Definisi 1: ellips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

ELLIPS

Kurva- kurva bidang hasil dari interaksi kerucut dan bidang pada berbagai posisi ( tidak hanya melalui puncak kerucut ) disebut irisan kerucut . irisan kerucut memiliki sifat-sifat pokok yang menarik, yaitu bahwa seriap irisan kerucut ( kecuali lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik di bidang dengan rasio jarak dari titik tertentu ( focus kerucut ) dan garis tertentu adalah konstan .

Dalam setiap pembahasan potongan kerucut ini, berisi dua topik berikut ya . adapun penjelasan secara detailnya, diuraikan berikut ini.

Untuk membangun suatu ellips melalui formulasi aljabar, dapat kita gunakan definisidefinisi ellips berikut ini:

Definisi 1: ellips adalah himpunan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu (fokus ellips) besarnya tetap.

Misalkan ellips dengan fokus F1(c,0) dan F2(-c,0) dan jumlah jaraknya untuk sebarang titik P(x,y) di ellips adalah PF1 + PF2 = 2a, maka (Gambar 4.4)

PF1 + PF2 = 2a

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

(

)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... 2 4 4 2 4 4 2 2 y c x x a c a atau y c x a cx a c cx x y c x a a c cx x y c x y c x a a y c x y c x a y c x a y c x y c x + − = − + − = − + − + + − − = + + + − + + − − = + + + − − = + + = + − + + +

Jadi jika kedua ruas dikuadratkan dan disederhanakan, didapat

Dalam ΔF1PF2 berlaku hubungan (F1P + PF2) > F1F2 sehingga 2a > 2c atau a > c. Dengan demikian pada persamaan diatas disimpulkan bahwa penyebut > 0 mempunyai harga akar berikut

2 2

c

a −

2 2

c a

b= +

Oleh sebab itu persamaan ellips dapat dinyatakan secara umum

1 2 2

2 2

= +

b y a x

Dilihat dari persamaan pusat ellips, kita mendapatkan hal-hal berikut:

a. jika

(

x₁,y₁

)

suatu titik pada ellips maka

(

−x₁,y₁

)

juga suatu titik pada ellips . Berarti sumbu –y merupakan sumbu simetri dari ellips.

b. jika

(

x₁,y₁

)

suatu titik pasa eliips maka

(

x₁,−y₁

)

juga suatu titik pada ellips. Berarti sumbu –x merupakan sumbu simetri ellips.

c. jika

(

x₁,y₁

)

suatu titik pasa eliips maka

(

−x₁,−y₁

)

juga suatu titik pada ellips. Berarti titik Q merupakan titik pusat ellips.

d. Titik – titik potong sumbu-sumbu simetri dengan ellips disebut puncak-puncak Ellips.

Persamaan diatas adalah ellips berpusat di O(0,0) memotong sumbu-sumbu koordinat

di titik (±a,0) dan (0, ±b) dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendeknya 2b. Jika titik pusat ellips tidak di O(0,0), tetapi misalnya di O’(p,q) dengan sumbu-sumbu simetri ellips sejajar sumbu OX dan OY, maka koordinat baru untuk ellips dapat dinyatakan sebagai

x' = x – p dan y’ = y – q

dengan sumbu-sumbu koordinat barunya adalah O’X’ dan O’Y’. Adapun untuk persamaan ellips dalam sumbu-sumbu baru ini, dinyatakan oleh bentuk

1 2

2 '

2 2 '

= +

b y a x

Definisi 2: _{ellips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap}

suatu titik tertentu (fokus) dan suatu garis tertentu (direktrik) adalah konstan (tetap).

Ellips berpusat di O(0,0), sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendek 2b, dalam bentuk parametrik dinyakan oleh

x = a cos θ y = b sin θ

dengan θ suatu variabel parameter dan 0 ≤ θ ≤ 2π. Sedangkan penyajian ellips dalam koordinat polar ditentukan melalui perhitungan berikut.

Misalkan fokus ellips F berada di kutub dan garis direktriknya berjarak d dari kutub, maka menurut persamaan (4.21) berlaku bahwa perbandingan jarak sebarang

titik P(ρ,θ) di ellips ke fokus terhadap garis direktriknya adalah konstan, yaitu

(

)

[

ρ θ θ₀

]

ρ = − −

=

Cos d

e e PD PF

dengan nilai eksentrisitas e dalam interval 0 < e < 1. Misalkan suatu ellips

1 2 2

2 2

= +

b y a x

dan persamaan garis y = mx + k. Jika keduanya diiriskan didapat bentuk

(

m2a2 +b2

) (

x2 + 2a2mk

) (

x+ m2a2 +a2b2

)

=0

Jika gradien garis m diketahui, maka konstanta k garis singgung dapat dicari melalui kondisi diskriminan

0

2 2 2

2 _{+ − =}

=m a b k

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

2 2 2

b a m mx

y= ± +

Prosedur untuk mendapatkan persamaan garis singgung di titik R(xR,yR) pada ellips adalah identik dengan prosedur mencari persamaan garis singgung melalui titik R(xR,yR) pada lingkaran x2 + y2 = r2 yang hasilnya ditunjukkan pada persamaan. Oleh sebab itu persamaan garis singgung melalui titik R(xR,yR) pada ellips didapat

1 2

2 + =

b y y a

x x_{R R}

Selajutnya, kita akan mencari persamaan garis singgung pada ellips dengan titik

singgung T

(

x_1,y₁

)

. Misalkan persamaan ellips ₂ 1 2

2 2

= +

b y a x

dan P

(

x_1,y₁

)

suatu titik

pada ellips. Maka berlaku ₂ 1

2 2 2

2

2 + =

b y a x

.

Karena T pada rllips maka berlaku b2x₂2 +a2y₂2 =a2b2.

Dari persamaan diatas dan penjabaran maka diperoleh persamaan garis PT adalah

(

₁

)

2

1 2 1

1 x x

x x

y y y

y −

− − = −

Persamaan ini dapat kita peroleh juga dengan menggunakan aturan Joachimsthal atau aturan membagi adil.

Untuk ellips yang persamaannya

(

) (

₂

)

1

2

2 2

= − + −

b y a

x α β

Persamaan garis singgung dengan titik singgung

(

x_1,y₁

)

. Adalah

(

)(

) (

)(

)

1

2

2 =

− − + − −

b x y a

x

Sifat utama dapat mencari persamaan pada ellips sebagai berikut:

Garis singgung di suatu titik di ellips membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis

penghubung titik tersebut dengan titik api lainya.

Misalakan persamaan ellips ₂ 1

2 2 2

2

2 + =

b y a x

dan T

(

x_1,y₁

)

suatu titik pada ellips .

Persamaan garis singgung pada ellips di titik T adalah

1 2 1 2

1 + =

b y y

a x x

Berarti tg

1 2

1 2

y a

x b

− =

β

Dengan mudah kita mendapatkan tg

c x

y

− =

1 1

γ dan tg

c x

y

+ =

1 1 γ

Dengan penjabaran kita memperoleh tg

1 2

1 cy

b

=

α

Persamaan 1₂ + 1₂ =1 b

y y a

x x

disebut persamaan tali busur singgung dari titik T

(

x_1,y₁

)

Tampa memperoleh letak titik T

(

x1,y1

)

persamaan ₂ 1 1 2

1 + =

b y y

a x x

disebut persamaan

garis kutub dari T terhadap ellips ₂ 1

2 2 2

2

2 + =

b y a x

1. Jika T di luar ellips, maka garis kutub menjadi tali busur singgung 2. Jika T pada ellips, maka garis kutub menjadi daris singgung . 3. Jika T di dalam ellips, maka garis ellips tidak memotong ellips. Beberapa sifat garis kutub pada ellips:

a. Jika titik Q terletak pada garis kutub p dari titik P maka garis kutub q daei titik Q melalui P.

Definisi 2 .

Ellips adalah himpunan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadapa suatu titik dan suatu garis tertentu besarnya tetap . Nilai perbandingan itu lebih dari 1 dan dinamakan eksentrisitas numerik yang disimbolkan dengan e.

Persamaan garis-garis arah dari ellips ₂ 1

2 2 2

2

2 + =

b y a x

adalah

c a x

2

±

=

Titik-titik pada ellips bersifat bahwa perbandingan jaraknya terhadap suatu titik api

dari garis arah yang bersesuaian tetap besarnya yaitu = <1

s c e

Garis normal di T membagi dua sama besarnya gatis penghubung T dengan titik-titik api.

Tempat kedudukan titik-titik tengah talibusut-talibusur yang sejajar dengan garis

y=mx adalah suatu garis dengan persamaan x m a

b

y ₂

2

−

= .

Garis garis y=mx dan x m a

b

y ₂

2

−

= disebut garis-garis tengah sekawan, m dan m a

b 2

2

−

disebut arah-aeah sekawan.

Tempat kedudukan titik titik potong garis-garis singgung pada ellips yang saling tegak lurus adalah berupa lingkaran denag persamaan

tingkatan ini disebut lingkaran orthoptis daei monge. 2

2 2 2

b a y

x + = +

Tempat kedudukan titik-titik potong garis singgung pada ellips dengan garis-garis yang tegak lurus padanya yang ditarik dari titik api adalah berupa lingkaran dengan

persamaan x2 +y2 =a2 lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.

Dalil I dari Apollonius:

Jumlah kuadrat dari dua garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrar

sumbu-sumbunya.

Dalil II dari Apollonius:

Luas jajaran genjang yang mengilingi ellips pada garis tengah sekawan sama dengan

Contoh-contoh hitung ellips:

a). Tentukan persamaan ellips yang titik-titik apinya terletak pada sumbu x dan simetris terhadap titik O serta sumbu panjang 20, e = 3/5.

Penyelesaian:

Sumbu panjang = 2a = 20, berarti a = 10

Karena

5 3

e a c

= maka .10 6

5 3 5 3

= =

= a

c

Persamaan ellips = 1 64 100

64 36 100

2 2

2 2 2

= +

= − = − =

y x

c a b

b). carilah persamaan garis singgung pada ellips yang tegak lurus ke

garis

20 4 2 2 + =

y x

0 13 2

2x− y− =

Penyelesaian:

Gradien garis 2x−2y−13=0 adlah m1=1

Karena garis singgung tegak lurus pada garis 2x−2y−13=0,

Maka gradien garis singgung 1 5 20

2 2

= + y

x

Berarti a2 =20dan b2 =5

Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

5

± − = x y

c). Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 4 x2 + 6 y2 = 36 dan sejajar terhadap garis 12 x – 3 y + 8 = 0.

Penyelesaian:

Bentuk persamaan garis 12 x – 3 y + 8 = 0 identik dengan y = 4x -8 . Jadi gradien garis singgung dimaksud adalah m = 4. Sedang persamaan umum ellips didapatkan

1 6 9

2 2

= + y

x

Jadi menurut bentuk (4.26), persamaan garis singgung ellips yang dimaksud adalah

= + ±

= 2 2 2

b a m mx