matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi dan unsur-unsur hiperbola.

2. Dapat menentukan persamaan hiperbola yang berpusat di (0, 0). 3. Dapat menentukan persamaan hiperbola yang berpusat di (h, k).

4. Memahami garis asimtot, eksentrisitas, dan lactus rectum pada persamaan hiperbola.

A. Defi nisi Hiperbola

Hiperbola merupakan salah satu jenis irisan kerucut. Hiperbola terjadi jika kerucut diiris sejajar dengan sumbu simetri. Secara umum, hiperbola didefi nisikan sebagai himpunan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama. Dua titik tersebut disebut sebagai titik api atau titik fokus.

Perhatikan gambar berikut!

puncak pusat fokus lactus rectum asim tot F₁ (c₁, 0) A₁ (a₁, 0) A₂ (a₂, 0) O F₂ (c₂, 0) Y X

matematika

K-13

XI

K

e

l

a

s

2

Gambar tersebut merupakan hiperbola yang mempunyai unsur-unsur berikut. 1. Titik O(0, 0) disebut pusat hiperbola.

2. F₁(c₁, 0) dan F₂(c₂, 0) disebut titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. 3. X disebut sumbu mayor yang selalu memotong hiperbola. 4. Y disebut sumbu minor yang tidak memotong hiperbola.

5. A₁(a₁, 0) dan A₂(a₂, 0) disebut puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.

6. Asimtot adalah garis arah yang tidak dipotong oleh hiperbola.

7. Lactus rectum adalah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu

mayor, dan memotong hiperbola di dua titik.

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a!

Pembahasan:

Perhatikan gambar hiperbola berikut!

P (x, y) A₂ (a, 0) A₁ (–a, 0) O F₂ (c, 0) Y X F₁ (–c, 0)

Misal P(x, y) merupakan sembarang titik pada hiperbola. Agar besar selisih jarak titik P(x, y) terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a, haruslah:

3

Berdasarkan gambar, diketahui:

PF x c y PF x c y 1 2 ₂ 2 ₂ 2 = + + = +

(

)

(

−

)

Dengan demikian, diperoleh:

PF_{1 −}PF_{2 =}

(

x c₊

)

2₊y2 ₋

(

x c₋

)

2₊y2

Misalkan P x y

( )

, =A a₂

( )

,0

⇔ PF_{1 −}PF_{2 =}

(

a c₊

)

2_{+ 0}2 ₋

(

a c₋

)

2_{+ 0}2

⇔ PF₁ − PF₂ = +a c − − a c

Oleh karena c > a, maka |a – c| = c – a, sehingga: ⇔ PF₁ − PF₂ = +a c− −

(

c a

)

⇔ PF₁ − PF₂ = 2 (terbukti)a

Jadi, terbukti bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a.

B. Persamaan Hiperbola yang Berpusat di (0, 0)

Perhatikan cara menurunkan persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) melalui gambar berikut.

P (x, y) A₂ (a, 0) A₁ (–a, 0) O F₂ (c, 0) Y X F₁ (–c, 0)

Oleh karena telah terbukti bahwa besar selisih jarak titik-titik pada hiperbola terhadap dua titik fokus selalu bernilai 2a, maka:

4

PF₁ −PF₂ = 2a

⇔

(

_{x c+}

)

2_+y2 ₋

(

_{x c−}

)

2_+y2 _{= 2a}

⇔ _{x c+} 2_{+y2 = 2 +a x c} 2_+y2

(

)

(

−

)

Kuadratkan masing-masing ruas, sehingga diperoleh: ⇔

(

x c+

)

2+y2= 4 + 4a2 a x c

(

−

)

2+y2+

(

x c−

)

2+y2

⇔ x2 _{+ 2 +}cx c2 ₊ y2 _{= 4 + 4}a2 a x c

(

₋

)

2₊y2₊ x2 _{−2 +}cx c2 ₊ y2

⇔ 4 = 4 + 4_{cx a}2 _{a x c}

(

₋

)

2+_y2

⇔ cx a a x c= 2+

(

₋

)

2+y2

⇔ cx a a x c− 2₌

(

−

)

2₊y2

Kuadratkan masing-masing ruas, sehingga diperoleh: ⇔ c x2 2₋₂a cx a2 ₊ .4 ₌a x2

(

2_{−2 +}cx c2₊y2

)

⇔ c x2 2₋₂a cx a2 ₊ .4 ₌a x2 2₋₂a cx a c2 ₊ 2 2₊a y2 2

⇔ c

(

2₋a x2

)

2₋a y2 2 ₌a c2 2₋a4

Jika semua suku dibagi a2_c2 _{– a}4_{, maka diperoleh:}

⇔ − − − − − − c a x a c a a y a c a a c a a c a 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 =

(

)

⇔ c a x a c a a y a c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 − − − −

(

)

(

)

(

)

⇔ x a y c a 2 2 2 2 2 = 1 − −

(

)

Untuk menyederhanakannya, misalkan c2 _{– a}2 _{= b}2_{, sehingga:}

⇔ x − a y b 2 2 2 2 = 1

Jadi, persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah sebagai berikut.

x a y b 2 2 2 2 = 1 −

5

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar berikut!

A₂(3, 0) A₁(–3, 0) O F₂(5, 0) Y X F₁(–5, 0)

Persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah ....

Pembahasan:

Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan nilai a = 3 dan c = 5. Oleh karena nilai a = 3 dan c = 5, maka:

c a b b c a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = = 5 3 = 4 ⇔ − ⇔ − ⇔

Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut.

x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 3 4 = 1 9 16= 1 − ⇔ − ⇔ −

Jadi, persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah

x a y b x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 3 4 = 1 9 16= 1 − ⇔ − ⇔ − .

Contoh Soal 3

Koordinat titik fokus persamaan hiperbola x2 y2

6

Pembahasan:

Dari persamaan hiperbola x2 y2

144 25− = 1, diketahui nilai: • a2 _{= 144 → a = 12}

• b2 _{= 25 → b = 5}

Oleh karena nilai a = 12 dan b = 5, maka:

c a b c c 2 2 2 2 2 = + = 12 + 5 = 13 ⇔ ⇔

Koordinat titik fokus hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) dirumuskan dengan (±c, 0). Dengan demikian, koordinat titik fokus hiperbola tersebut adalah (13, 0) dan (–13, 0). Jadi, koordinat titik fokus pada persamaan hiperbola x2 y2

144 25− = 1 adalah (13, 0) dan (–13, 0). Setelah memahami persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0), kamu akan belajar tentang persamaan hiperbola vertikal yang berpusat di (0, 0). Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0) dapat dirumuskan sebagai berikut.

y a x b 2 2 2 2 = 1 −

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar berikut!

A₁ (0, 6) F₁ (0, 10) A₂ (0, –6) O Y X

7

Pembahasan:

Gambar tersebut merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 6 dan c = 10. Oleh karena nilai a = 6 dan c = 10, maka:

b c a b b = = 10 6 = 8 2 2 2 2 − ⇔ − ⇔

Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut.

y a b y y x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 = 1 36 64= 1 6 8 − ⇔ − ⇔ −

Jadi, persamaan hiperbola pada gambar tersebut adalah

y a b y y x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 = 1 36 64 = 1 6 8 − ⇔ − ⇔ − .

Contoh Soal 5

Persamaan hiperbola yang memiliki puncak (0, ±4) dan fokus (0, ±8) adalah ....

Pembahasan:

Hiperbola yang memiliki puncak (0, ±a) = (0, ±4) dan fokus (0, ±c) = (0, ±8) merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 4 dan c = 8.

Oleh karena nilai a = 4 dan c = 8, maka:

b c a b b b 2 2 2 2 2 2 2 = = 8 4 = 48 = 48 − ⇔ − ⇔ ⇔

Dengan demikian, persamaan hiperbolanya adalah sebagai berikut.

y a x b y x y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 48 = 1 16 48= 1 3 = 48 4 − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

( )

8

y a x b y x y x y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 48 = 1 16 48= 1 3 = 48 4 − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

( )

Jadi, persamaan hiperbola yang memiliki puncak (0, ±4) dan fokus (0, ±8) adalah 3y2 _{– x}2 _{= 48.}

Contoh Soal 6

Persamaan umum hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2

(

)

dan melalui titik (1, 4) adalah ....

Pembahasan:

Hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2

(

)

merupakan hiperbola vertikal dengan nilai a = 2 2 . Persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0) dan a = 2 2 adalah sebagai berikut.

y a x b y x b y x b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 2 2 = 1 8 = 1 − ⇔ − ⇔ −

( )

Oleh karena hiperbola melalui titik (x, y) = (1, 4), maka: 4 8 1 _{= 1} 2 1 = 1 1 _{= 1} = 1 2 2 2 2 2 2 2 − ⇔ − ⇔ ⇔ b b b b

Dengan demikian, persamaan hiperbola yang dimaksud adalah sebagai berikut.

y x y x 2 2 2 2 8 1 = 1 8 = 8 − ⇔ −

Jadi, persamaan umum hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan puncak 0,2 2

(

)

dan melalui titik (1, 4) adalah y2 _{– 8x}2 _{= 8.}

9

C. Garis Asimtot Hiperbola

Perhatikan gambar berikut!

asim tot F₁ (–c, 0)A₁ (–a, 0) A₂ (a, 0) O F₂ (c, 0) Y X

Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan persamaan:

x a y b y b x a y b a x a y b a x a y b a x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 = 1 = = = 1 − ⇔ − ⇔ − ⇔ ± − ⇔ ±

(

)

−− ⇔ ± − a x y b ax a x 2 2 2 2 = 1      

Jika x menuju tak hingga (x → ∞) maka a

x

2

2 akan menuju nol

a x 2 2 →0       . Ini berarti, untuk nilai x yang besar, nilai y akan mendekati garis y b

ax

=± . Garis y b

ax

=± dinamakan garis asimtot hiperbola, yaitu garis arah yang tidak dipotong oleh hiperbola. Garis asimtot hiperbola selalu melewati titik (±a, ±b) sehingga dapat digambarkan sebagai berikut.

10

asim tot F₁(–c, 0) A₁(–a, 0) A2(a, 0) (–a, b) _b –b (–a, –b) (a, b) (a, –b) O F₂(c, 0) Y X

Jadi, garis asimtot untuk persamaan hiperbola x

a y b 2 2 2 2 = 1

− adalah sebagai berikut.

y b

ax

=±

Sementara itu, untuk persamaan hiperbola y

a x b 2 2 2 2 = 1

− , garis asimtotnya adalah sebagai berikut.

y a

bx

=±

Contoh Soal 7

Tentukan puncak, fokus, dan garis asimtot dari persamaan hiperbola berikut. x2 y2

11

Pembahasan:

Dari persamaan x2 y2

9 − 6 = 1, diketahui bahwa hiperbolanya horizontal dengan nilai: • a2 _{= 9 → a = 3}

• b2 _{= 6 → b = 6}

Oleh karena nilai a = 3 dan b = 6 , maka:

c a b c c c 2 2 2 2 2 = + = 9 + 6 = 15 = 15 ⇔ ⇔ ⇔

Dengan demikian, diperoleh: Puncak: (±a, 0) = (±3, 0) Fokus: (±c, 0) =

(

± 15,0

)

Garis asimtot: y b ax y x = = 6 3 ± → ± .

D. Eksentrisitas Hiperbola

Eksentrisitas adalah nilai yang menunjukkan besar deviasi suatu irisan kerucut terhadap lingkaran. Sama halnya dengan elips, nilai eksentrisitas pada hiperbola juga dirumuskan sebagai berikut.

e =c a

Contoh Soal 8

Nilai eksentrisitas hiperbola dengan persamaan 15y2 _{– 8x}2 _{= 120 adalah ....} Pembahasan:

Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 15y2 _{– 8x}2 _{= 120 ke dalam bentuk rumus}

umumnya. 15 8 = 120 15 120 8 120 = 1 8 15= 1 2 2 2 2 2 2 y x y x y x − ⇔ − ⇔ −

12

Dari bentuk tersebut diketahui nilai: • a2 _{= 8 → a = 2 2}

• b2 _{= 15 → b = 15}

Oleh karena nilai a = 2 2 dan b = 15 , maka:

c a b c c = + = 8 +15 = 23 2 2 ⇔ ⇔

Dengan demikian, nilai eksentrisitasnya adalah sebagai berikut.

e c a e = = 23 2 2 1,7 ⇔ ≈

Jadi, nilai eksentrisitas hiperbola dengan persamaan 15y2 _{– 8x}2 _{= 120 adalah 1,7.}

E. Lactus Rectum Hiperbola

Lactus rectum berasal dari bahasa Yunani, lactus berarti sisi dan rectum berarti lurus.

Berdasarkan hal tersebut, lactus rectum dapat didefi nisikan sebagai sisi lurus dari irisan kerucut. Panjang dari lactus rectum dapat ditentukan melalui sebuah rumus. Untuk mengetahui rumus panjang lactus rectum, perhatikan gambar berikut!

puncak pusat fokus lactus rectum asim tot F₁ (c₁, 0) A₁ (a₁, 0) A₂ (a₂, 0) O F₂ (c₂, 0) Y X

Gambar tersebut merupakan hiperbola horizontal dengan persamaan:

x a y b 2 2 2 2 = 1 −

13

Jika kita subtitusikan nilai x = c, maka diperoleh: c a y b y b c a y b c a y b c a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 = 1 = 1 = − ⇔ − ⇔ − ⇔ −    _

(

)

_{ssubstitusikan =} = 2 2 2 4 2 c a b y b a − ⇔ ±

(

)

(

)

Oleh karena kita sedang mencari panjang lactus rectum yang nilainya tidak mungkin negatif, maka:

⇔ y b

a

= 2

Jadi, rumus panjang lactus rectum hiperbola adalah sebagai berikut.

Latus rectum b a

= 2 2

Contoh Soal 9

Tentukan panjang lactus rectum dari hiperbola berikut! x2 y2

36− 4 = 1

Pembahasan:

Dari persamaan hiperbola x2 y2

36 − 4 = 1, diketahui nilai: • a2 _{= 36 → a = 6}

14

Dengan demikian, panjang lactus rectum-nya dapat ditentukan sebagai berikut.

Lactus rectum b a = 2 =2.4 6 =8 6 =4 3 2

Jadi, panjang lactus rectum dari hiperbola tersebut adalah

Lactus rectum b a = 2 =2.4 6 =8 6 = 4 3 2 .

F. Persamaan Hiperbola yang Berpusat di (h, k)

Persamaan hiperbola yang berpusat di (h, k) dengan h ≠ 0 dan k ≠ 0, baik vertikal maupun horizontal didapat dari konsep pergeseran grafi k. Untuk hiperbola horizontal yang berpusat di (h, k), persamaanya adalah sebagai berikut.

x h a y k b − − −

(

) (

2

)

2 2 2 = 1 dengan: 1. Sumbu mayor y = k 2. Titik puncak P(h ± a, k) 3. Titik fokus F(h ± c, k) 4. Persamaan asimtot y k b a x − =±

(

−h

)

5. Lactus rectum Latus rectum b a = 2 2

Sementara itu, untuk hiperbola vertikal yang berpusat di (h, k), persamaannya adalah sebagai berikut. y k a x h b − ₋ −

(

) (

2

)

2 2 2 = 1

15

dengan: 1. Sumbu mayor x = h 2. Titik puncak P(h, k ± a) 3. Titik fokus F(h, k ± c) 4. Persamaan asimtot y k a b x − =±

(

−h

)

5. Lactus rectum Latus rectum b a = 2 2

Contoh Soal 10

Salah satu persamaan asimtot hiperbola berikut ini adalah .... 4x2 _{– y}2 _{+ 16x + 16y – 9 = 0} A. 2x + 2y + 4 = 0 B. 2x – y + 7 = 0 C. 2x + y – 1 = 0 D. 2x – y + 1 = 0 E. 2x + y – 7 = 0 Pembahasan:

Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 4x2 _{– y}2 _{+ 16x + 16y – 9 = 0 ke dalam bentuk}

rumus umumnya. 4 +16 + 6 9 = 0 4 +16 + 6 9 = 0 4 + 4 6 = 9 4 + 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y y x x y y x − − ⇔ − − ⇔ − − ⇔

(

) (

)

22 4 3 9 = 9 4 + 2 16 3 + 9 = 9 4 + 2 3 2 2 2 2 2

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

) (

)

− − − − ⇔ − − − ⇔ − − y x y x y 22 2 2 = 16 + 2 4 3 16 = 1 ⇔

(

x

) (

− y−

)

16

Dengan demikian, persamaan asimtotnya dapat ditentukan sebagai berikut.

y k b a x h y x y x − ± − ⇔ − ± ⇔ − ± = 3 = 4 2 + 2 3 = 2 + 2

(

)

(

)

(

)

Persamaan asimtot pertama:

y – 3 = 2x + 4 atau 2x – y + 7 = 0

Persamaan asimtot kedua:

y – 3 = –2x – 4 atau 2x + y + 1 = 0

Jadi, salah satu persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah 2x – y + 7 = 0.

Contoh Soal 11

Gambarlah hiperbola 16y2 _{– 96y – 9x}2 _{– 18x – 9 = 0 dengan lengkap!} Pembahasan:

Mula-mula, ubah dahulu persamaan hiperbola 16y2 _{– 96y – 9x}2 _{– 18x – 9 = 0 ke dalam}

bentuk rumus umum berikut.

16 96 9 18 9 = 0 16 6 9 + 2 = 9 16 3 9 9 + 2 2 2 2 2 y y x x y y x x y x − − − − − − − − − ⇔ ⇔

(

) (

)

(

)

(

)

11 1 = 9 16 3 144 9 +1 + 9 = 9 16 3 9 +1 = 144 2 2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

− − − − − − ⇔ ⇔ ⇔ y x y x yy− x − 3 9 +1 16 = 1 2 2

(

) (

)

Dari bentuk tersebut, diketahui nilai (h, k) = (–1, 3), a = 3, dan b = 4. Oleh karena nilai a = 3 dan b = 4 maka:

c a b c c = + = 3 + 4 = 5 2 2 2 2 ⇔ ⇔

17

Oleh karena hiperbolanya adalah hiperbola vertikal maka: • Sumbu simetri x = –1

• Fokus F(–1, 3 ± 5) atau F₁(–1, 8) dan F₂(–1, –2) • Puncak P(–1, 3 ± 3) atau P₁(–1, 6) dan P₂(–1, 0)

• Persamaan asimtot y k a b x h y x x y − ± − − ± − ± ⇔ ⇔ = 3 = 3 4 +1 4 12 = 3 +1

(

)

(

)

(

)

(

)

Garis asimtot pertama: 3x + 3 = 4y – 12 atau 3x – 4y + 15 = 0 Garis asimtot kedua: –3x – 3 = 4y – 12 atau 3x + 4y – 9 = 0

Dengan demikian, gambar lengkap hiperbola tersebut adalah sebagai berikut.

1

O

F

₁

F

₂ –1 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 –3 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 2 3 3x – 4y + 15 = 0 3x + 4y – 9 = 0 4 5 6 Y X