2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.

2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)

Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak pada garis g.

Titik Q juga terletak pada garis g.

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik O (0,0)



y = mx

Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’

QQ’ : PP’ = Q’O : P’O y : b = x : a ay = bx y =

x

a

b

; jika

m

a

b



y = mx (terbukti)

2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b) Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO

Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah

y =

x

a

b

+b Bukti BO : PP’ = AO : AP’ b : y = -a : (-a + x) -ay = b (-a + x) -ay = -ab : bx y =

x

a

b



+b (terbukti)

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b) Sb. Y Sb. X g Q(x,y) P(a,b) Q’ P’ y b a x Sb. Y Sb. X l x y B(0,b) A(-a,0) P(x,y)

2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS

Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus.

Misalkan fungsi linear itu y = ax + b Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b

A (x1, y1) terletak pada grafik



y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik



y2 = ax2 + b -

y1 - y2 = a(x1 –x2).... (i)

A (x1, y1) terletak pada grafik



y1 = ax1 + b

B (x2, y2) terletak pada grafik



y3 = ax3 + b -

y1 – y3 = a(x1 –x3)... (ii)

 

 







1 3



2 1 3 1 2 1

x

x

a

x

x

a

y

y

y

y

ii

i

















3 1 2 1 3 1 2 1

x

x

x

x

y

y

y

y











tg



= tg





=

 

titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.

Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ;

1. Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg



dengan m merupakan koefisien arah /

gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.

2. Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg



dan garis ini melalui titik (0,b). tg



adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

3. Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit

ax + by + c = 0 b c ax y 

c

x

b

a

y







, Sehingga m =

b

a





tg



=

b

a



0

A(x1,y1) C(x3,y3) B(x2,y2)  y1 x1 x2 y2 y3 x3  Sb. Y Sb. X

Syarat Bahwa (x

1

,y

1

), (x

2

,y

2

) dan (x

3

,y

3

)

terletak pada sebuah garis lurus

'

'

'

'

AC

CC

AB

BB



Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif

Perhatikan segitiga OBP







90





sin











sin

b

r

o













sin



cos

b

r















sin

cos

b

r

persamaan garis kutub atau persamaan garis polar

2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(x

1

,y

1

), DENGAN GRADIEN m

Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ... (i)



y1 = mx1 + n ...(ii)

y = mx + n y1 = mx1 + n

y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m

2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK

Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Persamaan garis lurus



y = mx + n

Persamaan garis melalui A(x1,y1)



y – y1 = m(x – x1) ...(i)

Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)



y2 – y1 = m(x2 – x1) ...(ii) Sb. X Sb. Y P(x,y) 



(



+ 90o₎ y x A Q B Q 0

 

 







2 1



1 1 2 1

x

x

m

x

x

m

y

y

y

y

ii

i













1 2 1 1 2 1

x

x

x

x

y

y

y

y











persamaan garis melalui dua titik

(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)



1



1 2 1 2 1

x

x

x

x

y

y

y

y













1



1

m

x

x

y

y







1 1

x

x

y

y

m







2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)

Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

1 2 1 1 2 1

x

x

x

x

y

y

y

y











a

a

x

b

y











0

0

0

a

a

x

b

y







1







a

x

b

y

1





b

y

a

x

bx + ay = ab persamaan garis melalui P(a,0) dan Q(0,b)

2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)

Tarik garis melalui titik O



garis g



OP

Karena OP



g, disebut persamaan garis normal, Kita misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif =



Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P Sb. X Sb. Y Q(0,b) P(a,0) 0 )

B(0,b) A(a,0) P b a n 0



Maka





sin

sin

b

n

b

n







...(i)

Perhatikan OPA, siku-siku di P





cos

cos

a

n

a

n







...(ii)

Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b),

maka persamaan garis g adalah





1

b

y

a

x

...(iii)

(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)

1

sin

cos









n

y

n

x

x cos



+ y sin



= n (n positif) x cos



+ y sin



- n = 0

Catatan :

1. Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif 2. Koefisien x = cos



Koefisien y = sin





mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke persamaan normal Hesse

Contoh 5:

Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse Penyelesaian : -3x – 4y + 10 = 0 3x + 4y - 10 = 0 _{2 0} 5 4 5 3    y x x n

1

sin

cos

_

_

n

y

n

x





cos

2



+ sin

2



= 1

x (-1)

:

_{3 }2 ₄2 _{= 5}

Cos

5

3





Cos





0

,

6

Cos



= Cos 36,87o



= 36,87o

2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)

1. Garis yang Berpotongan

Garis l1



a1x + b1y + c1 = 0 ( dikalikan dengan b2)

Garis l2



a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan b1)

a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0 a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0 - (a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0 x = 1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c b c b  

Garis l1



a1x + b1y + c1 = 0 (dikalikan dengan a2)

Garis l2



a2x + b2y + c2 = 0 (dikalikan dengan a1)

a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0 a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 - (a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0 2 1 1 2 2 1 1 2 b a b a c a c a y    Kemungkinan-kemungkinan :

a. Jika a1b2 - a2 b1



0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y.

(x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.



Syarat : a1b2 - a2 b1



0 a1b2



a2 b1 2 1 2 1 b b a a

 Syarat 2 garis bepotongan

Sin



=

5

4

Sin



= 0,8 Sin



= Sin 49,4o



= 49,4o



x cos 36,87o + y sin 49,4o

b. Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti



2 1 2 1 b b a a  Tapi b2c1 - b1c2



0



2 1 2 1 c c b b  sehingga 2 1 2 1 2 1 c c b b a a  

Maka 0 x0, ini berarti tidak ada harga (x,y) yang memenuhi 2. Garis yang Sejajar

Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0 b2c1 - b1c2



0 2 1 2 1 c c b b 



2 1 2 1 2 1 c c b b a a 

 Syarat garis sejajar

3. Garis Berhimpit Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0 2 1 2 1 b b a a  b2c1 - b1c2 = 0 2 1 2 1 c c b b 



2 1 2 1 2 1 c c b b a a 

 Syarat garis berhimpit

2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS

Jika l1



y = m1x + b1 l2



y = m2x + b2 Sudut perpotongan =



tg



₁ = m1 tg



₂ = m2 1



=



₂+





=



1





2 y = m1x + b1 y = m2x + b2  1





₂ Sb. Y Sb. X

tg



= tg



1





2 = 2 1 2 1

1









tg

tg

tg

tg







atau tg



= 2 1 2 1

1

m

m

m

m







= arc. tg 2 1 2 1

1

m

m

m

m





Kemungkinan-kemungkinannya ; a. Untuk



= 90o



tg 90o = 2 1 2 1

1

m

m

m

m





=











1 2 2 1

1

m

m

m

m

2 1

1



m

m

= 0 2 1

m

m

= -1 b. Untuk



= 0o



tg 0o = 0 2 1 2 1

1

m

m

m

m





= 0 2 1

m

m 

= 0 2 1

m

m 

Syarat garis sejajar

2.10.

JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0

Diketahui : l



ax + by + c = 0

Ditanya : Jarak titik O ke garis l



ax + by + c = 0

Penyelesaian: ax + by + c = 0

0

2 2 2 2 2 2













a

b

c

y

b

a

b

x

b

a

a

Karena

1

2 2 2 2 2 2









































a

b

b

b

a

a

2 2

:

a 

b

d 0 Sb. X Sb. Y l



ax + by + c =

Maka 2 2

b

a

c

d





2 2

b

a

c

d





jarak titik ke garis

2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Diketahui : l1



a1x + b1y + c1 = 0

l2



a2x + b2y + c2 = 0

Ditanya : jarak l1 dan l2

Penyelesaian: 2 2 1 1 b a c d   2 2 2 2 b a c d   d = d2 – d1 2 2 1 2 b a c c d  

 Jarak antara dua garis sejajar

2.12. JARAK DARI TITIK P(x1

,y

1

) KE GARIS Ax + By + C = 0

Ambil garis l1



y = mx + b melalui titik P(x1,y1)

Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis

l2



ax + by + c = 0 Penyelesaian: l1



y = mx + b m l1 = m Koefisien garis l2 l2



ax + by + c = 0 m l2 = b a  d d2 d1 l1 l2 Sb. X Sb. Y 0 d ) x1 y1 P(x1,y1) l1 l2 Q(x,y) Sb. X Sb. Y

Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m



y – y1 = m2 (x – x1) y – y1 =

b

a



(x – x1) b (y – y1) = - a (x – x1) by – by1 = - ax + ax1

ax + by – (ax1– by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)

karena l1 // l2



2 2 2 1

b

a

c

c

d







2 2 2 1 1

b

a

c

by

ax

d









Jarak dari titik ke garis

2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA

l1



a1x + b1y + c1 = 0

l2



a2x + b2y + c2 = 0

l3



a3x + b3y + c3 = 0

Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik

P_     1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c b c b , _     1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c a c a l3 melalui titik P



a3 _        1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c b c b + b3         1 2 2 1 1 2 2 1 b a b a c a c a _{+ c} 3 = 0 a3



b

1

c

2



b

2

c

1



+ b3



a

₁

c

₂



a

₂

c

₁



+ c3



a

₁

b

₂



a

₂

b

₁



= 0 a3

b

1

c

2 - a3

b

2

c

1 + a2 b3c1 - a1b3c2 +

a

1

b

2c3 -

a

2

b

1c3 = 0 2 1

b

a

c3 + a2 b3c1 + a3

b

1

c

2- a1b3c 2-

a

2

b

1c3 - a3

b

2

c

1= 0

Catatan : Untuk mudah diingat

x (

a₁b₂a₂b₁

)

(+)

2.14.

BERKAS GARIS

Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan.

Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0 Maka diperoleh persamaan

1



g1 +



2g2 = 0 g1 + 1 2





g2 = 0 Misalkan 1 2





=



(sebarang konstanta)

Maka diperoleh : g1 +



g2 = 0 persamaan berkas garis-garis

Contoh 6:

1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis

x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0

Penyelesaian:

Berkas garis : g1 +



g2 = 0

(2x – 3y + 6) +



(x + y – 4) = 0 ...(i)

Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;



203060









004



0

6

4









2 1 1   ...(ii)

Subs. (ii)



(i)



Persamaan garis yang dimaksud adalah (2x – 3y + 6) + 2 1 1 (x + y – 4) = 0 0 2 1 1 2 1 3 x y , atau y x 2 1 2 

:



1

p

g

1

g

2

Titik

tetap

2. Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan 5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 !

Penyelesaian : g1 +



g2 = 0 (3x – 4y + 5) +



(5x + y – 7) = 0 (3 + 5



)x + (4 -



)y + (5 - 7



) = 0           4 7 5 4 5 3 x y ...(i) m1 =









4

5

3

Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1

Syarat dua garis sejajar, m1 = m2









4

5

3

= 1





=

6

1

...(ii)

Subs. (ii)



(i)



persamaan garis yang dimaksud adalah (3x – 4y + 5) +

6

1_{(5x + y – 7) = 0}

x – y + 1 = 0

3. Diketahui l1



x – y + 2 = 0, l2



2x - y – 1 = 0 dan l3



x – 3y + 2 = 0

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 !

Penyelesaian : l4



l1 +



l2 = 0 (x – y + 2) +



(x - y – 1) = 0 (1+2



)x – (1+



)y + (2 -



) = 0 y =



















1

2

1

2

1

x

ml4 =









1

2

1

, ml3 =

3

1

Syarat : l3



l4



m3



m4 = - 1 1 3 1 1 2 1            



= 5 4 



Persamaan garis yang dimaksud y = - 3x + 14

2.15. LATIHAN II :

1. Diketahui



ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6) a. Hitunglah luas



ABC !

b. Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C ! 2. Tentukan persamaan :

a. Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !

b. Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B hingga OB = 5 cm!

c. Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!

3. Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!

4. Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !

5. Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan a. Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 ! b. Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 ! c. Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 ! 6. Tentukan Jarak ;

a. Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 ! b. Titik asal ke garis x + 2y

2

= 5 !

7. Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm; a. Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !

b. Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 ! 9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan

3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !

10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah : a. Panjang garis-garis tingginya !