ELIPS. A. Pengertian Elips

10  Download (1)

Full text

(1)

L

  y  

  0

   

  A

   

  x

ELIPS

A. Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips

disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

Keterangan gambar :

• Koordinat titik pusat O (0,0)

• Koordinat titik fokus F1 (c,0) dan F2 (-c,0)

• AA1 disebut sumbu mayor (sumbu panjang)

BB1 disebut sumbu minor (sumbu pendek)

Unsur – unsur elips yaitu : 1. Pusat elips O (0,0)

2. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y

(2)

4. Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b 5. LL2 = Latus Rectum =

2b

6. PF1 + PF2 = 2a

7. Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis direktris g disebut eksentrisitas (e) atau

e= c .

persamaan garis direktriks

g

1

= −a = −a

dan g

2

= a=a

8.

c=a b

B. Persamaan Elips 1.

Persamaan elips dengan pusat di O (0,0)

Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : - Pusat (0,0)

- Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah :

b a a

y b

atau x b

a y b x

a + = +

2

= 1 , 〉

2 2

2 2

2 2 2 2 2

Dengan : - Pusat (0,0)

- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)

Catatan :

2 2

b a c = −

Contoh 1

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan.

Jawab :

(3)

3 9 16

2

25

2

− = − = =

= a c b

Persamaan elipsnya :

9 1 1 25

3

1 5

2 2

2

2

+ = ⇔ x + y = ⇔ x + y =

b y x

Jadi persamaan elipnya adalah

9 1 25 x + y =

Contoh 2

Diketahui persamaan elips

9 1 16 x + y =

, tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! Jawab :

Dari persamaan elips

9 1 16 x + y =

, diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 = 9, maka b = 3.

c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =

7

.

Dari data diatas diperoleh :

- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)

- Titik focus ( -c,0) = (-

7

,0 ) dan ( c,0)=(

7

,0 )

- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 - Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6

- Eksentrisitas:

e= c =7

4

(4)

- Persamaan direktriks :

7 7 16 7

16 4

7

4 = =

=

= e x a

- Panjang lactus rectum =

2

4 1 4 18 4

9 . 2

2 b = = =

Contoh 3

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 = 900

Jawab:

Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku

36 1 100 x + y =

a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0)

Fokus (8, 0) dan (-8, 0)

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20

Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x =

± a

=

8

± 100

=

2

12 1

±

Eksentrisitas

: e =

5

4 10

8 =

c =

(5)

2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : - Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1

α - c, β)∧¿

¿

F2

- Titik puncak

- Panjang sumbu mayor = 2

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan direktriks

x = ± α a

b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

- Pusat (α,β)

- Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c) - Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a) - Panjang sumbu mayor = 2a

- Panjang sumbu minor = 2b

- Persamaan direktriks

y = ± β a

(6)

Contoh 4

Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan

elips

4 x + 9 y + 16 18 11 0 xy − =

Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku

( ) ( )

2 2

1

x y

b

α β

− −

+ =

4 x + 9 y + 16 18 11 0 xy − =

4 x + 16 9 x y + − 18 11 y =

4 ( x

2

+ 4 x ) ( + 9 y

2

2 y ) = 11

( )

{

2

} { ( )

2

}

4 x − 2 − 2 + 9 y − − 1 1 = 11

( )

{ } { ( ) }

4 x − 2 − + 4 9 y − − = 1 1 11

( ) ( )

4 x − 2 − + 16 9 y − − = 1 9 11

4 ( x 2 ) ( ) + 9 y − = + + 1 11 16 9

4 ( x 2 ) ( + 9 y − = 1 ) 36

( 2 ) ( 1 )

xy − 1

+ =

(7)

Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b2 = 4 maka a = 2,

2 2 2 2

3 2 9 4 5

c = a b = = =

- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 )

- Titik fokus di F1 ( α-c, β ) = ( 2 -

5

,1 ) & F2 ( α+c, β ) =( 2+

5

,1 )

- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 ) - Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6

- Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4 Contoh 5

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab :

x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 (x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36

9 1 ) 3 ( 36

) 2

( + =

− + y x

pusat (2, -3)

a = 6, b = 3, c =

a

2

b

2

= 39 9 = 27 = 3 3

Fokus (3

3

± 2, -3)

Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x = ±

+ α a

=

2 3 4 2 3 3

36 + = ± +

±

(8)

Eksentrisitas : e =

2 3 1 6

3 3 = c =

Contoh 6

Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu pendek berturut- turut 6 dan 4.

Jawab :

Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2 Jadi persamaan ellipsnya adalah :

( ) ( )

2 2

1

x y

b

α β

− −

+ =

(x−5)

3

2

+ ( y−(−3) )

2

2

=1

( x−5 )

9 + ( y+3 ) 4 =1

C. Persamaan Garis Singgung Elips

1. Garis Singgung dengan gradien m pada pusat O (0,0)

Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips

x

2

+ y b

2

=1, maka besarnya

diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2b2 (n2-b2 – a2m2), sehingga diperoleh -4a2b22 (n2-b2 –a2m2) = 0

 n2 - b2 – a2m2 = 0

 n2 = b2 + a2m2

(9)

Jadi, persamaan garis singgung pada elips

x

2

+ y b

2

=1 dengan gradient m

didefinisikan dengan persamaan : y = mx ±

a

2

m

2

+b

2

1. Persamaan garis singgung dengan gradient m dengan pusat P(α,β)

Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:

( y β ) =m ( x α ) ±a m +b

2. Persamaan Garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat O (0,0)

y h

P x

+

Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung

elips

x

2

+ y b

2

= 1 di titik P (x1, y1).

Persamaan garis singgung elips

x

2

+ y b

2

= 1 di titik P (x1, y1) didefinisikan dengan

persamaan.

x

1

x

2

+

y

1

y b

2

= 1

3. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada elips dengan pusat P (α,β)

( x−α ) (x

1

−α)

2

+ ( y−β ) ( y

1

−β )

b

2

=1

Contoh :

(10)

Persamaan garis singgung pada elips

x 4

2

+ y

16

2

= 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan

garis singgung tersebut!

Jawab:

x 4

2

+ y

16

2

= 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2

b2 = 16 ⟶ b = 4

Persamaan garis singgungnya adalah:

y=mx±b

2

+a

2

m

2

¿ 3 x±b +a m

¿ 3 x±16 +4×9

¿ 3 x±16 +36

¿ 3 x±52

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x

±36+16

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung pada elips

x +2 y 16=0

, dititik P(2

2

,2) ?

Jawab:

x2 + 2y2 - 16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16

x + y

=1

Figure

Updating...

References

Related subjects :

Scan QR code by 1PDF app
for download now

Install 1PDF app in