materi ellips geometri analitik

Fitria Zana Kumala, S.Si., M.Sc.

GEOMETRI ANALITIK

PERTEMUAN 9

MATERI

ELLIPS

 Persamaan Ellips

PERSAMAAN ELLIPS

 Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga jumlah jaraknya dari pasangan dua titik tertentu yang berbeda adalah konstan tertentu.

 Dua titik tertentu di atas disebut titik fokus (foci).

 Misalkan kedua fokus berada pada sumbu x dan sumbu y.

 Sumbu y menjadi bisektor tegak lurus segmen yang menghubungkan kedua fokus.

 Misalkan jarak antara kedua fokus adalah , sehingga titik fokusnya adalah dan .

•

�(� , �)

� (� ,0)

�^′(−� ,0)

• Jika adalah sebarang titik yang berada pada ellips, maka menurut definisi akan berlaku

(1)

• Apabila konstanta tertentu tersebut adalah maka dengan menggunakan rumus jarak untuk menyatakan dan adalah:

(2)

•

�(�,�)

�(�,0)

�^′(−�,0)

 Segitiga pada gambar dengan titik sudut dan salah satunya mempunyai panjang sisi dan jumlah dua sisi yang lain adalah . Jadi

Karena adalah bilangan positif, maka dapat diganti dengan bilangan positif lain, katakanlah (3)

Jika persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2) maka akan diperoleh persamaan elips bentuk baku:

Jika ellips berpusat di maka persamaan ellipsnya adalah

•

� ( � , � )

� ( � , 0 )

�

^′

( − � , 0 )

 Sumbu utama ellips adalah garis yang melalui kedua fokus. Pada gambar, sumbu x menjadi sumbu utama ellips.

 Puncak ellips adalah titik potong ellips dengan sumbu utama. Pada gambar, titik dan adalah puncak ellips.

 Pusat ellips adalah titik pada sumbu utama yang terletak di tengah-tengah kedua puncak ellips. Pada gambar, titik adalah pusat ellips.

 Sumbu mayor (sumbu panjang) ellips adalah segmen garis yang menghubungkan kedua puncak dengan panjang satuan.

 Sumbu minor (sumbu pendek) ellips adalah segmen garis yang menghubungkan titik potong ellips dengan sumbu y, yaitu titik dan dengan panjang satuan.

•

�

�^′ �

�^′

�(0,�)

�^′(0,−�)

�(�,0)

O � (�,0)

�^′(−�,0)

�^′(−�,0)

 Titik fokus adalah titik- titik tetap yang terletak pada sumbu mayor. Pada gambar, titik dan adalah titik fokus ellips.

 Latus Rektum adalah tali busur yang melalui salah satu fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor.

 Latera Rekta adalah titik potong latus rektum dengan ellips.

 Panjang latus rektum

•

�

(

^{� , �}�²

)

�

(

^{�, − �}�²

)

�(0,�)

�^′(0,−�)

�(�,0) O �(�,0)

�^′(−�,0)

�^′(−�,0)

CONTOH

Diketahui sebuah ellips dengan panjang sumbu mayor 26 dan sumbu minor 10 satuan panjang. Tentukan panjang latus rectum!

Penyelesaian:

Diketahui panjang sumbu mayor 26 dan sumbu minor 10 satuan panjang, maka dan

Persamaan ellips dengan dan adalah:

•

CONTOH

Pada ellips terdapat hubungan sbb maka

Dengan demikian koordinat titik fokusnya dan

Persamaan garis yang melalui dan sumbu adalah .

•

CONTOH

Garis memotong ellips sehingga

•

CONTOH

Sehingga koordinat titik potong latus rectum adalah dan

Jadi, panjang latus rectum:

satuan panjang

terimakasih…