MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS

MAKALAH

GEOMETRI ANALITIK RUANG

“PERSAMAAN GARIS LURUS“

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu :

NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd

Disusun Oleh

Yani Novita Murni 15.05.0.002 Aizyah Alifia Supardi 15.05.0.019 Ani Nofianti 15.05.0.021

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN BATAM

2017

1

GARIS LURUS

1. Persamaan Garis Lurus

Suatu garis lurus dapat kita misal sebagai garis potong pada 2 bidang datar.

Garis-garis istimewa yang sudah kita kenal adalah sumbu x , y dan z. Sumbu x adalah garis potong bidang XOY dan XOZ, sehingga persamaan sumbu x ialah y = 0 , z = 0.

Dengan pemikiran serupa kita dapat persamaan sumbu y ialah x = 0, z = 0. Dari persamaan sumbu z ialah x = 0, y = 0.

Gambar 1

Suatu garis dapat mudah ditentukan sebagai garis potong bidang-bidang dengan memproyeksikannya pada bidang XOZ dan YOZ. Misal kan x = mz + p, y = nz+q atau dapat ditulis : x = mz + p

y = nz + q

Kalau garis nya diberikan sebagai garis potong dua bidang sebarang saja, maka bidang- bidang memproyeksikannya dapat mudah dicari. Misalnya garis g persamaannya

g : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

2

Bidang memproyeksikan garis g tersebut pada bidang XOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan y dari kedua persamaan g diatas, dan Bidang memproyeksikan garis g pada bidang YOZ, diperoleh dengan mengeliminirkan x dari kedua persamaan g diatas.

Jadi jika y kita eliminir, diperoleh :

(A1B2 - A2B1)x + (B2 C1- B1C2)z + (B2D1 - B1D2) = 0 Jadi jika x kita eliminir, diperoleh :

(A2B1 - A1B2)y + (A2C1 - A1C2)z + (A2D1 - A1D2) = 0 Persamaan garis dapat ditulis sebagai berikut :

x =

B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z

+

^{B1D2− B2D1}

A1B2 − A2B1

y =

A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z

+

A2D1 − A1D2 A1B2 − A2B1

Jika disesuaikan dengan x = mz + p dan y = nz + q, maka diperoleh :

m =

|B1 C1 B2 C2|

|A1 B1

A2 B2|

p =

^{|B1 D1B2 D2|}

|A1 B1 A2 B2|

n =

^|

C1 A1 C2 A2|

|A1 B1

A2 B2|

q =

|D1 A1 D2 A2|

|A1 B1 A2 B2|

Gambar 2

3 Contoh soal:

Tentukan persamaan dari garis potong bidang-bidang 2x - y - 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28 !

Jawab :

x =

B1C2− B2 C1

A1B2 − A2B1Z

+

^{B1D2− B2D1}

A1B2 − A2B1

=

⁻⁴⁺²⁵

10+4Z

+

²⁸⁻⁷⁰

10+4

=

²¹

14

𝑧 +

⁽⁻⁴²⁾

14

=

³

2

𝑧 − 3 y =

A2C1 − A1C2

A1B2 − A2B1Z

+

A2D1 − A1D2 A1B2 − A2B1

= ⁻²⁰⁻⁸

10+4 Z

+

⁵⁶⁺⁵⁶

10+4

=

⁻²⁸

14

𝑧 +

¹¹²

14

=

−2𝑧 + 8

2. Persamaan Vektor, Parametrik dan Simetrik Garis Lurus a. Persamaan vektor, parametrik dan simetrik pada satu titik

Pada gambar dibawah ini 𝑙 adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan vektor posisi 𝑟_𝑜 dan sejajar dengan vektor 𝑣 = a𝑖 + b𝑗 + c𝑘. Untuk menentukan persamaan garis 𝑙, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis 𝑙, maka 𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ // 𝑣 dan _𝑜𝑃 𝑃_𝑜𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑣 dengan 𝜆 bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah 𝑟_𝑜= (𝑥_{𝑜 ,}𝑦_{𝑜 ,}𝑧_𝑜 ) dan 𝑟 = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 maka 𝑃_𝑜𝑃 = 𝑟 − 𝑟_𝑜 dan karena 𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑣 _𝑜𝑃 maka :

𝑟 − 𝑟_𝑜= 𝜆𝑣 𝑟 = 𝑟_𝑜+ 𝜆𝑣

4

Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis 𝑙 dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut.

Dengan kata lain, persamaan garis 𝑙 yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor 𝑣 = 〈 𝑎, 𝑏, 𝑐〉 adalah 𝒓 = 𝒓_𝒐+ 𝝀𝒗. Atau,

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥_{𝑜 ,}𝑦_{𝑜 ,}𝑧_𝑜 〉 + 𝜆〈 𝑎, 𝑏, 𝑐〉

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥_𝑜+ 𝜆𝑎 , 𝑦_𝑜+𝜆𝑏 , 𝑧_𝑜 + 𝜆𝑐〉

Maka diperoleh :

Jika kita eliminir parameter 𝜆 , yaitu

𝜆 =

^{𝑥−𝑥𝑜}

𝑎

; 𝜆 =

^{𝑦−𝑦𝑜}

𝑏

; 𝜆 =

^{𝑧−𝑧𝑜}

𝑐

Maka untuk persamaan garis lurus diketahui melalui titik Po(xo, yo, zo) dengan bilangan vektor arah 𝑣 = 〈 𝑎, 𝑏, 𝑐〉 adalah :

Gambar 3

𝒙 = 𝒙_𝒐+ 𝝀𝒂 𝒚 = 𝒚_𝒐+ 𝝀𝒃 𝒛 = 𝒛_𝒐+ 𝝀𝒄

𝒙−𝒙_𝒐

𝒂

=

^{𝒚−𝒚𝒐}

𝒃

=

^{𝒛−𝒛𝒐}

𝒄 dengan syarat a,b,c ≠ 0

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙)

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙) 𝒓 = 𝒓_𝒐+ 𝝀𝒗

5 Contoh soal

Tentukan persamaan garis yang melalui P(1,2,3) dan sejajar dengan a = (-1,1,4) ! Penyelesaian :

t = p + λa

Pers. vektor garis g:

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥_{𝑜 ,}𝑦_{𝑜 ,}𝑧_𝑜 〉 + 𝜆〈 𝑎, 𝑏, 𝑐〉

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈1, 2, 3〉 + 𝜆〈−1, 1, 4〉

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = (1 -𝜆, 2 + 𝜆, 3 + 4𝜆) Persamaan parameter garis g:

𝑥 = 𝑥_𝑜+ 𝜆𝑎 = 1 -𝜆 𝑦 = 𝑦_𝑜+ 𝜆𝑏 = 2 + 𝜆 𝑧 = 𝑧_𝑜+ 𝜆𝑐 = 3 + 4𝜆 Persamaan simetrik garis g:

𝑥−𝑥_𝑜

𝑎

=

^𝑦−𝑦_𝑏 ^𝑜

=

^{𝑧−𝑧𝑜}

𝑐

𝑥 − 1

−1

=

^{𝑦 − 2}₁

=

^{𝑧 − 3}

4

b. Persamaan vektor pada dua titik

Untuk mencari persamaan vektor dari garis yang melalui 2 titik A(x1, y1, z1) dengan vektor letak 𝑎 dan B(x2, y2, z2) dengan vektor letak 𝑏, kita dapat mengambil sebarang titik R(x, y,z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah 𝑟 = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉. Dari kondisi ini dapat ditentuan bentuk persamaan vektor garis AB sebagai berikut :

𝑟 = 𝑎 + 𝜆 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ dengan λ bilangan real 𝑟 = 𝑎 + 𝜆 (𝑏 − 𝑎)

( 𝑥 𝑦 𝑧

) = ( 𝑥₁ 𝑦₁

𝑧₁) + 𝜆 ( 𝑥₂ − 𝑦₂− 𝑧₂−

𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁)

〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥_{1 ,}𝑦_{1 ,}𝑧₁ 〉 + 𝜆〈𝑥₂− 𝑥₁, 𝑦₂− 𝑦₁, 𝑧 − 𝑧₁〉

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵)

6 Diperoleh

Dengan mengeliminir λ dari persamaan parametrik diatas, akan diperoleh persamaan simetrik dari garis AB sebagai berikut:

Contoh soal)

Tentukan persamaan garis g yg melalui (1,2,3) dan (3,5,4) ! Penyelesaian:

𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 5, 4) − (1, 2, 3) = (2, 3, 1)

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗⃗

𝑂𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝜆(2, 3, 1) Jadi persamaan vektornya adalah (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝜆 + 1; 3𝜆 + 2; 𝜆 + 3) Persamaan parameternya adalah

𝑥 = 2𝜆 + 1; 𝑦 = 3𝜆 + 2; 𝑧 = 𝜆 + 3) Persamaan simetriknya adalah :

𝑥 −1

2

=

^{𝑦 −2}

3

=

^𝑧−3

1

(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵) (𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐵) 𝑥 = 𝑥₁+ 𝜆(𝑥₂−𝑥₁)

𝑦 = 𝑦₁+ 𝜆(𝑦₂−𝑦₁) _. 𝑧 = 𝑧₁+ 𝜆(𝑧₂−𝑧₁)

𝑥 −𝑥₁

𝑥₂−𝑥₁

=

^{𝑦 −𝑦1}

𝑦₂−𝑦₁

=

^𝑧−𝑧1

𝑧₂−𝑧₁

7

3. Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata

Di dalam Ilmu Ukur Analitik Ruang, garis lurus dinyatakan sebagai perpotongan 2 buah bidang rata yang tidak sejajar. Kita dapat pula menyatakan suatu

garis lurus sebagai perpotongan sebarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya,Garis lurus g adalah perpotongan bidang rata V1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan bidang V2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Untuk menentukan vektor arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang rata, kita perhatikan gambar disamping. Maka n1= [A1, B1, C1], n2 = [A2, B2, C2], jelas bahwa n1 x n2 = a, dimana a = [ a, b, c ] merupakan vektor arah dari garis g.

Jadi a = n1 x n2

a = |

𝑖 𝑗 𝑘

𝐴₁ 𝐵₁ 𝐶₁ 𝐴₂ 𝐵₂ 𝐶₂

|

a = [|𝐵₁ 𝐶₁

𝐵₂ 𝐶₂| |𝐶₁ 𝐴₁

𝐶₂ 𝐴₂| |𝐴₁ 𝐵₁ 𝐴₂ 𝐵₂|]

Untuk mengubah bentuk persamaan V1 = 0 = V2 menjadi bentuk ^𝑥−𝑥1

𝑎 = ^𝑦−𝑦1

𝑏 = ^𝑧−𝑧1

𝑐 , kita harus menentukan pula koordinat (x1, y1, z1).

8

Sebarang titik pada garis lurus. Untuk itu (biasanya) kita ambil titik potong dengan bidang berkoordinat, misalnya, XOY z = 0, diperoleh

A1x + B1y + D1 = 0 A2x + B2y + D2 = 0 Yang bila diselesaikan diperoleh:

𝑥 =

|−𝐷₁ 𝐵₁

−𝐷₂ 𝐵₂|

|𝐴₁ 𝐵₁ 𝐴₂ 𝐵₂|

𝑦 =

|𝐴₁ −𝐷₁ 𝐴₂ −𝐷₂|

|𝐴₁ 𝐵₁ 𝐴₂ 𝐵₂|

Contoh Soal

Tentukan vektor arah (a) Garis lurus x - 2y + z = 1 dan 3x - y + 5z = 8 ! Jawab :

a = |

𝑖 𝑗 𝑘

𝐴₁ 𝐵₁ 𝐶₁ 𝐴₂ 𝐵₂ 𝐶₂

|

a = [|𝐵₁ 𝐶₁

𝐵₂ 𝐶₂| |𝐶₁ 𝐴₁

𝐶₂ 𝐴₂| |𝐴₁ 𝐵₁ 𝐴₂ 𝐵₂|]

a = [|−2 1

−1 5| |1 1

5 3| |1 −2 3 −1|]

Dimana a = |−2 1

−1 5| = -9 , b = |1 1

5 3| = -2 , c = |1 −2 3 −1| = 5 atau [a, b, c] = [-9, -2,5]

Ambil z = 0  x =

|1 −2 8 −1|

|1 −2 3 −1|

=

¹⁵

5

= 3

y =

|1 1 3 8|

5 = 1

Titik yang melalui garis lurus yang merupakan perpotongan ke-2 bidang rata V1 dan V2 adalah (3,1,0) pada garis lurus, persamaannya dapat tulis:

[ x, y,z ] = [ 3,1,0 ] + λ [ -9. -2, 5 ]

9 4. Kedudukan Dua Garis Lurus

Didalam ruang berdimensi tiga, dua garis lurus mungkin dapat sejajar, berimpit, berpotongan, ataupun bersilangan. Diketahui garis lurus:

Garis g1 : [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a1, b1,c1] Garis g2 : [x, y, z] = [x2, y2, z2] + λ [a2, b2,c2]

Ada beberapa kedudukan garis lurus antara g1 dan g2 :

1. g1 // g2 , jika dan hanya jika [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2] ; μ bilangan ≠ 0 atau

𝑎₁ 𝑎₂ = ^𝑏1

𝑏₂ = ^𝑐1

𝑐₂

2. g1 berimpit g2 jika dan hanya jika : a. [a1, b1,c1] = μ [a2, b2,c2]

b. [ x2-x1, y2-y1, z2-z1] = μ [a2, b2,c2]

3. kalau arah g1 yaitu [a1, b1,c1] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2] tidak berkelipatan, maka g1 dang2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. maka titik potongnya [x0, y0, z0] berarti ada λ1 sehingga [x0, y0, z0] = [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1] dan ada λ2 sehingga [x0, y0, z0] = [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2].

Berarti [x1, y1, z1] + λ1 [a1, b1,c1]= [x2, y2, z2] - λ2 [a2, b2,c2]. atau a1 λ1 + a2 λ2 = x2 – x1

b1 λ1 + b2 λ2 = y2 – y1

c1 λ1 + c2 λ2 = z2 – z1

berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada determinan :

|

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑥₂ – 𝑥₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑦₂ – 𝑦₁ 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑧₂ – 𝑧₁

|= 0

merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada satu titik. sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1, g2 tersebut:

|

𝑎₁ 𝑎₂ x – 𝑥₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑦– 𝑦₁ 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑧 – 𝑧₁

|= 0

Jika nilai determinannya tidak sama dengan 0, maka kedua garis lurus tersebut bersilang.

10 Contoh Soal

Tunjukkan bahwa g1 : ( x – 4 ) = ^𝑦+3

−4 = ^𝑧+1

7 berpotongan dengan g2 : ^𝑥−1

2 = ^𝑦+1

−3 =

𝑍+10

8 tentukan titik potong serta bidang yang memuat g1 dan g2 tersebut . Jawab:

g1 : [x,y,z] = [ 4, -3, -1 ] + λ [1, -4, 7]

g2 : [x,y,z] = [1, -1, -10] + λ [2, -3, 8]

|

1 2 1 − 4

−4 −3 −1 + 3

7 8 −10 + 1

| = |

1 2 −3

−4 −3 2

7 8 −9

|= 0

Jadi g1 dan g2 berpotongan. titik potong diperoleh dari persamaan:

λ1 + 2 λ2 = -3 -4 λ1 – 3λ2 = 2 7 λ1 + 8 λ2 = -9

cukup diambil dua persamaan saja, diperoleh λ1 = 1, λ2 = -2. titik potong diperoleh dengan memasukkan λ= λ1 ke persamaan diperoleh [x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]; sehingga potong : (5, -7, 6). (boleh juga dengan memasukkan λ= λ2 = 2 persamaan g2).

bidang rata yang memuat g1 dan g2 mempunyai vektor arah [1, -4, 7] dan [2, -3, 8]

serta melalui titik (4, -3, -1), Jadi persamaan vektorisnya : [x,y,z] =[4, -3,-1] + λ [1, -4, 7] + μ [2, -3, 8] atau bentuk liniernya (sesuai persamaannya (31)) :

|

1 2 𝑥 − 4

−4 −3 𝑦 + 3

7 8 𝑧 + 1

| = 0  11x - 6y - 5z – 67 = 0

11 5. Kedudukan Garis Lurus Dan Bidang Rata

Pandang garis lurus g dengan vektor arah a = [a, b, c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [A, B, C] maka :

1. garis lurus g sejajajr bidang rata V ↔ vektor arah garis tegak lurus normal

bidang atau  a.n = 0 atau aA + bB +cC = 0

2. garis lurus g tegak lurus bidang rata V ↔ vektor arah garis lurus = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya) atau ↔ ^𝑎

𝐴= ^𝑏

𝐵= ^𝑐

𝐶

3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi a┴n atau a.n = 0 atau aA + bB + cC = 0 dan sebarang titik P pada g harus terletak pula pada bidang V.

12 Latihan :

1. Tentukan persamaan garis potong bidang-bidang x – y – z = 1 dan 3x – 3y +7z = 9 ! 2. Carilah persamaan parametrik dan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3)

dan (4, 5, 6)!

3. Tentukanlah persamaan-persamaan vektor, parametrik dan simetrik untuk garis yang melalui titik A(3, -2, 4) dan B(5, 6, -2)!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 3, 2) serta tegak lurus bidang-bidang V1 = x +2y = 2z = 5 dan V2 = 3x + 5y + 2z = 8

5. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P (1, 0, -1) terletak pada bidang V

= x +3y + z = 0 serta juga tegak lurus garis lurus g1 : x + 2y – z = 3, 2y – 3y +5z =1

13 Daftar Pustaka

Suryadi H.S, D. 1984. Serial Matematika dan Komputer Aski Teori dan Soal ILMU UKUR ANALITIK RUANG. Jakarta : Ghalia Indonesia.

Sukirman. 2009. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Edisi I. Jakarta : Penerbit Universitas Terbuka.