Irisan Kerucut XI MIA

(1)

Kelas XI MIA Peminatan

(2)

(3)

Glosarium

Istilah

Keterangan

Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu.

Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran.

Jari

jari

lingkaran

Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik

pada lingkaran dan titik pusat lingkaran.

Ellips

Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap

besarnya.

(4)

Irisan Kerucut

Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips, hiperbola

A. Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

 Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran  Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r) Luas lingkaran = π.r2

(r = jari-jari)

Ex. 1:

(5)

Persamaan lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r

Ex. 2:

(6)

Persamaan lingkaran berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r

Ex. 3 :

Tentukan persamaan lingkaran jika :

a. Berpusat di titik P(3, 2) dan berjari-jari 4

(7)

B.Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

 Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

 Kedua titik tetap itu disebut fokus (F)→ jarak antara F1 dan F2

adalah 2c

Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

 Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.  Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips

disebut sumbu mayor

 Pusat elips adalah titik tengah F1 dan F2

 Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal) Perhatikan unsur-unsur elips

(8)

6. Eksentrisitas

a

c

e



7. Persamaan direktris : d1 = x =

e a p x e a

p dan d2    b). Elips dengan titik pusat P(p, q)

1. Titik fokus : F1(p – c, q) dan F2(p + c, q)

2. Titik puncak : A1(p – a, q) dan A2(p + a, q)

3. Sumbu mayor : A1A2 dengan panjnag 2a

4. Sumbu minor : B1B2 dengan panjang 2b

5. Panjang latus rectum L1L2 =

6. TF1 + TF2 = 2a

7. Eksentrisitas a c e

8. Persamaan direktris : d1 = x =

e a p x e a

p dan d2   

Ex. 4 :

Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3,0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

(9)

(10)

Persamaan Elips

1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0, 0)

, dengan a2 > b2 atau 2 2 2 2 2 2

dengan

,

1

a

b

a

y

b

x







) 0 , ( 1 a A  ) , 0 ( 1 b B ) , 0 ( 2 b B  ) , (xy T ) 0 , ( 2 a A 2 2 ) (xc y 2

2 ) (xc y

2 2 )

(xc y (xc)2 y2

(11)

Ex. 5 :

Tentukan persamaan elips dengan titik puncak P(13, 0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(F1(-12, 0)

Ex. 6 :

Diketahui persamaan elips 1 16 25

2 2

 y x

. Tentukan : a. Titik titik puncaknya

b. Titik focusnya

(12)

Ex. 7 :

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0, 0), dengan salah satu focusnya ( 3,0) dan panjang sumbu mayor 4 satuan. Kemudian lukis grafiknya.

2. Persamaan Elips yang Berpusat di P(h, k) Persamaan :

atau

Ex. 8

Diketahui elips dengan persamaan 1 9 ) 4 ( 25 ) 1

( 2 2

  

 y

x

. Tentukan : a. Pusat elips

b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor c. Koordinat titik fokus

d. Koordinat titik puncak

(13)

Ex. 9

Diketahui elips dengan persamaan 4x29y248x72y1440. Tentukan :

a. Pusat elips

Ex. 10

Diketahui elips dengan persamaan 4x2y28x6y90. Tentukan :

a. Pusat elips

Ex. 11

Diketahui elips dengan persamaan 4x29y216x18y 11 0

Tentukan : a. Pusat elips

(14)

Persamaan Garis Singgung

a. Persamaan Garis singgung melalui titik (x₁,y₁) pada elips

Ex. 12

Tentukan PGS elips berikut :

a. 1 21 28 2 2  y x

pada titik A(4, 3)

b. 1 9 ) 2 ( 18 ) 1

( 2 2

  

 y

x

pada titik B(5, -3) atau b y y a x x 1 2 1 2

1 _ _

2 1 2

1 )( ) ( )( )

( b n y n y a m x m

x  

(15)

b. Persamaan Garis singgung pada Elips dengan Gradien Tertentu 1). Untuk Elips dengan Pusat O(0,0)

Garis : y = mx + n dan elips 1

2 2 2 2   b y a x

, sehingga PGS:

2 2 2 b m a mx

y  

atau elips 1

2 2 2 2   a y b x

, sehingga PGS : 2 2 2

a m b mx

y  

2). Untuk lips dengan Pusat P(h, k)

a. Untuk elips ( ) ( ) 1 2 2 2 2     b k y a h x

dengan gradien m

PGS : ykm(xh) a2m2b2

b. Untuk elips ( ) ( ) 1 2 2 2 2     a k y b h x

dengan gradien m

PGS : 2 2 2

)

(x h b m a

m k

y    

Ex. 13

(16)

Latihan 1

1. Tentukan kedudukan garis-garis berikut terhadap elips 1 9 25 2 2  y x

a. 4y – 3x – 9 = 0 b. 7y – 8y – 56 = 0 c. x – 5 = 0

2. Tentukan nilai k sehingga garis y + x + k = 0 menyinggung elips 1 5 20 2 2  y x .

3. Diketahui persamaan elips 16x225y232x100y2840. Tentukan kedudukan garis 3y – 4x – 2 = 0 terhadap elips tersebut. 4. Tentukan PGS pada elips di bawah ini yang melalui titik yang

ditentukan.

a. 10x236y2360 di titik A(10, 0)

b. 1 9 16 2 2  y x

di titik B(0, 9)

c. 1 16 ) 4 ( 9 ) 3

( 2 2

  

 y

x

di titik C(3, 4) 5. Tentukan PGS pada elips :

a. 1

8 9 2 2  y x

dengan gradien – 2

b. 1

9 8 2 2  y x

yang sejajar garis y = 3x – 7

c. 9x225y236x50y1640 dengan gradien 2 1

(17)

B. Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

 Titik itu disebut fokus/titik api (F)

 Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah

 Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola

 Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola

 Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum→ tegak lurus dengan sumbu simetri

Ex. 1:

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x =

(18)

Hiperbola

(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

 Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)

 Kedua titik tetap itu disebut fokus (F)→ jarak antara F1 dan F2

adalah 2c

(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

 Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F1 dan F2)

 Garis yang melalui titik-titik F1 dan F2 disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata

 Titik tengah F1 dan F2 disebut pusat hiperbola (P)

 Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner

(19)

 Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan

memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua

titik tersebut = Latus Rectum Ex. 2:

Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus

(√6, 0), (–√6, 0), dan asimtot y = ± ½√2 x

(20)

(21)

 Pada persamaan Lingkaran: koefisien x2 dan y2 sama

 Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x2 saja atau y2 saja)

 Pada persamaan Elips: koefisien x2 dan y2 bertanda sama (sama-sama positif atau (sama-sama-(sama-sama negatif)

 Pada persamaan Hiperbola: koefisien x2 dan y2 berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)

Ex. 3 :

 3x2+ 3y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran  3x2 + 3y+ 6x = 5 → Persamaan Parabola  3x2+ y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Elips  3x2– 3y2+ 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

Kedudukan Titik terhadap Irisan Kerucut Cara mencari kedudukan titik terhadap kerucut:

1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0 2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:

(22)

3x2 + y2 + 6x + y – 5 = 0

Ruas kiri: 3.52 + (–1)2 + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

Kedudukan Garis terhadap Irisan Kerucut

Cara mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut:

1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = … 2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan

kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat. 3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut

(Ingat! D = b2– 4.a.c)

→ Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut

→ Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik

→ Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik Ex. 5 :

Tentukan kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2 + 3y + 6x = 5

Cara:

Garis: x = 4 – 2y

3(4 – 2y)2 + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0 3(16 – 16y + 4y2) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 48 – 48y + 12y2 + 3y + 24 – 12y – 5 = 0 12y2– 57y + 67 = 0

D = b2– 4.a.c = (–57)2– 4.12.67 = 33

(23)

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1) → selalu gunakan sistem bagi adil:

(…)2_{menjadi (…).(…)} (…) menjadi ½ (…) + ½ (…)

(24)

Ex. 6 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (2, 1)

Cara:

(2, 1) terletak pada lingkaran (22 + 12 + 4.2 = 13) Persamaan bagi adil:

x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9

Masukkan (2, 1) sebagai x1 dan y1:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y –5 = 0 → persamaan garis singgung

Ex. 7 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x = 13 pada titik (4, 1)

Cara:

(4, 1) terletak di luar lingkaran (42 + 12 + 4.4 = 33 > 16) Persamaan bagi adil:

x1.x + y1.y + 2.x1 + 2.x = 9

Masukkan (4, 1) sebagai x1 dan y1:

4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9

6x + y –1 = 0 → persamaan garis polar y = 1 – 6x

Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran: x2 + (1 – 6x)2 + 4x – 13 = 0

(25)

(26)

(27)

SOAL LATIHAN

1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari – jari 3 adalah ....

A. x2 + y2 = 3

B. x2 + y2 = 6 C. x2 + y2 = 3 D. x2 + y2 = 9 E. x2 + y2 = 6

2. Pusat dan jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2– 10 – 2y = 0 berturut – turut adalah ....

A. (10, 2) dan 10 B. (-5, -1) dan 6 C. (5, -1) dan 6 D. (5, 1) dan 6 E. (-5, 1) dan 6

(28)

E. (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9

4. PGS lingkaran x2 + y2 = 9 di titik (1, 2) adalah .... A. x + 2y = 5

B. 2x + y = 5 C. x + 2y = - 5 D. 2x + y = - 5 E. x + 2y – 5 = 0

5. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 5x – 6y - 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah ....

A. 7x - 12y – 43 = 0 B. 6x - 7y + 34 = 0 C. 7x + 12y – 43 = 0 D. 12x + 7y – 24 = 0 E. -7x - 12y + 12 = 0

6. Koordinat titik focus parabola y2 = -12x adalah .... A. (-12, 0)

B. (0, -3) C. (-4, 0) D. (0, -4) E. (-3, 0)

(29)

A. (-1, 3) B. (2, -3) C. (1, -3) D. (-2, 6) E. (2, -6)

8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -2) , mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah .… A. (y + 2)2 = 8(x – 4 )

B. (y + 2)2 = - 8(x + 2 ) C. (y - 2)2 = 8(x – 4 ) D. (y + 2)2 = - 8(x – 2 ) E. (y + 1)2 = 8(x + 4 )

9. PGS parabola y2 = 32x yang melalui titik (2, 8) adalah .... A. y = 32x + 64

(30)

C. 2x + y + 2 = 0 D. 2x - 8y – 5 = 0 E. 2x + y + 8 = 0

11. Panjang sumbu mayor persamaan elips 20x2 + 36y2= 720 adalah .… A. 2 5

B. 20 C. 6 D. 36 E. 12

12.Koordinat titik focus dari persamaan elips 9x2 + 25y2 + 18x – 100y = 116 adalah ....

A. (5, 2) dan (-3, 2) B. (-1, 6) dan (5, 3) C. (-3, -2) dan (1, 3) D. (5, 2) dan (-3, 5) E. (3, 2) dan (5, 2)

13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah .…

(31)

E. 16x2 + 9y2 = 400

14. Persamaan garis singgung elips 5x2 + 20y2 =100 pada titik (4, 1) adalah ....

A. x - y + 5 = 0 B. x + y = -5 C. x + y + 5 = 0 D. -x - y = 5 E. x + y = 5

15.Persamaan garis singgung elips 1 9 3

2 2

  y x

yang melalui titik (1,

-6) adalah .... A. 3x - 6 y = 9

B. 6x - 6y = 1

C. 3x - 6 y = 3

D. x - 6y = 1

E. 3x - 3 6 y = 11

(32)

17. Salah satu asimtot dari hiperbola 9x2 + 16y2 - 54x – 64y - 127 = 0 adalah ....

A. 4x - 3y - 18 = 0 B. 3x - 4y 17 = 0 C. 4x - 3y - 6 = 0 D. 3x - 4y – 1 = 0 E. 4x - 3y - 1 = 0

18. Koordinat titik puncak hiperbola x2 - 4y2 - 2x + 24y - 39 = 0 adalah : A. (1, 2) dan (-1, 2)

B. (1, 0) dan (1, 4) C. (3, 2) dan (-1, 2) D. (1, -2) dan (1, -4) E. (1, 3) dan (-1, 3)

19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, 2) adalah ....

A. 4x - y + 21 = 0 B. 9x - 2y - 34 = 0 C. 4x - y - 34 = 0 D. 9x - 2y + 21 = 0 E. 4x - y - 28 = 0

20. Persamaan garis singgung hiperbola 4x2 - y2 + 12 = 0 di titik (1, 4) adalah ....

(33)

C. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3 D. 19x - 11y = -126 dan x + y = 3 E. -19x + 11y = 126 dan -x + y = -3

21.

Persamaan parabola yang berpuncak di

dan fokusnya

adalah . . . .

A.

B.

C.

D.

E.

22.

Koordinat

titik

fokus

parabola

dengan

persamaan

adalah . . .

A.

B.

(34)

B.

C.

D.

E.

24.

Koordinat

titik

pusat

elips

dengan

persamaan

adalah ...

A.

B.

C.

D.

E.

25.

Panjang

sumbu

minor

elips

dengan

persamaan

adalah . . . .

A.

B.

(35)

DAFTAR PUSTAKA

Bahri, Samsul dan Mustain. 2009.

Terampil Matematika untuk

SMK (Teknik) Kelas XII

. Bekasi : Galaxy Puspa Mega

Mauludin, Ujang. 2007.

Matematika untuk SMK kelas XII Program

Keahlian Teknik Industri

. Jakarta : Indah Jaya Adipratama

Noormandiri, B.K. 2004.

Matematika SMA untuk kelas XII program

Ilmu Alam.

Jakarta: Erlangga

Teguh, Mega. 2004.

Modul Irisan Kerucut

. Departemen

(36)