L
y
0
A
x
ELIPS
A. Pengertian ElipsElips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.
Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips
disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
Keterangan gambar :
•
Koordinat titik pusat O
(0,0)
•
Koordinat titik fokus F1
(c,0) dan F2 (-c,0)
•
AA1 disebut sumbu mayor
(sumbu panjang)
•
BB1 disebut sumbu minor
(sumbu pendek)
Unsur – unsur elips yaitu :4. Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b 5. LL2 = Latus Rectum =
2b
2a
6. PF1 + PF2 = 2a7. Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis direktris g disebut eksentrisitas (e) atau
e=
c
a
.
persamaan garis direktriksg
1=
−
a
e
=
−
a
2c
dan g
2=
a
e
=
a
2c
8.c=
√
a
2
−
b
2
B. Persamaan Elips 1.Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :
b
a
a
y
b
x
atau
b
a
y
b
x
a
2
1
,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dengan : - Pusat (0,0) - Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c) Catatan : 2 2b
a
c
Contoh 1Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan.
Jawab :
Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )
3
9
16
25
2 2
a
c
b
Persamaan elipsnya :1
9
25
1
3
5
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
y
x
y
b
y
a
x
Jadi persamaan elipnya adalah
1
9
25
2 2
y
x
Contoh 2Diketahui persamaan elips
1
9
16
2 2
y
x
, tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !
Jawab :
Dari persamaan elips
1
9
16
2 2
y
x
, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3.
c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =
7
.Dari data diatas diperoleh :
- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
- Titik focus ( -c,0) = (-
7
,0 ) dan ( c,0)=(7
,0 ) - Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8- Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
- Eksentrisitas:
e=
c
a
=
√
7
4
- Persamaan direktriks :
7
7
16
7
16
4
7
4
e
a
x
- Panjang lactus rectum =
2
1
4
4
18
4
9.
2
2
2
a
b
Contoh 3Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 = 900
Jawab:
Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku
1
36
100
2 2
y
x
a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0) Fokus (8, 0) dan (-8, 0)Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20 Sumbu pendek = 2b = 12 Direktriks : x =
c
a
2
=8
100
=2
1
12
Eksentrisitas : e =5
4
10
8
a
c
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
Dengan : - Pusat (α,β) - Titik fokus di F1
α - c, β)∧
¿
¿
F2 - Titik puncak- Panjang sumbu mayor = 2 - Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan direktriks 2
a
x
c
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
Dengan :
- Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c)
- Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a) - Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan direktriks 2
a
y
c
Contoh 4
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan
elips
2 2
4 9 16 18 11 0
x y
x y
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
2
2 2 21
x
y
a
b
2 24 9 16 18 11 0
x y
x y
2 24 16 9 18 11
x
x y
y
2 24
x
4 9
x
y
2
y
11
2 2 2 24
x
2 2 9
y
1 1 11
2 24
x
2 4 9
y
1 1 11
2
24
x
2 16 9
y
1 9 11
2 24
x
2 9
y
1 11 16 9
2 24
x
2 9
y
1 36
2 22
1
1
9
4
x
y
Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4 maka a = 2,
2 2
3 2
2 29 4 5
c a b
- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )
- Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 -
5
,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+5
,1 )- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 ) - Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6
- Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4
Contoh 5
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0
Jawab : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 (x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36
1
9
)
3
(
36
)
2
(
2 2
y
x
pusat (2, -3) a = 6, b = 3, c =39
9
27
3
3
2 2
b
a
Fokus (33
2, -3)Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6 Direktriks : x =
c
a
2 =2
3
4
2
3
3
36
Eksentrisitas : e =
3
2
1
6
3
3
a
c
Contoh 6Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4.
Jawab :
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2 Jadi persamaan ellipsnya adalah :
2
2 2 21
x
y
a
b
(
x−5)
23
2+
(
y−(−3)
)
22
2=1
(
x−5
)
29
+
(
y+3
)
24
=1
C. Persamaan Garis Singgung Elips
1. Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)
Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips
x
2a
2+
y
2b
2=1, maka besarnya diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2 –
a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0
n2 - b2 – a2m2 = 0
n2 = b2 + a2m2
n = ±
Jadi, persamaan garis singgung pada elips
x
2a
2+
y
2b
2=1 dengan gradient m didefinisikan dengan persamaan :
y = mx ±
√
a
2
m
2
+
b
2
1. Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat P(α,β)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:
(
y−β
)
=
m
(
x−α
)
±
√
a
2m
2+
b
22. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat O (0,0) y h P x +
Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips
x
2a
2+
y
2b
2= 1 di titik P (x1, y1).
Persamaan garis singgung elips
x
2a
2+
y
2b
2= 1 di titik P (x1, y1) didefinisikan dengan
persamaan.
x
1x
a
2 +y
1y
b
2= 1
3. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat P (α,β)
(
x−α
)
(
x
1−
α)
a
2+
(
y−β
)
(
y
1−
β
)
b
2=1
Contoh :Persamaan garis singgung pada elips
x
24
2+
y
216
2= 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
Jawab:
x
24
2+
y
216
2 = 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2 b2 = 16 ⟶ b = 4Persamaan garis singgungnya adalah:
y=mx±
√
b
2
+
a
2
m
2
¿
3x±
√
b
2
+
a
2
m
2
¿
3x±
√
16+4×9
¿
3x±
√
16+36
¿
3x±
√
52
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x
±
√
36+16
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
x
2
+2 y
2
−16=0
, dititik P(2√
2
,2) ? Jawab: x2 + 2y2 - 16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16x
216
+
y
28
=1
Di titik P
(
2
√
2,2
)
⟶
16
x
2+
y
28
=1
2
2
√¿
¿
¿
2¿
¿
⟶
¿
ini artinya P(2√
2
,2) terletak pada elips16
x
2+
y
2
8
=1
, jadi persamaan garis singgungnya:
x x
1a
2+
y y
1b
2 =1(2
√
2)
216
+
(2)
28
=
¿
12
√
2
x + 4y = 1 6√
2
x + 2y = 8 2y = 8−
√
2
y = 4−1
2
√
2
4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips.
Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan.
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
1
25
100
2 2
y
x
melalui titik p (2,7), tentukan titik singgungnya? Jawab :
1
2 1 2 1
b
yy
a
xx
⟺100
x .2
+
y.7
25
=1
y=
−1
4
x+
25
7
1
25
100
2 2
y
x
x
2100
+
(
−1
4
x+
25
7
)
225
x2 – 2x - 48 = 0 ( x - 8) (x + 6) = 0 x = 8 dan x = -6 untuk
x
8
maka3
7
25
8.
14
1
y
untukx
6
maka
4
7
25
6
14
1
y
titik singgungnya adalah
8
3,
dan
6
4,
Persamaan garis singgung melalui titik
8
3,
dan titik
6
4,
adalah
0 50 8 3 1 25 4 . 100 6 1 0 25 3 2 1 25 3 . 100 8 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y x y x b yy a xx y x y x b yy a xxBAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.
Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik-titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
1. Persamaan elips dengan pusat di O (0,0) o Untuk elips yang berfokus pada sumbu x.
b
a
b
y
a
x
atau
b
a
y
a
x
b
2
1
,
2 2 2 2 2 2 2 2 2o Untuk elips yang berfokus pada sumbu y.
b
a
a
y
b
x
atau
b
a
y
b
x
a
2
1
,
2 2 2 2 2 2 2 2 22. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
o Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
2
2 2 21
x
y
a
b
2 2 2 21
x
y
b
a
3. Persamaan garis singgung elips.
o Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m
y=mx±
√
a
2
m
2
+
b
2
o Persamaan garis singgung elips dengan pusat dengan gradient m
(
y−β)=m(x−α)±
√
a
2m
2+
b
2DAFTAR PUSTAKA
https://www.google.co.id/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CB8QFjAA&url=http%3A %2F%2Ftoermoedy.files.wordpress.com%2F2010%2F11%2Fbab-v- ellips.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AFQjCNFuL-PpV7-cIgOPLovpjk4dSdTJbw&sig2=LZikCxQICTBrMRv5fPz0KADi kutip pada 14 November 2014
https://www.google.co.id/url?
sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDIQFjAD&url=http%3A%2F %2Fgis.fns.uniba.sk%2Fvyuka%2Fkzga
%2Fellipse_app2.pdf&ei=YZZtVKjhLcjAmAXs1IGQCA&usg=AFQjCNFtQ0p6nwGANzJGIkS468a0uu7 laA&sig2=hVqJSRcGjoCaI9H4s_z6Ig
Di kutip pada 20 November 2014
http://andisudarmansulnas.blogspot.com/2013/12/modul-tentang-persamaan-elips.html
