DINAMIKA STRUKTUR dan Gempa

(1)

DINAMIKA STRUKTUR dan Gempa

(2)

Bangunan 3 lantai

■

Menghitung Natural Frequency

■

Eigenvalue

■

Mode Shape

■

Eigenvektor

■

Generelized SDOF Sistem

■

Modal Analysis

(3)

CONTOH SOAL

Bangunan 3 lantai

H2= 3 m H1= 3 m

Lt 3 Lt atap

G2=500 kN G1=300 kN

H3= 3 m

Lt 2 G3=500 kN

K1=30/30 cm

k 1

k2

k3

k1

k2

k3

K2=30/40 cm

K3=30/50 cm

Menghitung berat sendiri seperti yang diarsir

Bangunan 3 massa

(4)

𝑀 = 𝑚1 0 0

0 𝑚2 0

0 0 𝑚3

𝑚_! = 𝐺_!

𝑔 = 300

981 = 0,3 𝑘𝑁𝑠^"

𝑐𝑚

𝑚_" = 𝐺_"

𝑔 = 500

981 = 0,5 𝑘𝑁𝑠^"

𝑐𝑚

𝑚_# = 𝐺_#

𝑔 = 500

981 = 0,5 𝑘𝑁𝑠^"

𝑐𝑚

𝑀 = 0,3 0 0

0 0,5 0

0 0 0,5

(5)

m1

m2

H1 = 3m

H2=3 m

2k1

2K 2

2𝑘

_!

= 2

^{!" $%}

&_!^"

2𝑘

_"

= 2

^{!" $%}_&

"

2k3

m3

H3=3 m

E=2,5x10^{$ %}_&'_!

2𝑘

_'

= 2

^{!" $%}_&

"

2𝑘

_!

= 150 kN/cm

2𝑘

_"

= 355

kN/cm

2𝑘

_'

= 700 kN/cm

3 DOF

(6)

m1

m2

H1 = 3m

H2=3 m

2k1

2K 2

𝑘_!!

𝑘_"!

K11=2k1= 150 N/cm

K21= -150 N/cm

K31=0

m3

^𝑘^#!

H3=3 m 2K

3

(7)

m1

m2

H1 = 3m

H2=3 m

2k1

2K1

𝑘_!"

𝑘_""

K12= -150N/cm

K22= 150+355= 505 N/cm

K32= -355 N/mm2

m3

H3=3 m 2K

𝑘_#"

(8)

m1

m2

H1 = 3m

H2=3 m

2k1

2K 2

𝑘_!#

𝑘_"#

K13= 0

K23=2k2= -355=N/cm

K33=2k2+2K3= 355+700 N/mm2

m3

^𝑘^##

2K K33=2k2+2K3= 1055 N/mm2

(9)

𝐾 =

𝑘_!! 𝐾_!" 𝐾_!#

𝐾_"! 𝐾_"" 𝐾_"#

𝐾_#! 𝐾_#" 𝐾_##

𝐾 = 150 −150 0

−150 505 −355 0 −355 1055

( 𝐾 − 𝜔^" 𝑀 ) = 0 𝑀 =

0,3 0 0

0 0,5 0

0 0 0,5

150 −150 0

−150 505 −355 0 −355 1055

− 𝜔^" 0,3 0 0

0 0,5 0

0 0 0,5 = 0

(10)

150

1 − ^(,#*_!+(^! −1 0

−1 3,4 − ^(,+.*_!+(^! −2,4 0 −2,4 7 − ^(,+*_!+(^!

= 0

𝜆=_!+(^*^!

150

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 3,4 − 0,5𝜆 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

= 0

Eigenvalue

Eigen Value

(11)

𝐷 = 150

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 (3,4 − 0,5. 𝜆) −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

= 0

Determinan dengan metode Sarrus

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 (3,4 − 0,5. 𝜆) −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

1 − 0,3𝜆

−1

3,4 − 0,5𝜆−1

0 −2,4

1 − 0,3𝜆 3,4 − 0,5𝜆 7 − 0,5𝜆 - (-2,4)(-2,4)(1-0,3𝜆) − 7 − 0,5𝜆 −1 −1 = 0

1,05𝜆^" − 10,57𝜆 + 23,8 − 0,075𝜆^# +0,755𝜆^" − 1,7𝜆 − 5,76 + 1,728𝜆 − 7 + 0,5𝜆 = 0

(12)

−0,075𝜆^# + 1,805. 𝜆^" − 10,042. 𝜆 + 11,04 = 0

1,05𝜆^" − 10,57𝜆 + 23,8 − 0,075𝜆^# +0,755𝜆^" − 1,7𝜆 − 5,76 + 1,728𝜆 − 7 + 0,5𝜆 = 0

𝜆^# − 24,07. 𝜆^" + 133,8. 𝜆 − 147,2 = 0

(13)

𝜆^# − 24,07. 𝜆^" + 133,8. 𝜆 − 147,2 = 0

(14)

(15)

𝜆=_!+(^*^!

1,45755 -0,2188747 6,10250,19570395 16,5 -0,4325

𝜆^!− 24,07. 𝜆^"+ 133,8. 𝜆 − 147,2 = 0

𝜆

(16)

𝜔_! = 14,2

150

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 3,4 − 0,5𝜆 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

1 𝜙_!"

𝜙_!# = 0

1 − 0,3.1,43 −1 0

−1 3,4 − 0,5.1,43 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5.1,43

1 𝜙_!"

𝜙_!# = 0

𝜙1 =

𝜙1_!"

𝜙_!# = 1 0,571 0,218 𝜆 = 1,43

0,571 −1 0

−1 2,685 −2,4

0 −2,4 6,285

1 𝜙_!"

𝜙_!# = 0

0,571-𝜙_!" = 0

𝜙_!" = 0,571

0-2,4𝜙_!" − 6,285𝜙_!# = 0 𝜙_!# = 0,22

Eigen Vektor

(17)

m2

1

0,571

m3

0,218

Mode 1

m1

𝜔_! = 14,2

(18)

𝜔_" = 30,5

150

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 3,4 − 0,5𝜆 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

1 𝜙_""

𝜙_"# = 0

1 − 0,3.6,1 −1 0

−1 3,4 − 0,5.6,1 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5.6,1

1 𝜙_""

𝜙_"# = 0

𝜙2 =

𝜙1_""

𝜙_"# = 1

− 0,830

−0,504 𝜆 = 6,1

Eigen Vektor

(19)

m2

1

-0,830

m3

-0,504

Mode 2

m1

𝜔_" = 30,5

(20)

𝜔_# = 49,73

150

1 − 0,3𝜆 −1 0

−1 3,4 − 0,5𝜆 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5𝜆

1 𝜙_#"

𝜙_## = 0

1 − 0,3.16,49 −1 0

−1 3,4 − 0,5.16,49 −2,4

0 −2,4 7 − 0,5.16,49

1 𝜙_#"

𝜙_## = 0

𝜙3 =

𝜙1_#"

𝜙_## = 1

− 3,937 7,589 𝜆 = 16,49

Eigen Vektor

(21)

m2

1

-3,937

7,589

m3

Mode 3

m1

𝜔_# = 49,73

(22)

Tot 𝐻_-,!

Tot 𝐻_-," Tot 𝐻_-,"

Mode 1 Mode 2 Mode 3

Modal Analysis

(23)

Gaya Gempa dan partisipasi massa pada mode shape 1

𝐺𝑎𝑦𝑎 𝐺𝑒𝑚𝑝𝑎 𝑡𝑜𝑙 𝐻

!

,#

= ∑

_$%&^'

𝑚

_$

𝜙

_#$

=

^∑_∑^!"#^$ ⁾^!^*^%!

!"#

$ )_!*_%!^&

𝑆

_+#

= 𝑚

_,,#

𝑆

_+#

Dimana Partisipasi massa : 𝑚

_,,#

=

^∑^!"#

$ )_!*_%! ^&

∑_!"#^$ )_!*_%!^& Generalized SDOF

(24)

𝜔_! = 14,2 𝑇 = ^"._*=0,44

𝑚_/,! = ∑_12!³ 𝑚₁𝜙₄₁ 2

∑_12!³ 𝑚₁𝜙₄₁^" = 0,3 ∗ 1 + 0,5.∗ 0,571 + 0.5 ∗ 0,218 ^"

0,3 ∗ 1^" + 0,5. 0,571^" + 0,5 ∗ 0,218^" = 0,482

0,486 = 0,991

𝜖_! = 𝑚_/,!

𝑚 = 0,991

0,3 + 0,5 + 0,5 = 0,762

H=𝜖_!𝑚𝑆₅ H=0,763 1,3 440 = 436 𝑘𝑁 H= 436 𝑘𝑁

Modal Mass Pariticipating ratio Mode 1, 76%

(25)

𝑆 !

4,4 m/sec2

D=5%

T=0,44

Sa=4,4 m/sec2 Sa=440 cm/sec2

(26)

𝜆_!! = 𝑚_!𝜙_!!

∑ 𝑚₁𝜙_!1 = 0,3 ∗ 1

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ 0,571 + 0,5 ∗ 0,218 = 0,3

0,694 = 0,433

𝜆_!" = 𝑚_!𝜙_!"

∑ 𝑚₁𝜙_!1 = 0,5 ∗ 0,571

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ 0,571 + 0,5 ∗ 0,218 = 0,285

0,694 = 0,410

𝜆_!# = 𝑚_!𝜙_!#

∑ 𝑚₁𝜙_!1 = 0,5 ∗ 0,218

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ 0,571 + 0,5 ∗ 0,218 = 0,109

0,694 = 0,157

F 𝜆 = 1

(27)

HE,11 = 0,433 x 436 = 188,788 kN HE,12 =0,410 x436 = 178,760 kN HE,13 =0,157 x 436 = 68,452 kN HE,11 = 188,788 kN

HE,12 = 178,760 kN

HE,13= 68,452 kN

(28)

Gaya Gempa dan partisipasi massa pada mode shape 2

!

,#

= ∑

_$%&^'

𝑚

_$

𝜙

_#$

=

^∑_∑^!"#^$ ⁾^!^*^%!

!"#

$ )_!*_%!^&

𝑆

_+#

= 𝑚

_,,#

𝑆

_+#

_,,#

=

^∑^!"#

$ )_!*_%! ^&

∑_!"#^$ )_!*_%!^&

(29)

𝜔_" = 30,5 𝑇 = ^"._*=0,206

𝑚_/," = ∑_12!³ 𝑚₁𝜙_"1 2

∑_12!³ 𝑚₁𝜙_"1^" = 0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −0,830 + 0.5 ∗ −0,504 ^"

0,3 ∗ 1^" + 0,5.−0,830^" + 0,5 ∗ −0,504^" = 0,134

0,77 = 0,174

𝜖_" = 𝑚_/,"

𝑚 = 0,174

0,3 + 0,5 + 0,5 = 0,134

H=𝜖_"𝑚𝑆₅ H=0,134 1,3 430 = 74,906 𝑘𝑁

H= 47,906𝑘𝑁 Modal Mass Pariticipating ratio

Mode 2, 13,4 %

(30)

𝑆 !

D=5%

4,3 m/s

T=0,2

(31)

𝜆_"! = 𝑚_!𝜙_"!

∑ 𝑚₁𝜙_"1 = 0,3 ∗ 1

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −0,83 + 0,5 ∗ −0,504 = 0,3

−0,367 = −0,817

𝜆_"" = 𝑚_!𝜙_!"

∑ 𝑚₁𝜙_"1 = 0,5 ∗ −0,83

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −0,83 + 0,5 ∗ −0,504 = −0,415

−0,367 = 1,130

𝜆_"# = 𝑚_!𝜙_!#

∑ 𝑚₁𝜙_"1 = 0,5 ∗ −0,504

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −0,83 + 0,5 ∗ −0,504 = − 0,252

−0,367 = 0,687

F 𝜆 = 1

(32)

HE,21 = -0,817 x 74,906 = -61,198 kN HE,22 = 1,130 x 74,906 = 86,644 kN HE,23 =0,687 x 74,906 = 51,460 kN HE,21 = -61,198 kN

HE,22 = 86,644 kN

HE,23= 51,460 kN

(33)

Gaya Gempa dan partisipasi massa pada mode shape 3

!

,#

= ∑

_$%&^'

𝑚

_$

𝜙

_#$

=

^∑_∑^!"#^$ ⁾^!^*^%!

!"#

$ )_!*_%!^&

𝑆

_+#

= 𝑚

_,,#

𝑆

_+#

_,,#

=

^∑^!"#

$ )_!*_%! ^&

∑_!"#^$ )_!*_%!^&

(34)

𝜔_# = 49,73 𝑇 = ^"._*=0,198

𝑚_/,# = ∑_12!³ 𝑚₁𝜙₄₁ 2

∑_12!³ 𝑚₁𝜙₄₁^" = 0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −3,937 + 0.5 ∗ 7,589 ^"

0,3 ∗ 1^" + 0,5.−3,937^" + 0,5 ∗ 7,589^" = 4,44

36,85 = 0,12

𝜖_# = 𝑚_/,#

𝑚 = 0,12

0,3 + 0,5 + 0,5 = 0,092

H=𝜖_#𝑚𝑆₅ H=0,086 1,3 430 = 48,074 𝑘𝑁

H= 48,074𝑘𝑁 Modal Mass Pariticipating ratio

Mode 9,2 %

(35)

𝑆 !

D=5%

4,0 m/s

T=0,198

(36)

𝜆_#! = 𝑚_!𝜙_#!

∑ 𝑚₁𝜙_#1 = 0,3 ∗ 1

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −3,937 + 0,5 ∗ 7,589 = 0,3

2,126 = 0,140

𝜆_#" = 𝑚_!𝜙_#"

∑ 𝑚₁𝜙_#1 = 0,5 ∗ −3,937

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −3,937 + 0,5 ∗ 7,589 = −1,967

2,126 = −0,925

𝜆_## = 𝑚_!𝜙_##

∑ 𝑚₁𝜙_#1 = 0,5 ∗ 7,589

0,3 ∗ 1 + 0,5 ∗ −3,937 + 0,5 ∗ 7,589 = 3,795

2,126 = 1,785

F 𝜆 = 1

𝜖_! = 0,762 𝜖_" = 0,134 𝜖_# = 0,092

(37)

HE,21 = 0,14* 48,074 = 6,73 kN

HE,22 = -0,925 *48,074 = - 44,468 kN HE,23 =1,785 x 48,074 = 85,812 kN HE,31 = 6,73 kN

HE,32 = - 44,468 kN

HE,33= 85,812 kN

(38)

Gaya Gempa

■

𝐻 = 𝐻

_&^-

+ 𝐻

_-^-

+ 𝐻

_.^-

(39)

Gaya Gempa Total

HE,31 = 6,73 kN

HE,32 = -44,468 kN

HE,33= 85,812 kN HE,21 = -61,198 kN

HE,22 = 86,644 kN HE,11 = 188,788 kN

HE,23= 51,460 kN HE,12 = 178,760 kN

HE,13= 68,452 kN

𝐻 = 𝐻_!^" + 𝐻_"^" + 𝐻_#^"

H1=198,6 kN

H2=203,6 kN

H3=121,2 kN