5.1. DEFINISI
Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya. F (titiknya tetap)
merupakan berkas garis yang disebut direkstriks ,
a
c
disebut eksentrisitas (e).
e =
1
a
c
AB = 2a F1 + F2 P = 2c
AB = sumbu panjang (mayor) CD = sumbu panjang (minor)
5.2. PERSAMAAN ELLIPS
Misalkan : b CD a AB c F F 2 2 2 2 1 F1P +F2P = 2a F1P 2 2 ) 0 ( )) ( ( x c y 2 2 )) (xc y F1P + F2P = 2a 2 2 )) (xc y + (xc))2 y2 2a
2 2 2 2 2 )) (xc y a xc Y (x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a 2 2 )) (xc y + (x - c2 + y2) x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a 2 2 )) (xc y + x2 – 2cx + c2 + y2 4cx = 4a2 (x c))2 y2 2 2 2 )) (x c y a a cx
2 2
2 4 2 2 2 0 2a cx a a x y x c F1(-c,0) F2(c,0)yang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 – c2 atau a2 = b2 +c2 dan p (x,y) terletak ada elips
2 2 2
2 4 2 2 22
2
a
cx
a
a
x
cx
c
y
x
c
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22
2
a
cx
a
a
x
a
cx
a
c
a
y
x
c
0
2 2 4 2 2 2 2 2 2
a
x
a
y
a
a
c
x
c
2 2 4 2 2 2 2 2 2c
a
a
y
a
x
c
x
a
2 2
2 2 2 2
2 2
c
a
a
y
a
x
x
a
2 2 2 2 2 2b
a
y
a
x
b
1
2 2 2 2
b
y
a
x
Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0)5.3.
PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (α, β)
2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat ellips adalah (
,
) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah (
,
)
maka persamaan ellips tersebut adalah
a
,
A
a
,
B
C
x,
b
F1
b
(
a
.
)
F2
c
(a
.
Direktris dan eksentrisitas1
)
(
)
(
2 2 2 2
b
y
a
x
F1
,
F2c
a
x
g
2
c
a
x
f
2
2 2:
a
b
p2 – q2 = (x + c)2 +y2 – (x – c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2 – (x2 – 2cx +c2 + y2) = x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 p2 – q2 = 4cx (p + q) (p – q) = 4cx 2a (p - q) = 4cx p – q =
a
cx
2
4
p – q =a
cx
2
a q p 2 2p = 2a +a
cx
2
p =a
a
cx
p =(
)
2c
a
x
a
c
q =c
a
x
a
c
2(
) q =
c
a
x
a
c
2 h
x = -c
a
2 g
x =c
a
2 persamaan garis g1
x = -c
a
2 g2
x =c
a
2 Ingat : p + q = 2aArtinya :
p
x
c
a
p
2:
jarak dari titik P ke garisc
a
x
f
2
p
x
c
a
q
2:
jarak dari titik P kegaris gc
a
x
g
2
Contoh 17 :Jika eksentrisitas (e) suatu ellips
c
a
13
12
jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips.
Penyelesaian : e =
13
12
2c = 36 c = 18 e =13
12
13
12
a
c
13
12
18
a
12a = 2435
,
19
12
243
a
2 2 2c
a
b
2 218
12
243
=380
,
25
324
= 56,25 b = 7,5 persamaan ellips 2 2 2 2 2 2 2 25
,
7
5
,
19
y
x
b
y
a
x
5.4. Hubungan Garis dengan Ellips..
Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga kemungkinan :
1. Tidak memotong : D
0
2. Memotong : D
0
3. Menyinggung : D = 0
5.5. Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada ellips (0,0)
Misalkan : persamaan garis
y
mx
n
... (i)Persamaan ellips
:
21
2 2 2
b
y
a
x
... (ii)Persamaan (ii) dirubah menjadi
b
2x
2
a
2y
2
a
2b
2Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii)
2 2 2 2 2 2b
a
n
mx
a
x
b
2 2 2 2 2
2 2 22
mnx
n
a
b
x
m
a
x
b
0
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a
m
x
a
mnx
a
n
a
b
x
b
b
2x
2
a
2m
2
x
2
2
a
2mnx
a
2n
2
a
2b
2
0
D = 0
0
4
2
ac
b
2
a
2mn
2
4
b
2
a
2m
2
a
2n
2
a
2b
2
0
0
4
4
4
4
4
a
4m
2n
2
a
4m
2n
2
a
4b
2m
2
a
4b
2n
2
a
2b
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 44
:
0
4
4
4
a
b
m
a
b
n
a
b
a
b
0
2 2 2 2
n
b
m
a
2 2 2 2b
m
a
n
2 2 2 2b
m
a
n
n
mx
y
2 2 2b
m
a
mx
y
Persamaan garis singung ellips dengan gradien mAnalog : untuk ellips
2
1
2 2 2 2
b
y
a
x
Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat
,
.
2 2 2b
m
a
x
m
y
Contoh 18 :Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
x
2 y
2
2
8
yang tegak lurus garisx
y
2
9
Penyelsaian :
8
:
8
2
2 2
y
x
1
4
8
2 2
y
x
Berarti :a
2
8
4
2
b
9
2
y
x
b
a
m
12
1
2
1
.
1
S Sm
m
m
2 2 2b
m
a
mx
y
4
4
.
8
2
x
6
2
x
Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips
P
x
1, y
1
pada 21
2 2 2
b
y
a
x
1
2 2 2 2
b
y
a
x
... (1)
x
2, y
2
pada 21
2 2 2
b
y
a
x
c
b
y
a
x
1
2 2 2 2 2 2
... (2) (2) – (1)
2
0
2 1 2 2 2 2 1 2 2
b
y
y
a
x
x
2 2 1 2 2a
y
y
=
2 1
2 2 1
b
x
x
x
x
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2y
y
x
x
b
b
x
x
y
y
Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)
1
1 2 1 2 1x
x
x
x
y
y
y
y
Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)
Sb. X
Q(x
2,y
2)
P(x
1,y
1)
2
1 2 1 2 1x
x
x
x
y
y
y
y
Q mendekati P (berimpit)
2
1 2 1 2 2 2 1x
x
y
y
x
x
a
b
y
y
1
:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2
ay
x
b
x
x
b
y
y
a
x
b
x
x
b
y
a
y
y
a
x
x
x
b
y
y
y
a
x
x
x
b
y
y
y
a
x
x
x
b
y
y
y
a
x
x
x
b
y
y
y
y
a
2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2:
2
2
2
2
b
a
b
a
y
y
a
x
x
b
y
b
x
b
y
y
a
x
x
b
x
b
y
a
x
x
b
y
y
a
1
2 1 2 1
b
y
y
a
x
x
persamaan garis singgung di titik R
x
1, y
1
pada ellips 21
2 2 2
b
y
a
x
Contoh 19 :Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
2
x
2 y
4
2
16
di
6
,
1
Penyelesaian : 16 : 2 2
16
4
2
x
y
1
4
8
2 2
y
x
4
8
2 2
b
a
5.6. Titik dan Garis Polar
Jika sebuah titik P
x
1, y
1
diluar suatu ellips ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR) maka garis penghubung antara kedua titik singungnya (garis PQ) disebut garis polar. Titik P disebut titik polar.P(x1,y1) R(x3,y3) Q(x2,y2) A F1 F2 Garis polar Sb. Y Sb. X
1
2 1 2 1
b
y
y
a
x
x
1
4
8
6
y
x
Persamaan garis singgung di titik Q 22
1
2 2
b
y
y
a
x
x
... (1)Persamaan garis singgung di titik R 32
1
2 3
b
y
y
a
x
x
... (2)Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:
1
2 2 1 2 2 1
b
y
y
a
x
x
... (3)Karena titik P
x
1, y
1
terletak pada persamaan (2) maka :1
2 3 1 2 3 1
b
y
y
a
x
x
... (4)Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak
1
2 1 2 1
b
y
y
a
x
x
Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik P
x
1, y
1
terhadap ellips1
2 2 2 2
b
y
a
x
adalah : 121
2 1
b
y
y
a
x
x
5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips
F2 F1 O k1 k2 k3 k4 k5 k6 Sb. Y Sb. X T1
Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar. Misalkan : garis k
mx
n
... (1) Persamaan ellips 21
2 2 2
b
y
a
x
2 2 2 2 2 2b
a
y
a
x
b
... (2) Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) :
2 2 2 2 2 2b
a
n
mx
a
x
b
2
0
0
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b
a
n
a
nx
m
x
m
a
b
b
a
n
a
nx
m
x
m
a
x
b
b
a
n
mnx
x
m
a
x
b
T
2
,
2
2 1 2 1 1y
y
x
x
a
b
x
x
2
2 1
2 2 2
2 2 12
2
2
1
m
a
b
mn
a
x
x
2 2 2 2m
a
b
mn
a
x
T
... (3)n
mx
y
T
T
n
m
a
b
n
m
a
y
T
2 2 2 2 2 ... (4) Melihat kembali 2 2 2 2m
a
b
mn
a
x
T
maka :
a
2mn
x
T
b
2
a
2m
2
mn
a
m
a
b
x
n
T 2 2 2 2
... (5)
T T T T T Tx
m
a
m
a
x
m
a
b
mx
y
m
a
m
a
b
x
m
a
b
mn
a
m
y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T T T Tx
m
a
b
mx
x
m
a
b
mx
2 2 2 2
Secara umum, karena T berjalan :
x
m
a
b
y
2 2
Catatan :1. Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai berikut :
- Jika gradien garis 1 = m’ ; dan garien garis k
m
m
m
m
k
1 2 2 2 2a
b
m
m
a
b
2. Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan sebaliknya.
3. Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah sekawan .
Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P
x
1, y
1
, terletak pada ellips maka :b
2x
12
a
2y
12
a
2b
2 ... (5) koefisien arah QS 1 1x
y
sedangkan koefisien arah PR 1 1x
y
sedangkan koefisien arah QS 2 1 1 2y
x
a
b
persamaan garis PQ menjadix
y
a
x
b
y
1 2 1 2
Persamaan garis itu menghasilkan :
a
2y
12
b
2x
12
x
2
a
4y
12Dimana melalui titik P :
a
2b
2x
2
a
4y
12 atau 2 2 1 2 2b
y
a
x
Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda
dan
Diperoleh x di titik Sb
y
a
y
S 1
Sehingga didapatb
x
a
y
S 1
Titiknya
x
1, y
1
Untukb
y
a
y
Q 1
b
x
a
y
Q 1
Sehingga didapat titik Q dan S
Contoh 20 :
1. Tentukan persaman, tali busur suatu ellips
1
24
32
2 2
y
x
sehingga titik (2,3) merupakan titik tengah tali busur itu.
Penyelesaian : Diketahui :
a
2
32
24
2
b
T
2
,
3
x
T
2
,
y
T
3
Misalkan tali busur y = mx + n
