adalah jarak

titik

7(x, , y,

)

^{terhadap garis}

,

=

--t.

Oleh karenanya dapat clikatakan bahwa

c _l/2

o d, =o

^{dikalikan jarak}

^{titik T(xvyr)}

^{terhadap garis .r} =

9-

)

CC

(l _,r'

o dz

₌

L

dikalikan jarak

titik T(x,,!,)

tcrhadap garis

r

=

+--

cl(

2

Perhatikarr

bahwa

perbandingan

jarak titik 7'(x1,),r)

teriradap

garis x ="

^dan

L

2

perbandingan

jaral;

_antara

titik I(x,,y,) terhadap garis x=-a

adalah tetap,

yaitu 1

.

ca

Dalam hal

ini

garis-garis

* =L ^dan

^x

=-o'

^disehut

^{garis arah}

^atau

direktrisdari

ellips.

cc

Jika

diselidiki

lebih lanjut, garis-garis arah inr merupakan garis-garis kutub dari fokus ellips tersebut.

Berdasarkan uraian

di

atas, ellips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan

titik- titik ^yong

perbandingan

jaraknya

terhadap

suatu titik

dan

garis tertentu

besornya tetap.

Perbandingan ini tebih kecil dari I, ^yaitu

^o =

9

_{< I}

. Titik tertentu dan ^garis

tertentu a

tersebut

bertunrt-turut

Gra,tir, Bdang 4g

\

Contoh

5.4

Diketahui

suatu

ellips

berpusert

di 0 ^(0,0)

dan eksentrisitasnya

'3 ,

₌

].

^Tentukan

^{jarak titik}

Mr ^yME

^{terletak pada}

ellips ke direktris

yang berpasangan dengan

fokus F(-2,0), ^jika

absis

titik M,

adalah

2.

^fentukan pula perstrmaan ellips itu.

Jawab

Karena

ellips itu

berpusat"

di

O ^(O,O) aan fokusnya

F(-2,0),

maka dapat diketahui

c:2

dan

u:6. ^{Persamaan direktris} ellips yang berpasangan dengan F(-2,0)

^adalah

a'

³⁶

r

=

-- ^{= r--- -'} -i

^{8 .} Karena absis

titik M,

^adalah

2,

maka

jarak M,

ke direktris adalah

c2

l2-(-18)i=201,

^Pada

ellips dipenuhi

b2

=a'-c2 =36-4=32. ^Jadi,

^{persamaan ellips}

yang dimaksucl aciaiah

! 36

ⁿ

{

³²

^=,

E.

Garis

Tengah Sckarvun

Pada suatu

ellips ditarik tali

busur-tali busur yang sejajar dengan

garis y

₌ tnx . Tempat kedudukan

titik-titik

tengah

tali

busur-tali busur tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

'ft:rf ebih dahulu

!

⁼

^mx

disubtitgsikan ke persamaan ellips sebagai berikut.

xv-

22

7.? -l ^{<> &'x'+ a'y'=n'b'}

c;,

br-r2 + a21mr + n)2 = ^a26z

r+ (bt

+

a'm2)x2

+Za2 mnx +

u'n' ^*

^a2b2 ₌ ⁰

Persamaan

terakhir

adalah persamaiur kuadrat dalam

x. Absis titik-titik

potong garis

!

⁼

^mr

^{dengan ellips} adalah akar-akar persamaan kuadrat

ini.

Jika

titik

tengah

tali

busur-taii

busu

itu adalah T, maka koordinat

titik

T a<talah sebagai berikut.

l , .,

2

u'mn

^cl2 mn

*, _=r(xr ^+rz ) : *

Xb, +urn\ ⁼ -;f;;fr

a'

m'n

^b2 n

jy---_ril :,- ) ^_

b-

+

a'm' b'

+

u'mz

GeomebiAnalitik Bidang 59

Dengan mengeliminiasi n diperoleh

^persamaan

+

⁼

-* ^{atau o',}

⁼

-$ ^r,

^.

x1.

Dengan

menjalankan koordinat titik T

akan terdapat persamaan tempat kedudukan ^yang dicari atau persamaan garis tengah ellips. yaitu

b2

J)

a'm

y

₌

tnx dan y * -*- ^{disebut garis} tengah-garis

tertgalt

Garis-garis

tengah

seko,pan.

Gradien kedua garis ini, yaitu rn clan - +. ^disebut orolt-arah

sekotvan.

atn

Hasilkali

gradien kedua garis

ini

adalah

-+

Perhatikan bahwa

lrasilkali

gradien kedua

(t'

garis

itu

rregatif, sehingga gradien kedua garis

itu

berlawanan tanda.

Hal ini berarti

garis tengah-garis tengah sekawan ellips dipisahkan oleh sumbu-sumbu koordinat.

Latihan Soal5

0l.Tentukan

persalrraan

ellips yang fokus-fokusnya terletak pada sumbu X,

^sirnetris

terhadap

titik O(0,0).

dan mernenuhi syarat-syarat sebagai berikut.

a.

sumbu panjangnya 10 dan.iarak kedua fokusnya 2c = 8

b. jarak kedua fbkusnya 2c

=

6dan eksentrisitasnya actalah ^e = ^]--

)

c,

pnnjang sumbu ^penclek adalnh

l0

tlan cksctttrisittlstllrn ild^1rf.r

.

=

|] _l3

d. jarak kedua fokusnya 2c = 4 danjarak kedua direktrisnya adalah 5

e.

jalak

_kedua direktrisnya adalah

32

daneksentrisitasnya adalah c

,2

= ¹

02. 'l'entukan persam&an

cllips

dan gzunbar sketsa grafiknya.iika masing-masing dikctahui:

a.

tirik

puncaknya

(-

t,

Z)

dan (9,

2),

serta fokusnya

(7,2).

b.

titik

puncaknya

Q,-Z)

^dan

^(3,8),

^{serta melalui}

^titik

^{(1, 7).}

c. pusatnya (1,

2),eksentrisita.nyu {,

dan garis arahnya

4x:25, 5'

d.

titik-titik

fokusnya (5,

0)

dan

(*S,

O), serta salah satu direktrisnya x

= -20.

A.

,,q

o

rrt

'-\- i \

r*.)

Geometri Analitik Bidang 51