L
y
0
A
x
ELIPS
A. Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.
Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips
disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
Keterangan gambar :
• Koordinat titik pusat O (0,0)
• Koordinat titik fokus F1 (c,0) dan F2 (-c,0)
• AA1 disebut sumbu mayor (sumbu panjang)
•
BB1 disebut sumbu minor (sumbu pendek)
Unsur – unsur elips yaitu : 1. Pusat elips O (0,0)
2. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y
4. Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b 5. LL2 = Latus Rectum =
2b
6. PF1 + PF2 = 2a
7. Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis direktris g disebut eksentrisitas (e) atau
e= c .
persamaan garis direktriksg
1= −a = −a
dan g
2= a=a
8.
c= √ a b
B. Persamaan Elips 1.
Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :
b a a
y b
atau x b
a y b x
a + = +
2= 1 , 〉
2 2
2 2
2 2 2 2 2
Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan :
2 2
b a c = −
Contoh 1
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan.
Jawab :
3 9 16
2
25
2
− = − = =
= a c b
Persamaan elipsnya :
9 1 1 25
3
1 5
2 22
2
+ = ⇔ x + y = ⇔ x + y =
b y x
Jadi persamaan elipnya adalah
9 1 25 x + y =
Contoh 2
Diketahui persamaan elips
9 1 16 x + y =
, tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! Jawab :
Dari persamaan elips
9 1 16 x + y =
, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3.
c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =
7
.Dari data diatas diperoleh :
- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
- Titik focus ( -c,0) = (-
7
,0 ) dan ( c,0)=(7
,0 )- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 - Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
- Eksentrisitas:
e= c = √ 7
4
- Persamaan direktriks :
7 7 16 7
16 4
7
4 = =
=
= e x a
- Panjang lactus rectum =
2
4 1 4 18 4
9 . 2
2 b = = =
Contoh 3
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 = 900
Jawab:
Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku
36 1 100 x + y =
a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0)
Fokus (8, 0) dan (-8, 0)
Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20
Sumbu pendek = 2b = 12
Direktriks : x =
± a
=
8
± 100
=
2
12 1
±
Eksentrisitas
: e =
5
4 10
8 =
c =
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
Dengan : - Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1
α - c, β)∧¿
¿
F2
- Titik puncak
- Panjang sumbu mayor = 2
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan direktriks
x = ± α a
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
Dengan :
- Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c) - Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a) - Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
- Persamaan direktriks
y = ± β a
Contoh 4
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan
elips
4 x + 9 y + 16 18 11 0 x − y − =
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
( ) ( )
2 2
1
x y
b
α β
− −
+ =
4 x + 9 y + 16 18 11 0 x − y − =
4 x + 16 9 x y + − 18 11 y =
4 ( x
2+ 4 x ) ( + 9 y
2− 2 y ) = 11
( )
{
2} { ( )
2}
4 x − 2 − 2 + 9 y − − 1 1 = 11
( )
{ } { ( ) }
4 x − 2 − + 4 9 y − − = 1 1 11
( ) ( )
4 x − 2 − + 16 9 y − − = 1 9 11
4 ( x − 2 ) ( ) + 9 y − = + + 1 11 16 9
4 ( x − 2 ) ( + 9 y − = 1 ) 36
( 2 ) ( 1 )
x − y − 1
+ =
Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4 maka a = 2,
2 2 2 2
3 2 9 4 5
c = a b = = =
- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )
- Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 -
5
,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+5
,1 )- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 ) - Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6
- Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4 Contoh 5
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0
Jawab :
x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 (x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36
9 1 ) 3 ( 36
) 2
( + =
− + y x
pusat (2, -3)
a = 6, b = 3, c =
a
2b
2= 39 9 = 27 = 3 3
Fokus (3
3
± 2, -3)Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6
Direktriks : x = ±
+ α a
=
2 3 4 2 3 3
36 + = ± +
±
Eksentrisitas : e =
2 3 1 6
3 3 = c =
Contoh 6
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu pendek berturut- turut 6 dan 4.
Jawab :
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2 Jadi persamaan ellipsnya adalah :
( ) ( )
2 2
1
x y
b
α β
− −
+ =
(x−5)
3
2+ ( y−(−3) )
2
2=1
( x−5 )
9 + ( y+3 ) 4 =1
C. Persamaan Garis Singgung Elips
1. Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)
Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips
x
2
+ y b
2=1, maka besarnya
diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2 – a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0
n2 - b2 – a2m2 = 0
n2 = b2 + a2m2
Jadi, persamaan garis singgung pada elips
x
2
+ y b
2=1 dengan gradient m
didefinisikan dengan persamaan : y = mx ±
√ a
2m
2+b
21. Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat P(α,β)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:
( y β ) =m ( x α ) ± √ a m +b
2. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat O (0,0)
y h
P x
+
Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung
elips
x
2
+ y b
2= 1 di titik P (x1, y1).
Persamaan garis singgung elips
x
2
+ y b
2= 1 di titik P (x1, y1) didefinisikan dengan
persamaan.
x
1x
2
+
y
1y b
2= 1
3. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat P (α,β)
( x−α ) (x
1−α)
2
+ ( y−β ) ( y
1−β )
b
2=1
Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips
x 4
2+ y
16
2= 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan
garis singgung tersebut!
Jawab:
x 4
2+ y
16
2= 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2
b2 = 16 ⟶ b = 4
Persamaan garis singgungnya adalah:
y=mx± √ b
2+a
2m
2
¿ 3 x± √ b +a m
¿ 3 x± √ 16 +4×9
¿ 3 x± √ 16 +36
¿ 3 x± √ 52
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x
± √ 36+16
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
x +2 y 16=0
, dititik P(2√ 2
,2) ?Jawab:
x2 + 2y2 - 16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16