A 1P = PA 2 B 1P = PB 2 F 1P = PF 2 A 1A 2 B 1B 2 F 1 dan F 2 A 1 dan A 2 B 1 dan B 2 B 2

(1)

E

l

_l

i

_i

p

_p

s

_s

A. Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada geometri dimensi 2 yang memiliki jumlah jarak yang tetap terhadap dua titik tertentu.

Selanjutnya dua titik tertentu tersebut dinamakan fokus.

Hubungan antara a, b, dan p

Lihat F1B1P

F1B12 = F1P2 + PB22 = p2_{+ b}2_....(i)

Karena titik B2 terletak pada elips, berlaku hubungan B1F1 + B1F2 = 2a, sedangankan B1F1 = B1F2 sehingga B1F1 =a .... (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh a2_{= p}2_{+ b}2

Menentukan panjang Latus Rectum (LR)

Lihat DF1F1

DF22 = DF12 + F1F22

Karena titik D terletak pada elips, berlaku hubungan

DF1 + DF2 = 2a, jika kedua ruas dikuadratkan : DF2 = 2a — DF1 DF12 + F1F22 = 4a2 — 4a.DF1 + DF12 4p2_{= 4a}2_{— 4a.DF} 1 a.DF1 = a2 — p2 DF1 = a b2 maka panjang Latus Rectum (LR) = DE = 2.DF1 =

a b 2 2

Latus Rectum (LR) =

a b 2 2

P : titik pusat elips A1P = PA2 = a

B1P = PB2 = b F1P = PF2 = p

A1A2 : sumbu mayor/sumbu panjang = 2a B1B2 : sumbu minor/sumbu pendek = 2b F1 dan F2 : titik fokus

A1 dan A2 : titik puncak atau titik ujung sumbu mayor B1 dan B2 : titik ujung sumbu minor

DE : Latus Rectum

Untuk sembarang titik Q pada elips berlaku hubungan : QF1 + QF2 = 2a F1 B2 P A1 A2 B2 B1 F1 P F2 F2 D F1 A1 A2 B2 B1 F1 F2 Q(x1, y1) P D E

(2)

B. Persamaan Elips

1. Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu x

Dari gambar di samping : QF1 = F1R2QR2

=



px₁



2y₁2 QF2 = F2R2QR2

=



x₁p



2y₁2

Karena titik Q(x1, y1) terletak pada elips, maka berlaku hubungan QF1 + QF2 = 2a





2 1 2 1 y x p  +



x₁p



2y₁2 = 2a





2 1 2 1 p y x   = 2a —



px₁



2y₁2 kedua ruas dikuadratkan

x12 — 2px1 + p2 + y12 = 4a2 — 4a



px1



2y12 + p2 + 2px1 + x12 + y12 —4px1 = 4a2 — 4a



px₁



2y₁2

a2_{+ px}

1 = a



px1



2y12

kedua ruas dikuadratkan

a4_{+ 2a}2_px 1 + p2x12 = a2p2 + 2a2px1 + a2x12 + a2y12 a4_{— a}2_p2_{= a}2_x 12 — p2x12 + a2y12 a2_(a2_{— p}2_{) = (a}2_{— p}2_)x 12 + a2y12 a2_b2_{= b}2_x 12 + a2y12 b2_x 12 + a2y12 = a2b2

kedua ruas dibagi a2_b2 2 2 1 2 2 1 b y a x  = 1

x1 dan y1 dijalankan menjadi 2 2 2 2 b y a x  = 1 dengan analogi,

2. Jika pusat elips O(0, 0) dan sumbu mayor berimpit sumbu y

2 2 2 2 a y b x _ _{= 1}

3. Jika pusat elips O(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu x









2 2 2 2 b y a x     = 1 A1 A2 B2 B1 F1 F2 Q(x1, y1) O(0, 0) x y R

(3)

4. Jika pusat elips O(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu y









2 2 2 2 a y b x     = 1

Hubungan , , a, dan b pada elips yang memiliki pusat P(, )

a. Jika sumbu mayor sejajar sumbu x









2 2 2 2 b y a x     = 1 b2_(x2_{— 2x + }2_{) + a}2_(y2_{— 2y + }2_{) = a}2_b2 b2_x2_{+ a}2_y2_{— 2b}2_{x — 2a}2_{y + b}2_2_{+ a}2_2_{— a}2_b2_{= 0}

dinyatakan dalam bentuk Ax2_{+ By}2_{+ Cx + Dy + E = 0} A = b2

B = a2 C = —2b2_ D = —2a2_

E = b2_2_{+ a}2_2_{— a}2_b2 b. Jika sumbu mayor sejajar sumbu y









2 2 2 2 a y b x _  _{= 1} a2_(x2_{— 2x + }2_{) + b}2_(y2_{— 2y + }2_{) = a}2_b2 a2_x2_{+ b}2_y2_{— 2a}2_{x — 2b}2_{y + a}2_2_{+ b}2_2_{— a}2_b2_{= 0}

dinyatakan dalam bentuk Ax2_{+ By}2_{+ Cx + Dy + E = 0} A = a2 B = b2 C = —2a2_ D = —2b2_ E = a2_2_{+ b}2_2_{— a}2_b2

Apollonius

(262 SM – 190 SM)

Apollonius of Perga was known as 'The Great Geometer'.

Little is known of his life but his works have had a very great influence on the development of mathematics, in particular his famous book Conics introduced terms which are familiar to us today such as parabola, ellipse and hyperbola.

(4)

Latihan #1

1. Tentukan persamaan elip jika diketahui :

a. koordinat titik puncak (10, 0) dan (10, 0); koordinat fokus (8, 0) dan (8, 0) b. koordinat titik puncak (17, 0) dan (17, 0); koordinat fokus (15, 0) dan (15, 0) c. koordinat titik puncak (8, 0) dan (8, 0); koordinat fokus (3, 0) dan (3, 0) d. koordinat titik puncak (0, 13) dan (0, 13); koordinat fokus (0, 5) dan (0, 5) e. koordinat titik puncak (0, 25) dan (0, 25); koordinat fokus (0, 7) dan (0, 7) f. koordinat titik puncak (0, 9) dan (0, 9); koordinat fokus (0, 4) dan (0, 4)

2. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu

mayor, dan panjang sumbu minor dari persamaan elip berikut ini :

a. 1 36 y 100 x2 _ 2 _ b. 1 144 y 169 x2 2   c. 1 49 y 81 x2 _ 2 _ d. 1 9 y 16 x2 _ 2 _ e. 1 289 y 64 x2 _ 2 _ f. 1 256 y 400 x2 2   g. 1 121 y 64 x2 2   h. 1 81 y 25 x2 _ 2 _

a. 25x2_{+ 169y}2_{= 4225} b. 81x2_{+ 1681y}2_{= 136161} c. 4x2_{+ 9y}2_{= 36} d. 8x2_{+ 12y}2_{= 96} e. 9x2_{+ 15y}2_{= 135} f. 25x2_{+ 9y}2_{= 225} g. 676x2_{+ 576y}2_{= 389376} h. 64x2_{+ 49y}2_{= 3136} i. 15x2_{+ 10y}2_{= 150} j. 13x2_{+ 5y}2_{= 65}

4. Tentukan persamaan elip jika diketahui titik pusat O(0, 0) dan :

a. panjang sumbu mayor = 12 berimpit sumbu x; panjang sumbu minor = 8 b. panjang sumbu mayor = 16 berimpit sumbu y; panjang sumbu minor = 10 c. panjang sumbu mayor = 10; titik fokus (3, 0) dan (3, 0)

d. panjang sumbu mayor = 20; titik fokus (0, 8) dan (0, 8)

e. salah satu titik puncak (9, 0); salah satu titik ujung sumbu minor (0, 4) f. salah satu titik puncak (12, 0); salah satu titik ujung sumbu minor (0, 3) g. salah satu titik puncak (0, 7); salah satu titik ujung sumbu minor (2, 0) h. salah satu titik puncak (0, 6); salah satu titik ujung sumbu minor (5, 0) i. salah satu titik puncak (15, 0); salah satu titik fokus (10, 0)

j. salah satu titik puncak (6, 0); salah satu titik fokus (4, 0) k. salah satu titik puncak (0, 16); salah satu titik fokus (0, 12) l. salah satu titik puncak (0, 12); salah satu titik fokus (0, 8)

(5)

Latihan #2

1. Tentukan persamaan elip jika diketahui :

a. koordinat titik puncak (4, 2) dan (6, 2); koordinat titik fokus (3, 2) dan (5, 2) b. koordinat titik puncak (11, 5) dan (15, 5); koordinat titik fokus (10, 5) dan (14, 5) c. koordinat titik puncak (4, 1) dan (16, 1); koordinat titik fokus (0, 1) dan (12, 1) d. koordinat titik puncak (4, 4) dan (22, 4); koordinat titik fokus (4, 4) dan (14, 4) e. koordinat titik puncak (3, 4) dan (3, 12); koordinat titik fokus (3, 2) dan (3, 10) f. koordinat titik puncak (1, 6) dan (1, 18); koordinat titik fokus (1, 1) dan (1, 11) g. koordinat titik puncak (7, 15) dan (7, 9); koordinat titik fokus (7, 12) dan (7, 6) h. koordinat titik puncak (5, 20) dan (5, 10); koordinat titik fokus (5, 13) dan (5, 3) 2. Tentukanlah : koordinat titik puncak, titik fokus, panjang lactus rectum, panjang sumbu

a.









1 25 7 y 169 6 x 2 2     b.









1 49 4 y 625 9 x 2 _  2 _ c.









1 400 7 y 841 2 x 2 2     d.









1 576 5 y 676 1 x 2 _  2 _ e.









1 144 3 y 1369 4 x 2 _  2 _ f.









1 25 2 y 9 9 x 2 2     g.









1 400 12 y 256 3 x 2 _  2 _ h.









1 1156 6 y 900 10 x 2 2     i.









1 3721 4 y 121 8 x 2 _  2 _ j.









1 225 7 y 100 1 x 2 _  2 _

a. 16x2_{+ 25y}2_{+ 64x  250y + 289 = 0} b. 144x2_{+ 169y}2_{+ 2016x  1014y  15759 = 0} c. 576x2_{+ 625y}2_{+ 2304x + 6250y  342071 = 0} d. 100x2_{+ 676y}2_{+ 1600x + 1352y  60524 = 0} e. 225x2_{+ 289y}2_{ 3150x  54000 = 0} f. 144x2_{+ 225y}2_{+ 2250y  26775 = 0} g. 400x2_{+ 144y}2_{+ 4800x  864y  41904 = 0} h. 625x2_{+ 576y}2_{+ 1250x  9216y  322511 = 0} i. 676x2_{+ 576y}2_{+ 5408x + 3456y  373376 = 0} j. 1156x2_{+ 256y}2_{+ 4624x + 3584y  278768 = 0} k. 100x2_{+ 36y}2_{+ 600x  2700 = 0} l. 900x2_{+ 576y}2_{ 2304y  516096 = 0} 4. Tentukan persamaan elip jika diketahui :

a. pusat (3, 2); panjang sumbu mayor = 10 sejajar sumbu x; panjang sumbu minor = 6 b. pusat (4, 1); panjang sumbu mayor = 14 sejajar sumbu y; panjang sumbu minor = 12 c. pusat (5, 7); panjang sumbu mayor = 20; titik fokus (1, 7) dan (11, 7)

d. pusat (6, 8); panjang sumbu mayor = 26; titik fokus (6, 13) dan (6, 3) e. salah satu titik puncak (7, 4); salah satu titik ujung sumbu minor (1, 6) f. salah satu titik puncak (3, 2); salah satu titik ujung sumbu minor (1, 4) g. titik puncak (6, 7) dan (14, 7); salah satu titik fokus (10, 7)

(6)

C. Persamaan garis singgung pada elips, jika diketahui titik singgungnya Q(x

1

, y

1

)

 Persamaan garis melalui titik Q(x1, y1) y — y1 = m(x — x1) y = mx — mx1+ y1  Persamaan elips 2 2 2 2 b y a x  = 1 b2_x2_{+ a}2_y2_{— a}2_b2_{= 0} b2_x2_{+ a}2_{(mx — mx} 1 + y1)2 — a2b2 = 0 b2_x2_{+ a}2_(m2_x2_{+ m}2_x 12 + y12 — 2m2x1x + 2my1x — 2mx1y1) — a2b2 = 0 b2_x2_{+ a}2_m2_x2_{+ a}2_m2_x 12 + a2y12 — 2a2m2x1x + 2a2my1x — 2 a2mx1y1 — a2b2 = 0 (b2_{+ a}2_m2_)x2_{+ 2a}2_my 1x — 2a2m2x1x + a2m2x12 + a2y12 — 2 a2mx1y1 — a2b2 = 0 (b2_{+ a}2_m2_)x2_{+ (2a}2_my 1 — 2a2m2x1)x + a2m2x12 + a2y12 — 2 a2mx1y1 — a2b2 = 0

Syarat menyinggung jika diskriminan (D) = 0

(2a2_my 1 — 2a2m2x1)2 — 4(b2 + a2m2)(a2m2x12 + a2y12 — 2a2my1x1 — a2b2) = 0 4a4_m2_y 12 — 8a4m3x1y1 + 4a4m4x12 — 4a2b2m2x12 — 4a2b2y12 + 8a2b2mx1y1 + 4a2b4 — 4a4m4x12 — 4a4_m2_y 12 + 8a4m3y1x1 + 4a4b2m2 = 0 —m2_x 12 — y12 + 2mx1y1 + b2 + a2m2 = 0 a2_m2 _{— x}2_m2 _{+ 2x} 1y1m — y12 + b2 = 0 (a2 _—x 12)m2 + 2x1y1m — y12 + b2 = 0 m1, 2 =







₂







1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 x a 2 y b x a 4 y x 2 y x 2       =                         2 2 1 2 2 1 2 2 1 a x 2 b y 2 a x 2 2 1 2 1 1 1 1 a 2 1 b . 1 a 4 y x 4 y x 2 = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 b y 2 a x 2 b y 2 2 1 2 1 1 1 a b . a 4 y x 4 y x    = 2 1 b y 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 . a y x 4 y x 4 x    = 1 2 1 2 y . a x . b 

disubstitusikan terhadap persamaan y — y1= m(x — x1) y — y1 = m(x — x1) y — y1 =



1



1 2 1 2 x x y . a x . b  





2_y _y _y a  = b2x



xx



Q(x1, y1) O x y l

(7)

a2_y

1y — a2y12 = —b2x1x + b2x12 b2_x

1x + a2y1y = b2x12 + a2y12 ;

karena titik Q(x1, y1) terletak pada elips, maka b2_x

1x + a2y1y = a2b2

kedua ruas dikuadratkan menjadi

2 1 2 1 b y y a x x _ _{= 1} dengan analogi,

2 1 2 1 a y y b x x _ _{= 1}

3. Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu x













2 1 2 1 b y y a x x        = 1

4. Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor sejajar sumbu y













2 1 2 1 a y y b x x        = 1

(8)

Latihan #3

1. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui :

a. 1 30 y 54 x2 _ 2 _ ; Q(3, 5) b. 1 16 y 48 x2 2   ; Q(6, 2) c. 1 8 y 128 x2 2   ; Q(8, 2) d. 1 12 y 64 x2 _ 2 _ _{; Q(4, 3)} e. 1 24 y 27 x2 2   ; Q(3, 4) f. 1 72 y 81 x2 _ 2 _ ; Q(3, 8) g. 1 76 y 152 x2 _ 2 _ ; Q(12, 2) h. 1 63 y 72 x2 2   ; Q(4, 7) i. 1 40 y 490 x2 2   ; Q(7, 6) j. 1 54 y 243 x2 _ 2 _ _{; Q(2, 6)} k. 1 36 y 108 x2 2   ; Q(9, 6) l. 1 30 y 150 x2 _ 2 _ ; Q(5, 5)

2. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui :

a. 1 108 y 36 x2 2   ; Q(3, 9) b. 1 27 y 6 x2 _ 2 _ ; Q(2, 3) c. 1 54 y 30 x2 2   ; Q(5, 3) d. 1 24 y 12 x2 _ 2 _ ; Q(2, 4) e. 1 90 y 15 x2 2   ; Q(3, 6) f. 1 128 y 32 x2 2   ; Q(4, 8) g. 1 180 y 125 x2 2   ; Q(5, 12) h. 1 98 y 8 x2 _ 2 _ ; Q(2, 7) i. 1 81 y 72 x2 2   ; Q(8, 3) j. 1 125 y 20 x2 2   ; Q(4, 5) k. 1 256 y 12 x2 _ 2 _ ; Q(3, 8) l. 1 48 y 16 x2 2   ; Q(2, 6) 3. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui :

a. 12x2_{+ 400y}2_{ 48x  4752 = 0; Q(8, 3)} b. 32x2_{+ 50y}2_{ 400y  800 = 0; Q(5, 0)}

c. 27x2_{+ 54y}2_{ 216x  432y  162 = 0; Q(10, 1)} d. 5x2_{+ 125y}2_{+ 30x  1000y + 1420 = 0; Q(8, 2)} e. 32x2_{+ 128y}2_{ 192x  512y  3296 = 0; Q(11, 2)}

4. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik singgung Q, jika diketahui : a. 81x2_{+ 72y}2_{ 162x  5751 = 0; Q(9, 3)}

b. 243x2_{+ 54y}2_{ 540y  11772 = 0; Q(6, 14)} c. 200x2_{+ 8y}2_{+ 800x  16y  792 = 0; Q(4, 9)} d. 108x2_{+ 36y}2_{ 648x  144y  2772 = 0; Q(6, 7)} e. 48x2_{+ 36y}2_{ 384x + 72y  924 = 0; Q(1, 5)}

(9)

D. Persamaan garis singgung pada elips, jika diketahui gradien garis singgung

 Persamaan garis l dengan gradien m y = mx + k  Persamaan elips b2_x2_{+ a}2_y2_{= a}2_b2 b2_x2_{+ a}2_{(mx + k)}2_{= a}2_b2 b2_x2_{+ a}2_m2_x2_{+ 2a}2_{kmx + a}2_k2_{= a}2_b2 (b2_{+ a}2_m2_)x2_{+ 2a}2_{kmx + a}2_k2_{— a}2_b2_{= 0}

Syarat menyinggung jika Diskriminan (D) = 0

(2a2_km)2_{— 4(b}2_{+ a}2_m2_)(a2_k2_{— a}2_b2_{) = 0} 4a4_m2_k2_{— 4a}2_b2_k2_{+ 4a}2_b4_{— 4a}4_m2_k2_{+ 4a}4_m2_k2_{= 0} k2_{— b}2_{— a}2_m2_{= 0}

k2_{= b}2_{+ a}2_m2 k1,2 =  b2a2m2

disubsitusikan terhadap garis y = mx + k

y = mx  b2a2m2

dengan analogi,

y = mx  a2b2m2

3. Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor berimpit sumbu x

y —  = m(x — ) b2a2m2

4. Jika pusat elips P(, ) dan sumbu mayor berimpit sumbu y

y —  = m(x — ) a2b2m2

O

x y

(10)

Latihan #4

1.

Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui :

a.

1 9 y 16 x2 2  

; m = 4

b.

1 20 y 25 x2 2  

; m =



5 c.

1 27 y 36 x2 2  

; m = 7

d.

1 18 y 45 x2 2  

; m =

₅3

e.

1 9 y 16 x2 2  

; m =

₄1

f.

1 12 y 4 x2 2  

; m = 2

g.

1 15 y 7 x2 2  

; m =



3 h.

1 49 y 20 x2 2  

; m = 4

i.

1 81 y 36 x2 2  

; m =

₇2

j.

1 64 y 40 x2 2  

; m =

₅2

2. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui :

a. 16x

2

_{+ 25y}

2

_

_32x

_

_{385 = 0; m = 5}

b. 4x

2

+ 49y

2



392y + 588 = 0; m = 3

c. 36x

2

+ 64y

2

+ 144x



896y + 976 = 0; m =



2 d. 9x

2

_{+ 36y}

2

_

_{108x + 72y + 36 = 0; m =}

_

₃

e. x

2

+ 100y

2



14x



600y + 849 = 0; m =

₂1

f. 81x

2

+ 144y

2

+ 648x + 1440y



6768 = 0; m =

₇3

g. 49x

2

+ 81y

2



588x + 486y



1476 = 0; m = 6

h. 25x

2

+ 64y

2

+ 250x + 512y + 49 = 0; m =



8 i. 100x

2

+ 121y

2



800x + 968y



8564 = 0; m =

2₃2

j. 9x

2

+ 16y

2



90x



288y + 1377 = 0; m =

1₆5

3. Tentukan persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m jika diketahui :