matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s

1

matematika

TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami teorema faktor.

2. Menentukan akar dan faktor linear suku banyak dengan menggunakan teorema faktor. 3. Menentukan hasil bagi dengan pembagian khusus suku banyak.

4. Menguasai konsep jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suku banyak.

K-13

XI

K

e

l

a

s

p(x) : (x – a) p (a) = 0 (x – a) fak tor x _{= a akar} TEOREMA VIETTA TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR

_PEMBAG IAN K_HU SU_S xn – 1 + axn – 2 + a2xn – 4 + ... + an – 1 x2n – 1 _{– ax}2n – 2 _{+ a}2_x2n – 3 _{– ... + a}2n – 1 x2n _{– ax}2n – 1 _{+ a}2_x2n – 2 _{– ... + a}2n anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + an – 3xn – 3 + ... +a0 = 0 x1x2...xn – 1xn = (–1)n a0 an x1x2 + x1x2 + x1x4 + ... + xn – 1xn = a_an – 2 n x1 + x2 + x3 + ... + xn = – a_an – 1 n x2n + 1 + a 2n + 1 x + a xn – a n x – a x2n _{– a}2n x + a

2

A. TEOREMA FAKTOR

Jika suku banyak p(x) dibagi oleh (x – k), maka (x – k) adalah faktor dari p(x) jika dan hanya jika p(k) = 0.

Keterangan: x = k adalah akar dari p(x) = 0.

Contoh Soal 1

Jika (x – 5) adalah salah satu faktor dari x3₋bx2₋₇x_{− , maka nilai b adalah ....15} Pembahasan:

Misal p(x) = x3 _{– bx}2 _{– 7x – 15}

Oleh karena x – 5 adalah faktor dari p(x), maka:

5 5 7 5 15 0 125 25 35 15 0 25 75 0 3 3₋

_{( )}

2₋

_{( )}

_{− =} − − − = − + = = b b b b

Jadi, nilai b adalah 3.

B. FAKTOR-FAKTOR LINEAR

Faktor-faktor linear adalah faktor-faktor suatu suku banyak yang memiliki derajat tertinggi satu. Contohnya adalah x – 3, 2x – 1, dan sebagainya. Suatu suku banyak p(x) berderajat n memiliki faktor linear maksimal sebanyak n faktor, dan tidak semua suku banyak memiliki faktor linear.

Misal p x a x_n n a x a x

n n n n

( )

= + ₋ − + + +

− −

1 1 2 2 .... a . Langkah-langkah menentukan faktor 0

linear dari p(x) adalah sebagai berikut.

1. Tentukan akar-akar dugaan berdasarkan rumus k a

a_n

= ±faktor faktor

0 _.

2. Uji akar dugaan ke dalam skema Horner. Akar dugaan k akan menjadi akar suatu suku banyak jika nilai sisanya adalah nol atau p(k) = 0.

3. Jika sudah didapatkan akar pertama pada uji skema Horner, teruskan pengujian dengan menggunakan koefi sien hasil bagi dari skema Horner sebelumnya.

4. Jika sudah didapatkan faktor pangkat dua, maka faktor linear bisa dicari dengan proses faktorisasi biasa atau menggunakan rumus kuadratis.

3

k = 1

k = –1

k = 2

Contoh Soal 2

Tentukan faktor linear dari x3 _{+ x}2 _{– 2x – 8!} Pembahasan:

Misal p(x) = x3 _{+ x}2 _{– 2x – 8}

Menentukan akar dugaan:

k k k k k = ±

( )

( )

= ± = ± = ± = ± faktor faktor -, , , 8 1 1 2 4 8

Uji akar dugaan pada tabel Horner: Uji k = 1

1 1 -2 -8

1 2 0

1 2 0 p(1) = -8

Oleh karena p(1) ≠ 0, maka x = 1 bukan akar dan (x – 1) bukan faktor linear p(x). Uji k = -1

1 1 -2 -8

-1 0 2

1 0 -2 p(-1) = -6

Oleh karena p(–1) ≠ 0, maka x = –1 bukan akar dan (x + 1) bukan faktor linear p(x). Uji k = 2

1 1 -2 -8

2 6 8

1 3 4 p(2) = 0

Oleh karena p(2) = 0, maka x = 2 adalah akar dan (x – 2) adalah faktor linear p(x).

Pencarian faktor linear lain dari faktor kuadrat:

Dari tabel Horner terakhir, didapatkan faktor linear yaitu (x – 2) dan faktor kuadrat yaitu x2 _{+ 3x + 4. Faktor kuadrat x}2 _{+ 3x + 4 tidak dapat difaktorkan dan tidak pula}

memiliki akar irrasional, karena nilai diskriminannya negatif (D < 0). Jadi, p(x) = x3 _{+ x}2 _{– 2x – 8 hanya memiliki satu faktor linear, yaitu x – 2.}

4

k = 1

k = -1

Contoh Soal 3

Tentukan semua akar dan faktor linear dari x4 _{+ x}3 _{– 13x}2 _{– x + 12 !} Pembahasan:

Misal p(x) = x4 _{+ x}3 _{– 13x}2 _{– x + 12} Menentukan akar dugaan:

k k = ± = ± ± ± ± ± ± faktor ( faktor 12 1 1 2 3 4 6 12 ) ( ) , , , , ,

Uji akar dugaan pada skema Horner:

Uji k = 1

1 1 -13 -1 12

1 2 -11 -12

1 2 -11 -12 p(1) = 0

Oleh karena p(1) = 0, maka x = 1 merupakan akar dan (x – 1) merupakan faktor linear dari p(x).

Uji k = -1

1 2 -11 -12

-1 -1 12 1 1 -12 p(-1) = 0

Oleh karena p(-1) = 0, maka x = -1 merupakan akar dan (x + 1) merupakan faktor linear dari p(x).

Pencarian faktor linear lain dari faktor kuadrat:

Dari skema Horner terakhir, didapatkan faktor kuadratnya adalah x2 _{+ x – 12 yang}

dapat difaktorkan menjadi (x + 4)(x – 3).

Jadi, faktor-faktor linear dari p(x) = x4 _{+ x}3 _{– 13x}2 _{– x + 12 adalah (x – 1), (x + 1), (x – 3),}

(x + 4).

Contoh Soal 4

Jika salah satu akar dari x4₊mx3₊₃₇x2₋₃₃x_{−10 adalah 2, maka tentukan nilai m}

5

Pembahasan:

Misalkan p(x) = x4 ₊mx3₊₃₇x2₋₃₃x₋₁₀

Oleh karena x = 2 merupakan akar dari p(x), maka: 2 2 37 2 33 2 10 0 16 8 148 66 10 0 8 88 0 11 4₊

_{( )}

3₊

_{( )}

2₋

_{( )}

_{− =} + + − − = + = = − m m m m

Dengan demikian, suku banyaknya menjadi:

p x( ) =x4−₁₁x3+₃₇x2−₃₃x−₁₀

Untuk mencari akar-akar lainnya, gunakan skema Horner dengan menggunakan akar yang sudah diketahui, yaitu x = 2.

1 -11 37 -33 -10

2 -18 38 10

1 -9 19 5 sisa = 0

Dari skema Horner tersebut, dapat diketahui bahwa hasil bagi masih dalam faktor pangkat tiga. Untuk itu, kita perlu mencoba dengan akar dugaan yang lain. Setelah dicoba dengan akar dugaan yang diambil dari faktor 5, didapatkan akar lain yaitu x = 5.

1 -9 19 5

x = 5 5 -20 -5

1 -4 -1 sisa = 0

Dari skema Horner tersebut, dapat diketahui bahwa hasil bagi sudah dalam faktor pangkat dua, yaitu x2 _{– 4x – 1. Untuk mencari akar dari x}2 _{– 4x – 1 = 0, dapat digunakan}

rumus kuadratis, dengan a = 1, b = -4, dan c = -1. x b b ac a x x x 3 4 2 3 4 2 3 4 3 4 2 4 4 4 1 1 2 1 4 20 2 , , , , =− ± − =− −

( )

±

( )

− −

( )

( )

−

( )

= ± 44 = ±2 5

Jadi, akar-akar lain dari x4₊mx3₊₃₇x2₋₃₃x_{−10 selain 2 adalah 5, 2+ 5, dan}

2− 5.

6

Contoh Soal 5

Jika x2 _{– 4x + 4 adalah salah satu faktor dari x}4 _{– 7x}3 _{+ mx}2 _{+ nx + 20. Nilai m + n adalah}

....

Pembahasan: Cara pertama:

Bentuk faktor x2 _{– 4x + 4 dapat dinyatakan dengan (x – 2)(x – 2). Dengan kata lain, x} 1

= 2 dan x₂ = 2 adalah akar-akar dari x4 _{– 7x}3 _{+ mx}2 _{+ nx + 20 = 0}

Gunakan x₁ = 2 pada skema Horner:

1 -7 m n 20 x₁ = 2 2 -10 2m – 20 4m + 2n – 40 1 -5 m – 10 2m + n – 20 4m + 2n – 20 = 0 sisa 4 2 20 0 4 2 20 2 10 m n m n m n + − = + = + = ... (1)

Gunakan x₂ = 2 pada skema Horner berikutnya: 1 -5 m – 10 -10 x₂ = 2 2 -6 2m – 32 1 -3 m – 16 2m – 42 = 0 sisa 2m – 42 = 0 2m = 42 m = 21 Substitusi m = 1 ke persamaan (1) 2 21 10 42 10 32

( )

+ = + = = − n n n Jadi nilai m + n = 21 + (–32) = –11.

7

Cara kedua:

Dengan menggunakan metode horner yang diperluas:

1 -7 m n 20

4 x 4 -12 4m – 64 X

-4 x x -4 12 -4m + 64

1 -3 m – 16 4m + n – 52 -4m + 84

Hasil bagi Sisa bagi

Dengan demikian, sisa bagi dinyatakan s(x) = (4m + n – 52) + (-4m + 84) Oleh karena x2 _{– 4x + 4 faktor, sehingga:}

4 52 0 4 52 m n m n + − = + = ...(1) Berlaku juga: − + = − = − = 4 84 0 4 84 21 m m m ...(2) Substitusikan m = 21 ke persamaan (1): 4 52 4 21 52 84 52 32 m n n n n + =

( )

+ = + = = − Jadi, m + n = 21 + (-32) = -11.

Contoh Soal 6

Jika x5 _{+ ax}3 _{– 2x}2 _{– 18x – 36 mempunyai faktor x}3 _{+ x}2 _{+ 2x + 6, maka salah satu faktor}

yang lain adalah ....

Pembahasan:

Oleh karena x3 _{+ x}2 _{+ 2x + 6 sulit diketahui faktor-faktor linearnya, maka gunakan}

8

1 0 a -2 -18 -36 -1 -1 1 1 – a -2 -2 2 2 – 2a -6 -6 6 12 – 6a 1 -1 a – 1 -a – 5 -2a – 10 -6a – 24

Faktor pangkat dua Sisa

Sisa pembagian

S(x) = (–a – 5)x2 _{+ (–2a – 10)x + (–6a – 24)}

Oleh karena x3 _{+ x}2 _{+ 2x + 6 faktor, maka:}

(–a – 5)x2 _{+ (–2a – 10)x + (–6a – 24) ≡ 0x}2 _{+ 0x + 0}

Dengan demikian, diperoleh: –a – 5 = 0

a = –5 Faktor kuadratnya:

x2 _{– x – (a – 1)}

Dengan substitusi a = –5 didapat faktor kuadrat berikut.

x2 _{– x – 6 = (x –3)(x + 2)}

Jadi, faktor linear lainnya adalah (x – 3) dan (x + 2).

Contoh Soal 7

Bentuk x4 _{+ 7x}2 _{+ 16 dapat difaktorkan menjadi ....} Pembahasan:

Bila adik-adik mencoba dengan x yang merupakan faktor dari ±16, maka tidak akan ditemukan x yang membuat suku banyak x4 _{+ 7x}2 _{+ 16 bernilai nol. Untuk}

menyelesaikannya, perhatikan cara berikut. x x x ax b x cx b x x x c a x b 4 2 2 2 4 2 4 3 7 16 16 7 16 16 + + =

(

+ +

)

 + +   _ + + = + +

(

)

+ ++ +   ac b x_ 2+_16_ba+bc x +_ 16 Dengan membandingkan koefi sien suku-suku sejenis, didapatkan:

9

16 _{7 2} 16 ₀ b ac b a b bc + + = + = ...( ) ...(3)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) dan (3), sehingga diperoleh:

( )

2 16 ₇ 16 _{7 ...(4)} a a b b a b b + − + = − + = 16 ₀ 16 ₀ 16 16 16 0 16 0 2 2 2 a b b a a b ab a b ab a ab ab a a b a b + − = − = = = − = − = − ( ) ( ) ( 44)(b + =4) 0

Nilai yang memenuhi persamaan di atas adalah a = 0 atau b = 4 atau b = –4. Untuk a = 0, dari persamaan (1) didapat c = 0. Dari persamaan (2) didapat:

2 16 _{0 7} 7 16 0 b b b b + + = − + =

Tidak ada nilai b yang memenuhi, karena persamaan kuadrat di atas tidak memiliki akar penyelesaian yang real.

Misal b = 4 16 ₇ 4 4 7 1 1 2 2 2 b a b a a a − + = − + = = = ±

10

Untuk b = 4, dari persamaan (4) didapat:

2 2 2 16 _{4 7} 4 8 7 1 1 a a a a − + = − = = = ±

Dari persamaan (1), untuk a = 1, maka c = –1, sehingga didapat persamaan:

(

)

(

)(

)

4 2 2 2 4 2 2 2 16 7 16 7 16 4 4 x x x ax b x cx b x x x x x x   + + = + + _ + + _   + + = + + − +

Hasil yang sama untuk a = -1 dan c = 1.

Sementara itu, untuk b = -4, dari persamaan (4) didapat:

2 2 2 16 _{4 7} 4 8 7 15 a a a − − = − − − = = −

Tidak ada nilai a yang memenuhi, karena hasil a2 _{selalu lebih besar atau sama}

dengan nol.

Jadi, bentuk x4 _{+ 7x}2 _{+ 16 dapat difaktorkan menjadi x}

(

2_{+ +x 4}

)

(

_x2_{− +x 4}

)

_. C. PEMBAGIAN KHUSUS SUKU BANYAK

Berdasarkan teorema faktor dan skema Horner, diperoleh: 1. x a x a x x a x a a n n n n n n − − = + + + + −1 −2 −3 2 _... −1 2. x a x a x x a x a n n n n n n 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 − + = − + − + − − − _{... a} − 3. x a x a x x a x a a n n n n n n 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 + + − − + + = − + ...+

11

Contoh Soal 8

Tentukan hasil bagi suku banyak: a. (x5 _{– a}5_{) : (x – a)}

b. (x7 _{+ a}7_{) : (x + a)} Pembahasan:

a. (x5 _{– a}5_{) : (x – a)}

• Dengan rumus pembagian khusus suku banyak, diperoleh: _{x a} x a x x a x a xa a x ax a x a x a 5 5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 − − = + + + + = + + + +

• Dengan skema Horner, diperoleh:

1 0 0 0 0 -a5

a a a2 _a3 _a4 _a5

1 a a2 _a3 _a4 ₀

Koefi sien hasil bagi Jadi, hasil baginya adalah x4 ₊ax3₊a x2 2₊a x a3 ₊ 4

b. (x7 _{+ a}7_{) : (x + a)}

• Dengan rumus pembagian khusus suku banyak, diperoleh:

x a x a x x a x a x a x a xa a x ax a x a x a x 7 7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 5 2 4 3 3 4 + + = − + − + − + = − + − + 22_{−a x a}5 ₊ 6

• Dengan skema Horner, diperoleh:

1 0 0 0 0 0 0 a7

-a -a a2 _-a3 _a4 _-a5 _a6 _-a7

1 -a a2 _-a3 _a4 _-a5 _a6 ₀

Koefi sien hasil bagi

12

Contoh Soal 9

p q p q 24 24 2 2 − + = .... Pembahasan: p q p q p q p q 24 24 2 2 2 12 2 12 2 2 − + =

( )

−

( )

+

Misalkan p2 _{= x, q}2 _{= y, maka bentuk di atas dapat ditulis:}

x y x y x x y x y y p p q p q 12 12 11 10 9 2 11 2 11 2 10 2 2 9 2 − + = − + − + =

( )

−

( )

+

( ) ( )

... 22 _{2 11} 22 20 2 18 4 22 − +

( )

= − + − + ... ... q p p q p q q Jadi, hasil p24₂ q24₂ p q − + adalah 22 20 2 18 4 22 p −p q +p q −…+q .

D. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN SUKU BANYAK a. Persamaan Suku Banyak

Persamaan suku banyak P_n(x) = 0 memiliki akar-akar x₁, x₂, ..., x_n. Jika nilai-nilai akar tidak mudah diketahui, operasi-operasi penjumlahan dan perkalian tetap dapat mudah dilakukan dengan menggunakan teorema akar-akar vietta.

Operasi-operasi akar untuk persamaan derajat 2, ax2 _{+ bx + c = 0, dengan akar-akar x} 1 dan x₂ adalah sebagai berikut.

1. x x b a 1+ 2 = − 2. x x c a 1⋅ 2=

Operasi-operasi akar untuk persamaan derajat 3, ax3₊bx2₊cx d_{+ = , dengan akar-akar 0} x₁, x₂, x₃ adalah sebagai berikut.

1. x x x b a 1+ 2+ 3= − 2. x x x x x x c a 1 2+ 1 3+ 2 3= 3. x x x d a 1 2 3= −

13

b. Persamaan Suku Banyak Berderajat n

Persamaan suku banyak berderajat n dinyatakan sebagai:

a x_n n a x a x a x a

n n n n

+ ₋ − + + + + =

− −

1 1 2 2 .... 1 0 0

Jika akar-akar suku banyak tersebut adalah x₁, x₂, x₃, ..., x_n maka:

• x x x x a a n n n 1+ 2+ 3+ +.... = − −1 • x x x x x x a a n n n n 1 2+ 1 3+ +.... −1 = −2 • x x x x x x x x x a a n n n n n 1 2 3+ 1 2 4+ +.... −2 −1 = − −3 .... • x x x x a a n n 1 2 3.... = − ⋅( )1n 0

Contoh Soal 10

Jika akar-akar persamaan suku banyak x3₊₄x2₋₃x_{− = adalah x5 0}

1, x2, x3,maka hitunglah: a. x₁ + x₂ + x₃ b. x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ c. x₁, x₂, x₃ d. x₁2 x x 22 32 + + e. 1 1 1 1 2 3 x +x +x Pembahasan:

Diketahui: a = 1, b = 4, c = -3, dan d = -5. Dengan demikian, diperoleh:

a. x x x b a x x x 1+ 2+ 3= − → +1 2+ 3= − 4 b. x x x x x x c a x x x x x x 1 2+ 1 3+ 2 3= → 1 2+ 1 3+ 2 3= − 3 c. x x x d a x x x 1 2 3= − → 1 2 3=5

14

d. x₁2 x x x x x x x x x x x 22 32 1 2 3 2 2 1 2 1 3 2 3 + + =( + + ) − ( + + ) x x x x x x x x x 12 22 32 2 12 22 32 12 22 32 4 2 3 16 6 22 + + = − − − + + = + + + = ( ) ( ) e. 1 1 1 3 5 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x x x x x x + + = + + = −

Contoh Soal 11

Diketahui x₁, x₂, dan x₃ merupakan akar-akar persamaan x3₋₁₀x2₋₇₄x q_{+ = . Jika 0} x₁ = x₂ + x₃, maka nilai q adalah ....

Pembahasan:

Diketahui: a = 1, b = -10, c = 24, d = q, dengan demikian diperoleh:

• x x x b

a x x x

1+ 2+ 3= − → +1 ( 2+ 3)= −10

Oleh karena x₁ = x₂ + x₃ atau x₂ + x₃ = x₁ maka:

x x x x 1 1 1 1 10 2 10 5 + = − = − = −

• Oleh karena akar diketahui, substitusikan dengan skema Horner

1 -10 -74 q

-5 -5 75 -5

1 -15 1 q – 5 = 0

Jadi, nilai q− = → =5 0 q 5.

Contoh Soal 12

Jika α, β, dan γ merupakan akar-akar persamaan x3₊₂p₌₄x2₋₃₆x _{dan α= − , β}

maka α β γ⋅ ⋅ = ....

Pembahasan:

15

Diketahui α= − sehingga β α β+ = 0. Dengan teorema akar vietta, diperoleh:

α β γ α β γ γ γ + + = − + + = + = = b a ( ) 4 0 4 4

Oleh karena salah satu akarnya diketahui, maka nilai p dapat ditentukan dengan skema Horner berikut.

1 -4 -36 2p

4 4 0 -144

1 0 -36 2p – 144 = 0

Nilai p = 72.

Dengan demikian, nilai dari α · β · γ dapat ditentukan sebagai berikut.

α · β · γ_{α β γ} α β γ α β γ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − 2 144 d a p

Jadi, nilai α · β · γ adalah –144.

Contoh Soal 13

Diketahui x₁, x₂, x₃, dan x₄ merupakan akar-akar persamaan x4₋₃₀x3₊ax2₋bx c_{+ = . 0}

Jika x₂− =x₁ x₃−x₂=x₄−x₃= , maka tentukan nilai a, b, dan c!3

Pembahasan:

• Oleh karena x₂− =x₁ x₃−x₂ =x₄−x₃= maka:3

x x x x x x x x x x 2 1 4 3 3 2 1 4 3 1 3 3 3 6 3 9 = + = + = + = + = + = + ;

• Dengan teorema vietta, diperoleh:

x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 30 3 6 9 30 4 18 6 4 12 + + + = + + + + + + = + = = − = ( ) ( ) ( ) −−3

16

Jadi, x₁= −3,x₂=0,x₃=3,x₄ =6 .

• Dengan teorema vietta, nilai a dapat ditentukan sebagai berikut.

x x x x x x x x x x x x c a 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 3 0 3 3 3 6 0 + + + + + = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = − = 3 0 6 3 6 9 a a

• Dengan teorema vietta, nilai b dapat ditentukan sebagai berikut.

x x x x x x x x x x x x d a 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 3 0 3 3 0 6 3 + + + = − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = − 3 6 0 3 6 54 b b

• Dengan teorema vietta, nilai c dapat ditentukan sebagai berikut.

x x x x e a c c 1 2 3 4 3 0 3 6 0 = − ⋅ ⋅ ⋅ = = ( ) ( ) ( ) ( )

Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut adalah -9, -54, dan 0.

Contoh Soal 14

Jika α, β, dan γ merupakan akar-akar persamaan x3₋₁₄x2₊ax b_{+ = dengan 0 α > β} > γ, α : β α β γ: γ,: :dan = 4 2 1, maka : : α2₋β3₋γ3 _{= ....}

Pembahasan:

• α α β γ: : :β : γ = 4 2 1 : :

misal α=4p;β=2p;γ =p • Dari teorema vietta, diperoleh:

α β γ+ + = + + = = = 14 4 2 14 7 14 2 p p p p p • Dengan demikian α=8,β=4,γ =2 Jadi, α2₋β3₋γ3₌₈2₋₄3₋₂3_{= −8}