Dinamika Struktur 1

PENDAHULUAN PENDAHULUAN

Selama ini telah dipelajari perilaku struktur yang mendapat beban statis, artinya Selama ini telah dipelajari perilaku struktur yang mendapat beban statis, artinya beban- beban

 beban tersebut tersebut tetap, tetap, baik baik intensitasnya, intensitasnya, tempatnya, tempatnya, arah arah garis garis kerjanya. kerjanya. SedangkanSedangkan dalam dinamika struktur akan dipelajari perilaku struktur jika struktur tersebut dalam dinamika struktur akan dipelajari perilaku struktur jika struktur tersebut mendapat beban dinamis, yaitu beban yang berubah-ubah menurut fungsi waktu (

mendapat beban dinamis, yaitu beban yang berubah-ubah menurut fungsi waktu ( timetime varying 

varying ).).

Perbedaan antara Beban Dinamik dan Beban Statik : Perbedaan antara Beban Dinamik dan Beban Statik : Beban Statik :

Beban Statik :

Adalah beban tetap, baik besarnya (intensitasnya), titik bekerjanya dan arah garis Adalah beban tetap, baik besarnya (intensitasnya), titik bekerjanya dan arah garis kerjanya.

kerjanya.

Beban Dinamik : Beban Dinamik :

1. Beban yang besarnya ( intensitasnya ) berubah-ubah menurut waktu, sehingga dapat 1. Beban yang besarnya ( intensitasnya ) berubah-ubah menurut waktu, sehingga dapat

dikatakan besarnya beban merupakan fungsi waktu. dikatakan besarnya beban merupakan fungsi waktu. 2.

2. Bekerja hanya untuk rentang waktu tertentu saja, akan tetapi walaupun Bekerja hanya untuk rentang waktu tertentu saja, akan tetapi walaupun hanya bekerjahanya bekerja sesaat akibat yang ditimbulkan dapat merusakkan struktur bangunan, oleh karena itu sesaat akibat yang ditimbulkan dapat merusakkan struktur bangunan, oleh karena itu  beban ini harus diperhitungkan didalam merencanakan struktur bang

 beban ini harus diperhitungkan didalam merencanakan struktur bangunan.unan. 3.

3. Beban dinamis lebih komBeban dinamis lebih kompleks dari pada beban statis.pleks dari pada beban statis. Contoh-conto

Contoh-contoh h Beban Dinamik Beban Dinamik  a.

a. Getaran yang Getaran yang di-akibatkan oleh di-akibatkan oleh generator.generator.  b.

 b. Getaran dijembatan yang diakibatkan oleh gerakan kendaraan.Getaran dijembatan yang diakibatkan oleh gerakan kendaraan. c.

c. Getaran yang di-akibatkan oleh suara Getaran yang di-akibatkan oleh suara yang keras, seperti mesin jet pesawat terbang.yang keras, seperti mesin jet pesawat terbang. d. Beban Angin.

d. Beban Angin.

Angin dengan kecepatan tinggi dan menerpa suatu struktur bangunan dapat Angin dengan kecepatan tinggi dan menerpa suatu struktur bangunan dapat di-ekivalenkan sebagai suatu gaya yang bekerja sekaligus menggetarkan struktur  ekivalenkan sebagai suatu gaya yang bekerja sekaligus menggetarkan struktur   bangunan.

 bangunan. e.

e. Beban Beban Gelombang Gelombang Air Laut.Air Laut.

Gelombang air laut menimpa bangunan pantai seperti pemecah gelombang ( Gelombang air laut menimpa bangunan pantai seperti pemecah gelombang ( break-water ), dermaga dll. juga merupakan beban dinamik yang di-ekivalenkan suatu gaya water ), dermaga dll. juga merupakan beban dinamik yang di-ekivalenkan suatu gaya yang bekerja pada bangunan-bangunan tersebut.

yang bekerja pada bangunan-bangunan tersebut.

Energi gelombang ini dapat disebabkan adanya tiupan angin yang kencang, maupun Energi gelombang ini dapat disebabkan adanya tiupan angin yang kencang, maupun gempa bumi yang terjadi didasar laut dapat menimbulkan gelombang tsunami.

gempa bumi yang terjadi didasar laut dapat menimbulkan gelombang tsunami. f.

f. Gempa Gempa bumi.bumi. g.

g. Ledakan bahan Ledakan bahan peledak atau bompeledak atau bom.. h. Dan lain-lain.

TYPE-TYPE BEBAN DINANIS.

1. GETARAN BEBAS ( FREE VIBRATION )

Jika pada suatu struktur diberikan simpangan kekiri (gambar 1a dan 1b). Jika gaya dorong ( tangan ) yang memberi simpangan dihilangkan, maka struktur tersebut akan bergetar secara bebas kekiri dan kekanan. Tetapi makin lama getaran akan  berkurang secara perlahan-lahan mengikuti fungsi waktu, dan akhirnya berhenti.

 A A 

a

b

c

Gambar 1

Pengurangan ini disebabkan karena adanya factor redaman ( damping ), dunama  bahan struktur tersebut mempunyai kemampuan untuk meredam getaran.

Pada gambar 1a, struktur diberi suatu simpangan A dengan memberikan gaya luar P. Kemudian gaya P dihilangkan. Karena keadaan elastis struktur, maka struktur   berusaha kembali kekeadaan semula dengan suatu percepatan tertentu, bahkan akan

menyimpang kearah sebaliknya ( gambar 1c), sehingga sistem akan bergetar terus. Karena struktur dalam keadaan elastis maka tidak akan terjadi kehilangan energi, sehingga struktur terebut akan bergetar terus. Tetapi dengan adanya gesekan dengan udara dan gesekan pertikel-pertikel dalam bahan struktur serta kelelahan bahan, maka getaran struktur tersebut lama kelamaan akan berhenti. Gaya yang menyebabkan kehilangan energi tersebut disebur ″ gaya peredam

″

(damping force). 2. GETARAN BERKALA ATAU PERIODIK ( PERIODIC LOADING )

Beban/getaran berkala ini merupakan beban yang berulang-ulang, dimana setelah waktu getar T tercapai, beban/getaran tersebut akan bekerja lagi seperti semula.

Beban/getaran berkala atau periodik ini dapat dibagi menjadi 2 ( dua ), yaitu : a. Beban/Getaran Harmonis

Fungsi waktu dari beban/getaran harmonis mengikuti fungsi sinus atau cosinus seperti digambarkan dibawah ini.

T F ( t ) ( t ) Fungsi sinus F ( t ) ( t ) T Fungsi cosinus

Contoh dari beban/getaran harmonis ini adalah getaran dari mesin yang ditempatkan pada gedung.

 b. Beban/getaran kompleks tidak harmonis

Beban periodik kompleks merupakan jumlah dari komponen-komponen beban harmonis.

Beban/getaran kompleks ini juga periodik, jadi setelah waktu getar T tercapai,  beban/getaran akan kembali berulang seperti semula, hal ini dapat dilihat pada

grafik dibawah ini.

T

t F ( t )

Gambar 3

Contoh dari beban/getaran kompleks tidak harmonis ini adalah gaya hidrodinamis yang diakibatkan oleh putaran baling-baling kapal.

3. BEBAN/GETARAN TIDAK BERKALA ( NON PERIODIC LOADING )

Pada beban/getaran tidak berkala ( non periodic loading ) ini setelah waktu getar T tercapai, beban/getaran tidak akan berulang kembali dengan besaran yang sama seperti pada beban/getaran berkala.

Beban tidak berkala ini ada 2 (dua ), yaitu : a. Beban Impuls ( Impulsive Load )

Beban Impuls adalah beban yang bekerja sesaat pada rentang waktu t1 yang

sangat pendek ( singkat ) sekali dibandingkan dengan waktu getarnya ( T ).

F ( t )

t t1

Dari grafik gambar 4 diatas tampak bahwa dalam rentang waktu yang sangat singkat ( t1 ) beban dinamis besarnya akan mencapai puncaknya, kemudian secara perlahan-lahan akan berkurang sampai pada suatu saat akan berhenti getarannya.

Contoh beban impuls ini adalah pengaruh ledakan bom pada struktur bangunan.  b. Beban/Getaran tak beraturan dalam jangka lama ( Long duration loading )

Grafik beban/getaran dinamis tak beraturan dalam jangka lama dapat digambarkan seperti grafik dibawah ini ( gambar 5 ).

F ( t )

t

Gambar 5

Contah beban/getaran ini adalah pengaruh gaya gempa pada tangki air yang berada dimenara.

DERAJAT KEBEBASAN ( DEGREE OF FREEDOM )

Derajat kebebasan adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan  posisi suatu sistem atau struktur pada setiap saat.

x y z m    Y X Z Gambar 6

Maka dapat dikatakan sistem/struktur massa m tersebut mempunyai 6 ( enam ) derajat kebebasan.

Pada gambar disamping ini, suatu massa m dengan kordinat ( x, y, z ) bebas bergerak  terhadap sumbu X, Y dan Z. Bila pada massa tersebut dikenakan beban getaran, maka masssa tersebut kemungkinan dapat bergeser  / translasi sepanjang sumbu X, Y dan Z.

Selain bergeser/translasi, kemungkinan maka massa tersebut dapat berputar terhadap sumbu X, Y dan Z.

Contoh – contoh : P ( t ) y X Y Gambar 7 X Y y F ( t ) Gambar 8 X Y y₁ 2 y F ( t ) Gambar 9

Model Mathematik pada Problem Dinamik 

Untuk memudahkan penyelesaian problem pada Dinamik Struktur, pada umumnya suatu struktur dibuat model mathematisnya, sehingga penyelesaian persoalan dinamika dapat dilakukan secara lebih jelas/mudah dan dapat menggunakan prinsip-prinsip mathematis.

Suatu portal seperti gambar disamping ini dibebani dengan beban dinamis P ( t ).

Akibat beban P ( t ) portal akan bergoyang kekiri dan kekanan sepanjang sumbu X. Jadi portal disamping ini mempunyai satu derajat kebebasan, atau

″

Single Degree of   Freedom

″

dan disingkat S.D.O.F.

Pada gambar 8 disamping ini suatu balok kan-tilever dibebani dengan beban dinamis F ( t ). Akibat beban dinamis kantilever akan melendut kebawah dan kembali keatas, kebawah lagi dan seterusnya. Gerakan kantilever ini sepanjang sumbu y, jadi kantilever ini juga mempunyai satu derajat kebebasan ( Single Degree of Free-dom ).

Suatu portal 2 tingkat seperti gambar 9 di-samping ini dibebani dengan gaya dinamis sebesar F ( t ). Akibat beban dinamis portal akan bergoyang kekanan dan kekiri sepan- jang sumbu X. Lantai 1 akan bertranslasi y1 dan lantai 2 akan bertranslasi y2 . Sistem  portal seperti gambar disamping ini dikatakan Multi Degree of Freedom dan di-singkat M.D.O.F.

Didalam model mathematis tersebut, semua gaya-gaya aksi ( gaya luar ) dan reaksi ( ter-masuk gaya-gaya dalam ) yang terlibat dalam sistem yang ditinjau semua telah dimodel-kan, maka ekspresi mathematik atas keseimbangan sistem yang bersangkutan dapat disusun dan dikenali dengan mudah, sehingga persoalan dinamika dapat diselesaikan.

STRUKTUR TANPA REDAMAN ( UNDMPED STRUCTURE ).

Struktur portal satu tingkat seperti gambar 6 a dibawah ini memikul beban gravitasi q yang merupakan beban merata dan beban dinamik horisontal P ( t ).

P ( t ) q = t/m ,

( a )

Struktur yang sebenarnya

k  _{P ( t )} m y ( b ) Model Matematik  k  P y ( c ) Linier Elastik  Gambar 10

Akibat beban dinamik P ( t ) portal akan bergoyang berganti-ganti kekiri dan kekanan. Disini ada 2 parameter yang akan mempengaruhi besar-kecilnya simpangan goyangan  portal, yaitu : massa ( m ) dan kekakuan kolom ( k ). Dua parameter ini selanjutnya

disebut

″

dinamik karakteristik ″portal tersebut.

Beban gravitasi dimodelkan sebagai suatu massa m, yang dapat dihitung dengan suatu rumus :

m =

 g  W 

Dimana : W = q x panjang beban merata

G = percepatan gravitasi = 9,8 m/det2

Kemudian struktur portal ini secara matematik dimodelkan seperti gambar 10b diatas. Massa m dimodelkan sebagai kotak diatas 2 roda yang bergerak diatas landasan akibat  beban dinamik P ( t ), geseran roda dengan landasan disini diabaikan. Gerakan kotak 

massa m ini dikendalikan oleh suatu pegar/per dengan konstanta pegas k yang memodelkan kekakuan kolom k. Simpangan horisontal y di-ukur dari posisi kotak m dalam keadaan diam. Kolom memegang peranan yang penting didalam proses goyangan massa, hal ini ditunjukkan dengan adanya kekakuan kolom k. Semakin kaku kolom ( k  makin besar ), maka goyangan atau simpangannya semakin kecil.

Model mathematik diatas adalah model mathematik struktur tanpa redaman ( Undamped Structure ). Disini kolom masih dianggap berperilaku elastis, sehingga model pegas yang dipakai adalah pegas linear elastik seperti digambarkan dalam gambar 10c.

Hubungan antara gaya pegas (disini sama dengan beban dinamis) F ( t ), simpangan y dan konstanta pegas dinyatakan sebagai :

STRUKTUR DENGAN REDAMAN ( DAMPED STRUCTURE )

Semua benda yang bergerak diatas bumi ini akan mengalami tahanan ( resistensi ), baik  karena gesekan dengan benda-benda disekelilingnya maupun oleh peristiwa internal sendiri benda tersebut.

Dengan adanya resistensi ini, maka gerakan gerakan benda tersebut lambat laun akan melemah, hal ini pada umumnya dikatakan bahwa terdapat

″

 penyerapan enersgi atau redaman

″

pada struktur atau benda tersebut.

Ada tiga jenis redaman pada peristiwa dinamik, yaitu : 1. Structural Damping

Structural damping adalah redaman yang dihasilkan oleh gesekan internal molekul-molekul didalam bahan struktur, gesekan antara bagian-bagian struktur dengan alat-alat penyambung, maupun gesekan antara struktur dengan tumpuannya. Kualitas material, sambungan serta kondisi tumpuan akan berpengaruh terhadap kekuatan atau gaya redaman C.

2. Coulomb Damping

Coulomb damping adalah redaman yang dihasilkan oleh gesekan sesama benda  padat, misalnya gesekan antara suatu kotak dengan berat / gaya normal N dengan

lantai seperti gambar 11 dibawah ini.

 N F ( t ) G φ  N  N tanφ Gambar 11

Kotak mendapat beban dinamik F ( t ), maka kotak akan bergerak dan gerakan kotak  akan mendapat redaman akibat gesekan dengan lantai. Karena keseimbangan, maka komponen vertikal gaya perlawanan G akan sama besar dengan gaya normal/berat kotak N. Gaya redaman adalah komponen horisontal dari gaya perlawanan G, yaitu :

C = N tan

∅

Dimana

∅

adalah sudut geser antara kotak dengan lantai, 3. Viscous Damping.

Viscous damping adalah redaman yang dihasilkan oleh antara benda padat dan benda cair/gas ( air, minyak, olie atau udara ).

Sebagai contoh adalah gerakan torak didalam silinder yang dilumasi olie, gerakan  perahu diatas air, hambatan angin terhadap mobil yang berjalan dijalan raya dsb.

Goyangan struktur akibat beban dinamik pada umumnya dimodelkan sebagai vis cous damping, oleh karena itu didalam model mathematis menggunakan simbol piston didalam silinder seperti contoh berikut ini.

P ( t ) L q t/m' C A B D E k  m P ( t ) ( a ) ( b ) C Gambar 12

Gaya redaman C dapat dihitung dengan rumus : C = c . y

′

Dimana : C = gaya redaman

c = koefisien redaman

y

′

= kecepatan gerakan/goyangan portal. Model mathematis portal tersebut seperti digambar 12b

Kekakuan ekivalen k ₁ k₂ k ₃ k ₁ 2 k  3 k  m q F ( t ) A C E B D F

Portal 3 kaki ( kolom ) Model Mathematik  

( a ) _{( b )}

F ( t )

Gambar 13

Suatu portal dengan 3 kaki ( kolom ) seperti gambar 13a diatas dengan kekakuan masing-masing kolom adalah sebagai berikut :

Kekakuan kolom AB = k 1

Kekakuan kolom CD = k 2

Kekakuan kolom EF = k 3

Kekakuan kolom dimodelkan sebagai pegas/per yang dipasang paralel dengan konstanta  pegar masing-masing k 1. k 2, k 3seperti gambar 13b diatas

Hubungan antara gaya pegas, konstanta pegas dan translasi pegas dapat dinyatakan sebagai berikut :

F1( t ) = k 1. y F2( t ) = k 2 . y F3( t ) = k 3. y

F ( t ) = F1( t ) + F2( t ) + F3( t ) = ( k 1 + k 2 + k 3) y

Didepan ( halaman 6 ) telah diketahui hubungan antara gaya pegas F ( t ), konstanta  pegas / kekakuan kolom dan simpangan y, sehingga kekakuan ekuivalen adalah :

k e= k 1+ k 2+ k 3

Jadi secara umum untuk portal dengan model mathematis sebagai pegas yang dipasang  paralel kekakuan ekuivalennya adalah :

k e=

∑

= n i i k  1 k 1 2 k  k 1 2 k  y P ( t ) m P ( t ) Portal 2 tingkat ( A )

Model Mathematis Portal 2 tingkat ( B )

Gambar 14

Pada gambar 14 diatas adalah suatu portal dua tingkat dengan kekakuan ekuivalen

kolom bagian bawah k 1 dan kekakuan ekuivalen kolom atas adalah k 2. Model

mathematik portal ini ( gambar B ) dimana kekakuan kolom dimodelkan sebagai  pegas/per yang dipasang seri dengan konstanta pegas/per masing-masing k 1 dan k 2.

Hubungan antara gaya pegas P ( t ), konstanta pegas k dan simpangan y untuk masing-masing pegas adalah sebagai berikut :

Pegas/per 1

 →

P ( t ) = k 1. y1

 →

y1 = 1 ) ( k  t   P  Pegas per 2

 →

P ( t ) = k 2. y2

 →

y2= 2 ) ( k  t   P  Total simpangan : y = y1 + y2 = 1 ) ( k  t   P  + 2 ) ( k  t   P  =

_

 

 



 

 

+

2 1 1 1 k  k  P ( t ) y = e k  1 P ( t )

Sehingga : e k  1 = 1 1 k  + ₂ 1 k 

Atau secara umum untuk portal bertingkat dengan model mathematik pegar yang dipasang seri kekakuan ekuivalen kolomnya adalah :

e k  1 =

∑

=













n i 1 k i 1

KEKAKUAN LATERAL KOLOM DENGAN TUMPUAN JEPIT

        h EI ( a )         h EI y A B A B B'     M AB BA M ( b ) H H Gambar 15

Suatu kolom dengan tumpuan jepit dan ujung atas kolom juga dijepit, panjang kolom h, modulus elastisitas kolom E dan momen inersia penampang kolom I ( gambar 15a ). Kemudian ujung atas kolom diberi simpangan/goyangan y, sehingga timbul momen MAB dan MBA. Seperti telah diketahui didalam mekanika teknik besar momen-momen

tersebut adalah : MAB= MBA = ₂ 6 h  EI  y Sehingga besarnya gaya geser H adalah :

H = h  M  _AB + h  M  _BA = 12₃ h  EI  y ( * )

Definisi kekakuan lateral kolom adalah :

 Kekakuan lateral kolom adalah suatu gaya lateral yang dapat menimbulkan simpangan  sebesal 1 (satu) satuan.

Dengan kata lain jika pada persamaan ( * ) diatas y = 1, maka H akan sama dengan k, sehingga :

k = 12₃ h

KEKAKUAN LATERAL KOLOM DENGAN TUMPUAN SENDI         h EI ( a )         h EI y A B A B B'     M_BA ( b ) H H Gambar 16

Suatu kolom dengan tumpuan sendi dan bagian atas kolom dijepit seperti gambar 15a diatas. Panjang/tinggi kolom h, modulus elastisitas kolom E dan momen inersia I. Kolom bagian atas diberi simpangan sebesar y sehingga akan timbul momen MBA pada

ujung atas kolom, sedangkan ditumpuan karena berupa sendi tidak akan timbul momen. Seperti telah diketahui didalam mekanika teknik, maka besarnya momen tersebut adalah

MBA = ₂

3 h  EI 

y

Sehingga besarnya gaya geser horisontal H adalah : H = h  M  _BA = 3 ₃ h  EI  y

Sesuai dengan definisi kekakuan lateral diatas, maka jika y = 1, maka H = k, sehingga : k = 3 ₃ h  EI  Contoh Soal :        3 .        2        0        3 .        2        0 3.50 30 x 40 30 x 40 A B C D

Suatu portal dengan dua kaki/kolom seperti gambar disamping ini dengan tumpuan A jepit dan tumpuan B sen-di. Panjang kolom h = 3,20 m, sedang ukuran kolom 30 x 40 cm.

Untuk perjanjian dalam menyebutkan ukuran kolom adalah lebar x tinggi.

Konstruksi portal diatas dari beton bertulang dengan modulus elastisitas E = 210.000 kg/cm2

Hitunglah kekakuan ekuivalen lateral dari portal tersebut. Penyelesaian :

Momen Inersia kolom IAB = ICD= 112 30 40

3

= 160.000 cm4 Kekakuan lateral masing-masing kolom :

k AB = ₃ 12 h  EI  _AB = ₃ 320 000 . 160 000 . 210 12 x  x = 12.305 kg/cm k CD = ₃ 3 h  EI _CD = ₃ 320 000 . 160 000 . 210 3 x  x = 3.076 kg/cm Jadi kekakuan ekuivalen lateral pari portal :