matematika K-13 TRIGONOMETRI ATURAN SEGITIGA K e l a s

(1)

1

matematika

TRIGONOMETRI ATURAN SEGITIGA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami aturan sinus dan kosinus, serta pembuktiannya.

2. Memahami aturan sinus dan kosinus dalam penyelesaian masalah matematika maupun masalah nyata.

3. Memahami penerapan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan luas segitiga. 4. Memahami masalah matematika maupun masalah nyata yang berkaitan dengan luas

segitiga.

XI

K

e

l

a

s

LUAS SEG ITIGA A TURAN SINUS ATURAN KOSINUS_b 2 = a2 + c2 – 2ac . cos B c2 = a 2 + b 2 – 2a b co s C B A C a ? ? b c L=12 sin ac B L= 1 2 sin bc A L=1 2absinC cos = + 2 2 2 2 C a b c ab − cos = + 2 2 2 2 B a c b ac − a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A} cos = + 2 2 2 2 A b c a bc − a A b B c C sin =sin =sin

K-13

▸ Baca selengkapnya: aturan pengisian tempat matematika

(2)

2

A. ATURAN SINUS

Untuk sembarang segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan sinus berikut.

a b

C

sinA=sinB= csin

Pembuktian:

Perhatikan segitiga sembarang ABC dengan sisi AB = c, sisi BC = a, dan sisi AC = b. Pada sisi AB ditarik garis tinggi h.

C

A c D B

h

b a

Pada segitiga ADC berlaku: sinA= → = ⋅h sinA

b h b

Pada segitiga BDC berlaku sinB= → = ⋅h sinB

a h a

Dengan proses substitusi akan didapatkan:

b A B B A ⋅ = ⋅ = sin sin sin sin a b a

Jika proses yang sama dilanjutkan dengan menggunakan garis tinggi pada AC, maka akan didapatkan aturan segitiga yang melibatkan semua sisi dan sudut. Syarat penggunaan aturan ini adalah soal tersebut melibatkan dua pasang sudut-sisi yang saling berhadapan, dengan salah satunya tidak diketahui.

(3)

3 Contoh Soal 1

Perhatikan gambar berikut!

A B

7 cm 8 cm

10 cm C

Jika nilai sin C =1

3, maka nilai dari sin A dan sin B adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan aturan sinus berlaku:

AB AC B sin sin sin sin C B B = = = 10 1 3 8 4 15

Kemudian dengan menggunakan aturan yang sama, diperoleh:

AB BC sin sin sin sin C A A A = = = 10 1 3 7 7 30

Jadi, nilai sin A = 7

30 dan sin B = 4 15.

(4)

4

55o 44 m

56 m

Contoh Soal 2

Menara Pisa dibangun dengan tinggi 56 meter. Oleh karena rentannya tanah pada fondasi, maka terjadi kemiringan. Jika pada jarak 44 meter dari dasar menara diperoleh sudut elevasi sebesar 55o_{, maka}

berapakah kemiringan menara Pisa dari posisi awalnya?

(soal aplikasi aturan sinus pada buku

“Algebra and Trigonometry edisi ketiga”

yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:

Persoalan aplikasi trigonometri di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut.

44 meter A B 55o x 56 met er C

Dengan menggunakan aturan sinus akan didapatkan persamaan:

AB AC C sin C sin B sin C sin sin C sin sin C , = = = ⋅ ° = = 44 56 55o 44 55 56 0 6436 400 06, ° ≈40°

Dengan demikian, besar sudut A = 180o_{– (B + C) atau ∠A = 85}o_{. Jadi, besar}

(5)

5 Contoh Soal 3

25,5o 1 mil

20,5o

Pada saat yang sama, sebuah balon terlihat oleh 2 orang teman yang terpisah sejauh 1 mil tepat di hadapan balon. Jika sudut elevasi dari dua orang ini bertururt-turut adalah 20,5º dan 25,5º, maka berapakah tinggi balon pada saat itu? (soal aplikasi aturan sinus pada buku “Algebra

and Trigonometry edisi ke tiga”

yang ditulis Cinthia Young)

Pembahasan:

20,5o _25,5o

D A 1 mil B

x C

Oleh karena besar ∠ABC = 180o_{– 25,5}o_{= 154,5}o_{, maka besar ∠ACB =180}o_{– (20,5}o₊

154,5o_{) = 5}o

Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC didapatkan persamaan:

AB BC BC BC BC sin sin sin sin , sin , sin C= A °= ° = ° ° ≈ 1 5 20 5 20 5 5 4

(6)

6

Perhatikan segitiga BDC! sin x BC x BC sin x x ∠ = = ⋅ ∠ = ⋅ ° ≈ CBD CBD 4 25 5 1 7 sin , , mil

Jadi, ketinggian balon pada saat itu mendekati 1,7 mil.

B. ATURAN KOSINUS

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku aturan sinus berikut.

a b c bc b a c ac c a b ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ cos os os A B C c c Pembuktian:

Perhatikan segitiga berikut!

A c b _a h D C B Pada segitiga siku-siku ADC, berlaku:

h2_{= b}2_{– AD}2 _{.... (1)}

Perhatikan segitiga siku-siku BDC

h2_{= a}2_{– BD}2 _{.... (2)}

Dari (1) dan (2), diperoleh:

b2_{– AD}2_{= a}2_{– BD}2

Oleh karena BD = c – AD, maka:

b AD a AD b AD a c AD AD a b c AD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − − = − + ⋅ ⋅ − = + − ⋅ ⋅ (c ) c c

(7)

7

Pada segitiga ADC berlaku AD = b.cos A, sehingga persamaan di atas menjadi: a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2.b.c.cos A.}

Dengan cara yang sama, akan diperoleh aturan-aturan kosinus lainnya.

Contoh Soal 4

A B C 10 cm 5 cm 30o

Panjang sisi BC pada gambar tersebut adalah ....

Pembahasan: A B C a b = 10 cm c = 5 cm 30o

Dengan menggunakan aturan kosinus akan didapatkan:

BC a b b c A a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 5 2 10 5 30 125 100 1 = = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = − ⋅ c cos cos 22 3 125 50 3 5 5 2 3 a a = − = − cm

(8)

8 Contoh Soal 5

Pada suatu segitiga ABC diketahui a = 8, b = 6, dan c = 7. Tentukan besar masing-masing sudutnya!

Pembahasan:

Sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

a b b c b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 7 8 2 6 7 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ c cos cos c cos cos A A A AA = ∠ = ∠ ≈ ° − 0 25 0 25 76 1 , cos ( , ) A A

Sudut B juga dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.

b a c a c a c b a c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 7 6 2 8 7 = + × × × = + × × = + × × - cos cos -cos -cos B B B BB = ∠ = ∠ ≈ ° 0 6875 0 6875 47 1 , cos ( ,- ) B B

Sudut C cukup ditentukan dengan menggunakan sifat segitiga berikut. _{∠ =} _{° − ∠ + ∠} ∠ = ° − ° + ° ∠ = ° C A B C C 180 180 76 47 57 ( ) ( )

(9)

9 Contoh Soal 6

Sinus sudut terbesar pada segitiga PQR yang memiliki ukuran sisi PQ = 6, QR = 4, dan PR = 8 adalah ....

Pembahasan:

Sisi PQ = r = 6, QR = p = 4, dan PR = q = 8

Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terbesar, oleh karena itu sudut yang kita cari nilai sinusnya adalah ∠Q, dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:

q p p r p r q p r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 8 2 4 6 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ r cos cos cos cos Q Q Q Q Q = −1 4 6 4 8 P R Q

Oleh karena yang dicari adalah nilai sinusnya, maka tidak perlu mengetahui besaran sudutnya. Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:

sin cos sin sin Q Q Q Q = − = − = 1 1 1 16 1 4 15 2

C. APLIKASI ATURAN KOSINUS

1. Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar dengan jurusan tiga angka 102° dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232°. Jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam, maka hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam! (Soal pada buku pegangan Matematika kurikulum 2013 Semester 1)

(10)

10

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut! utara

A M

102o ₂₃₂o

jarak kapal A dan B

B

Oleh karena kecepatan A 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 90 km. Oleh karena kecepatan B 45 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh adalah 135 km. Di lain pihak, besaran ∠AMB 232 102= ° − ° =130 . ° Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

AB AM BM AM BM AB AB 2 2 2 2 2 2 2 90 135 2 90 135 130 20 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = cos cos M 44 8, km

Jadi, jarak kedua kapal tersebut adalah 204,8 km.

2. Lapangan Baseball berbentuk persegi dengan panjang setiap sisinya 90 kaki. Jika tempat pelempar bola (pitcher) terletak 60,5 kaki dari tempat pemukul (home plate), maka berapa jauh jarak dari pelempar bola ke basis ketiga (third base)? (Contoh soal pada buku Algebra and Trigonometry edisi ketiga Cynthia Young)

basis kedua home plate tempat pelempar bola ? ? 60,5 kaki 90 kaki 45o 90 kaki 90 kaki 90 kaki basis pertama basis ketiga

(11)

11

Pembahasan:

base kedua home plate tempat pelempar bola ? ? 60,5 kaki 90 kaki 45o 90 kaki 90 kaki 90 kaki base pertama base ketiga A B C

Pada segitiga ABC berlaku:

BC AB AC AB AC BC BC 2 2 2 2 2 2 2 45 90 60 5 2 90 60 5 1 2 2 64 = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ ≈ cos , , kkaki

Jadi, jarak pelempar bola ke basis ketiga adalah 64 kaki.

T

R S

horison 3. Sebuah satelit (S) pada

orbit lingkaran di sekitar bumi terlihat dari stasiun pengawasan T (lihat gambar). Jika jarak TS yang ditentukan dengan radar adalah 1034 mil dan sudut elevasi si atas ufuk adalah 32,4o_{, maka berapakah}

jarak satelit dari pusat bumi (C) pada saat terlihat? (Jari-jari bumi adalah 3964 mil). (Soal di buku College Algebra with

(12)

12

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut!

T R S horison C 32,4o

Diketahui ST = c = 1034 mil, CT = s = 3964 mil, CS = t, dan besar sudut STC adalah:

∠ = ° + ° ∠ = ° STC STC 90 32 4 122 4 , ,

Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:

t c s c s t 2 2 2 2 2 2 2 1034 3964 2 1034 3964 122 4 = + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° cos cos , STC tt ≈ 4601 62, mil

Jadi, jarak satelit dari pusat bumi adalah 4601,62 mil.

D. LUAS SEGITIGA

Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku: Luas ABC∆ = ×1 ⋅ = × ⋅ = × ⋅ 2 1 2 1 2

ab sinC bc sinA ac sinB

Pembuktian:

A c b _a h D C B

(13)

13

Luas segitiga di atas (L) dapat dinyatakan dengan:

L AB CD L c h = × × = × × 1 2 1 2

Pada segitiga ADC, berlaku: sinA= → =h sinA

b h b

Nilai h kita substitusikan ke rumus luas, sehingga akan didapatkan: L=1c b⋅ ⋅ 2 sinA (terbukti).

Dengan cara yang sama dan dengan menggunakan aturan sinus, maka akan diperoleh rumus luas segitiga yang lainnya.

Contoh Soal 7

B 10 14 60o A C

Luas segitiga di atas adalah ....

Pembahasan: B a = 10 c = 14 60o A C

(14)

14

L a c L L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° = 1 2 1 2 10 14 60 35 3 sin sin B satuanluas

Jadi, luas segitiga di atas adalah 35 3 satuan luas.

Contoh Soal 8

Suatu segitiga ABC memiliki panjang sisi AB= 2cm BC, = 3cm, dan AC = 5 cm. Luas segitiga ABC adalah ....

Pembahasan:

A B C c = AB= 2 cmcm BC, = 3cm, a = AB= 2cm BC, = 3 cmcm, b = AC = 5 cm

Misalnya kita hendak menggunakan rumus L= ⋅ ⋅ ⋅1 b c

2 sinA .

Nilai b dan c sudah diketahui, namun nilai sin A belum. Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh: a b c b c b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 3 2 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ =

( )

+

( )

−

( )

⋅ cos cos cos A A A 55 2 5 2 3 2 10 2 10 ⋅ = + − = cos cos A A

(15)

15

Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh: sin sin A A = −      = = 1 2 10 6 10 1 5 15 2

Dengan demikian, luas segitiga ABC adalah:

L b c L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 5 2 1 5 15 1 2 6 2 sin L A cm

Jadi, luas segitiga ABC adalah 1 2 6

2

cm .

Contoh Soal 9

Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki × 25 kaki memiliki bentuk balok terbuka dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya. Jika dua bagian dari atap membentuk sudut 50º dan 33º dengan bidang datar sebagaimana dalam gambar, maka tentukan luas dari segitiga yang terbentuk tersebut! (Soal pada buku

Algebra and Trigonometry, 3rd Edition, Cynthia Young)

x 50o a b 15 kaki 25 k aki 33o

(16)

16

Pembahasan:

Perhatikan segitiga yang terbentuk tersebut!

A B a b 33o 50o c = 15 kaki C Besar sudut C ∠ = ° − ° + ° ∠ = ° C C 180 33 50 97 ( )

Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh: c b b b b sin sin sin sin sin sin C= B °= ° = × ° ° ≈ 15 97 50 15 50 97 12 kaki

Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah:

L b c L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ° ≈ 1 2 1 2 12 15 33 49 2 sin L sin A kaki