Geometri Netral / 161
BAB 7
GEOMETRI NETRAL
Dia menjadi sangat terkenal ketika dia diminta untuk menjumlahkan angka-angka 1 sampai 100, dia juga memberitahukan pola bilangan dan dijawab dengan menjumlahkannya. Gauss bisa mengkalkulasi angka-angka pada umur yang sangat muda bahkan dia dapat membantu ayahnya untuk menghitung gajinya.
Gauss telah berbuat banyak hal-hal mengagumkan di Matematika. Saat di Brunswick itulah Gauss memformulasikan prinsip kuadrat terkecil dan hasil perkiraan yang dianggap benar jika geometri Euclid tidak benar, dan berbagai temuan kecil lainnya, seperti halnya Euler, Gauss berfikir aljabar secara numerik.
Ketika Gauss berumur duapuluh tahun, ia mengalami suatu perkembangan yang sangat cepat, kecepatan yang tidak masuk akal, di bidang penyelidikan matematika dan teori konstruksi. Meskipun keluarganya miskin, Gauss dibiayai oleh adipati Brunswick untuk masuk perguruan tinggi Caroline. Di perguruan tinggi itu gauss melanjutkan studinya di bidang geometri, aljabar dan analisis. Setelah belajar selama 3 tahun, Gauss datang ke universitas gottingen, disini gauss mendapatkan keberhasilan
Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya maupun terdidik. Gauss mulai sekolah dasar saat usia tujuh tahun, saat itulah kecerdasannya ditemukan hampir dengan seketika.
terbesarnya. Setelah hanya satu tahun di universitas Gottigen, Gauss bekerja di sambil membuat penemuan yang besar.
Di tahun 1799, Gauss berprofesi sebagai doctor di Universitas Helmstedt. Gauss benar-benar hidup sukses walaupun tumbuh dewasa dalam keluarga yang tak sehat dan miskin, menakjubkan!!!!!!
A. Pengertian Pangkal, Postulat, Dfinisi pada Geometri Netral
Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen dan interval. Jika segmen AB kongruen dengan segmen CD, maka untuk menyatakan ini digunakan notasi AB CD. Pengertian ini tidak didefenisikan.
Pengertian pangkal geometri absolut, menurut Pasch ialah
a. Titik-titik A, B, C, D, … b. Keantaraan
c. Kongruensi.
Titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai relasi-relasi yang tidak didefinisikan.
Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai berikut :
Geometri Netral / 163
Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar yang berpangkal di C dan tepat satu titik D sedemikian, hingga AB CD.
Aksioma 6.2
Jika AB CD dan CD EF, maka AB EA.
Aksioma 6.3 AB BA Aksioma 6.4
Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB A’B’ dan BC B’C’,
maka AC A’C’.
Aksioma 6.5
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC
B’C’, CA C’A’. AB A’B’, sedang D dan D’ adalah dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan [B’C’D’] dan BD B’D’, maka AD A’D’.
Dari aksioma-aksioma ini dapat diturunkan, bahwa kongruensi suatu relasi ekuivalensi. Aksioma 5.2 menunjukkan dipenuhinya sifat transitif. Dari aksioma 5.1 dan 5.3 dapat diturunkan, bahwa sifat refleksif dan simetrik juga dipenuhi.
Jika kita perhatikan aksioma 5.4, tampak adanya penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk teori panjang. B C A D B1 C1 A1 D1
Menurut Aksioma 5.5 kongruensi segmen dapat diperluas menjadi kongruensi sudut.
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’, maka biasa
dikatakan kedua segitiga itu sisi-sisinya sama (S, S, S) yang secara diam-diam mengakibatkan sudut ABC sama dengan sudut A’B’C’ atau susut ABD sama dengan sudut A’B’D’.
Bagian kedua dari Aksioma 5.5 dapat disimpulkan, bahwa jika AB A’B’, sudut ABD sama dengan A’B’D’ dan BD B’D’, maka AD A’D’ (S,
Sdt, S). Kongruensi dua segitiga tidak didefinisikan dengan jelas.
Kongruensi dua segmen AB CD ekivalen
dengan AB = CD untuk panjang. Jadi symbol untuk segmen sama dengan symbol untuk panjang.
Diskusi
Buktikan: Jika AB CD maka CD AB Definisi 6.1
Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya suatu sudut siku-siku sama dengan ½ .
Definisi 6.2
Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r.
Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak di luar lingkaran, dikatakan ada di dalam lingkaran.
Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat
Geometri Netral / 165
adanya perkembangan teori-teori geometri yang kontradiksi dengan postulat kesejajaran ini. Pada bab ini akan dipelajari konsekuensi postulat Euclides selain postulat kesejajaran Euclides. Bab ini bertujuan untuk menjelaskan peran postulat kesejajaran dalam geometri Euclides, membukakan jalan untuk mempelajari geometri non-Euclides pada bab berikutnya, dan menghasilkan teorema yang cocok untuk geometri non-Euclides.
B. Teori Saccheri dalam Geometri Netral
Teorema geometri netral ini tepatnya disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari geometri netral kita bertolak dari sebagian teori Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri, yakni postulat kesejajaran Euclides harus dianggap valid. Sebaliknya, kita periksa kemungkinan penyatuan postulat lain sehingga pengetahuan geometri kita menjadi lebih dalam.
Kita pelajari geometri netral dengan cara mengamati teorema-teorema. Karena teorema akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat kesejajaran, demikian juga pada proposisi-proposisi geometri netral. Istilah yang digunakan dalam pengukuran segmen garis dan sudut, misalnya sudut siku-siku dan ukuran derajat sudut juga merupakan bagian dari geometri netral.
1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga Lemma 6.1
Jika diberikan ABC dan A. Maka ada segitiga A1B1C1 sedemikian hingga A1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan ABC, dan A1 <
2 1 A.
Bukti :
Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE sedemikian hingga AE = EF dan E terletak antara A dan F. Maka BEA CEF dan sudut-sudut yang bersesuaian sama.
Kita tunjukan AFC adalah A1B1C1 yang kita cari. Dengan memberikan nama sudut-sudutnya seperti pada gambar, kita tahu bahwa :
2 = 2’ , 3 = 3’ dan
A + B + C = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 2’ + 3’ + 4 = CAF + AFC + FCA
Untuk melengkapi bukti, perhatikan A = 1 +
2 yang berakibat A = 1 + 2’
Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas kanan, 1 atau 2’ harus kurang atau sama dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu A. Jika 1 < 2
1 A namakan A sebagai A
1 ; jika tidak, namakan F sebagai A1 kemudian namakan dua titik
Geometri Netral / 167
yang lain dari AFC dengan B1 dan C1, maka lemma terbukti.
Secara sederhana lemma di atas menyatakan bahwa “kita dapat mengganti sebuah segitiga baru dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah jumlah sudut-sudutnya”. Hal ini bisa dilakukan dengan memotong ABE dari ABC dengan meletakkan di belakang FCE.
Sepintas, lemma ini tidak ada artinya, pada hal tidak, sebab dalam geometri netral kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan, yang hal ini merupakan teorema Euclides yang buktinya tergantung pada postulat kesejajaran. Oleh karena itu, lemma ini penting sebab lemma itu menunjukkan bahwa jika diberikan suatu segitiga tertentu, kita dapat membuat segitiga yang nonkongruen, tetapi mempunyai jumlah sudut yang sama. Dengan demikian berarti ada tak berhingga segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga yang diberikan.
Sekarang kita dapat membuktikan banyak sekali teorema yang merupakan konsekuensi dari usaha Saccheri yang menyalahkan hipotesis sudut tumpul. Bukti bebasnya diberikan oleh A.M. Legendre (1752 – 183).
Teorema 6.1 (SACCHERI – LEGENDRE).
Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan 1800.
Andaikan ada ABC dengan jumlah sudut = 180o +
o, bilangan positif. Menurut lemma, ada A1B1C1 dengan jumlah sudut = 180o + o sedemikian hingga A1 < 2
1 A. dengan menggunakan lemma lagi, berarti ada A2B2C2 dengan jumlah sudut = 180o + o sedemikian hingga A2 <
2 1 A
1 < (2
1 )2 A. Dan seterusnya dengan cara yang sama, kita dapat membuat barisan segitiga-segitiga
A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3,….., yang masing-masing jumlah sudutnya 180o + o, sedemikian hingga
An < n
2 1
A, untuk sebarang bilangan bulat positif n.
Jelaslah kita dapat memilih n yang cukup besar sedemikian hingga An sekecil mungkin, misalnya
An < o.
Karena An + Bn + Cn = 180o + o, yang berarti bahwa :
Bn + Cn > 180o
Berarti, kontradiksi dengan Teorema 5.3 dari Bab 5. Jadi pengandaian salah, dan teorema 6.1 di atas benar.
Contoh 6.1
Misalkan = 1 dan A = 250 maka dalam ABC didapatkan A + B + C = 180o dan A = 25o. Menurut lemma ada A1B1C1 sedemikian hingga A1 + B1 + C1 = 181o dan A1 < 25o / 2. Dengan cara yang sama :
Ada A2B2C2 sedemikian hingga A2 + B2 + C2 = 181o dan A2 < 25o / 4. Untuk menunjukkan
Geometri Netral / 169
terjadinya kontradiksi, gunakan lemma tiga kali lagi untuk mendapatkan A5B5C5 dengan A5 + B5 + C5 = 180o dan A5 < 25o / 32 1. Akibatnya B5 + C5 > 180 (tidak mungkin terjadi).
Teorema Akibat (corollary).
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 360.
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis sudut tumpul adalah salah. Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah sudut suatu segitiga dapat melebihi 180. Tetapi kemungkinan bahwa jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 180, yang bersesuaian dengan hipotesis Saccheri tentang sudut lancip menarik perhatian kita sendiri.
2. Adakah persegipanjang itu ?
Adanya persegipanjang dalam geometri merupakan yang penting. Bayangkan, bagaimana bentuk geometri Euclides jika kita tidak punya atau tidak dapat menggunakan persegipanjang. Tentu saja sulit sekali akan membuat suatu persegipanjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides, atau salah satu dari teorema akibatnya, misalnya jumlah sudut segitiga adalah 180. Akibatnya, seluruh teorema dalam pembahasan ini dapat dianggap bahwa persegipanjang itu ada. Untuk menghindari kesalahpahaman, secara formal kita definisikan istilah persegipanjang sebagai berikut. Definisi 6.3
Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya adalah siku-siku.
Ingat, karena kita mempelajari geometri netral, tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi Euclides yang terkenal, seperti :
(a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar, atau
(b) sisi-sisi tersebut sama panjang, atau
(c) diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua segitiga yang kongruen.
Jika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita harus membuktikannya dengan berdasarkan definisi di atas tanpa menggunakan postulat kesejajaran.
Teorema 6.2.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebih panjang dari pada ruas garis tertentu.
Dengan kata lain, jika ada persegipanjang ABCD dan ruas garis XY. Maka ada persegipanjang yang satu sisinya lebih panjang dari pada XY.
Bukti :
Kita gunakan ABCD sebagai “kotak pembangun” (building block), untuk melukis persegipanjang yang kita inginkan. Lukis segi empat D2C2CD yang
A X Y C B D2 D C2 C3 D3 Cn Dn
Geometri Netral / 171
kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2 dan BA berlainan pihak terhadap CD. (Caranya dengan memperpanjang BC ke arah C sehingga panjang CC2 sama dengan BC dan memperpanjang AD ke arah D sehingga panjang DD2 sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang. Lebih dari itu, B, C, C2 terletak pada satu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di C. demikian juga A, D, D2 terletak dalam satu garis. Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2, dan merupakan persegipanjang. Ingat bahwa ABC2D2 mempunyai sifat :
AD2 = 2 AD
Dengan cara yang sama, lukis D3C3C2D2 kongruen dengan DCC2D2 sehingga C3D3 dan CD bersesuaian letaknya dan berlainan pihak terhadap C2D2. Akibatnya ABC3D3 adalah persegipanjang, dan AD3 = 3 AD
Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapatkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga :
ADn = n AD
Pilih n cukup besar sehingga n AD > XY. Dengan demikian, persegipanjang ABCnDn merupakan persegipanjang yang kita inginkan.
Teorema akibat.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada sebuah persegipanjang yang dua sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua
segmen tertentu. G H
Dengan kata lain. Jika ada persegipanjang ABCD dan segmen garis XY dan ZW diberikan. Maka ada persegipanjang PQRS sedemikian hingga PQ > XY dan PS > ZW.
Bukti :
Sesuai dengan Teorema 6.2. Ada persegipanjang ABEF dengan AF > XY. Dengan melukis persegipanjang yang kongruen dengan persegipanjang ABEF berulang-ulang dan menempatkan di atasnya, kita dapat melukis AFHG dengan AG > ZW. Karena AF > XY, maka AFHG merupakan persegipanjang PQRS yang dimaksudkan pada teorema akibat di atas.
Teorema 6.3.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka ada persegipanjang dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-masing sama dengan XY dan ZW.
Bukti :
Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan penjahit. Dengan menggunakan teorema akibat terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang
S Y X P Q R R’ Q’ R* S’ W Z
Geometri Netral / 173
PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian kita potongnya sedemikian hingga panjang PQ = XY dan PS = ZW.
Jadi ada titk Q pada PQ sedemikian hingga PQ = XY. Dari titik Q ditarik garis yang tegak lurus RS dengan kaki R. kita tunjukkan bahwa PQRS adalah persegipanjang.
Sudut P, R dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa PQR juga siku-siku. Andaikan
PQRS > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema 6.1. Andaikan PQR < 90, maka QQR > 90 dan jumlah sudut segi empat PQRS > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema 6.1. Andaikan PQR < 90, maka QQR > 90
jumlah sudut segiempat QQRR > 360
(kontradiksi). Jadi satu-satunya kemungkinan adalah PQR = 90, dan PQRS adalah persegipanjang.
Dengan cara yang sama, ada titik S pada PS sedemikian hingga PS = ZW. Tarik garis S tegak lurus QR dengan kaki R*. maka, sebagaiman di atas, PQR*S adalah persegipanjang. Sisi-sisinya yang berdekatan PQ dan PS masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan teorema terbukti.
Teorema 6.4.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga siku-siku mempunyai jumlah sudut 180.
Bukti : A B C A’ B’ C’ D’ p q
/ Geometri Netral
174
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa :
1) Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegipanjang pada diagonalnya. 2) Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180. Misalkan ABC siku-siku di B. menurut Teorema 5.3, ada persegipanjang ABCD dengan AB = AB dan BC = BC. Hubungkan A dan C.
Maka ABC ABC, dengan demikian ABC dan ABC mempunyai jumlah sudut yang sama. Misalkan : p adalah jumlah sudut ABC dan
q adalah jumlah sudut ADC Maka :
p + q = 4.90 = 360, ………... (1)
Kita tunjukkan bahwa p = 180.
Menurut Teorema 5.1, p = 180 atau p < 180.
Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q > 180 (bertentangan dengan teorema 1). Jadi p = 180.
Teorema 6.5.
Jika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 180.
Bukti : B
1 2
1 2
Geometri Netral / 175
Sekarang ABC dapat dipotong menjadi dua segitiga siku-siku dengan menarik salah satu garis tinggi. Masing-masing segitiga ini mempunyai jumlah sudut 180 (Teorema 4). Oleh karena itu, sifat tersebut berlaku juga untuk sebarang ABC.
Ini merupakan hasil yang agak menyolok. Adanya satu persegipanjang yang kecil dengan satu sisi yang sangat kecil sekali yang menempati bagian daerah terpencil menjamin bahwa setiap segitiga yang mungkin (yang dapat dipikirkan) mempunyai jumlah sudut 180. Karena hal ini merupaka ciri khusus geometri Euclides, kita berusaha mengatakan bahwa jika dalam geometri itu menjadi geometri Euclides. Pernyataan ini benar, tetapi masih belum sepenuhnya ditunjukkan alasannya. Karena, untuk menggolongkan suatu geometri sebagai geometri Euclides, kita harus menunjukkan bahwa geometri tersebut memenuhi postulat kesejajaran Euclides. Hal ini akan dibahas pada bab berikutnya.
3. Jumlah sudut suatu segitiga
Adanya persegipanjang dapat digunakan untuk mempertajam teorema I, teorema Saccheri – Legendre tentang jumlah sudut segitiga. Hal ini mudah sekali dilakukan, seperti pada Teoerma 6.5, adanya segitiga dengan jumlah sudut 180 adalah ekivalen dengan adanya persegipanjang.
Teorema 6.5
Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180, maka akan ada sebuah persegipanjang.
Bukti :
Misalkan ABC mempunyai jumlah sudut 180, pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 180. Potong ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, misalnya AD, maka : p + q = 2.90 + 180 = 360.
Kita tunjukkan p = 180. Menurut teorema 6.1, p 180. Jika p < 180 , q > 180 bertentangan dengan Teorema 6.1. Jadi ada segitiga siku-siku, misalnya ABD dengan sudut siku-siku di D, yang mempunyai jumlah sudut 180.
Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kedua segitiga tersebut kita tempelkan bersama untuk membentuk persegipanjang. A B C D p q A B D E 1 2’ 1’ 2
Geometri Netral / 177
Lukis BAE ABD dengan E berlainan pihak dengan D dari sisi AB, dan BE bersesuaian dengan AD. Karena jumlah sudut ABD adalah 180, maka :
1 + 2 = 90
karena
1 = 1, 2 = 2
maka kita peroleh :
1 + 2 = 90 , dan 1 + 2 = 90 Tetapi 1 + 2 = EBD, dan 1 + 2 = EAD. Jadi EAD = EBD = 90
Berarti ADBE persegipanjang. Akibat 1 Teorema 6.6
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180o. Bukti :
Gunakan Teorema 6.6 dan 6.5 Akibat 2 Teorema 6.6
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 180o, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 180o.
Bukti :
Misalkan ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 180o. Perhatikan sebarang PQR. Menurut Teorema 6.1, jumlah sudutnya , dan < 180o. Misalkan = 180o. Maka menurut akibat Teorema 6.6 di atas, ABC mempunyai jumlah sudut 180o,
bertentangan dengan permisalan di atas. Jadi < 180o.
Dengan membandingkan teorema akibat 1 dan 2 dari Teorema 6.6, kita amati suatu fakta penting yang tidak termuat dalam Teorema Saccheri Legendre. Geometri netral adalah “homogen”, dalam arti bahwa semua segitiga mempunyai jumlah sudut 180o, atau semua segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 180o. Jenis geometri netral yang pertama tersebut merupakan geometri Euclides. Sedangkan yang kedua secara historis muncul sebagai geometri non-Euclides. Keduanya akan dipelajari pada bab yang akan datang.
Kita simpulkan daftar referensi Proposisi Geometri Netral Bidang yang boleh digunakan dalam menyelesaikan Latiahan 6 di bawah.
Contoh 6.1
Buktikan Dua Segitiga adalah kongruen jika dua sudut dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua segitiga yang bersesuaian adalah sama.
Diketahui: Lihat gambar di samping I.
Buktikan: ∆ ABC ∆ PQR
Bukti: Teorema
kongruensi yang ada ádalah proposisi 8 (s,sd,s),
(sd,s,sd), (s,s,s) .tidak ada yang cocok.
Terpaksa menggunakan
Postulat V sebagai berikut:
A B R C P Q A=P111 B= Q1 C= R1 P11 P1
Geometri Netral / 179 Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah ukuran dan bentuknya.
Langkahnya ∆PQR diimpitkan ke ∆ABC Alternatif yang mungkin P terletak di: a) antara A dan B,
b) pada perpanjangan BA dan c) berimpit dengan A. (mengapa ?) ∆PQR ∆P1Q1 R1 (postulat V).
Lihat ∆ ACP1 berarti A < ACP1 (mengapa?)... 1)
Padahal CP1B adalah sudut luar ∆ACP1 berarti A < CP1B (teorema sudut luar) ... 2)
Dari 1) dan 2) terjadi kontradiksi. Analog jika terjadi:
b) kontradiksi juga
c) A = P111 maka AB = P111 G1 sehingga ∆ABC∆PQR
Proposisi-proposisi Geometri Netral Bidang
1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik potong.
2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah.
3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi. 4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah
sama.
5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
6. Kongruensi dua segitiga adalah ss-sd-ss, sd-ss-sd, ss-ss-ss.
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut di hadapannya sama.
8. Jika dua sudut suatu segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu tersebut.
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA = TB.
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut-sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi-sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga.
16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit
Geometri Netral / 181
dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga kedua.
18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 180o.
20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan yang sama dua garis tersebut sejajar.
21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.
22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di luar garis tertentu tersebut.
23. Misalkan garis 1 melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya. Maka garis 1 memotong lingkaran di dua titik. 24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran
jika dan hanya jika garis tersrebut tegak lurus pada jari-jari lingkaran.
25. Jika diketahui ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ = AB, maka ada titik R di luar PQ sedemikian hingga PQR ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui sebarang segitiga.
LATIHAN 6 Bagian A
1. Buktikan : Dua segitiga adalah kongruen jika dua sudut dan sisi di hadapan salah satu sudut dari dua segitiga yang bersesuaian adalah sama.
2. Buktikan : Dua segitiga siku-siku adalah konguren jika sisi miring dan salah satu kaki segitiga yang satu sama dengan sisi miring dan salah satu kaki segitiga yang lain.
3. Buktikan : Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama, maka kedua garis tersebut mempunyai satu garis tegak lurus persekutuan.
Definisi : Segiempat ABCD disebut segiempat Saccheri jika
B = C = 90o, dan AB = DC.
BC disebut sisi alas segiempat Sachheri, AB dan DC disebut sisi (kaki)nya dan AD adalah sisi atas (summit)nya, D adalah sudut puncaknya.
Buktikan : Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri adalah sama dan tidak tumpul. 4. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik tengah
sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat Saccheri adalah tegak lurus pada sisi atas dan sisi alasnya. Simpulkan bahwa sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri adalah sejajar.
5. Buktikan : Sumbu sisi alas segiempat Saccheri juga merupakan sumbu sisi atasnya.
6. Buktikan : Dua garis mempunyai satu garis tegak lurus persekutuan jika dan hanya jika pada salah satu garis tersebut terdapat dua titik yang jaraknya sama ke garis yang lain.
7. Pada segiempat ABCD, diketahui B = C = 900. Buktikan bahwa AB > DC jika dan hanya jika D > A.
Geometri Netral / 183
8. Pada segiempat ABCD, diketahui B = C = 900, buktikan : jika A = D maka AB = DC.
9. Buktikan : sisi atas segiempat Saccheri lebih besar atau sama dengan sisi alasnya.
10. Buktikan : Segmen garis yang menghubungkan titik tengah sisi atas dan titik tengah sisi alas segiempat Saccheri adalah lebih kecil atau sama dengan kaki segiempat Saccheri.
11. Buktikan : Jika segiempat mempunyai tiga sudut siku-siku, maka sisi yang berdekatan dengan sudut keempat lebih besar atau sama dengan sisi dihadapannya (disebut segi-4 Lambert).
12. Buktikan : Jika dua garis mempunyai satu garis tegak lurus persekutuan, maka segmen garis terpendek menghubungkan kedua garis tersebut adalah garis tegak lurus persekutuan tersebut. 13. Jika diketahui sebuah segitiga siku-siku. Lukislah
segitiga siku-siku yang baru yang mempunyai sudut lancip yang sama yang baru yang mempunyai sudut lancip yang sama dengan segitiga siku-siku yang pertama, dan panjang garis miringnya dua kali sisi miring segitiga siku-siku yang pertama. Buktikan bahwa sisi yang berhadapan dengan sudut lancip tersebut paling tidak dua kali dari sisi yang bersesuaian dari segitiga yang pertama. Pikirlah bagaimana dengan sisi yang berdekatan dengan sisi tersebut. Coba jelaskan jawaban anda.
14. Diketahui dua garis l dan m berpotongan di O. Titik P terletak di antara O dan Q di l. PP’ m di P’ : QQ’
titik di l menjauhi O maka jaraknya ke m bertambah panjang).
15. Pada soal 15 tunjukkan bahwa jika OP bertambah panjang terus maka PP’ juga bertambah panjang. Hal ini memantapkan sifat (A) dari Bab 2 bagian 5, bahwa jika sebuah titik pada L menjauhi O terus menerus, maka jaraknya ke m juga bertambah terus.
Kunci Soal No 8
Pada segiempat ABCD diketahui B = C = 900, buktikan bahwa AB>DC jika hanya jika D > A.
Diketahui: Lihat gambar Buktikan :
a) AB > DC D > A b) D > A AB > DC Bukti:
a) Pilih titik E pada AB sedemikian hingga BE = CD, maka EBCD segiempat Saccheri (definisi)
berarti E2 = D2 = <= 900 (Soal no 4) ... 1)
Pada ∆ ADE, A < E2 (teorema sudut luar) ... 2)
D2 < D12 ... 3)
Dari 1), 2), 3) didapat A < D2 < D12 A < D (sifat transitif)
Alternatif yang mungkin
b) D < A i) AB < DC ii) AB = DC B C A D E
Geometri Netral / 185
iii) AB > DC
i) AB < DC D< A (bukti A) kon indikasi dengan D > A
ii) AB = DC maka D = A (mengapa dengan
D > A yang mungkin AB < DC. Dari a) dan b) terbukti soal no 8 AB > DC D > A
Soal ini mirip dengan proposisi 12 dan 13 pada ∆
AB > AC C < B
Soal 8 sering dipakai pada penyelesasian soal berikutnya bersama-sama dengan soal 4
Bagian B
1. Buktikan : garis yang tegak lurus ke garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga dari ujung-ujung sisi ketiga membentuk segiempat Saccheri. Lebih jelasnya, jika M, N adalah titik-titik tengah sisi AB dan AC dari segitiga ABC dan BP
MN di P, CQ MN di Q maka BPQC adalah segiempat Saccheri. A M Q P B C N B C A
Definisi : Suatu segitiga dan segiempat Saccheri yang berhubungan seperti pada soal no. 1 dikatakan berasosiasi. Sebuah segitiga mempunyai tiga segiempat Saccheri yang berasosiasi dengan segitiga tersebut.
2. Buktikan bahwa (sesuai gambar pada soal no. 1 di atas) : MN < 2
1 BC dan MN / / BC.
Definisi : Dua poligon , q adalah ekivalen jika
dapat dipecah-pecah atas segitiga 1, 2, ……., n’ dan q dapat dipecah-pecah atas segitiga q1, q2, ….., qn sedemikian hingga i
qI, untuk i = 1, 2, ….., n.
Definisi : Dua poligon , q adalah ekivalen jika : a) Keduanya ekivalen dengan cara
dipecah-pecah; atau
b) Ada poligon ’, q’ yang keduanya ekivalen dengan dipecah-pecah sedemikian hingga ’ dapat dipecah menjadi dan sejumlah segitiga 1, 2, ……., n, dan q’ dapat dipecah menjadi q dan sejumlah segitiga q1, q2, ….., qn, dengan i qI, i = 1, 2, …., n.
Asumsikan bahwa relasi ekivalen dari poligon-poligon adalah transitif, yakni :
Jika ekiv. q dan q ekiv. r maka ekiv. r
3. Buktikan : Sebuah segitiga adalah ekivalen dengan setiap segiempat Saccheri yang berasosiasi dengan segitiga tersebut, dan jumlah sduut segitiga tersebut sama dengan jumlah sudut puncak segiempat Saccheri yang berasosiasi.
Geometri Netral / 187
4. Buktikan : Jika dua segitiga memiliki bersama suatu segiempat Saccheri berasosiasi, maka dua segitiga tersebut ekivalen dan mempunyai jumlah sudut yang sama.
5. Buktikan : Jika sisi atas segiempat Saccheri adalah satu sisi segitiga, dan sisi alas segiempat Saccheri tersebut membagi dua sama sisi kedua segitiga tersebut tentu (sisi alas tersebut) juga akan membagi dua sama sisi ketiga, maka segiempat Saccheri tersebut berasosiasi dengan segitiga tersebut.
6. Diketahui sebuah segiempat Saccheri. Buktikan ada sebuah segitiga yang berasosiasi, dengan panjang salah satu sisinya adalah x, dan x paling sedikit dua kali panjang kaki segiempat Saccheri tersebut. 7. Diketahui segitiga ABC. Buktikan bahwa ada
segitiga lain yang ekivalen dengan segitiga ABC dan jumlah sudutnya sama dengan segitiga ABC, serta punya sisi yang panjangnya x, dengan x > panjang salah satu sisi segitiga ABC.
8. Buktikan : Setiap segiempat Saccheri punya segitiga samakaki yang berasosiasi. Simpulkan bahwa sebarang segitiga ABC punya jumlah sudut yang sama dengan alas AB dan keduanya ekivalen. Bagian C
1. Buktikan : Jika dalam geometri netral ada segiempat Saccheri yang sisi atasnya sama dengan sisi alasnya, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
2. Buktikan : Jika dalam geometri netral segmen garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga
selalu sama dengan separoh sisi yang ketiga, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
3. Buktikan : Jika dalam geometri netral setiap segitiga dapat dilalui oleh sebuah lingkaran, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
4. Buktikan : Jika dalam geometri netral sebarang garis yang melalui titik di dalam daerah sudut pasti memotong sudut tersebut, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
5. Buktikan : Jika dalam geometri netral jumlah sudut segitiga adalah konstan, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
6. Buktikan : Geometri netral merupakan geometri Euclides jika memuat dua segitiga sebangun yang tidak kongruen.
7. Buktikan : Jika dalam geometri netral ada segitiga sedemikian hingga segmen garis yang menghubungkan titik tengah dari sepasang sisi tertentu dan panjangnya separuh sisi ketiga, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
8. Buktikan : Jika teorema Pythagoras berlaku pada geometri netral, maka geometri tersebut adalah geometri Euclides.
9. Dalam geometri netral, misalkan segiempat ABCD mempunyai sudut siku-siku di A dan B, AD = BC dan sumbu AAB membagi dua CD.
Buktikan : geometri tersebut adalah geometri Euclides.
Bagian D
1. Buktikan : Jika sisi-sisi yang berhadapan suatu segiempat sama, maka sudut-sudut yang berhadapan juga sama.
Geometri Netral / 189
2. Dalam segiempat ABCD, misalkan sudut A dan B adalah siku-siku.
Buktikan : bahwa ABCD adalah segiempat Saccheri jika memenuhi salah satu syarat berikut :
(i) sumbu AB CD, (ii) sumbu CD AB.
(iii) Sumbu CD membagi dua AB.
3. Buktikan : sisi-sisi yang berhadapan suatu persegi panjang sama.
4. Buktikan : diagonal persegipanjang saling membagi dua.
5. Buktikan : jika diagonal segiempat Saccheri saling membagi dua, maka gambar segiempat tersebut adalah persegipanjang.
6. Buktikan : Pada segiempat Saccheri, garis yang menghubungkan titik tengah sisi alas dengan titik tengah sisi atas melalui perpotongan kedua diagonal.
7. Dalam segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya dibagi dua oleh sumbu dari garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi alas dan sisi atas.
8. Buktikan : Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga adalah tegak lurus terhadap sumbu sisi ketiga.
9. Buktikan : Sumbu dari sisi-sisi segitiga berpotongan di suatu titik, dengan menetapkan dua diantaranya berpotongan.
Simpulkan :
(i) tiga sumbu dari sisi segitiga adalah melalui 1 titik atau sejajar.
(ii) Sebuah lingkaran bisa melalui sebuah segitiga atau sumbu sisi-sisinya sejajar.
10. Buktikan : Sumbu sisi-sisi segitiga merupakan garis tinggi segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.
11. Buktikan : Sebarang segitiga siku-siku ekivalen dengan segiempat dengan tiga sudut siku-siku dan sebaliknya.
Definisi : Jajargenjang adalah segiempat yang mempunyai dua sisi yang berhadapan sama dan dua sudut yang berdekatan saling bersuplemen dan berdekatan pada sisi yang sama. Alasnya adalah sisi yang menghubungkan titik sudut yang saling bersuplemen. Ingat bahwa sebarang segiempat Saccheri adalah jajargenjang.
12. Buktikan : Sisi-sisi yang berhadapan jajargenjang adalah sejajar.
13. Buktikan : Sebarang segitiga adalah ekivalen dengan jajargenjang ; jumlah sudutnya sama dengan jumlah sudut jajargenjang dikurangi 1800. 14. Diketahui segitiga siku, lukislah segitiga
siku-siku yang mempunyai sebuah sudut lancip yang sama dengan salah satu sudut dari segitiga pertama, dan sisi yang berdekatan panjangnya dua kali sisi yang berdekatan dari sisi segitiga pertama. Buktikan bahwa luas segitiga tersebut > dua kali sisi luas segitiga pertama.
15. Pada segiempat Saccheri, buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah kaki-kakinya membagi dua masing-masing diagonalnya.
