• Tidak ada hasil yang ditemukan

GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd"

Copied!
59
0
0

Teks penuh

(1)

GEOMETRI ANALITIK RUANG

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012

(2)

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kehadirat Alloh SWT atas segala rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya yang telah dilimpahkan, sehingga terselesaikannya buku pegangan kuliah untuk mata kuliah Geometri Analitik Ruang. Mata Kuliah ini memuat materi tentang garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajad dua.

Selanjutnya penulis menyadari bahwa buku ini masih belum sempurna; untuk itu dimohon tanggapan baik berupa kritik dan saran kepada pembaca demi kebaikan buku pegangan kuliah ini. Akhirnya mudah-mudahan buku ini bermanfaat bagi pembaca.

(3)

DAFTAR ISI

Hal.

HALAMAN JUDUL ……….. i

KATA PENGANTAR ………. ii

DAFTAR ISI ……….. iii

BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA ………. 1

Titik dalam Ruang Dimensi Tiga ……… 1

Jarak Dua Titik ……….. 3

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga ………. 5

Hasil Kali Silang Dua Vektor ………. 9

BAB II GARIS LURUS ……….. 12

Letak Garis Lurus Terhadap Bidang Datar ……… 14

Jarak Dua Garis Bersilangan ……….. 19

BAB III PERSAMAAN BOLA ...……….. 21

Bidang Singgung Pada Bola ………. 24

BAB IV LUASAN PUTARAN ...……….. 27

Suatu Ellips di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X ……… 27

Suatu Parabola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X………. 29

Suatu Hiperbola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X... 30

Suatu Garis Lurus di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X…… 32

Suatu Lingkaran di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X... 34

Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sembarang ……… 35

BAB IV LUASAN BERDERAJAT DUA ……….. 39

(4)

BAB I

TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA 1.1 Titik Dalam Ruang Dimensi Tiga

Ada beberapa cara menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga. Cara-cara tersebut didasarkan pada penetapan patokan mula yang digunakan. Dalam tulisan ini dalam menentukan letak suatu titik menggunakan sistem koordinat kartesius siku-siku. Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Meskipun letak garis-garis yang saling tegak lurus ini dapat diambil sesuka hati kita, namun diambil kesepakatan sebagai berikut: sumbu y diambil mendatar, arah ke kanan merupakan arah positif dan ke kiri merupakan arah negatif. Sumbu y dan sumbu z terletak pada kertas kita; sedangkan sumbu x tegak lurus pada kertas dan melalui titik potong sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang menuju kita sebagai arah positif dan arah lawannya sebagai arah negatif. Pengaturan sistem seperti ini dinamakan sistem tangan kanan. Hal ini karena jika empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, ..., VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV di atas bidang xy, dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berturut-turut tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV.

Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, dan xy, serta dilihat apakah arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x, y, z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x tau absis. Pasangan kedua, yaitu y

(5)

aplikat. Titik-titik P(2, 3, 4) dan Q(4, -2, 3) berturut-turut terletak dalam oktan I

dan II. Titik O(0, 0, 0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu titik yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol.

Selanjutnya untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat, dan aplikatnya. Sebagai contoh perhatikan koordinat T(3, 5, 4) sebagai berikut.

Setiap titik yang aplikatnya positif terletak di atas bidang xy dan jika aplikatnya negatif terletak di bawah bidang xy. Demikian juga untuk bidang-bidang yang lain (xz dan yz).

Contoh 1.1. Titik A(1, -2,-4) terletak di oktan VI Titik B(3, 4, -2) terletak di oktan V Titik C(-2, -3, -5) terletak di oktan VII Titik D(-4, -1, 6) terletak di oktan III

Gambar 1.1

Y Z

X

(6)

1.2 Jarak Dua Titik

Perhatikan gambar 1.2 dibawah ini. Akan ditentukan jarak titik asal O ke titik P(x1,y1,z1).OA  x1, AB  y1,dan BP  z1.

Perhatikan OAB yang siku-siku di A, maka

2 1 2 1 2 2 2 y x AB OA OB    

Selanjutnya pada OBPyang siku-siku di B berlaku bahwa

2 2 2 BP OB OP   2 1 2 1 2 1 2 z y x OP   

Jarak titik O ke titik P(x1,y1,z1).

Selanjutnya akan ditentukan rumus jarak dua titik sebarang, misalnya titik-titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Perhatkan gambar 1.3 di bawah ini.

Y Z X P(x1,y1,z1) Gambar 1.2 2 1 2 1 2 1 y z x OP    Q(x2, y2, z2) Z

(7)

1 2 x x AB   1 2 y y BC   1 2 z z DQ  

Segitiga ABC siku-siku di B, maka

2 2 2 BC AB AC   2 1 2 2 1 2 2 y y x x AC     AC PD 

Segitiga PDQ siku-siku di D, maka

2 2 2 DQ PD PQ    2 PQ x2x1 2  y2y12  z2z1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x PQ      

Rumus diatas adalah rumus jarak antara P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2).

Contoh 1.2. Tentukan jarak antara titik-titik P(1, -2, 3) dan Q(5, 5, 7)

Jawab: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x PQ       2 2 2 ) 3 7 ( ) 2 5 ( ) 1 5 (       PQ 16 49 16   PQ 9  PQ A D C B Gambar 1.3 Y X

(8)

1.3 Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Dalam ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat, dan aplikat. Misalnya titik D(x1,y1,z1); vektor posisi terhadap

titik O dari D ini adalah d  x1,y1,z1 = x1iy1 jz1k.

Vektor-vektor basis i, j,k berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif, dan z positif. Selanjutnya semua definisi dan teorema vektor pada bidang sama dengan definisi dan teorema vektor dalam ruang. Dalam bahasan ini hanya diberikan contoh-contoh untuk vektor dalam ruang.

Contoh 1.3. Jika a 3,2,4 dan b2,1,5, maka (1) 2a+ 3b = 23,2,4 = 32,1,5

=0,7,7 (2) 5a – 2b = 19,8,30

Untuk rumus perbandingan berlaku bahwa jika a  x1,y1,z1 adalah vektor

posisi titik A, dan b  x2,y2,z2 adalah vektor posisi titik B, serta titik C terletak

pada ruas garis AB sedemikian hingga AC : CBm:n, maka vektor posisi titik C adalah n m b m a n c   

Apabila vektor posisi titik C adalah cxc,yc,zc , maka diperoleh hubungan

n m z y x m z y x n z y xc c c    1, 1, 1 2, 2, 2 , , 2 1 2 1 2 1 , , 1 , , nx mx ny my nz mz n m z y xc c c      mz nz my ny mx nx z y x  1 2 1 2 1  2 , , , ,

(9)

Jadi n m mz nz z n m my ny y n m mx nx xc c c          1 2 1 2 1 2 ; ;

Contoh 1.4. Segitiga OAB dengan O titik asal, A(4, -2, 1) dan B(6, -3, -11). Titik D terletak pada sisi AB sedemikian hingga AD : DB 3:2. Tentukan koordinat titik D.

Jawab: Misalkan D(xD,yD,zD), maka

5 1 5 2 3 6 . 3 4 . 2     D x 5 3 2 2 3 ) 3 .( 3 ) 2 .( 2        D y 5 1 6 2 3 ) 11 .( 3 1 . 2       D z Jadi         5 1 6 , 5 3 2 , 5 1 5 D .

Apabila a  a1,a2,a3 , maka panjang vektor a yang ditulis dengan a adalah 2 3 2 2 2 1 a a a a   

Jika a  a1,a2,a3 adalah vektor posisi titik A dan b  b1,b2,b3 adalah vektor

posisi titik B, maka

ABb ab1,b2,b3 - a1,a2,a3 3 3 2 2 1 1 a ,b a ,b a b     AB 3 3 2 2 2 2 2 1 1 ) ( ) ( ) (bababa

Jika u u1,u2,u3dan vv1,v2,v3 maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan pada vektor di bidang, yaitu:

   v u vcos dengan 0 u

(10)

Dan dengan mengingat i 1,0,0, j0,1,0,dan k0,0,1, maka mudah dimengerti bahwa: 1 i dan , 0             k k j j i k i k j j i

Sehingga dapat diturunkan sebagai berikut: 

 v

uu1,u2,u3 .v1,v2,v3 

 v

u u1v1u2v2 u3v3 dan hasil kali dua vektor ini berupa skalar.

Selanjutnya jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol; sebaliknya jika hasil kali titik dari dua vektor yang bukan vektor nol sama dengan nol, maka dua vektor tersebut saling tegak lurus. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut: 0 v atau 0 u atau 0     v u v u

Contoh 1.5. Diketahui vektor-vektor

         3,-2,1 ,b 1 ,-3,5 , dan c 2,1,-4 a . Tunjukkan bahwa

ketiga vektor ini dapat merupakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Jawab: Untuk menunjukkan bahwa ketiga vektor membentuk suatu

segitiga, ada dua pertimbangan, yaitu: (1) jumlah ketiga vektor sama dengan vektor nol; atau (2) salah satu vektornya sama dengan jumlah dua vektor lainnya.

Mengingat bahwa abc. Maka ketiga vektor membentuk segitiga. Selanjutnya ditunjukkan bahwasegitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Karena a c= 3.2 + (-2).1 + 1.(-4) = 0, maka a c, sehingga segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor       u1,u2,u3 dan v v1,v2,v3 u yaitu: v  u cos

(11)

atau 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 u cos v v v u u u v u v u v       

adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v

Contoh 1.6. Diketahui u 2,3,-1dan v-1,2,2.

Nyatakan u sebagai jumlah suatu vektor yang sejajar v dan vektor yang tegak lurus pada v .

Jawab: Gambar 1.4 berikut ini memberikan ilustrasi dari ketentuan-ketentuan dalam soal dengan mengambil a//v dan bv.

v pada u proyeksi adalah a , maka v v u a   3 2 2 2, -1, 3 1 1 -3, 2,      a v v a 3 2  = -1,2,2 9 2 9 4 , 9 4 , 9 2   a   u a b 2,3,-1 -9 4 , 9 4 , 9 2  9 13 , 9 23 , 9 20  b

Untuk memeriksa kebenaran perhitungan ini, tunjukkan bahwa a tegak lurus b , yaitu a b0. v b

a

u Gambar 1.4

(12)

1.4 Hasil Kali Silang Dua Vektor

Perhatikan gambar 1.5 berikut ini.

Diketahui aa1ia2 ja3k dan bb1ib2 jb3k serta  adalah sudut yang

dibentuk oleh a dan b dengan 0 . Hasil kali silang dari a dan b ditulis a b dibaca ” a silang b ” didefinisikan sebagai berikut:

a  b = a b sinu

dengan u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan a dan b dan mengikuti aturan pada sistem tangan kanan.

Memperhatikan definisi tersebut, karena u adalah vektor satuan, maka

a  b = a b sin

Karena arah u ditentukan dengan aturan pada sistem aturan tangan kanan, maka dapat disimpulkan bahwa:

b

a = b a sin .(u)

= - a b sin .u

= -( a  b )

Sehingga diperoleh hubungan bahwa:

b

a = -( a  b ) (sifat anti komutatif) Gambar 1.5 O b a b a 

(13)

a  b = a b sinu

a  b = 0

Maka dapat disimpulkan bahwa dua vektor yang tidak nol adalah sejajar jika dan hanya jika hasil kali silangnya sama dengan nol.

Hasil kali silang vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor, yaitu: a(bc)(ab)(ac) ) ( ) ( ) )

(abcacbc (buktikan sebagai latihan)

Selanjutnya akan diperoleh hasilkali silang untuk vektor-vektor satuan i, j, dan k, dengan menerapkan definisi hasil kali silang di atas sebagai berikut.

ij = i j .k 2 sin

ij = k

Dengan cara yang sama diperoleh,

j i k i k j     j k i i j k k i j          0 0 0       k k j j i i

Sekarang akan dicari hasil kali silang dari

k a j a i a a 1  2  3 dan bb1ib2 jb3k a  b = (a1ia2 ja3k)(b1ib2 jb3k) = (a1ia2 ja3k)b1i (a1ia2 ja3k)b2 j(a1ia2 ja3k)b3k = 0a2b1ka3b1 ja1b2k0a3b2ia1b3 ja2b3i0 = i(a2b3a3b2) j(a1b3a3b1)k(a1b2a2b1) a  b = 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 b b a a k b b a a j b b a a i   a  b = 3 2 1 3 2 1 b b b a a a k j i

(14)

Dengan mengingat kembali cara menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor-kofaktor baris pertama.

Selanjutnya dengan mengingat sifat determinan bahwa apabila dua baris suatu determinan ditukarkan maka determinan yang lainnya negatif dari nilai determinan semula. b

a = 3 2 1 3 2 1 a a a b b b k j i = - 3 2 1 3 2 1 b b b a a a k j i

= -( a  b ) (bukti sifat anti komutatif)

Contoh 1.7. Diketahui a1 ,-2,-1 ,b2 ,4,1 Hitunglah a  b; aba; ba b . Jawab: a  b = 1 4 2 1 2 1    k j i = 1 4 1 2   i -1 2 1 1   j + 4 2 2 1   k = 2ij0k 2i  j a b a  = (2i  j)  (i2jk)0 0 ) 2 ( ) 4 2 (        a b i j k i j b

(15)

BAB II

PERSAMAAN GARIS LURUS

Pada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dan

sejajar dengan vektor vaibjck. Untuk menentukan persamaan garis l,

diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka PoP//v dan PoPtv dengan t bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah

o o o o o o x y z dan r x y z maka PP r r

r  , , )  , ,   dan karena PoPtv, maka

v t r rov t r ro

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar

vektor v = <a, b, c> adalah rrotv

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan vektor garis l

Atau Z r0 v P0 r P Y X

(16)

c b a t z y x z y x, ,  o, o, o  , , tc z tb y ta x z y x, ,  o  , o  , otc z z tb y y ta x xo  ;  o  ;  o

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan parametrik (kanonik) dari garis l. Apabila parameter t dari persamaan parametrik ini dihilangkan, maka diperoleh

c z z b y y a x x o oo    

. Selanjutnya disebut persamaan simetrik garis l dengan

bilangan arah a, b, c dan melalui titik (xo, yo, zo).

Persamaan parametrik tersebut terdiri dari dua persamaan yaitu

c z z b y y dan b y y a x x o o oo      Contoh

Tentukan persamaan simetrik dari garis potong bidang-bidang 2x – y – 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28.

Jawab

Dari dua persamaan bidang tersebut jika dihilangkan x, diperoleh y + 2z = 8. Jika dihilangkan y, maka diperoleh x =

2 3

z – 3. Selanjutnya dari dua persamaan ini

dapat disusun persamaan simetriknya, yaitu

z x z y      2 3 3 , 2 8 atau z y x      2 8 2 3 3 2 4 8 3 3 y z x      .

(17)

Selanjutnya dapat dicari persamaan garis melalui dua titik. Misalkan titik A(x1, y1,

z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor-vektor posisi titik-titik A dan B masing-masing adalah

a = <x1, y1, z1> dan b = <x2, y2, z2) dengan garis yang melalui A dan B. Dengan

mengambil sebarang titik R(x, y, z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah r = <x, y, z>. Maka persamaan vektor garis AB adalah

r = a + t(b – a) dengan t bilangan real.

<x, y, z> = <x1, y1, z1> + t<x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1>

x = x1 + t(x2 – x1), y = y1 + t(y2 – y1), z = z1 + t(z2 – z1).

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan para metrik garis AB.

Dengan menghilangkan parameter t dari persamaan parametrik tersebut akan diperoleh persamaan simetrik dari garis AB sebagai berikut

1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x         Contoh

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(3, 2, 1) dan B(5, -1, -2)

Jawab

Persamaan garis lurus yang melalui A dan B adalah

1 2 1 2 1 2 3 5 3           y z x 3 1 3 2 2 3        y z x

Letak Garis Lurus Terhadap Bidang datar

Ada tiga kemungkinan yang terjadi, letak suatu garis terhadap suatu bidang datar, yaitu garis memotong bidang, garis sejajar bidang, dan garis terletak pada bidang. Perhatikan sebuah garis l =

c z z b y y a x x 1 11    

(18)

Misalkan garis l dan bidang  tersebut berpotongan, maka koordinat titik potongnya dicari dengan menyelesaikan x, y, dan z dari tiga persamaan tersebut. Salah satu cara menyelesaikannya dengan memisalkan bahwa

c z z b y y a x x 1 11     = t

x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct disubstitusikan pada persamaan bidang, maka

diperoleh

A(x1 + at) + B(y1 + bt) + C(z1 + ct) + D = 0

(Aa + Bb + Cc)t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

Apabila Aa + Bb + Cc  0, maka akan diperoleh nilai t, sehingga koordinat titik potong garis dan bidang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t kedalam persamaan garis yang memuat t.

Jika Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dan Aa + Bb + Cc  0 maka titik potong garis dan bidang

adalah (x1, y1, z1).

Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D  0, maka garis dan bidang akan

sejajar.

Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, maka garis terletak pada bidang

Apakah syarat yang harus dipenuhi agar garis l tegaklurus pada bidang  ? Garis l tegaklurus bidang , apabila vektor arah garis l sejajar dengan vektor normal bidang . Vektor arah garis l adalah m = <a, b, c> dan vektor normal bidang  adalah n = <A, B, C>. Maka garis l tegak lurus bidang , apabila m = kn dengan k suatu bilangan real.

Contoh

Carilah persamaan bidang yang memuat garis x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 4 + t dan titik (1, -1, 5).

(19)

Jawab

Ambil dua titik pada garis dengan cara memberi harga t, misal t = 0 dan t = 1 akan diperoleh titik-titik (1, -1, 4) dan (3, 2, 5). Selanjutnya persamaan bidang yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik-titik (1, -1, 5), (1, -1, 4), dan (3, 2, 5) yaitu 0 1 5 2 3 1 4 1 1 1 5 1 1 1    z y x 3x – 2y – 5 = 0

Penyelesaian cara lain yaitu dengan menggunakan vektor arah garis, yaitu m = <2, 3, 1> dan sebuah titik (1, -1, 4) pada garis, serta titik (1, -1, 5) yang diketahui. Dua titik ini menentukan vektor u = <0, 0, 1>.

Vektor normal bidang yang dicari adalah

m x u = i j k j i 2 3 1 0 0 1 3 2  

Maka persamaan bidang yang dicari adalah 3(x – 1) – 2(y + 1) = 0

3x – 2y – 5 = 0

Letak dua garis lurus dalam ruang dimensi tiga. Dua buah garis lurus dalam ruang mungkin akan berpotongan, sejajar, berimpit, atau bersilangan.

Misalkan diketahui dua garis berikut ini

1 1 1 1 1 1 c z z b y y a x x      dan 2 2 2 2 2 2 c z z b y y a x x     

sudut antara dua garis tersebut sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor arahnya yaitu m1 = <a1, b1, c1> dan m2 = <a2, b2, c2>.

(20)

Cos  = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 c b a c b a c c b b a a      

Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu m1 = tm2

dengan t suatu bilangan real. Sehingga bentuknya menjadi <a1, b1, c1> = t<a2, b2,

c2>, atau 2 1 2 1 2 1 c c b b a a   .

Dua garis saling tegak lurus apabila vektor-vektor arahnya saling tegak lurus, yaitu m1.m2 = 0

<a1, b1, c1> . <a2, b2, c2> = 0

a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

Dua garis akan berpotongan apabila ada penyelesaian untuk x, y, dan z dari empat persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan garis tersebut.

Contoh

Tunjukkan bahwa garis-garis

6 2 1 1 1 2 2 4 3 2 4 1              x y z dan z y x

berpotongan, dan carilah persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut.

Jawab Dimisalkan bahwa: k z y x dan t z y x                6 2 1 1 1 2 2 4 3 2 4 1 Atau x = 1 – 4t y = 2 + 3t z = -2 + 6k X = 2 – k y = 1 + k z = -2 + 6k Maka diperoleh persamaan:

1 – 4t = 2 – k, 2 + 3t = 1 + k, dan 4 – 2t = -2 + 6k

(21)

Jadi titik potongnya adalah (1, 2, 4).

Untuk mencari persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut ditentukan vektor normalnya dulu, yaitu dengan perkalian silang dari vektor-vektor arah garis, yaitu m1  4,3,2 dan m2  1,1,6

Vektor normal bidangnya adalah

6 1 1 2 3 4 2 1      k j i m x m n k j i n20 26 

Jadi persamaan bidang yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik (1, 2, 4) dan tegak lurus n yaitu:

20(x – 1) + 26(y – 2) – (z – 4) = 0 20x + 26y – z = 68.

Telah diketahui bahwa garis dengan persamaan

c z z b y y a x x 1 11     ,

mempunyai bilangan-bilangan arah a, b, dan c atau mempunyai vektor arah m = <a, b, c>. Selanjutnya akan ditentukan bilangan-bilangan arah dari garis tersebut ke dalam persamaan simetrik (kanonik), misalnya melenyapkan x, kemudian melenyapkan y dari dua persamaan bidang tersebut.

Dengan melenyapkan x didapat

(A2B1 – A1B2)y + (a2C1 – A1C2)z + (a2D1 – A1D2) = 0

Dengan melenyapkan y diperoleh

(A1B2 – A2B1)x + (B2C1 – B1C2)z + (B2D1 – B1D2) = 0

Dari dua persamaan tersebut diperoleh

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 B A B A z C A C A B A B A D A D A y C B C B B A B A D B D B x           

Terlihat bahwa bilangan-bilangan arah (vektor arah) dari garis tersebut adalah m = <B1C2 – B2C1, -A1C2 + A2C1, A1B2 – A2B1>

(22)

Atau dalam bentuk determinan menjadi 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , B B A A C C A A C C B B m 

Jarak Dua Garis Bersilangan

Misalkan diketahui dua garis g1 dan g2, jarak garis g1 dan g2 ditentukan

dengan cara sebagai berikut. Dibuat bidang  melalui garis g2 dan sejajar g1. Pilih

suatu titik P pada garis g1. Maka jarak garis g1 dan g2 sama dengan jarak titik P ke

bidang .

Contoh

Berapakah jarak garis g1 : 7x – 4z – 38 = 0, 7y – 5z + 37 = 0 dan

garis g2 : 7x + 8z – 16 = 0, 7y – 3z = 15

Jawab

Persamaan bidang yang melalui garis g1 adalah anggota berkas bidang

(7x + 4z – 38) + t(7y – 5z + 37) = 0. Atau 7x + 7ty + (4 – 5t)z – 38 + 37t = 0. Vektor normal bidang ini adalah n = <7, 7t, 4-5t>.

Sedangkan vektor arah garis g2 adalah

. 49 , 21 , 56 7 0 0 7 , 3 0 8 7 , 3 7 8 0        m

Bidang yang melalui g1 sejajar g2, maka harus dipenuhi

0 . ,  n yaitumn m <-56, 21, 49> . <7, 7t, 4-5t> = 0 -8 + 3t + 4 – 5t = 0 t = -2

Jadi bidang yang melalui g1 dan sejajar g2 adalah 7x – 14y + 14z – 112 = 0 yang

(23)

d = 6 4 4 1 16 2 . 2 3 . 2 0      

Jadi jarak garis-garis g1 dan g2 adalah 6.

Soal-soal

1. Carilah persamaan parameter dan persamaan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3) dan (4, 5, 6).

2. Carilah persamaan simetrik garis potong bidang-bidang x + y – z = 1 dan 3x – 3y + 7z = 9, serta tentukan vektor arahnya.

3. Carilah persamaan simetrik garis yang melalui titik (4, 0, 6) dan tegak lurus pada bidang x – 5y + 2z = 10.

4. Carilah persamaan garis yang melalui titik (-5, 7, -2) dan tegak lurus pada vektor-vektor <2, 1, -3> dan <5, 4, -1>.

5. Carilah persamaan garis yang melalui titik (5, -3, 4) dan memotong tegak lurus sb x.

6. Carilah persamaan garis yang melalui titik (2, -4, 5) yang sejajar dengan bidang

3x + y – 2z = 5 dan tegak lurus pada garis g:

1 1 3 5 2 8       y z x

7. Carilah persamaan bidang yang memuat garis-garis g1 : x = -2 + 2t, y = 1 + 4t, z = 2 – t dan

g2 : x = 2 – 2t, y = 3 – 4t, z = 1 + t

8. Carilah persamaan bidang yang memuat garis g1 : x = 3t, y = 1 + t, z = 2t dan

(24)

BAB III PERSAMAAN BOLA

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola. Sehingga

). , , (x y z r OP  

Pada gambar diatas

2 2 2 z y x r OP     jari-jarinya r = r r2 = x2 + y2 + z2.

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola berlaku x2 + y2 + z2 = r2. Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah:

x2 + y2 + z2 = r2.

Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M(a, b, c).

Ambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola, maka vektor ). , , (x a y b z c r PM      P(x,y) O Z Y X r

(25)

   r rr PM 2 . 2 ). , , (xa yb zc (xa,yb,zc). r2 = (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2.

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola yamg memenuhi persamaan tersebut diatas, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi persamaan tersebut. Hal ini berarti persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a, b, c) adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2. Contoh

Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0). Jawab

Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut, yaitu

. 3 4 4 1 ) 2 ( ) 3 5 ( ) 1 2 (  2   2   2      r

Persamaan bola yang dicari adalah persamaan bola dengan jari-jari 3 dan berpusat di titik (1, 3, 2), yaitu:

(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 9

Jika dijabarkan menjadi x2 + y2 + z2 – 2x – 6y – 4z + 5 = 0. M • O Z Y X P(x,y,z)

(26)

Rumus persamaan bola yaitu (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 dapat ditulis sebagai berikut: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – r2 = 0

Jika –2a = A, -2b = B, -2c = C, dan a2 + b2 + c2 – r2 = D, maka persamaan bola tersebut dapat ditulis sebagai berikut

x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0

Nampak disini bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam x, y, dan z dengan ciri-ciri: (a) tidak memuat suku-suku xy, xz, atau yz, dan (b) koefisien-koefisien x2, y2, dan z2 selalu sama.

Selanjutnya akan ditentukan titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0.

Persamaan ini bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai berikut: (x2 + Ax + . 4 1 4 1 4 1 ) 4 1 ( ) 4 1 ( ) 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 D C B A C Cz z B By y A           . 4 1 4 1 4 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 (xA 2 yB 2 zC 2  A2 B2  C2D

Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik pusat dan jari-jari bola, yaitu: jarinya jari adalah D C B A r dan pusatnya titik sebagai C B A M         2 2 2 4 1 4 1 4 1 , ) 2 1 , 2 1 , 2 1 ( Contoh

Tentukan pusat dan jari-jari bola, jika diketahui persamaan bola tersebut adalah sebagai berikut: x2 + y2 + z2 – 10x – 8y – 12z + 68 = 0.

(27)

(x2 – 10x + 25) + (y2 – 8y + 16) + (z2 – 12z + 36) = 25 + 16 + 36 – 68 (x – 5)2 + (y – 4)2 + (z – 6)2 = 9

Ini berarti bola berpusat di titik (5, 4, 6) dengan jari-jari 3.

Soal diatas dapat juga diselesaikan dengan menggunakan rumus, sehingga diperoleh:

Titik pusat bola )

2 1 , 2 1 , 2 1 ( A B C M    = ( 12)) 2 1 ), 8 ( 2 1 ), 10 ( 2 1 (      M = (5, 4, 6)

Jari-jari bola adalah rA2 B2  C2D

4 1 4 1 4 1 r = ( 12) 68 4 1 ) 8 ( 4 1 ) 10 ( 4 1 2 2 2       68 36 16 25    r 3 9   r

Bidang Singgung Pada Bola

Misalkan bola dengan persamaan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2;

dan suatu titik T(x1, y1, z1) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada

bola di titik T(x1, y1, z1). Bidang singgung di titik T dan jari-jari bola melalui T saling

tegak lurus, ambil sebarang titik V(x, y, z) pada bidang singgung, maka

1 1 1,y y,z z

x x

TV     pada bidang singgung

Pusat bola adalah P(a, b, c), maka

) , , (x1 a y1 b z1 c PT     Karena TVPT maka PT.TV 0

(28)

0 . . 0 ) .(     PV PT PT PT PV PT PT r2 - <x1 – a, y1 – b, z1 – c> . <x – a, y – b, z – c> = 0 (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) + (z1 – c)(z – c) = r2.

Ini adalah persamaan bidang singgung bola dengan persamaan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2; di titik T(x1, y1, z1) pada bola.

Contoh

Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x – 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 9 di titik (1, 3, 3).

Jawab

Titik (1, 3, 3) terletak pada bola, sebab koordinat-koordinatnya memenuhi pada persamaan bola. Maka persamaan bidang singgung pada bola di titik (1, 3, 3) adalah:

(1 – 3)(x – 3) + (3 – 1)(y – 1) + (3 – 2)(z – 2) = 9. -2x + 2y + z – 7 = 0.

Soal-soal

1. Tuliskan persamaan bola yang pusatnya di titik (-6, 2, -3) dan jari-jarinya 2. 2. Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (2, 4, 5) dan menyinggung

bidang xy.

3. Carilah persamaan bola jika diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (-2, 3, 7) dan (4, -1, 5).

4. Tentukanlah pusat dan jari-jari bola dengan persamaan : 4x2 + 4y2 + 4z2 – 4x + 8y + 16z – 13 = 0.

(29)

6. Carilah persamaan bola dalam kuadran pertama yang jari-jarinya 6 dan menyinggung bidang-bidang koordinat.

7. Carilah persamaan bola dengan pusat (1, 1, 4) dan menyinggung bidang x + y = 12.

8. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik (3, 1, -3), (-2, 4, 1), dan (-5, 0, 0) yang titik pusatnya terletak pada bidang 2x + y – z + 3 = 0.

9. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang x + 2y + 3z + 3 = 0 di titik T(1, 1, -3).

10. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25 yang sejajar dengan bidang 4x + 3z – 17 = 0.

(30)

BAB IV LUASAN PUTARAN

Misalkan sumbu x diambil sebagai sumbu putar dan kurva yang diputar terletak pada bidang YOZ. Persamaan kurva yang diputar adalah

     0 ) , ( 0 z y f x

Selanjutnya diambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva. Maka dipenuhi :

xo = 0 dan f(yo , zo) = 0.

Ambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva.

Maka dipenuhi      0 , ( 0 0 0 0 z y f x

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar, yaitu sumbu dengan bola yang pusatnya pada sumbu x, misalkan titik O dan jari-jarinya OT.

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Selanjutnya dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo sehingga diperoleh persamaan

luasan putarannya.

Berikut ini akan dicari bermacam-macam persamaan luasan putaran.

3.1 Suatu Ellips Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan ellips pada bidang XOY berbentuk

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi

(31)

1 2 2 2 2   b y a xo o

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2    b z y a x

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu x.

Jika sumbu putarnya sumbu y maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut.

Persamaan ellips yang diputar adalah

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips.

O Z

X

(32)

Maka harus dipenuhi         1 0 2 2 0 2 2 0 0 b y a x z

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah y= yo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2    b y a z x

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu y.

Titik–titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, a), dan (0, 0, a).

3.2 Suatu Parabola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan parabola pada bidang XOY berbentuk:

     px y z 2 0 2

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola.

Maka harus dipenuhi zo = 0

yo2 = 2pxo

Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo

(33)

y2 + z2 = 2px.

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida putaran dengan sumbu putar sumbu x.

3.3 Suatu Hiperbola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi

zo = 0 1 2 2 2 2   b y a xo o

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2    b z y a x O X Y Z

(34)

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan sumbu putar sumbu x.

Titik puncaknya ada dua yaitu (-a, 0, 0) dan (a, 0, 0).

Jika hiperbola pada bidang XOY tersebut diputar mengelilingi sumbu y maka diperoleh persamaan luasan sebagai berikut.

Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi

zo = 0 1 2 2 2 2   b y a xo o

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

X

Z

Y O

(35)

y = yo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2    b y a z x

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu dengan sumbu putar sumbu y.

Beberapa titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, 0, a), dan (0, 0, -a).

3.4 Suatu Garis Lurus Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X a. Misalkan persamaan garis yang diputar adalah

      p my x z 0

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi

zo = 0

xo = myo + p

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

O

X

Z

(36)

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

x2 – m2(y2 + z2) – 2px + p2 = 0.

Persamaan ini merupakan persamaan kerucut.

b. Misalkan garis yang diputar menyilang sumbu x, maka persamaannya berbentuk       p my x k z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi

zo = k

xo = myo + p

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

1 ) ( 2 2 2 2 2 2     k m p x k z y O X Y Z

(37)

3.5 Suatu Lingkaran Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Misalkan persamaan lingkaran pada bidang XOY berbentuk

       2 2 2 ) ( 0 r b y x z

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi

       2 2 2 ) ( 0 r b y x z o o o

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0.

Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

(x2 + y2 + z2 – r2 – b2)2 = 4b2(r2 – x2). O

X

Y Z

(38)

Persamaan ini merupakan persamaan torus.

3.6 Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sebarang Misalkan persamaan sumbu putarnya adalah

c z z b y y a x x 1 1  1    

dan persamaan kurva yang diputar adalah

     0 ) , , ( 0 ) , , ( 2 1 z y x f z y x f

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva yang diputar. Maka harus dipenuhi

     0 ) , , ( 0 ) , , ( 2 1 o o o o o o z y x f z y x f

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar dengan bola yang pusatnya di titik P yang terletak pada sumbu putar dan berjari-jari PT. Di sini dapat diambil P(x1, y1, z1).

Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0. X Y O Z  

(39)

(x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = (xo – x1)2 + (yo – y1)2 + (zo – z1)2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

                    2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( z z y y x x z z y y x x z z c y y b x x a o o o o o o

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan luasan putaran.

Contoh

Tentukan persamaan luasan yang terjadi dari perputaran parabola      x y z 4 0 2 mengelilingi garis       1 2 0 x z y Jawab

Persamaan sumbu putar adalah       1 2 0 x z y

Vektor arah dari sumbu putar ini adalah m = <-1, 0, -2>. Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola.

Maka harus dipenuhi zo = 0

yo2 = 4xo

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah -1(x – xo) + 0(y – yo) – 2(z – zo) = 0 atau

x + 2z = xo + 2zo

Persamaan bola yang pusatnya di titik P(0, 0, 1) dan berjari-jari PT =

2 2 2 ) 1 (    o o o y z x adalah x2 + y2 + (z – 1)2 = xo2 + yo2 + (zo – 1)2.

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x + 2z = xo + 2zo

x2 + y2 + (z – 1)2 = xo2 + yo2 + (zo – 1)2.

(40)

Akibatnya yo2 = 4xo = 4(x + 2z) = 4x + 8z.

Dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo diperoleh

x2 + y2 + (z – 1)2 = (x + 2z)2 + (4x + 8z) + 1

Setelah dijabarkan dan disederhanakan, diperoleh persamaan luasan yaitu: Y2 – 3z2 – 4xz – 4x – 10z = 0.

Contoh

Diketahui persamaan garis g =       1 2 0 x y z

Tentukan persamaan luasan yang terbentuk dari garis g yang diputar mengelilingi sumbu x.

Jawab

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis g.

Maka harus dipenuhi

      1 2 0 o o o x y z

Persamaan bidang yang melalui titik T dan tegak lurus sumbu x adalah x = xo.

Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2.

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo

x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2.

Kita mempunyai yo = 2x + 1. Selanjutnya dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo

diperoleh persamaan

x2 + y2 + z2 = x2 + (2x + 1)2 + 0.

Setelah dijabarkan dan disederhanakan diperoleh persamaan luasan yang ditanyakan yaitu:

(41)

Soal-soal

1. Suatu ellips dengan persamaan        0 16 4 0 2 2 z x y diputar mengelilingi

sumbu x. Tentukan persamaan ellipsoida putaran yang terbentuk.

2. Jika suatu hiperbola dengan persamaan         1 9 16 0 2 2 z x y diputar mengelilingi

sumbu x. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.

3. Suatu parabola dengan persamaan      z x y 2 0

2 diputar mengelilingi garis

      2 0 x y z

. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.

4. Suatu parabola dengan persamaan      z y x 2 0

2 diputar mengelilingi sumbu z.

Tentukan persamaan luasan yang terjadi.

5. Suatu garis       1 0 z x y

diputar mengelilingi garis dengan persamaan

      3 3 2 0 z y x

(42)

BAB V

LUASAN BERDERAJAD DUA

Berikut ini akan diselidiki suatu luasan yang terjadi dari suatu ellips dan hiperbola yang letak dan besarnya berubah menurut aturan tertentu.

1. Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 c z b y x

Kedua ellips diatas mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu y.

Selanjutnya ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan sebagai berikut.

a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusatnya tetap pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang YOZ, dan

d) ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Berarti ellips pada bidang YOZ merupakan garis arah dari ellips yang bergerak. Adapun persamaan luasan yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

Misalkan ellips         1 0 2 2 2 2 b y a x z

digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan

setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar

sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips

x0 2 2 2

(43)

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi b a y x o o  Atau 2 2 2 2 2 2 2 .b b a y b a xoo  (1 2) 2 c  = a2(1 2) 2 c  .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

        1 2 2 2 2 o o y y x x z atau             1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 c b y c a x z

Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x

Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida dengan titik pusat O dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jika dua diantara a, b, dan c adalah sama, maka ellipsoida tersebut merupakan suatu ellipsoida putaran. Jika a = b = c, maka ellipsoida tersebut merupakan bola.

x0 O X Y Z y0

(44)

2. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan         1 0 2 2 2 2 b y a x z

dan persamaan garis arah dari ellips yang bergerak adalah hiperbola pada bidang YOZ dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 c z b y x

Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan: a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x

dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips

        1 0 2 2 2 2 c z b y x sehingga memenuhi 1 (1 2) 2 2 2 2 2 2 2 c b y atau c b y o o    

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

b a y x o o atau 2 2 2 2 2 2 2 .b b a y b a xoo  (1 2) 2 c  = a2(1 2) 2 c  .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

        1 2 2 2 2 o o y y x x z atau

(45)

            1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 c b y c a x z

Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun satu dengan titik pusat O dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat.

Jika a = b maka diperoleh hiperboloida putaran.

3. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

dan garis arah dari ellips yang digerakkan adalah hiperbola dengan persamaan

         1 0 2 2 2 2 c z b y x

Aturan untuk menggerakkan adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,

O y0 x0 Z Y X

(46)

b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x

dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips

         1 0 2 2 2 2 c z b y x sehingga memenuhi - 1 ( 2 1) 2 2 2 2 2 2 2     c b y atau c b y o o

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

b a y x o o atau 2 2 2 2 2 2 2 .b b a y b a xoo  ( 2 1) 2  c = a2( 2 1) 2  c .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

        1 2 2 2 2 o o y y x x z atau             1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 c b y c a x z

Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

1 2 2 2 2 2 2     c z b y a x

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu z.

Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan hiperboloida putaran berdaun dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu Z.

(47)

4. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan      pz y x 2 0 2

aturan untuk menggerakkan ellips adalah: a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z,

c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula.

Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x

dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips

sehingga memenuhi yo2 = 2p.

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

b a y x o o  y0 x0 O Z X Y

(48)

atau xo2 = p b a y b a o 2 2 2 2 2 2 

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

          1 2 2 2 2 2 2 p y p b a x z

Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

z c p b y a x 2 2 2 2 2 2  

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan titik puncak di O. Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida putaran dengan sumbu z sebagai sumbu putarnya.

5. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan  x0 O Z X Y y0 x0

(49)

dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan         1 0 2 2 2 2 b y a x z

Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ,

b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x,

c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah yo dan zo.

Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

harus dipenuhi ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c z atau y b c z sehingga c b z y juga dan a b y atau b y a o o o o o o o         .

Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x =  adalah

            1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a c z a b y x

Dengan mengeliminasi  dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh persamaan 1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x

(50)

6. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan         1 0 2 2 2 2 c z b y x

dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan

        1 0 2 2 2 2 b y a x z

Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ,

b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x,

c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah yo dan zo.

Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

harus dipenuhi ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         a c z atau y b c z sehingga c b z y juga dan a b y atau b y a o o o o o o o .

Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x =  adalah

            1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a c z a b y x

(51)

Dengan mengeliminasi  dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh persamaan 1 2 2 2 2 2 2     c z b y a x

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun dua dengan sumbu y sebagai sumbunya.

7. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan          1 0 2 2 2 2 b y a x z

dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan persamaan

     pz y x 2 0 2

Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ,

b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x,

c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah yo dan zo.

Berdasarkan aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga

yo2 = 2p.

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

b a y x o o atau xo2 = p b a y b a o 2 2 2 2 2 2 

(52)

           1 2 2 2 2 2 2 p y p b a x z

Dengan mengeleminasi  dan persamaan hiperbola ini, diperoleh persamaan

z c p b y a x 2 2 2 2 2 2   

Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida hiperbolis dengan sumbu z sebagai sumbunya.

8. Pandang persamaan ellipsoida 2 1

2 2 2 2 2    c z b y a x

Titik pusat ellipsoida ini adalah (0, 0, 0).

Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z yang masing-masing panjangnya 2a, 2b, dan 2c.

Titik-titik puncaknya ada enam yaitu (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, c), dan (0, 0, -c).

Persamaan bidang singgung pada ellipsoida dapat dicari sebagai berikut.

Misalkan T(x1, y1, z1) merupakan titik singgung tersebut. Persamaan garis yang

melalui T dengan bilangan-bilangan arah p, q, dan r adalah

      r z z q y y p x x 1 1 1

Koordinat-koordinat titik-titik potong garis ini dengan ellipsoida diatas, diperoleh sebagai berikut. 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 1       c r z b q y a p x

Setelah dijabarkan, persamaan diatas menjadi

0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2                   c rz b qy a px c r b q a p

(53)

Agar garis menyinggung ellipsoida maka haruslah 1 = 2 = 0.

Hal ini hanya terjadi untuk 2 21 2 21 2 210        c rz b qy a px

Dengan mengeliminasi p, q, dan r diperoleh

0 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 1 1 2 1 1       c z z z b y y y a x x x

Persamaan ini merupakan persamaan garis yang menyinggung ellipsoida di T. Jadi persamaan bidang singgung di T pada ellipsoida adalah

1 2 1 2 1 2 1 c z z b y y a x x

Misalkan T(x1, y1, z1) suatu titik diluar ellipsoida. Dari titik T dibuat

bidang-bidang yang menyinggung ellipsoida.

Misalkan P(xo, yo, zo) suatu titik singgung dari bidang singgung yang melalui titik T.

Berdasarkan uraian diatas persamaan bidang singgung di titik P adalah

1 2 2 2    c z z b y y a x xo o o

Karena bidang singgung melalui T, maka dipenuhi

1 2 1 2 1 2 1    c z z b y y a x x o o o

Ini berarti setiap titik singgung dari bidang singgung pada ellipsoida yang melalui T, terletak pada bidang dengan persamaan

1 2 1 2 1 2 1 c z z b y y a x x

Persamaan ini merupakan persamaan bidang kutub dari titik T terhadap ellipsoida

1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x

Tampak bahwa, jika T terletak pada ellipsoida maka persamaan bidang kutub dari T merupakan persamaan bidang singgung di T. Persamaan batas bayangan ellipsoida oleh sinar-sinar yang melalui T(x1, y1, z1) adalah

Referensi

Dokumen terkait