Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 125 T(x,y) 0 r
IRISAN KERUCUT
A. LINGKARAN
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r
Persamaan = TK titik T = {T O T/ r} = 2 2 {( , ) /x y x y r} = 2 2 2 { ( , ) /x y x y r }
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dengan jari-jari r
2 2 2
(x a) (y b) r
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.
2 2 0 x y A x yB C , Koef. 2 2 d an y 0 x Pusat 1 1 2 2 ( , ) P A B Jari-jari 1 2 1 2 4 4 r A B C
4. Posisi titik terhadap suatu Lingkaran
Sebuah lingkaran 2 2
0
L x y A x B y C dan sebuah titik P x( 1,y1) maka kuasa titik P x( 1,y1) terhadap lingkaran L adalah : KP =
2 2
1 1 1 1
x y A x B y C
5. Hubungan antara garis dan Lingkaran
Jika garis g : y = mx + n dan lingkaran L 2 2 2
x y r maka hubungan garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan g ke L sebagai berikut :
2 2 2 ( ) 0 x m x n r 2 2 2 2 2 2 0 x m x mx n r 2 2 2 2
(1 m )x 2m nx n r 0 , yang merupakan persamaan kuadrat dengan
diskriminan sbb : 2 2 2 2
4 4 4
D m r n r
Jika D>0 , maka garis memotong lingkaran pada dua titik
Jika D = 0 , maka garis memotong lingkaran pada satu titik ( menyinggung) Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran
D 0 D=0 D 0
X
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 126 Contoh :
Dimanakah letak titik potong garis x – 2y – 8 = 0 dari 2 2
12 6 29 0 x y x y Jawab : x – 2y – 8 = 0 8 2 x y substitusikan ke 2 8 2 ( ) 1 2 3 2 4 2 9 0 2 x x x x 2 2 16 64 12 3 24 29 0 4 x x x x x 2 2 4x (x 16x 64) 36x 20 0 2 5x 52x 84 0 maka : 1 2 1 3 d an x2 4 2 2 1 5 5 x y y
Jadi letak titik potong di 2 titik yaitu (2, -3) dan (4 2 1, )
5 5
Catatan : Jarak titik (x1,y1) ke garis Ax + By + C = 0 adalah 1 1
2 2
A x B y C
A B
6. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 2 2
x y r di titik (x1,y1)
2
1 1
x x y y r
b.Persamaan garis singgung di titik P (x1,y1) pada ingkaran 2 2
0 L x y A x B y C 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 x y y A x x B y y C
x
c. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran yang berpusat dititik asal dan jari-jari r ( pers garis kutub/polar)
2
1
y m x r m
d. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran 2 2 2
) ( ) (x a y b r 2 (y b) m x( a) r 1 m
Bila ada titik (x1,y1)maka :
Gunakan rumus y y1 m(x x1) kemudian ubah ke y – b = m ( x – a ) + c Cari m dari c2 r2(1 m2)
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung 2 2
(x 3) (y 4) 25
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 127 O 1 1 ( , ) P x y 1 ( 1) y y m x x Jawab :
Gradien garis3x+4y-8=0 adalah m = 3
4 , karena garis singgung maka
4 3 g s
m Langkah berikutnya menentukan pusat dan jari-jari 2 2
(x 3) (y 4) 25
a=3 , b = -4 dan r = 5
Persamaan garis singgung pada lingkaran :
2 ( ) 1 y b m x a r m 2 4 4 ( 4 ) ( 3) 5 ( ) 1 3 3 y x 4 5 4 ( 3) 3 3 y x 3y 4x 24 5
persamaan garis 4x – 3y – 19 = 0 dan 4x – 3y – 29 = 0 Contoh :
Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 2
(x 2) (y 1) 10 dengan gradien 3 adalah … a. y = 3x – 17 atau y = 3x + 3 d. y = 3x – 17 atau y = 3x - 3 b. y = 3x + 17 atau y = 3x - 3 e. y = 3x – 3 atau y = 3x + 3 c. y = 3x +17 atau y = 3x + 3 2 (y b) m x( a) r 1 m 2 10 (y 1) 3(x 2) 1 3 1 3 6 10 y x 3 3 atau 3 17 y x y x Contoh :
Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 y2 25, maka nilai c adalah …
A. 1 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 2 E. 6 2 Jawab : 25 2 2 y x maka r = 5 y = x + c maka c2 r2(1 m2) 2 5 ) 1 1 ( 25 2 2 c c
e. Persamaan garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran
1 1 ( , )
P x y terletak diluar lingkaran maka terdapat 2 garis singgung melalui titik itu , untuk menentukan persamaan garis singgung ditentukan sebagai berikut : 1) cek apakah titik yang dilalui persamaan
garis itu diluar lingkaran
2) misalkan titik P pada persamaan garis
1 ( 1)
y y m x x
3) Susbstitusikan persamaan pada langkah 2 kedalam persamaan yang akan diperoleh persamaan kuadrat gabungan
4) Hitung diskriminan PK gabungan , agar garis menyinggung jangan lupa memasukkan syarat D = 0
5) Dua gradien m substitusikan pada persamaan hasil langkah 2 maka akan diperoleh garis singgungnya.
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 128 Catatan :
Untuk menghindari waktu hitung yang lama pada proses D = 0 , gunakan persamaan garis singgung dengan gradien m untuk persamaan 2 2 2
x y r yaitu 2
1
y m x r m ,
selanjutnya hitung r untuk persamaan 2 2 2
x y r . Nyatakan persamaan garis singgung itu dalam 2 bentuk , jangan lupa memasukkan nilai x dan y , maka diperoleh m
Soal Latihan :
1. Persamaan lingkaran 2 2 1
2 2 5 0
x y a x y melalui titik ( 1 , 2 ) maka pusat dan jari-jarinya adalah …
A. ( - 4 , 4 ) dan 5 B. ( 6 , - 4 ) dan 5 C. ( 2 , -1 ) dan 10 D. ( - 3 , 3 ) dan 10 E. ( 3 , -4 ) dan 10
2. Persamaan lingkaran yang memiliki pusat ( -3 , 4 ) menyinggung garis x = 2y – 8 adalah : A. 2 2 2x 2y 12x 16y 1 0 D. 2 2 2x 2y 12x 16y 1 0 B. 2 2 2x 2y 12x 16y 1 0 E. 2 2 2x 2y 12x 16y 1 0 C. 2 2 2x 2y 12x 16y 1 0
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 2
4 2 8 0
x y x y yang tegak lurus
dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 adalah :
A. y = 2x – 7 + 10 B. y = 2x + 7 + 10 C. y = 2x +3 - 10
D. y = 2x +37 - 10 E. y = 1
2x – 7 + 10
4. Garis singgung lingkaran x2 y2 13 dititik (2,3) menyinggung lingkaran
p y
x 7)2 ( 4)2
( maka nilai p adalah …
A. 13 B. 12 C. 5 D. 13 E. 5
5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2 , - 3 ) dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 adalah …
A. x2 y2 4x 6y 12 0 D. x2 y2 4x 6y 12 0
B. x2 y2 2x 6y 12 0 E. x2 y2 2x 6y 12 0
C. x2 y2 4x 6y 12 0
6. Agar lingkaran x2 y2 4x 6y m 0 berjari-jari 5, m haruslah sama dengan …
A. – 38 B. – 12 C. 12 D. 25 E. 38
7. Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran x2 y2 6x 2y 2 0 haruslah … A. a = -6 atau a = 1 B. a = -5 atau a = 2 C. a = -5 atau a = 1 D. a = -6 atau a = 2 E. a = 6 atau a = -2
8. Persamaan garis singgung melalui titik ( 5 , 1 ) pada lingkaran
0 12 6 4 2 2 y x y x adalah … A.3x + 4y – 19 = 0 B. 3x - 4y – 19 = 0 C. 4x - 3y + 19 = 0 D.x + 7y – 26 = 0 E. x - 7y – 26 = 0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 129
B. PARABOLA
Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik (fokus) dan garis tertentu ( direktrik )
Persamaan parabola dengan puncak (0,0) adalah y2 4px
2 2
(y b) 4 (p x a)
Koordinat fokus : ( a +p , b ) Persamaan garis direktrik : x = a – p
Grafik terbuka ke atas/bawah : (x xp)2 4p(y yp)
Grafuk terbuka ke kiri/kanan : (y yp)2 4p(x xp)
Persamaan Garis Singgung Parabola
Persamaan garis singgung parabol 2
4
y px di titik P x( 1,y1) : yy1 2 (p x x1)
Persamaan garis singgung parabol 2
4
x py di titik P x( 1,y1) : xx1 2 (p y y1)
Persamaan garis singgung parabol 2
(y b) 4 (p x a) di titik P x( 1,y1) :
1 )( ) 1 2
(y b y b 2 (p x x a)
Persamaan garis singgung parabol 2
(x a) 4 (p y b) di titik P x( 1,y1) :
1 )( ) 1 2
(x a y a 2 (p y y a)
Persamaan garis singgung parabol dengan gradien m pada parabola 2
4 y px adalah : p y m x m Soal Latihan :
1. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (2,1) dan garis x = 0 adalah … A. x2 2x y 9 0 D. y2 2y 4x 5 0
B. x2 2x 4y 7 0 E. y2 2y 4x 5 0
C. y2 2y 8x 9 0
2. Persamaan parabola dengan puncak ( 2 , 4 ) dan garis direktrik x = -1 adalah :
A. 2 (y 4 ) 1 2 (x 2 ) D. 2 (y 4) 12(x 2) B. 2 (y 4) 12(x 2) E. 2 (y 4) 12(x 2) C. 2 (y 4) 12(x 2)
3. Persamaan garis singgung pada parabola 2
(y 1) 6(x 2) dengan gradien 1
2 adalah …
A. x – 2y – 10 = 0 D. x – 2y + 20 = 0 B. x – 2y + 10 = 0 E. x + 2y + 20 = 0 C. x +2y – 20 = 0
4. Besarnya nilai m agar garis y = mx – 3 menyinggung parabola 2
4 y x adalah … A. –3 B. 8 C. 1 8 D. 1 3 E. –8 F(p,0) A(x,y) x=-p
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 130 5. Persamaan parabola yang direktriknya x = -4 dan fokusnya ( 4 , 0 ) adalah …
A. y2 32x B. y2 16x C. y2 8x D. y2 4x E. y2 2x
6. Persamaan parabola dengan titik puncak di ( 1 , -2 ) dan titik fokus di (5 , -2 ) adalah … A. y2 4y 16x 20 0 D. y2 4y 16x 12 0
B. y2 4y 16x 20 0 E. y2 4y 16x 20 0
C. y2 4y 16x 12 0
7. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik ( 1 , 2 ½ ) dan garis y = 3 ½ adalah
A. (x 1)2 2(y 3) D. (y 3)2 2(x 1)
B. (x 1)2 4(y 3) E. (y 3)2 2(x 1)
C. (x 1)2 2(y 3)
8. Titik P(3,2) adalah titik puncak parabola, sumbu simetri sejajar dengan sumbu Y dan parabola melalui titik A(7,4). Persmaan parabola adalah …
A. x2 6x 8y 6 0 D. x2 6x 8y 16 0
B. x2 6x 8y 25 0 E. x2 6x 8y 10 0
C. x2 6x 8y 40 0
9. Persamaan garis singgung pada parabol y2 6y 8x 31 0 yang melalui titik ( -3 , -1 ) adalah ..
A. x + y + 4 = 0 C. x – y + 4 = 0 E. 4x + y + 1 = 0
B. x + y – 4 = 0 D. x + 4y + 1 = 0
10. Pada parabola y2 24x dibuat tali busur tali busur yang saling sejajar dengan gradien 3. Persamaan garis yang melalui titik –titik tengah tali busur-tali busur tersebut adalah …
A. y = 1 B. y = 2 C. y = 3 D. y = 4 E. y = 5
C. Hiperbola
Tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya dari dua titik ( fokus ) tertentu adalah tetap. Persamaan hiperbola : 2 2 2 2 1 x y a b Pusat : 0( 0 , 0 ) M(h,k) Fokus : F( c , 0 ) F ( c + h , k ) Puncak : ( a , 0 ) ( a + h , k ) Direktris : x = 2 a c x = 2 a h c Asimtot : y = x = b x a (y k) b (x h) a Eksentrisitas : e c a Latus rectum : 2 2b a
Panjang sumbu nyata = 2a Panjang sb. Sekawan = 2b
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 131 1. Diketahui hiperbola 2 2 ( 1) ( 1) 1 64 36 x y
maka pernyataan yang benar adalah … A. Pusat ( 10 , -1 ) dan ( 12 , - 1 )
B. Puncak ( 8 , -1 ) dan ( - 7 , - 1 ) C. Sumbu utama y = 1 dan x = -1 D. Eksentrisitas e = 4/5
E. Asimtot y = ¾ ( x – 1 )
2. Persamaan hiperbol yang berpusat di (0,0) , Fokus (0, 2 3) dan panjang sumbu minor 4 satuan adalah … A. 1 4 8 2 2 x y C. 1 2 8 2 2 x y E. 1 25 9 2 2 x y B. 1 2 4 2 2 x y D. 1 2 4 2 2 x y
3. Persamaan hiperbol dengan titik puncak di ( 4,0) dan titik fokus ( 5,0) adalah …
A. 1 16 25 2 2 y x C. 1 9 16 2 2 y x E. 1 25 9 2 2 y x B. 1 9 25 2 2 y x D. 1 25 16 2 2 y x
D. Ellips
Persamaan Ellips : 2 2 2 2 1 x y a b Pusat : 0( 0 , 0 ) M(h,k) Fokus : F( c , 0 ) F ( c + h , k ) Puncak : ( a , 0 ) ( a + h , k ) : (0 , b ) ( h , b + k ) Direktris : x = 2 a c x = 2 a h c Eksentrisitas : e c a Latus rectum : 2 2b aPanjang sumbu nyata = 2a Panjang sb. Sekawan = 2b Contoh :
Titik pusat ellips 2 2
9x 16y 45x 64y 1 0 adalah … A. ( -3 , 2 ) B. ( 6 , 4 ) C. ( 3 , -2 ) D. ( -6 , 4 ) E. ( 6 , -4 ) Jawab : 2 2 9x 16y 45x 64y 1 0 Cara cerdik : 2 2 9x 54x 16y 64y 1 2 2 9x 16y 45x 64y 1 0 2 2 9(x 6 )x 16(y 4 )y 1 2 ( ) 9 45 '( ) 18 54 0 3 f x x x f x x x 2 2 9(x 3) 16(y 2) 1 81 64 2 ( ) 16 64 '( ) 32 64 0 2 f y y y f y y y
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 132 2 2 9(x 3) 16(y 2) 144 Jadi pusat : ( 3 , -2 ) 2 2 ( 3) ( 2) 1 16 9 x y Jadi pusat : ( 3 , - 2 ) Soal Latihan :
Persamaan garis singgung ellips 2 2
5(x 1) 9(y 2) 45 yang tegak lurus garis 2x + 3y – 10 = 0 adalah ..
A. 3x – 2y – 15 = 0 D. 2x – y – 6 = 0
B. 2x – y – 8 = 0 E. 2x – y + 6 = 0
C. 2x – y + 8 = 0
Soal – soal Ujian Nasional
1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang berabsis –1 adalah …. a. 3x – 2y – 3 = 0 b. 3x – 2y – 5 = 0 c. 3x + 2y – 9 = 0 d. 3x + 2y + 9 = 0 e. 3x + 2y + 5 = 0
2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah …. a. 4x – y – 18 = 0
b. 4x – y + 4 = 0 c. 4x – y + 10 = 0 d. 4x + y – 4 = 0 e. 4x + y – 15 = 0
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….
a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0 b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0 c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0 d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0 e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …. a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0 d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0 e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 133
5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y – x + 3 = 0 adalah…. a. 52521+−=xy b. 52521−−=xy c. 552−=xy d. 552+−=xy e. 552+=xy
6. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P( 5,3 ) adalah …. a. 3x – 4y + 27 = 0
b. 3x + 4y – 27 = 0 c. 3x + 4y – 7 = 0 d. 7x + 4y – 17 = 0 e. 7x + 4y – 7 = 0
7. Jarak antara titik pusat lingkaran x² + y² – 4x + 4 = 0 dari sumbu y adalah …. a. 3
b. 2 ½ c. 2 d. 1 ½ e. 1
8. Diketahui lingkaran 2x² + 2y² – 4x + 3py – 30 = 0 melalui titik ( – 2,1 ). Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari – jarinya dua kali panjang jari – jari lingkaran tadi adalah …. a. x² + y² – 4x + 12y + 90 = 0 b. x² + y² – 4x + 12y – 90 = 0 c. x² + y² – 2x + 6y – 90 = 0 d. x² + y² – 2x – 6y – 90 = 0 e. x² + y² – 2x – 6y + 90 = 0
9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 13 yang melalui titik ( 3,–2 ) adalah …. a. 3x – 2y = 13
b. 3x – 2y = –13 c. 2x – 3y = 13 d. 2x – 3y = –13 e. 3x + 2y = 13
10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik( 0,4 ) pada lingkaran x² + y² = 4 adalah …. a. y = x + 4
b. y = 2x + 4 c. y = – x + 4 d. y = –3x + 4 e. y = –2x + 4
11. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik ( –3,4 ) menyinggung lingkaran dengan pusat ( 10,5 ) dan jari – jari r. Nilai r = ….
a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11
