Modul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips

(1)

IRISAN KERUCUT

Lingkaran

Elips

(2)

Smk n 1 stabat

IRISAN KERUCUT

Disusun Oleh : Dian Septiana 071244110049 Dalam PPL-T Unimed

SMK N 1 Stabat

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT

(3)

2010

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT karena atas pertolongan-Nya, modul ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Terima kasih juga kepada guru pamong penulis yaitu ibu Nursiah, S.Pd yang telah memberi banyak masukan demi terselesaikannya modul ini. Modul ini berisi tentang bahan ajar Irisan Kerucut yang diajarkan di kelas XII SMK Teknologi, dan juga tentang tujuan pembelajaran serta hal-hal yang berkaitan dengan pembelajaran Irisan Kerucut.

Materi yang disusun dalam modul diambil dari beberapa referensi khususnya buku paket Matematika dari dari berbagai pengarang dan penerbit, dari internet, serta silabus Matematika SMK Teknologi yang mendukung kelengkapan isi dari modul ini dan diharapkan dapat menambah pengetahuan sasaran modul ini yaitu siswa SMK kelas XII khususnya dan juga tenaga pendidik di SMK pada umumnya.

Penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penyusun dengan terbuka menerima kritik dan saran soal dan penyelesaiannya.

Akhir kata, semoga modul ini bermanfaat bagi kita semua. Aaamiin…

Stabat, Oktober 2010

Dian Septiana

(4)

DAFTAR ISI

Halaman Sampul ... 1

Halaman Francis ... 2

Kata Pengantar ... 3

Daftar Isi ... 4

Peta Konsep ... 5

Glosarium ... 6

Bab I. Pendahuluan ... 7

A. Deskripsi ... 7

B. Tujuan Akhir ... 7

C. Kompetensi ... 8

Bab II. Pembelajaran ... 9

Kegiatan Belajar 1 ... 9

A...Tujuan Pembelajaran ... 9

B...Uraian Materi ... 9

C...Latihan 1 ... 16

D...Kunci Jawaban Latihan 1 ... 16

(5)

A...Tujuan Pembelajaran ... 23 B...Uraian Materi ... 23 C...Latihan 4 ... 25 D...Kunci Jawaban Latihan 4 ... 25 Bab III. Evaluasi ... 27 Daftar Pustaka ... 31

PETA KONSEP

(6)

GLOSARIUM

(7)

Istilah Keterangan

Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.

Jari jari lingkaran Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.

Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Parabola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis.

Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.

BAB I. PENDAHULUAN A. DESKRIPSI

Dalam modul ini, akan dipelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah Lingkaran . Kegiatan Belajar 2 adalah Parabola , Kegiatan Belajar 3 adalah Elips, dan Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola .

(8)

Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Lingkaran, akan diuraikan mengenai:

• Unsur-unsur lingkaran

• Persamaan lingkaran

• Garis singgung lingkaran

Dalam Kegiatan Belajar 2, yaitu Parabola, akan diuraikan mengenai:

• Unsur-unsur parabola

• Persamaan parabola

• Sketsa parabola

Dalam Kegiatan Belajar 3, yaitu Elips, akan diuraikan mengenai:

• Unsur – unsur elips

• Persamaan elips

• Sketsa elips

Dalam kegiatan belajar 4 yaitu Hiperbola, akan diuraikan menjadi :

• Unsur – unsur hiperbola

• Persamaan hiperbola

• Sketsa hiperbola

B. TUJUAN AKHIR

Setelah mempelajari modul ini, siswa diharapkan dapat :

1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran

2. Menentukan persamaan lingkaran

3. Melukis garis singgung lingkaran

4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran

5. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola

6. Menentukan persamaan parabola

7. Menggambar sketsa parabola

8. Mendeskripsikan unsur-unsur ellips

9. Menentukan persamaan ellips

10. Menggambar sketsa ellips

11. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola

12. Menentukan persamaan hiperbola

13. Menggambar sketsa hiperbola

(9)

C. KOMPETENSI

Standar Kompetensi : Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah Kompetensi Dasar :

1. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran 2. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola

BAB II. PEMBELAJARAN

Kegiatan Belajar 1

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran

(10)

A. Tujuan Pembelajaran

1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran 2. Menentukan persamaan lingkaran 3. Melukis garis singgung lingkaran

4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran

B. Uraian Materi

1. Unsur – Unsur Lingkaran

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi?

Permukaan kerucut yang dipotong tadi berbentuk lingkaran.

Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.

Adapun unsur – unsur lingkaran adalah sebagai berikut :

a. Jari-jari lingkaran yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebuah titik pada lingkaran

b. Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua buah tutuk pada lingkaran

c. Diameter yaitu tali busur yang melalui titik pusat lingkaran

d. Busur lingkaran yaitu kurva pada keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran

e. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu tali busur

f. Tembereng yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran.

g. Apotema yaitu gari tegak lurus terhadap tali busur.

2. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0, 0)

(11)

T(x¹,y¹ ) r

O A

Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat lingkaran.

Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal di A.

Pandang ∆ OTA !

∆ OTA merupakan segitiga siku-siku, dimana membentuk sudut siku-siku di titik A.

Sehingga berlaku teorema pytagoras:

OA² + AT² = OT²

2 2 1 2

1 y r

x + =

Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran maka ^x²+^y² =^r²

Contoh

1. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 3 adalah x² +y² =⁹

2. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 5 adalah

2 25

2 +y =

x

3. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 1 adalah x² +y² =¹

Contoh

1. x² +y² =¹⁶ adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4 2. x² +y² =⁴ adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 2

b. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(a, b)

2 2

2 y r

x + =

merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (0,0) dengan jari-jari r

(12)

T(x1,y1)

ID

P Q

r

A

Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik P(a,b) sebagai pusat lingkaran.

Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal titik A

Buat garis yang melalui titik P sejajar sumbu x, sehingga memotong TA di titik Q.

Pandang ∆ PQT! ∆ PQT

merupakan segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y1 – b) dan PQ = (x1 – a).

Sehingga berlaku teorema pytagoras:

PQ² + QT² = OT²

( ) (

1

)

² ²

2

1 a y b r

x − + − =

(13)

Karena berlaku untuk setiap titik T(x1,y1) pada lingkaran, maka berlaku :

(

^x⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

)

² ⁼^r²

² + y+²

)

² =¹

Contoh

Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x² +4y² - 4x + 16y -19 = 0

Penyelesaian

4x² + 4y² -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat

(

²

)

⁹

2 1

4 4 1 4 4 19 4 4

1

4 0 4 19

2 2

= +

 +



 

 −

+ +

= + + + +

−

=

− + +

−

=

− +

y x

y y x

x

y y x x

y x y x

diperoleh sempurna

kuadrat dijadikan

,

Jadi, koordinat pusat lingkaran adalah (1/2, -2) dan jari-jarinya 3

c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

(

^x⁻^a

) (

²⁺ ^y⁻^b

)

² ⁼^r²

merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (a,b) dengan jari-jari r

(14)

Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut ini:

( ) (

²

)

² ²

2 2 2 2 2

2 2

0, dengan 2 , 2 dan

x a y b r

x ax a y by b r

x y ax by a b r

x y Ax By C A a B b C a b r

− + − =

− + + − + =

+ − − + + =

+ + + + = = − = − = + −

2 2

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah 0

1 1 1 1

dengan pusat di , dan jari-jari

2 2 2 2

x y Ax By C

A B r A B C

+ + + + =

− −  = −  + −  −

     

     

Contoh

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan R(2,2).

Penyelesaian

Missal persamaan lingkarannya adalah x²+y²+Ax By C+ + =0 Titik P (1,0) pada lingkaran berarti 1² + 0² + A.1 + B.0 + C = 0

A + C = -1 atau A = -1 – C ...(1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 0² + 1² + A.0 + B.1 + C = 0

B + C = -1 atau B = -1 - C ...(2) Titik R (2,2) pada lingkaran berarti 2 ² + 2 ² + A.2 + B.2 + C = 0

2A + 2B + C = -8 ...(3) Substitusi (1) dan (2) pada (3) didapat 2(-1 – C ) + 2(-1-C) + C = -8

-2 - 2C – 2 –2C + C = 0 -3C = - 4

C = 4/3 Dari (1) didapat A = -7/3

Dari (2) didapat B = -7/3

Jadi, persamaan lingkarannya adalah ⁰

3 4 3 7 3

2 7

2 +y − x− y+ =

x

3. Garis Singgung Lingkaran

(15)

Y = mX + r

r X²+Y² =_r² O

Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik.

a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0) Misal persamaan garis singgung: y = mx + k

Sehingga ada satu titik pada lingkaran:

x²+y²= r² yang memenuhi persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

1 2 0; merupakan persamaan kuadrat dalam

variabel x. Agar persamaan itu mempunyai satu harga x, maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamann sama de

x mx k r

x m x mkx k r

m x mkx k r

+ + =

+ + + =

+ + + − =

ngan nol yaitu :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 4 1 . 0

4 4 0

4 0

1 0

1

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 1

mk m k r

m k k m k r m r k r m r

k r m

y mx r m

− + − =

− + − − =

− − − =

− − =

= ± +

Contoh 8

Tentukan garis singgung pada lingkaran x ² + y² = 16 dengan gradien 3 Penyelesaian

Persamaan garis singgung pada lingkaran x ² + y² = r² dengan gradient m adalah sebagai berikut

1 2

y mx r= ± +m

(16)

Maka

3 4 1 32

3 4 10

y x y x

= ± +

= ±

b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b)

Kita dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Maka akan diperoleh persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu

( )

¹ ²

y b m x a− = − ±r +m Contoh

Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3)² + (y - 1)² = 4 dengan gradien -2 Penyelesaian

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)² + (y - b)² = r² dengan gradient m adalah ^{y b m x a}^{− =}

(

^{− ±}

)

^r ¹⁺^m²

Maka,

( ) ( )

²

1 2 3 2 1 2

1 2 6 2 5

2 5 2 5

y x

− = − + ± + −

− = − − ±

= − − ±

c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0)

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y1) pada lingkaran ^x² ⁺^y² ⁼^r² adalah x x y y r₁ + ₁ = ²

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x ²+ y² = 25 di titik (3, -4) Penyelesaian

Persamaan garis singgungnya adalah

2

1 1

3 4 25

x x y y r x y

+ =

− =

d. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (a,b)

(17)

• Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y1) pada lingkaran

(

^x⁻^a

) (

² ⁺ ^y⁻^b

)

² ⁼^r²_adalah(x1 −a)(x−a)+(y1 −b)(y−b)=r²

• Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y1) pada lingkaran

2 2 0

x + y +Ax By C+ + = adalah

( ) ( )

⁰

2 1 2

1

1 1

1

1x+y y+ A x+x + B y+y +C =

x

LATIHAN 1

1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).

2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran X2 + y² = 100 yang melalui titik (6,8)

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran X2 + y² +8x – 6y = 0 dan apa keistimewaan dari lingkaran ini?

KUNCI JAWABAN LATIHAN 1

1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (-5,0), adalah x² + y² +Ax + By + C= 0

Titik (3,4) pada lingkaran: 9+16 + 3A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B + C=-25 Titik (5,0) pada lingkaran: 25+0 + 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= -25 Titik (0,5) pada lingkaran: 25+0 – 5A + 0 + C= 0 atau –5A + C= -25. Dari tiga persamaan di atas didapat A = 0, B= 0 dan C = -25

Jadi persamaan lingkarannya adalah x ² + y² - 25 = 0 2. Titik (6,8) pada lingkaran x ² + y² = 10

Persamaan garis singgung pada lingkaran x ² + y² = 100 yang melalui titik (6,8) adalah 6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = 50

3. Persamaan x² + y² +8x – 6y = 0 dapat diubah menjadi x² + 8x + y² – 6y = 0

x² + 8x + 16 + y2 – 6y + 9= 16 + 9 (x + 4)² + (y - 4)² = 25

Jadi pusat (-4, 3 ) dan jari-jari = 5

(18)

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola

A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola 2. Menentukan persamaan parabola 3. Menggambar sketsa parabola

B. Uraian Materi 1. Unsur – Unsur Parabola

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri adalah Parabola. Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin (sering disebut malam). Iris dengan bidang yang tegak lurus alas kerucut.

Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris? Permukaan kerucut yang teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengiris bangun kerucut sejajar garis pelukisnya.

Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis arah.

2. Persamaan Parabola

a. Persamaan parabola dengan puncak (0,0)

• Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(p,0) adalah

px y² =4

(19)

Secara analog, jika F(-p,0) dan persamaan direktrisnya x = p, maka persamaan parabolanya adalah ^y² =−⁴^px

- Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke kanan - Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke kiri Contoh

Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola ^y² =⁸^x!

Penyelesaian

Diketahui persamaan parabola ^y² =⁸^x. Maka diperoleh 4px = 8x, sehingga p = 2 > 0. Jadi parabola terbuka ke kanan.

Dari keterangan di atas diperoleh :

- Koordinat fokus parabola di F(2,0) - Sumbu simetri: y = 0

- Persamaan direktris : x = -2

- Untuk x = 2, diperoleh y² = 8.2 = 16. Sehingga y = ± 4. Jadi, koordinat titik-titik ujung latus rectum adalah (2,4) dan (2, -4)

• Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(0,p) adalah

py x² =4

Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2,3) dan titik fokusnya (6,3)!

Penyelesaian

Titik puncak adalah (2,3), maka a = 2 dan b = 3

Titik fokus (6,3), maka a + p = 6, sehingga diperoleh p = 4 Persamaan parabolanya adalah :

(

y−³

)

² =¹⁶

(

x−²

)

LATIHAN 2

1. Buatlah sketsa grafik parabola y ² = 4x dan x² = -4y

2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui (6,-6) serta menyinngung sumbu y

3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (-2, -3) pada parabola y²

= 8x

4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan persamaan y² = - 6x

Kunci Jawaban Latihan 2

1. a) Parabola y 2 = 4x puncaknya (0,0),

dan melalui titik (1,1), (2,4), (-1, 1), (-2, 4) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!

x 1 2 -1 -2

y ² 1 4 1 4

b) Parabola x2 = -4y puncaknya (0,0),

dan melalui titik (1,-4), (2,-8), (-1, 4), (-2, 8) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!

y 1 2 -1 -2

x ² -4 -8 4 8

(21)

2. Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk umumnya adalah x2 = 2py

Melalui (6,-6), maka 36 = -12 p, didapat p = -3

Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x2 = -6y 3. Titik (-2, -3) tidak pada parabola y 2 = 8x.

Dari y2 = 8x didapat p = 4

Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah by = 4(x + a). Garis singgung ini melalui titik (-2, -3) maka -2b = 4(-3 + a) atau 4a + 2b = 12 .... (1)

Sedangkan (a, b) pada parabola y 2 = 8x maka berlaku b 2 = 8a ... (2) Eliminasi dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4 atau a = 4,5 dan b=-6 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

4y = 4( x + 2) atau y = x + 2, atau -6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 0

4. Persamaan parabola y2 = - 8x Puncak di (0,0) Persamaan sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x

Koordinat fokus adalah (-2, 0); Persamaan direktrik adalah x = 2

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips

A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur elips 2. Menentuan persamaan ellips 3. Menggambar sketsa ellips

B. Uraian Materi

1. Unsur – Unsur Elips

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips.

(22)

Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips Elips mempunyai 2 sumbu simetri yaitu :

• garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor

• garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor

2. Persamaan Elips

a. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

- Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips :

2 1

2 2 2 2

2 + = + =

b y a b x

a y a x

b atau

2 1

2 2 2 2

2 + = + =

a y b b x

a y b x

a atau

b. Persamaan elips yang berpusat di P(α ,β )

( ) ( )

₁

2 2 2

2 + − =

−

b y a

x α β

- Untuk elips yang berfokus di sumbu Y, persamaan elips :

( ) ( )

₁

2 2 2

2

− =

− +

a y b

x α β

3. Sketsa Elips

Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A dan AB = 2a

2. F2B= F1A = (2a - F1F2)

3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:

a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari 2a - ri

c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.

(23)

d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips.

Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips

LATIHAN 3

1. Tentukan sumbu mayor / minor, dari persamaan Ellips :⁸^x² ⁺¹²^y² ⁼⁹⁶ 2. Tentukan persamaan Ellips jika diketahui titik puncak

( 0,-2 )

3. Gambar grafik Ellips jika Persamaannya :

a. 1

9 16

2

2 + y =

x

( ) ( )

₁

1 2 4

1² ²

− =

− + y x

KUNCI JAWABAN LATIHAN 3 1.

2 2

8 12 96

8 12

96 96 1

12 8 1

Sumbu mayor =2 12 4 3 Sumbu minor = 2 8 4 2

x y

+ =

=

= 2.

(24)

( ) ( )

2 2

Titik pusat di (2,-1), maka 2 dan 1

Sumbu mayor 2 8; 4

Sumbu minor 2 6; 3

Persamaan umum elips 1

Maka, persamaan elips adalah

2 1

16 9 1

a a

b b

x y

a b

x y

α β

= = −

= = =

− −

+ =

− +

+ =

3.

a. Titik pusat (0,0) Sumbu mayor = 8 Sumbu minor = 6

b. Titik pusat (1,2) Sumbu mayor = 4 Sumbu minor = 2

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola

A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola 2. Menentukan persamaan hiperbola 3. Menggambar sketsa hiperbola

B. Uraian Materi

-4 4

3

-3 0

-1 3

3

1 (1,2 )

0

(25)

1. Unsur- Unsur Hiperbola

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Hiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut.

Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.

Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.

2. Persamaan Hiperbola

a. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0) - Titik pusat di (0,0)

- Titik puncak (a,0) dan (-a,0) - Titik fokus di (c,0) dan (-c,0)

- Persamaan asimtot hiperbola : ^x a y=±b

- Eksentrisitas : a e= c

- c² =a²+b²

- Persamaan direktris :

c x a

± 2

=

- Persamaan hiperbola : ₂ 1

2 2 2 2

2 − = − =

b y a b x

a y a x

b atau

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(α ,β ) Untuk hiperbola yang berpusat di (α ,β ), maka :

- Titik pusat di (α ,β )

- Titik fokus di (α +c,β ) dan (α -c,β ) - Titik puncak di (α +a,β ) dan (α -a,β )

(26)

2 a

F^,

C

A Ti

F^, B

D - Persamaan direktris :

c x=α+a²

- Persamaan asimtot hiperbola : −β =±

(

x−α

)

a y b

- Persamaan hiperbola :

( ) ( )

₁

2 2 2

2

− =

− −

b y a

x α β

- Bentuk umum persamaan hiperbola : Ax² −By² +Cx+Dy+E=⁰

Dengan A≠0, B≠0, dan A≠B

3. Sketsa Hiperbola

1. Tetapkan titik F1, F2 dan panjang 2a <

2. Tentukan titik A dan B pada

perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A .

3. F2B = F,A = ¹/2 ( F,F2 - 2a).

4. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:

5. Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F2A 6. Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari ri - 2a

7. Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.

8. Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya.

Selamat mencoba

LATIHAN 4

1. Tentukan koordinat titik puncak dari Hiperbola ¹⁶y² −²⁵x² =⁴⁰⁰ ! 2. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui asimtotnya^y ^x

3

±1

= dan panjang sumbu minor = 6!

(27)

1.

2 2

16 25 400

16 25

400 400 1

1, sehingga 5, 4, dan c 41 25 16

Eksentrisitas : 41 5

y x

a b

e

− =

− = = = =

=

Titik puncak : (5,0) dan (-5,0) Titik fokus : ( 41,0) dan (- 41,0) Persamaan asimtot : 4

5 2(16) Panjang latus rectum : 6, 4

5

25 25

Persamaan direktriks : 41

41 41

y x

x

= ±

=

= ± = ±

2.

16 1 ) 1 ( 36

) 4

( ² ²

− = + − y x

(28)

BAB III. EVALUASI

A. Pilihan Ganda

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0.0 ) dan melalui titik potong garis x + y = 5 dan 2x – y = 1 adalah……

a. x² +y² =4 c. x² +y² =13 e. x² +y² =25

b. x² +y² =9 d. x² +y² =16

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P ( -3.2 ) dan jari – jari 4 adalah…….

a. x² +y² −⁶x−⁶y−³=⁰

b. x² +y² −⁶x+⁶y−³=⁰

c. x² +y² +⁶x+⁶y+³=⁰

d. x² +y² +⁶x−⁴y−³=⁰

e. x² +y² +⁶x−⁶y+³=⁰

3. Sebuah garis g = y = x + p menyinggung lingkaran x²+y² =¹, maka nilai p adalah……

a. 1 dan -1 c. 2dan - 2 e. 3 dan 3

b. 2 dan -2 d. 2 dan -1

4. Persamaan garis singgung di titik (2 2, 2 ) pada lingkaran x² +y² =¹² adalah……

a. 2x + y = 0 c. 2x + y – 6 = 0 e. x + 2y + 6 =0 b. 2x + y + 6 = 0 d. x + 2 2y – 6 = 0

5. Persamaan garis singgung di titik ( 2.6 ) pada lingkaran ( x – 3 )² + ( y + 1 )² = 16 adalah….

a. x – 7y + 6 = 0 c. –x + 7y – 6 = 0 e. x – 7y – 6 =0 b. x + 7y – 6 = 0 d. –x – 7y – 6 = 0

(29)

6. Jika diketahui persamaan parabola x² =12y maka parabola tersebut berpuncak di O (0,0) dan fokus di…….

a. (0,12)

b. (0,6)

c. (0,4)

d. (0,2)

e. (0,3)

0 7. Persamaan parabola yang berpuncak di (3,7) dan fokusnya (3,5) adalah……

2 2 2 2 2

a. x 6 8 65 0

b. x 6 8 45 0

c. x 6 8 65 0

d. x 6 8 65 0

e. x 6 8 47 0

x y x y x y x y x y

− − + =

− − − =

− + + =

− + − =

− − − =

8. Persamaan parabola ⁽y−³⁾² =¹⁶⁽x−²⁾ mempunyai persamaan direktris…..

a. x = -3

b. x = -2

c. x = 2

d. x = 3

e. x = 4

9. Koordinat titik puncak dari ellips dengan persamaan

2 2

16x +25y −160x−200y+400 0= adalah….

a. (8,5) dan (0,5) b. (8,4) dan (0,4) c. (10,4) dan (8,5) d. (10,4) dan (0,4) e. (10,5) dan (0,5)

0 10. Panjang sumbu mayor dari elips

(

³

)

² ⁽ ⁵⁾² ₁

36 25

x− + y− = adalah….

a. 3 b. 6 c. 9 d. 12

(30)

e. 17

11. Persamaan elips yang memiliki titik pusat (4,-2), titik puncak (9,-2) dan titik fokus (0,-2) adalah…

( ) ( )

2 2

4 2

a. 1

25 9

4 2

b. 1

25 9

4 2

c. 1

9 25

x y

− +

+ =

+ + − =

− +

+ =

( ) ( )

2 2

4 2

d. 1

25 9

4 2

e. 1

25 9

x y

− + − =

+ +

+ =

12. Koordinat titik puncak dari persamaan hiperbola

2 2

64 49 1

x − y = adalah…..

a. (7,0) dan (-7,0) b. (8,0) dan (-8,0) c. (0,7) dan (0,-7) d. (0,8) dan (0,-8) e. (7,8) dan (-7,-8)

13. Persamaan asimtot dari hiperbola

2 2

36 25 1

x − y = adalah…

5 6

a. b.

6 5

7 5

c. d.

5 7

e. 6 7

y x y x

y x

= ± = ±

= ±

14. Diketahui hiperbola mempunyai koordinat titik puncak di (8,0) dan (-8,0) serta koordinat titik fokus di (4,0) dan (-4,0). Persamaan hiperbola tersebut adalah……

(31)

2 2 2 2

2 2

a. 1 b. 1

16 64 64 16

c. 1 d. 1

16 48 48 16

e. 1

48 64

x y x y

x y

− = − =

− =

15. Diketahui persamaan hiperbola 9x²−16y²−18x−64y−199 0= . Eksentrisitas dan panjang lactus rectumnya adalah….

a. 5/4 dan 9/4 b. 5/4 dan 18/4 c. 3/4 dan 9/4 d. 9/4 dan 3/4 e. 3/4 dan 18/4

B. Isian

1 1. Hitunglah nilai m jika lingkaran

( x – 4 )² + ( y + 3 )² = m² melalui titik A ( -1, -3 )!

2. Titik P ( 2,6 ) terletak pada lingkaranx² +y²+nx+⁶y−¹² =⁰ Tentukan nilai n ! 3. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran x² +y² −6x−10y+2=0

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P ( 2.4 ) dan jari – jari 5

5. Tentukan koordinat puncak, koordinat fokus, persamaan direktris, dan latus rectum dari persamaan (y−2)² =16(x−1)!

6. Tentukan persamaan parabola jika diketahui ^F(⁻⁴^,¹⁰)dan direktrisnya x = 4!

7. Gambar grafik parabola

x y² =−16

(32)

DAFTAR PUSTAKA

Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk SMK (Teknik) Kelas XII.

Bekasi : Galaxy Puspa Mega

Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama

Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program Ilmu Alam. Jakarta:

Erlangga

Teguh, Mega. 2004. Modul Irisan Kerucut. Departemen Pendidikan Nasional