Kelas XI MIA Peminatan
Glosarium
Istilah
Keterangan
Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.
Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.
Jari
jari
lingkaran
Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik
pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.
Ellips
Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
besarnya.
Irisan Kerucut
Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola
A. Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r) Luas lingkaran = π.r2
(r = jari-jari)
Ex. 1:
Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r
Ex. 2:
Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r
Ex. 3 :
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4
B.Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.
Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F)→ jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1
Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah. Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips
disebut sumbu mayor
Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2
Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor
Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal) Perhatikan unsur-unsur elips
6. Eksentrisitas
a
c
e
7. Persamaan direktris : d1 = x =
e a p x e a
p dan d2 b). Elips dengan titik pusat P(p, q)
1. Titik fokus : F1(p – c, q) dan F2(p + c, q)
2. Titik puncak : A1(p – a, q) dan A2(p + a, q)
3. Sumbu mayor : A1A2 dengan panjnag 2a
4. Sumbu minor : B1B2 dengan panjang 2b
5. Panjang latus rectum L1L2 =
6. TF1 + TF2 = 2a
7. Eksentrisitas a c e
8. Persamaan direktris : d1 = x =
e a p x e a
p dan d2
Ex. 4 :
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3,0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3
Persamaan Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0)
, dengan a2 > b2 atau 2 2 2 2 2 2
dengan
,
1
a
b
a
y
b
x
) 0 , ( 1 a A ) , 0 ( 1 b B ) , 0 ( 2 b B ) , (xy T ) 0 , ( 2 a A 2 2 ) (xc y 22 ) (xc y
2 2 )
(xc y (xc)2 y2
Ex. 5 :
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak P(13, 0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(F1(-12, 0)
Ex. 6 :
Diketahui persamaan elips 1 16 25
2 2
y x
. Tentukan : a. Titik titik puncaknya
b. Titik focusnya
Ex. 7 :
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0, 0), dengan salah satu focusnya ( 3,0) dan panjang sumbu mayor 4 satuan. Kemudian lukis grafiknya.
2. Persamaan Elips yang Berpusat di P(h, k) Persamaan :
atau
Ex. 8
Diketahui elips dengan persamaan 1 9 ) 4 ( 25 ) 1
( 2 2
y
x
. Tentukan : a. Pusat elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus
d. Koordinat titik puncak
Ex. 9
Diketahui elips dengan persamaan 4x29y248x72y1440. Tentukan :
a. Pusat elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus
d. Koordinat titik puncak
Ex. 10
Diketahui elips dengan persamaan 4x2y28x6y90. Tentukan :
a. Pusat elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus
d. Koordinat titik puncak
Ex. 11
Diketahui elips dengan persamaan 4x29y216x18y 11 0
Tentukan : a. Pusat elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus
Persamaan Garis Singgung
a. Persamaan Garis singgung melalui titik (x1,y1) pada elips
Ex. 12
Tentukan PGS elips berikut :
a. 1 21 28 2 2 y x
pada titik A(4, 3)
b. 1 9 ) 2 ( 18 ) 1
( 2 2
y
x
pada titik B(5, -3) atau b y y a x x 1 2 1 2
1
2 1 2
1 )( ) ( )( )
( b n y n y a m x m
x
b. Persamaan Garis singgung pada Elips dengan Gradien Tertentu 1). Untuk Elips dengan Pusat O(0,0)
Garis : y = mx + n dan elips 1
2 2 2 2 b y a x
, sehingga PGS:
2 2 2 b m a mx
y
atau elips 1
2 2 2 2 a y b x
, sehingga PGS : 2 2 2
a m b mx
y
2). Untuk lips dengan Pusat P(h, k)
a. Untuk elips ( ) ( ) 1 2 2 2 2 b k y a h x
dengan gradien m
PGS : ykm(xh) a2m2b2
b. Untuk elips ( ) ( ) 1 2 2 2 2 a k y b h x
dengan gradien m
PGS : 2 2 2
)
(x h b m a
m k
y
Ex. 13
Latihan 1
1. Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips 1 9 25 2 2 y x
a. 4y – 3x – 9 = 0 b. 7y – 8y – 56 = 0 c. x – 5 = 0
2. Tentukan nilai k sehingga garis y + x + k = 0 menyinggung elips 1 5 20 2 2 y x .
3. Diketahui persamaan elips 16x225y232x100y2840. Tentukan kedudukan garis 3y – 4x – 2 = 0 terhadap elips tersebut. 4. Tentukan PGS pada elips di bawah ini yang melalui titik yang
ditentukan.
a. 10x236y2360 di titik A(10, 0)
b. 1 9 16 2 2 y x
di titik B(0, 9)
c. 1 16 ) 4 ( 9 ) 3
( 2 2
y
x
di titik C(3, 4) 5. Tentukan PGS pada elips :
a. 1
8 9 2 2 y x
dengan gradien – 2
b. 1
9 8 2 2 y x
yang sejajar garis y = 3x – 7
c. 9x225y236x50y1640 dengan gradien 2 1
B. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.
Titik itu disebut fokus/titik api (F)
Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum→ tegak lurus dengan sumbu simetri
Ex. 1:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x =
Hiperbola
(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap
Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
Kedua titik tetap itu disebut fokus (F)→ jarak antara F1 dan F2
adalah 2c
(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1
Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)
Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)
Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan
memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua
titik tersebut = Latus Rectum Ex. 2:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus
(√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x
Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama
Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x2 saja atau y2 saja)
Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (sama-sama positif atau (sama-sama-(sama-sama negatif)
Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)
Ex. 3 :
3x2+ 3y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran 3x2 + 3y+ 6x = 5 → Persamaan Parabola 3x2+ y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Elips 3x2– 3y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola
Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:
1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0 2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:
3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut
Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut
Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:
1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = … 2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan
kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat. 3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut
(Ingat! D = b2– 4.a.c)
→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik Ex. 5 :
Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5
Cara:
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0 3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 12y2– 57y + 67 = 0
D = b2– 4.a.c = (–57)2– 4.12.67 = 33
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung dengan gradien m
Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1) → selalu gunakan sistem bagi adil:
(…)2menjadi (…).(…) (…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Ex. 6 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (2, 1)
Cara:
(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13) Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y –5 = 0 → persamaan garis singgung
Ex. 7 :
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (4, 1)
Cara:
(4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16) Persamaan bagi adil:
x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y –1 = 0 → persamaan garis polar y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran: x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0
SOAL LATIHAN
1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari 3 adalah ....
A. x2 + y2 = 3
B. x2 + y2 = 6 C. x2 + y2 = 3 D. x2 + y2 = 9 E. x2 + y2 = 6
2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2– 10 – 2y = 0 berturut – turut adalah ....
A. (10, 2) dan 10 B. (-5, -1) dan 6 C. (5, -1) dan 6 D. (5, 1) dan 6 E. (-5, 1) dan 6
E. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9
4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah .... A. x + 2y = 5
B. 2x + y = 5 C. x + 2y = - 5 D. 2x + y = - 5 E. x + 2y – 5 = 0
5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y - 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah ....
A. 7x - 12y – 43 = 0 B. 6x - 7y + 34 = 0 C. 7x + 12y – 43 = 0 D. 12x + 7y – 24 = 0 E. -7x - 12y + 12 = 0
6. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah .... A. (-12, 0)
B. (0, -3) C. (-4, 0) D. (0, -4) E. (-3, 0)
A. (-1, 3) B. (2, -3) C. (1, -3) D. (-2, 6) E. (2, -6)
8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .… A. (y + 2)2 = 8(x – 4 )
B. (y + 2)2 = - 8(x + 2 ) C. (y - 2)2 = 8(x – 4 ) D. (y + 2)2 = - 8(x – 2 ) E. (y + 1)2 = 8(x + 4 )
9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah .... A. y = 32x + 64
C. 2x + y + 2 = 0 D. 2x - 8y – 5 = 0 E. 2x + y + 8 = 0
11. Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2 + 36y2= 720 adalah .… A. 2 5
B. 20 C. 6 D. 36 E. 12
12.Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116 adalah ....
A. (5, 2) dan (-3, 2) B. (-1, 6) dan (5, 3) C. (-3, -2) dan (1, 3) D. (5, 2) dan (-3, 5) E. (3, 2) dan (5, 2)
13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .…
E. 16x2 + 9y2 = 400
14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah ....
A. x - y + 5 = 0 B. x + y = -5 C. x + y + 5 = 0 D. -x - y = 5 E. x + y = 5
15.Persamaan garis singgung elips 1 9 3
2 2
y x
yang melalui titik (1,
-6) adalah .... A. 3x - 6 y = 9
B. 6x - 6y = 1
C. 3x - 6 y = 3
D. x - 6y = 1
E. 3x - 3 6 y = 11
17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0 adalah ....
A. 4x - 3y - 18 = 0 B. 3x - 4y 17 = 0 C. 4x - 3y - 6 = 0 D. 3x - 4y – 1 = 0 E. 4x - 3y - 1 = 0
18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah : A. (1, 2) dan (-1, 2)
B. (1, 0) dan (1, 4) C. (3, 2) dan (-1, 2) D. (1, -2) dan (1, -4) E. (1, 3) dan (-1, 3)
19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2) adalah ....
A. 4x - y + 21 = 0 B. 9x - 2y - 34 = 0 C. 4x - y - 34 = 0 D. 9x - 2y + 21 = 0 E. 4x - y - 28 = 0
20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4) adalah ....
C. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3 D. 19x - 11y = -126 dan x + y = 3 E. -19x + 11y = 126 dan -x + y = -3
21.
Persamaan parabola yang berpuncak di
dan fokusnya
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
22.
Koordinat
titik
fokus
parabola
dengan
persamaan
adalah . . .
A.
B.
B.
C.
D.
E.
24.
Koordinat
titik
pusat
elips
dengan
persamaan
adalah ...
A.
B.
C.
D.
E.
25.
Panjang
sumbu
minor
elips
dengan
persamaan
adalah . . . .
A.
B.
DAFTAR PUSTAKA
Bahri, Samsul dan Mustain. 2009.
Terampil Matematika untuk
SMK (Teknik) Kelas XII
. Bekasi : Galaxy Puspa Mega
Mauludin, Ujang. 2007.
Matematika untuk SMK kelas XII Program
Keahlian Teknik Industri
. Jakarta : Indah Jaya Adipratama
Noormandiri, B.K. 2004.
Matematika SMA untuk kelas XII program
Ilmu Alam.
Jakarta: Erlangga
Teguh, Mega. 2004.
Modul Irisan Kerucut
. Departemen