IRISAN KERUCUT
B. Elips
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik trtentu dan jaraknya ke garis tetentu
selalu tetap.
Titik tertentu itu dinamakan fokus. dan garis tertentu dinamakan direktris
Terdapat dua macam bentuk elips, yakni
1. Ellips horizontal 2. Ellips vertical.
Berikut ini akan diruaikan penjelasan mendapatkan bentuk umum elips horizontal dengan pussat O(0, 0)
Pada gambar diatas, misalkan ttitik F dan garis g masing-masing adalah fokus dan direktris elips, serta P adalah salah satu titik pada elips, maka perbandingan PF dan PR
selalu tetap dan kurang dari 1, atau
PR PF
= e < 1 (e dinamakan eksentrisitas)
Dengan memperhatikan garis g tegak lurus dengan sumbu-x, maka terdapat titik A2
pada sumbu-x sedemikian sehingga 2 2
KA F A
= e, dan terdapat titik A1 pada sumbu-x
dengan 1 1
KA F A
= e, sehingga A2 dan A1 terletak pada ellips.
Misalkan A2 A1 = 2a, dan O titik titik tengah, maka A2O = A1O = a. Akan ditentukan KO dan FO dalam suku-suku a dan e.
Karena A2F = e. KA2 ……… (1)
FA1 = e. KA1 ……… (2)
maka diperoleh: A2F + FA1 = e(KA2 + KA1) ……….……….. (3) Karena A2F + FA1 = 2a , KA2 = KO – a dan KA1 = KO + a , maka dari persamaan (3) diperoleh :
2a = e(KO – a + KO + a) 2a = e. 2KO
KO =
e a
Dari (1) dan (2) diperoleh juga : FA1– A2F = e.KA1– e.KA2 FA1– A2F = e.(KA1– KA2)
(a + FO) – (a – FO) = e.([KO + a] – [KO – a]) 2.FO = e.2a
FO = ea Dari sini diperoleh koordinat titik focus F(–ea, 0)
Dengan mengambil titik P(–x, y) sebarang titik pada ellips, maka persamaan ellips
diperoleh dari kondisi
Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur elips, yakni sebagai berikut:
Nilai eksentrisitas elips adlah e =
a c
Titik puncak elips ada empat, yang kesemuanya berada pada sumbu-x atau sumbu-y
Titik fokus elips ada di F1(c, 0) dan F2(–c, 0)
Untuk menentukan persamaan direktris elips terlebih dahulu dicari jarak dari O ke K
yakni: OK =
Maka persamaan direktriks adalah x =
c a2
dan x = –
c a2
Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan elips, sehingga untuk x = c diperoleh :
Untuk elips vertical dengan pusat O(0, 0) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara memutar elip horizontal diatas 900 , Sedangkan untuk elips dengan pusat M(p, q) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara menggeser (translasi)
elips menurut matriks T =
. Berikut ini diuraikan rangkuman rumus-rumusnya :
1. Ellips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)
Nilai eksentrisitasnya: e =
Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b) Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c2 = a2– b2
Persamaan garis direktriks dirumuskan x =
c a2
dan x = –
c a2
Panjang Latus rectum : LR =
a 2b2
2. Ellips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)
Elips ini mempunyai bentuk Umum :
1 2 2
2 2
a y b x
,
Nilai eksentrisitasnya : e =
a c
Unsur-unsurnya:
Titik puncaknya di A1(0, a), A2(0, –a), B1(b, 0), dan B2(–b, 0)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik focus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c2 = a2– b2
Garis direktriks dirumuskan y =
c a2
dan y = –
c a2
Panjang latus rectum dirumuskan : LR =
b 2a2
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Tentukan koordinat titik puncak elips 9x2 + 36y2 = 324 Jawab
9x2 + 36y2 = 324
324 324 324
36y 324
9x2 2
1
9 y 36
x2 2
Maka a = 6 b = 3
02. Tentukan koordinat titik fokus elips 25x2 + 16y2 = 400 Jawab
25x2 + 16y2 = 400
400 400 400
16y 400
25x2 2
1
25 y 16
x2 2
Maka a = 5 dan b = 4 sehingga c = 2 2
4
5 = 9 = 3 Sehingga titik fokusnya F1(0, 3) dan F2(0, –3)
03. Tentukan persamaan garis direktriks elips 1
64 y 100
x2 2
Jawab
a = 10 dan b = 4 sehingga c = 2 2
8
10 = 36 = 6
Sehingga garis direktriksnya : x = ±
6 102
sehingga x = ±
3 50
04. Diketahui elips 9x2 + 5y2 = 180. Tentukan Nilai eksentrisitasnya … Jawab
9x2 + 5y2 = 180
180 180 180
5y 180
9x2 2
1
36 y 20
x2 2
Maka a = 6 dan b = 20 sehingga c = 3620
c = 16 c = 4
Sehingga nilai eksentrisitasnya e = 4 6
= 2 3
05. Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya di (–6, 0) dan (6, 0) serta panjang sumbu mayor 20 satuan
Jawab
Elips ini berbentuk vertikal dengan puncak (–6, 0) dan (6, 0), maka b = 6 Panjang sumbu mayor 20 satuan sehingga 2a = 20
a = 10
Jadi persamaan elips : 1
100 y 36
x2 2
06. Tentukan persamaan elips jika pusatnya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 6) dan salah satu puncaknya di titik (0, 8)
Jawab
Elips ini berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 6) maka c = 6 salah satu puncaknya di titik (0, 8) sehingga a = 8
Sehingga b2 = a2– c2 = 82– 62 = 64 – 36 = 28
Jadi persamaan elips : 1
64 y 28
x2 2
16x2 + 7y2 = 448
3. Ellips Horizontal dengan Pusat M(p, q)
Elips ini mempunyai bentuk Umum : 1
2 2
2 2
b ) q (y a
) p (x
Denga nilai eksentrisitas e =
a c
Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a+p, q), A2(–a+p, q), B1(a, b+p), B2(a, –b+q)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b Titik fokus di F1(c+p, q) dan
F2(–c+p, q) dimana c2 = a2– b2
Persamaan garis direktriks dirumuskan x =
c a2
+ p dan
x = –
c a2
+ p
4. Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)
Dengan nilai eksentrisitas : e =
b c
Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(p, a+q), A2(p, –a+q) B1(p+b, q), B2(p–b, q), Panjang sumbu mayor = 2a dan
Panjang sumbu minor = 2b Titik fokus di F1(p, c+q)
F2(p, –c+q) dimana c2 = a2– b2
Persamaan garis direktriks dirumuskan y =
c
Panjang latus rectum dirumuskan : LR =
a 2b2
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
07. Diketahui persamaan elips 9x2 + 4y2 + 54x – 8y + 49 = 0 Tentukanlah :
(a) Koordinat puncak elips (b). Panjang latus rectum
Elips tersebut adalah elips vertikal (a) Koordinat titik puncak elips adalah :
08. Diketahui elips 25x2 + 16y2– 100x + 96y – 156 = 0, Tentukanlah : (a) Koordinat titik ujung sumbu minor
(b) Koordinat titik fokus Jawab
25x2 + 16y2– 100x + 96y – 156 = 0 25x2– 100x + 16y2 + 96y = 156
25(x2– 4x + 4) + 16(y2 + 6y + 9) = 156 + 25(4) + 16(9) 25(x – 2)2 + 16(y + 3)2 = 400
1 16
2 25
400 ) 3 (y 400
)
(x 2 2
1
2
25 ) 3 (y 16
)
(x 2 2
Maka a = 5 , b = 4 , p = 2 dan q = –3
c = a2 b2 = 2516 = 9 = 3
karena a dibawah y, maka elips tersebut adalah elips vertikal (a) Koordinat titik ujung sumbu minor adalah
B1(b+p, q) B1(4+2, –3) = B1(6, –3) B2(–b+p, q) B2(–4+2, –3) = B2(–2, –3)
(b) Koordinat titik fokus adalah
F1(p, c+q) F1(2, 3+(–3)) = F1(2, 0) F2(p, –c+q) F2(2, –3+(–3)) = F2(2, –6)
09. Diketahui koordinat fokus elips adalah F1(8, –1) dan F2(–4, –1) serta salah satu koordinat ujung sumbu minor adalah (2, 7). Tentukanlah persamaan elips tersebut
Jawab
Elips tersebut adalah elips horizontal, sehingga
F1(c + p , q) = F1(8, –1) maka c + p = 8 ……… (1)
q = –1 ……….. (2)
F2(–c + p , q) = F1(–4, –1) maka –c + p = –4……… (3)
B1(p , b + q) = B1(2, 7) maka p = 2 ……….. (4)
b + q = 7 ……… (5) Dari (1)(4) c + p = 8
c + 2 = 8 maka c = 6 Dari (5)(2) b + q = 7
b – 1 = 7 maka b = 8 sehingga c2 = a2– b2
62 = a2– 82
Jadi persamaan elips: 2 1 1
64 ) (y 100
)
(x 2 2
16(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 1600
16(x2– 4x + 4) + 25(y2 + 2y + 1) = 1600 16x2– 64x + 64 + 25y2 + 50y + 25 = 1600 16x2 + 25y2– 64x + 50y – 1511 = 0
12. Eksentrisitas orbit bumi mengelilingi matahari kira-kira mendekati 0,0167. Jarak terdekat antara bumi dan matahari mendekati 93 juta mil. Berapakah jarak terjauh antara bumi dan matahari?
Jawab
Anggap orbit bumu mengelilingi matahari berbentuk elips horizontal, maka:
Diketahui e =
a c
= 0,0167
c = 0,0167a jarak terdekat = b = 93 juta maka c2 = a2– b2
(0,0167a)2 = a2– (93)2 0,00027889a2 = a2– 8649 0,99972111a2 = 8649
a2 =
0,99972111 8649
a2 =8651,4127925 a = 93,012971 juta
