DEKOMPOSISI MATRIKS SINGULAR MENJADI PERKALIAN DUA MATRIKS IDEMPOTEN ATAU DUA
MATRIKS NILPOTEN
KARYA ILMIAH
OLEH
MUHAMMAD FARID ALI NIM. 1803111747
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU
DEKOMPOSISI MATRIKS SINGULAR MENJADI PERKALIAN DUA MATRIKS IDEMPOTEN ATAU DUA MATRIKS NILPOTEN
Muhammad Farid Ali
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the 2 ×2 singular matrix with zero second row entries or a matrix with all nonzero entries are formed as the product of two idempotent ma- trices or two nilpotent matrices. To solve this, the division algorithm and algebraic methods are used in a singular matrix that has all zero entries, there is a special matrix that can be formed into the product of two nilpotent matrices.
Keywords: Singular matrix, idempoten matrix, nilpoten matrix, divisibility ABSTRAK
Artikel ini membahas matriks singular 2×2 yang memiliki entri baris kedua nol atau matriks yang memiliki semua entri taknol dibentuk menjadi perkalian dua matriks idempoten atau dua matriks nilpoten. Untuk menyelesaikannya digunakan algoritma pembagian dan metode secara aljabar sehingga pada matriks singular yang memiliki semua entri nol terdapat matriks khusus yang dapat dibentuk menjadi perkalian dua matriks nilpoten.
Kata kunci: Matriks singular, matriks idempoten, matriks nilpoten, keterbagian 1. PENDAHULUAN
Terkait masalah matriks singular yang dapat dibentuk menjadi perkalian matriks idempoten pertama kali dikenalkan oleh Howie [3] pada tahun 1966, beliau menun- jukkan bahwa setiap transformasi himpunan hingga yang bukan permutasi dapat dinyatakan sebagai perkalian idempoten.
Lalu pada tahun 1967, Erdos [2] membuktikan bahwa setiap matriks singular n×n dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks idempoten. Kemudian Ballantine [1] membuktikan bahwa sebarang matriks n×n dapat ditulis sebagai perkalian dari n idempoten atasfield K.
Pada tahun 2021, Calugareanu [4] membuktikan bahwa matriks singular 2×2 dapat dibentuk menjadi perkalian dua matriks idempoten atau dua matriks nilpoten.
2. MATRIKS
Pada bagian ini dibahas mengenai matriks nilpoten. Berikut diberikan definisi dari matriks nilpoten.
Definisi 1 Suatu matriks persegi N disebut matriks nilpoten jika Nm = 0 untuk sebarang bilangan bulat positif m.
Bentuk umum dari matriks nilpoten 2×2 adalah a b
c −a
. (1)
dengan a2+bc= 0.
3. DEKOMPOSISI MATRIKS SINGULAR MENJADI PERKALIAN DUA MATRIKS NILPOTEN
Berikut diberikan definisi dari matriks yang memiliki sifat 2N.
Definisi 2 Suatu elemen dari sebuah ring matriks memiliki sifat 2N jika merupakan perkalian dua matriks nilpoten.
Pada subbab ini dibahas matriks A =
α β γ δ
dengan det(A) = 0 memiliki sifat 2N. Untuk memeriksa matriks A memiliki sifat 2N, harus diperoleh matriks S dan T adalah matriks nilpoten serta memenuhi ST=Ayaitu
α β γ δ
=
a b c −a
x y z −x
, (2)
α β γ δ
=
ax+bz ay−bx cx−az cy+ax
,
dengan αδ = βγ, a2+bc = 0 dan x2 +yz = 0 sehingga menghasilkan persamaan berikut
ax+bz=α, (3)
ay−bx =β, (4)
cx−az =γ, (5)
cy+ax=δ, (6)
a2 =−bc, (7)
x2 =−yz, (8)
αδ =βγ. (9)
Persamaan (3) sampai persamaan (9) merupakan sistem dengan notasi (SN). Jika kedua ruas persamaan (4) dikalikan dengan xdiperoleh
xay−bx2 =βx. (10)
Dengan memperhatikan persamaan (3) diperoleh
ax=α−bz. (11)
Selanjutnya persamaan (11) dan persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan (10) sehingga diperoleh
yα=βx.
Demikian pula jika kedua ruas persamaan (5) dikalikan dengan a didapatkan
acx+a2z=γa. (12)
Jika persamaan (11) dan persamaan (7) disubstitusikan ke dalam persamaan (12) diperoleh
cα=aγ. (13)
Berikut ini diberikan lema yang membahas matriks berukuran 2×2 dengan tiga entri nol ada memiliki sifat 2N dan ada juga yang tidak memiliki sifat 2N.
Lema 3 Matriks berukuran matriks αE11, αE22 memiliki sifat 2N tetapi matriks αE12,αE21 tidak memiliki sifat 2N denganα 6= 0.
Bukti. Berikut dibuktikan matriks αE11 bisa didekomposisi menjadi perkalian dua matriks S dan T adalah matriks nilpoten atau dengan kata lain memiliki sifat 2N sehingga matriks αE11 dapat ditulis seperti persamaan (2) yaitu
α 0 0 0
=
a b c −a
x y z −x
. (14)
Dengan demikian sistem (SN) pada persamaan (4) menjadi
ay−bx = 0. (15)
Dengan memperhatikan persamaan (13), karena α6= 0 dan γ = 0, maka αc= 0 sehingga c= 0. Jika c= 0 disubstitusikan ke dalam persamaan (7) diperoleh
a = 0.
Kasus 1: a = 0. Dengan mensubstitusikan a = 0 dan c = 0 ke dalam persamaan
(3) dan persamaan (15) diperoleh
bz=α, (16)
−bx= 0. (17)
Jika kedua ruas persamaan (8) dikalikan dengan b maka
x2b+xbz= 0. (18)
Apabila persamaan (17) dan persamaan (16) disubstitusikan ke dalam persamaan (18) diperoleh
αx = 0. (19)
Dari persamaan (19) karenaα 6= 0 makax= 0. Bilax= 0 disubstitusikan ke dalam persamaan (8) diperoleh
yz = 0. (20)
Dengan memperhatikan (16) diperoleh b = 1 dan z = α ataupun b =α dan z = 1 . Untuk kondisi b = 1 dan z = α, jika z =α disubstitusikan ke dalam persamaan (20) maka
y = 0.
Dengan demikian persamaan (14) diperoleh α 0
0 0
=
0 1 0 0
0 0 α 0
. (21)
Adapun untuk kondisi b = α dan z = 1, jika z = 1 disubstitusikan ke dalam persamaan (20) diperoleh
y = 0.
Dengan demikian persamaan (14) diperoleh α 0
0 0
=
0 α 0 0
0 0 1 0
. (22)
Matriks singular berukuran 2×2 yang memiliki dua entri nol pada baris kedua juga bisa mempunyai sifat 2N. Berikut membahas teorema matriks dengan entri baris kedua nol yang memiliki sifat 2N.
Teorema 4 Matriks
A=
α β 0 0
memiliki sifat 2N jika dan hanya jika β = 0 atau α, β 6= 0 dan α membagiβ2. Bukti. (⇒) Untuk membuktikan kasus β = 0 sudah ditunjukkan pada Lema 3, selanjutnya dibuktikan dengan α, β 6= 0 dan α membagi β2. Pada persamaan (13), karena α 6= 0 dan γ = 0 makaαc= 0 sehinggac= 0. Dengan c= 0 disubstitusikan ke dalam persamaan (7) diperoleh
a = 0.
Kasus 1: a= 0. Pada kasus ini matriks S=
a b c −a
=
0 b 0 0
.
Dengan mensubstitusikan a= 0 dan c= 0 ke dalam persamaan (3), persamaan (4) dan persamaan (8) maka
z = α
b, (23)
x= β
−b, (24)
y=−x2
z . (25)
Jika persamaan (23) dan persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan (25) maka diperoleh
y=−β2
bα. (26)
Jika b = 1 disubstitusikan ke dalam persamaan (26) maka y=−β2
α. (27)
Berdasarkan persamaan (27) diperoleh bahwa α membagi β2.
(⇐) Kasus matriksAsaatβ = 0 dapat didekomposisi menjadi perkalian dua matriks nilpoten telah dibuktikan pada Lema 3 yaitu pada persamaan (21). Selanjutnya, ditunjukkan α, β 6= 0 dengan α membagi β2 dapat dibentuk menjadi matriks A yang memiliki sifat 2N. Misalkan terdapat y∈Zyang memenuhi α membagi β2
αy =−β2. (28)
Dengan memisalkan α =z dan −β =x sehingga persamaan (28) dapat ditulis
menjadi
x2 +zy= 0. (29)
Bedasarkan (1), persamaan (29) dapat ditulis menjadi matriks T=
−β −βα2
α β
(30) yang merupakan matriks nilpoten. Selanjutnya, dicari matriks
S=
a b c d
yang memenuhi A=ST α β
0 0
=
−aβ+bα a
−βα2 +bβ
−cβ+dα c
−βα2 +dβ
. (31) Dengan memperhatikan (31) diperoleh persamaan
−aβ+bα=α, (32) a
−β2 α
+bβ =β, (33)
−cβ +dα = 0, (34) c
−β2 α
+dβ = 0. (35)
Dengan memperhatikan persamaan (32) didapatkan a =−α(1−b)
β . (36)
Dengan memperhatikan persamaan (33) diperoleh a=−αβ(1−b)
β2 . (37)
Dengan menyamakan ruas kanan persamaan (36) dan persamaan (37) diperoleh
b = 1. (38)
Jika persamaan (38) disubstitusikan ke dalam persamaan (37) diperoleh
a = 0. (39)
Dengan memperhatikan persamaan (34) diperoleh c= dα
β . (40)
Selanjutnya dengan memperhatikan (35) diperoleh c=−dβα
β2 . (41)
Dengan menyamakan ruas kanan persamaan (40) dan persamaan (41) diperoleh
d= 0. (42)
Jika persamaan (42) ke dalam persamaan (41) diperoleh
c= 0. (43)
Dengan demikian dari persamaan (39), persamaan (38), persamaan (43) dan persamaan (42), matriks S dapat ditulis menjadi
S=
0 1 0 0
(44) yang merupakan matriks nilpoten. Dengan diperoleh matriks S pada persamaan (44) dan matriksT pada persamaan (30) adalah matriks nilpoten, terbukti matriks
A memiliki sifat 2N. 2
Selanjutnya membahas teorema dari matriks dengan semua entri taknol memiliki sifat 2N.
Teorema 5 Misalkan matriks singular A=
α β γ δ
dengan semua entri tak nol αδ =βγ. Matriks Amemiliki sifat 2N jika hanya jika α+δ membagiαδ dan persamaan
(α+δ)ax=αδ,
dengana, x yang tidak diketahui memiliki setidaknya satu solusi (a, x) memenuhiα membagi βx, β membagi αx, γ membagi αa dan α membagi γa.
Secara khusus, ini berlaku pada sebarang kasus berikut:
(i) β membagi α dan γ(α+δ) membagi α2δ, (ii) β(α+δ) membagi α2δ dan γ membagi α.
Bukti.
(⇒) Misalkan matriks Abersifat 2N, dibuktikan bahwa persamaan (α+δ)ax=αδ,
dengana, x yang tidak diketahui memiliki setidaknya satu solusi (a, x) memenuhiα membagi βx, β membagiαx, γ membagiαa dan α membagiγa. Kembali ke sistem (SN) yaitu pada persamaan (3) sampai persamaan (9) dengan α, β, γ, δ 6= 0. Jika kedua ruas persamaan (3) dikalikan dengan 1−x maka
ax−ax2+bz−bxz=α(1−x). (45) Dengan memperhatikan persamaan (4) diperoleh
bx =−β+ay. (46)
Selanjutnya persamaan (46) dan persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan (45) sehingga diperoleh
βz =α(1−x)−α. (47)
Demikian pula jika kedua ruas persamaan (3) dikalikan dengan 1−a maka didap- atkan
ax+a2x+bz−abz=α(1−a). (48) Dengan memperhatikan persamaan (5) diperoleh
az =−γ+cx. (49)
Berikutnya persamaan (49) dan persamaan (7) disubstitusikan ke dalam persamaan (48) diperoleh
γb=α(1−a)−α. (50)
Bila kedua ruas persamaan (3) dikalikan dengan βγ, maka
βγax+βγbz =αβγ. (51)
Jika persamaan (47) dan persamaan (50) disubstitusikan ke dalam persamaan (51) diperoleh
βγax+ (α(1−a)−α)(α(1−x)−α) = αβγ. (52) Jika βγ =αδ disubstitusikan ke dalam persamaan (52) maka
αδax+α2(−a)(−x) = α2δ. (53)
Selanjutnya kedua ruas persamaan (53) dibagi dengan α sehingga diperoleh
ax(α+δ) = αδ. (54)
Dari persamaan (54) terdapat empat kemungkinan solusi (a, x) yang diperoleh.
Pertama,
ax= αδ
α+δ(1). (55)
Dengan memperhatikan persamaan (55) diperoleh solusi pertama (a, x) = (α+δαδ ,1).
Kedua,
ax= 1 αδ
α+δ
. (56)
Dengan memperhatikan persamaan (56) diperoleh solusi kedua (a, x) = (1,α+δαδ ).
Ketiga, dengan memperhatikan persamaan (55) diperoleh ax=− αδ
α+δ(−1). (57)
Dengan memperhatikan persamaan (57) diperoleh solusi ketiga (a, x) = (−α+δαδ ,−1).
Keempat, dengan memperhatikan persamaan (56) sehingga diperoleh ax=−1
− αδ α+δ
. (58)
Dengan memperhatikan persamaan (58) diperoleh solusi keempat (a, x) = (−1,−α+δαδ ).
Untuk menyederhanakan penulisan, variabel y, z, b, c yang tidak diketahui diny- atakan terhadapadanxdalam bentuk pecahan. Dengan memperhatikan persamaan (47) didapatkan
z = −αx
β . (59)
Berdasarkan persamaan (59) diperoleh β membagi αx. Berikutnya dengan mem- perhatikan persamaan (50) didapatkan
b= −αa
γ . (60)
Berdasarkan persamaan (60) diperoleh γ membagi αa. Selanjutnya, dengan mem- perhatikan persamaan (8) diperoleh
y =−x2
z . (61)
Jika persamaan (59) disubstitusikan ke dalam persamaan (61) maka diperoleh y = βx
α . (62)
Berdasarkan persamaan (62) diperoleh α membagi βx. Jika persamaan (60) disub- stitusikan ke dalam persamaan (7) diperoleh
c= γa
α . (63)
Berdasarkan persamaan (63) diperoleh α membagi γa.
Berikutnya dibuktikan kasus khusus β membagi α dan γ(α+δ) membagi α2δ.
Jika solusi (a, x) yang pertama yaitu (α+δαδ ,1) disubstitusikan ke dalam persamaan (59) dan persamaan (60) diperoleh
z =−α
β, (64)
dan
b =− α2δ
γ(α+δ). (65)
Berdasarkan persamaan (64) dan persamaan (65) diperolehβ membagiαdanγ(α+ δ) membagi α2δ.
Selanjutnya dibuktikanβ(α+δ) membagiα2δdanγmembagiα. Jika solusi (a, x) yang kedua yaitu (1,α+δαδ ) disubstitusikan ke dalam persamaan (59) dan persamaan (60) maka
z =− α2δ
β(α+δ), (66)
dan
b =−α
γ. (67)
Berdasarkan persamaan (66) dan persamaan (67) diperoleh β(α+δ) membagi α2δ dan γ membagiα.
(⇐) Misalkan persamaan
(α+δ)ax=αδ,
dengan (a, x) yang tidak diketahui memiliki setidaknya satu solusi yang memenuhi αmembagiβx,β membagiαx,γmembagiαadanαmembagiγa, dibuktikan bahwa matriksAbersifat 2N. Dengan demikianαmembagiβx,βmembagiαx,γmembagi
αa dan α membagi γa untuk suatuy, z, b, c∈Z dapat ditulis y = βx
α , z = −αx
β , b = −αa
γ , c= γa
α .
Matriks S dan matriks T dapat ditulis menjadi bentuk umum matriks nilpoten yang memenuhi A= ST seperti persamaan (2) yaitu
α β γ δ
=
a −αaγ
γa
α −a
x βxα
−αxβ −x
. (68)
Karena matriks S dan matriksT adalah matriks nilpoten maka matriksAmemiliki
sifat 2N. 2
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa matriks singular berukuran 2×2 yang berbentuk entri baris kedua nol da- pat dibentuk menjadi perkalian dua matriks idempoten atau dua matriks nilpoten dengan syarat pada teorema yang terkait. Demikian pula, matriks singular beruku- ran 2×2 yang memiliki semua entri tak nol bisa dibentuk juga menjadi perkalian dua matriks idempoten atau dua matriks nilpoten dengan syarat pada teorema yang terkait.
Ucapan terima kasih diberikan kepada Musraini M., M.Si. yang telah mem- bimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] C. S. Ballantine, Products of idempotent matrices, Linear Algebra Applica- tions, 19 (1978), 81-86.
[2] J. A. Erdos,On Products of idempotent matrices, Glasgow Mathematical Jour- nal, 8 (1967), 118-122.
[3] J. M. Howie, The subsemigroup generated by the idempotents of a full trans- formation semigroup, Journal of the London Mathematical Society, 41 (1966), 707-716.
[4] G. C˘alug˘areanu, Singular matrices that are products of two idempotents or products of two nilpotens, De Gruyter, 10 (2021), 47-55.
