IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi elips.

2. Memahami unsur-unsur elips. 3. Memahami eksentrisitas elips.

4. Dapat menentukan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0).

5. Dapat menentukan persamaan elips dengan pusat yang bergeser sejauh (h, k) dari titik O(0, 0).

A. Defi nisi Elips

Elips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Dua titik tertentu tersebut dinamakan sebagai titik api atau titik fokus.

B. Defi nisi Elips dari Sisi Eksentrisitas

Dari sisi eksentrisitas, elips didefi nisikan sebagai himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap titik fokus dan garis direktris selalu di antara 0 dan 1. Perbandingan ini dinamakan eksentrisitas (e). Eksentrisitas menunjukkan tingkat kelengkungan suatu irisan kerucut. Perhatikan gambar berikut!

matematika

K-13

XI

K

e

l

a

s

2

Sumbu mayor Sumbu minor direktris A (x₁, y₁) B C₁ C₂ E D (x2, y2) O

C₁ dan C₂ disebut titik fokus elips. Eksentrisitas = e = C A AB = C D DE 1 1 _{, dengan 0 < e < 1.}

C. Unsur-Unsur Elips

Untuk memahami unsur-unsur elips, perhatikan gambar berikut!

C₁ X Y –c –a –b c b a B₁ A₁ O _C 2 A₂ B₂

A₁A₂ adalah sumbu mayor atau sumbu panjang, dengan panjang 2a. B₁B₂ adalah sumbu minor atau sumbu pendek, dengan panjang 2b. O adalah pusat dari elips.

C₁ dan C₂ adalah titik fokus yang selalu terletak pada sumbu mayor. A₁, A₂, B₁, dan B₂ adalah puncak-puncak elips.

3

Contoh Soal 1

Tunjukkan bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap dua titik fokus selalu 2a!

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Misal diketahui elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu-X sebagai sumbu mayor.

C₁ P(x, y) X Y –c –a –b c b a O _C 2

Dari gambar tersebut, (x, y) merupakan titik sembarang pada elips. Jika jumlah jarak P ke C₁ dan P ke C₂ adalah k maka:

PC + PC = + + 0 + + 0 = 1 2 2 2 2 2 k x c y x c y k ⇔

(

) (

−

)

(

−

) (

−

)

Jika kita pilih (x, y) = (a, 0) maka:

⇔ − − − ⇔ − ⇔ − a c a c k a c a c k a c a c + + 0 0 + + 0 0 = + + = + + 2 2 2 2 2 2

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

== 2 = = 2 k a k k a ⇔ ⇔

4

Contoh Soal 2

Tunjukkan bahwa pada elips selalu berlaku a2 _{= b}2 _{+ c}2_!

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

C₁ P(x, y) X Y –c –a –b c b a O _C 2

Oleh karena telah terbukti bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap titik fokus selalu 2a, maka:

PC + PC = 2 + + + + = 2 1 2 2 2 2 2 a x c y x c y a ⇔

(

)

(

−

)

Jika kita pilih (x, y) = (0, b) maka:

⇔ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 + + + 0 + = 2 + + + = 2 2 + = 2 + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b c b a c b c b a c b a c b a c

(

)

(

)

22 2 2 2 2 2 + = = + b a a b c ⇔

5

D. Eksentrisitas Elips

Eksentrisitas merupakan perbandingan jarak suatu titik terhadap titik fokus dan garis direktris. Eksentrisitas dari suatu elips dapat ditentukan dengan rumus berikut.

e =c a

Contoh Soal 3

Tunjukkan bahwa eksentrisitas suatu elips dapat ditentukan dengan rumus berikut!

e =c a

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

(–c, 0) (–a, 0) _{(c, 0)} (a, 0) P O X Y d C (x, y) (0, b) (0, –b) Q(d, y)

Berdasarkan defi nisi eksentrisitas, diperoleh:

e e x c y x d = CP PQ = + 2 2 2 ⇔ − −

(

)

(

)

6

Jika kita substitusikan (x, y) = (a, 0) maka:

⇔ − − ⇔ − − e a c a d e a c d a = = ... 1 2 2

(

)

(

)

( )

Jika kita substitusikan (x, y) = (0, b) maka: ⇔ ⇔ ⇔ e c b d e a d e a d = + = = ... 2 2 2 2 2 2

( )

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

a c d a a ad cd ad a cd a d a − − ⇔ − − ⇔ ⇔ = d = = = c ... 3 (persamaan garis di 2 2 2

( )

rrektris)

Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:

e a c d a e a c a c a e c a c a a c e c a = = = = 2 − − ⇔ − − ⇔ − − ⇔      

(

)

(

)

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa, elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu-X sebagai sumbu mayor memiliki rumus eksentrisitas:

e = c

7

persamaan garis direktris:

x a c

= 2

E. Persamaan Elips yang Berpusat di Titik O(0, 0)

Persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut. x a y b 2 2 2 2 + = 1

Sementara persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-Y adalah sebagai berikut.

x b y a 2 2 2 2 + = 1

Contoh Soal 4

Buktikan bahwa persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut.

x a y b 2 2 2 2 + = 1 Pembahasan:

Perhatikan kembali gambar berikut!

C₁ P(x, y) X Y –c –a –b c b a O _C 2

8

Oleh karena jumlah jarak titik-titik pada elips terhadap titik fokus selalu 2a, maka: PC + PC = 2 + + + + = 2 + + = 2 + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x c y x c y a x c y a x c y x ⇔ − ⇔ − − ⇔

(

)

(

)

(

)

(

)

++ + = 4 4 + + + + 2 + + = 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c y a a x c y x c y x cx c y a a x c

(

)

−

(

−

)

(

−

)

⇔ −

((

−

)

(

)

(

)

2 _{2 2 2 2} 2 2 2 2 2 + + 2 + + 4 4 = 4 + = + y x cx c y cx a a x c y cx a a x c y − ⇔ − − − ⇔ − − − 22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 + = + 2 + = 2 + ⇔ − − ⇔ − − c x a cx a a x c a y c x a cx a a x cx c

(

)

(

)

++ 2 + = 2 + + + = + 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a y c x a cx a a x a cx a c a y c x a a x a c ⇔ − − ⇔ 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + = Ole a y a c x a y a a c a c x a y a a c ⇔ − − ⇔ − −

(

)

(

)

(

)

hh karena pada elips berlaku +_b2 _c2= atau =_a2 _b2 _a2_−c2, mak_a: ⇔ ⇔ ⇔ b x a y a b x a y b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = 1

Jadi, terbukti bahwa persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah x

a y b 2 2 2 2 + = 1.

Contoh Soal 5

Persamaan elips pada gambar berikut ini adalah ....

X Y –5 –3 3 5 O

9

Pembahasan:

Diketahui:

a = 5 b = 3

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X, diperoleh: x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 5 3 25 9 ⇔ ⇔

Jadi, persamaan elips berdasarkan gambar tersebut adalah

x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 5 3 25 9 ⇔ ⇔ .

Contoh Soal 6

Persamaan elips pada gambar berikut ini adalah ....

X Y –6 –8 6 8 O Pembahasan: Diketahui: b = 8 c = 6

10

Oleh karena a2 _{= b}2 _{+ c}2_{, maka:}

a b c a a a 2 2 2 2 2 2 2 = + = 8 + 6 = 100 = 10 ⇔ ⇔ ⇔

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X, diperoleh: x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 10 8 100 64 ⇔ ⇔

Jadi, persamaan elips berdasarkan gambar tersebut adalah

x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 10 8 100 64 ⇔ ⇔ .

Contoh Soal 7

Tentukan persamaan elips yang memiliki titik fokus di (0, 3) dan (0, –3), serta panjang sumbu mayor 10. Kemudian, lukislah grafi k elips tersebut!

Pembahasan:

Oleh karena panjang sumbu mayornya 10, maka: panjang sumbu mayor = 10

⇔ 2a = 10 ⇔ a = 5

Oleh karena titik fokusnya di (0, 3) dan (0, –3), maka c = 3. Dengan demikian, diperoleh:

b a c b b b b = = 5 3 = 25 9 = 16 = 4 2 2 2 2 − ⇔ − ⇔ − ⇔ ⇔

11

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-Y, diperoleh: x b y a x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 25 +16 = 400 4 5 16 25 ⇔ ⇔ ⇔

Dengan demikian, grafi k persamaan elips tersebut adalah sebagai berikut.

C₁ X Y –4 4 –3 –5 3 5 O C₂

Contoh Soal 8

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0), sumbu panjangnya merupakan sumbu-X, serta kurva elips melalui titik-titik A 3, 16

5 −     dan B 5 2 3,2    ! Pembahasan:

Bentuk persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan sumbu mayor pada sumbu-X adalah sebagai berikut.

x a y b 2 2 2 2 + = 1

12

Substitusi A 3, 16 5 −   

 pada persamaan elips, sehingga diperoleh: 3 16 5 + = 1 9 ₊ 256_{25 =1} 9 ₊ 256 25b = 1 (kal 2 2 2 2 2 2 2 2

( )

   a b a b a − ⇔

⇔ iikan kedua ruas dengan 25)

225₊256_{= 25... 1} 2 2 ⇔ a b

( )

Substitusi B 5 2 3,2   

 pada persamaan elips, sehingga diperoleh:

x a y b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 5 2 3 ₊2 _{= 1} 75 4 + 4 _{= 1 (kalikan kedua} ⇔ ⇔     rruas dengan 4) 75₊16_{= 4... 2} 2 2 ⇔ a b

( )

Eliminasi variabel b pada persamaan (1) dan (2).

225 256 ₂₅ 75 16 ₄ 1 16 225 256 ₂₅ 1200 256 ₆ 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b + = + = × × + = + = 44 975 ₃₉ 39 975 25 5 2 2 2 − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = a a a a

13

Substitusi nilai a = 5 ke persamaan (2), sehingga diperoleh: 75₊16_{= 4} 75 5 + 16_{= 4} 75 25+ 16_{= 4} 3 +16= 4 16_{= 1} = 16 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b b b b b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ bb = 4

Dengan demikian, persamaan elipsnya adalah sebagai berikut.

x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 5 4 25 16 ⇔ ⇔

Jadi, persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0), sumbu panjangnya merupakan sumbu-X, serta kurva elips melalui titik-titik A 3, 16

5 −     dan B 5 2 3,2     adalah x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 5 4 25 16 ⇔ ⇔ .

Contoh Soal 9

Tentukan persamaan elips yang memiliki titik fokus di (0, ±6) dengan eksentrisitas e =3 5! Pembahasan: Diketahui: Titik fokus (0, ±6) → c = 6 Eksentrisitas e =3 5

Oleh karena eksentrisitas e =3 5 maka: e c a a a a = 3 5= 6 3 = 30 = 10 ⇔ ⇔ ⇔

14

e c a a a a = 3 5= 6 3 = 30 = 10 ⇔ ⇔ ⇔

Oleh karena b2 _{= a}2 _{– c}2 _maka:

b a c b b b = = 10 6 = 64 = 8 2 2 2 2 − ⇔ − ⇔ ⇔

Dengan demikian, persamaan elipsnya adalah sebagai berikut.

x b y a x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 8 10 64 100 ⇔ ⇔

Jadi, persamaan elips yang memiliki titik fokus di (0, ±6) dengan eksentrisitas e =3

5 adalah x b y a x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = 1 + = 1 + = 1 8 10 64 100 ⇔ ⇔ .

F. Persamaan Elips dengan Pusat yang Bergeser Sejauh (h, k) dari Titik

O(0, 0)

Apabila h dan k adalah bilangan real positif, maka mengganti x dengan x – h atau x + h dan mengganti y dengan y – k atau y + k, akan menggeser bentuk kurva apapun dengan pola sebagai berikut.

1. Jika x diganti x – h maka grafi k akan bergeser h satuan ke kanan. 2. Jika x diganti x + h maka grafi k akan bergeser h satuan ke kiri. 3. Jika y diganti y – k maka grafi k akan bergeser k satuan ke atas. 4. Jika y diganti y + k maka grafi k akan bergeser k satuan ke bawah. Sebagai contoh, perhatikan persamaan elips berikut!

x a y b 2 2 2 2 + = 1

Jika x diganti dengan x – h dan y dengan y – k maka elips yang berpusat di titik O(0, 0) akan bergeser h satuan ke kanan dan k satuan ke atas seperti yang ditunjukkan gambar berikut.

15

(x – h, y – k) (0, 0) (h, k) a a b b (x, y) h k X Y x h a y k b − −

(

) (

2

)

2 2 2 + =1 x a y b 2 2 2 2 + =1

Contoh Soal 10

Sketsalah grafi k elips berikut. Kemudian, tentukan titik fokusnya!

x−2 y− 16 + 3 9 = 1 2 2

(

) (

)

Pembahasan: Persamaan elips x2 y2

16+ 9 =1 adalah persamaan elips yang berpusat di titik O(0, 0) dengan nilai:

• a = 4

• b = 3

• c = ± a2−b2 = ± ₄2−₃2 = ± ₇

Jika x diganti x – 2 maka elips bergeser 2 satuan ke kanan dan jika y diganti y – 3 maka elips bergeser 3 satuan ke atas. Dengan demikian, diperoleh grafi k berikut.

1 3 6 Y X –1 –2 –3 –4 2 3 4 5 6

16

Berdasarkan hal tersebut, fokus baru elips juga akan mengalami pergeseran sejauh 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas.

Jadi, titik fokus baru elips tersebut adalah ( 2 + 7 , 3) dan ( 2− 7, 3).

Contoh Soal 11

Sketsalah grafi k berikut!

x+ 4 y 16 + 2 25 = 1 2 2

(

) (

−

)

Pembahasan: Persamaan elips x+ 4 y 16 + 2 25 = 1 2 2

(

) (

−

)

_{memiliki nilai pusat (h, k) = (–4, 2).}

Persamaan elips x+ 4 y 16 + 2 25 = 1 2 2

(

) (

−

)

memiliki nilai: • a2 _{= 25 → a = 5} • b2 _{= 16 → b = 4} • c2 _{= a}2 _{– b}2 ⇔ c = 52 ₋42 ⇔ c = 3

Berdasarkan informasi tersebut, diketahui: Pada sumbu mayor:

a. Fokus adalah (h, k ± c) ≡ (–4, 2 ± 3) yaitu titik C₁(–4, 5) dan C₂(–4, –1). b. Puncak adalah (h, k ± a) ≡ (–4, 2 ± 5) yaitu titik P₁(–4, 7) dan P₂(–4, –3). Pada sumbu minor:

17

Dengan demikian, didapat gambar sebagai berikut.

P₄ P₁ P₃ P₂ C₂ C₁ –1 1 2 3 4 5 6 7 –2 –3 –4 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 X Y

Kesimpulan yang dapat diperoleh berdasarkan contoh soal-soal di atas adalah sebagai berikut. Bentuk persamaan elips x h

a y k b − −

(

) (

2

)

2 2 2 + = 1 memiliki nilai: 1. Fokus (–c + h, k) dan (c + h, k) 2. Persamaan garis direktris x a

c h

=− 2 + dan x a

c h

= 2+

Bentuk persamaan elips x h

b y k a − −

(

) (

2

)

2 2 2 + = 1 memiliki nilai: 1. Fokus (h, –c + k) dan (h, c + k ) 2. Persamaan garis direktris y a

c k

= 2+ dan y a

c k

18

Contoh Soal 12

Diberikan persamaan elips berikut. 9x2 _{– 54x + y}2 _{+ 2y + 46 = 0}

Tentukan: a. pusat elips;

b. panjang sumbu mayor dan minor; c. koordinat titik fokus;

d. koordinat puncak; dan e. sketsa grafi k elips.

Pembahasan:

a. Untuk menentukan pusat elips, ubah dahulu persamaan pada soal ke dalam bentuk berikut. 9 54 + + 2 + 46 = 0 9 6 + + 2 = 46 9 3 9 + +1 1 2 2 2 2 2 2 x x y y x x y y x y − ⇔ − − ⇔ − − −

(

)

(

)

(

)

(

)

== 46 9 3 81+ +1 1= 46 9 3 + +1 82 = 46 9 3 2 2 2 2 − ⇔ − − − − ⇔ − − − ⇔ − x y x y x

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

22 2 2 2 2 2 + +1 = 36 9 3 36 + +1 36 = 1 3 4 + +1 36 = 1 y x y x y

(

)

(

) (

)

(

) (

)

⇔ − ⇔ −

Berdasarkan persamaan tersebut, diketahui pusat elips (3, –1). b. Panjang sumbu mayor dan minor

a2 _{= 36} ⇔ a = 6

Panjang sumbu mayor: 2a = 2(6) = 12

b2 _{= 4} ⇔ b = 2

19

c. Koordinat titik fokus

c2 _{= a}2 _{– b}2 ⇔ c = 62₋22

⇔ c = 32 ⇔ c = 4 2

Titik fokus (3, –1 + 4 2 ) dan (3, –1 – 4 2 ). d. Koordinat puncak

Puncak pada sumbu mayor: ( 3, –1 + 6) dan (3, –1 – 6 ) (3, 5) dan (3, –7)

Puncak pada sumbu minor: ( 3 + 2, –1) dan (3 – 2, –1 ) (5, –1) dan (1, –1)

e. Sketsa grafi k elips

X Y (3, 5) (3, –1) (1, –1) (5, –1) (3, –7)